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7.3 离散型随机变量的数字特征（精练）
【题组一 分布列均值与方差】
1．（2020·吉林长春市实验中学）若随机变量ξ的分布列：
ξ 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
那么E(5ξ+4)等于（ ）
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
2．（2020·全国高二单元测试）设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高二课时练习）设 ，则随机变量 的分布列是：
0 1
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
4．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表
中射击比较稳定的运动员是( )环数k 8 9 10
P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5
P(η＝k) 0.2 0.4 0.4
A．甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
5．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列说法正确的有（ ）
A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－
C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝
6．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知 0＜a＜ ，随机变量ξ的分布列如下．
ξ －1 0 1
P －a a
当 a 增大时，（ ）
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小 C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大
7．（多选）（2020·山东济宁市·高二期末）已知随机变量 的分布列如下，且 ，则下列说
法正确的是（ ）
1 2 3A． ， B． ，
C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）已知随机变量 的分布列如下表；且 ，则 ________，
_____________.
0 2
9．（2021·北京房山区·高二期末）设随机变量 的分布列为：
则 ____；随机变量 的数学期望 ____.
10．（2020·甘肃白银市）设随机变量 的分布列为 ， 为常数，则
________．
11．（2020·四川乐山市）已知随机变量 的分布列如下表所示，且 ，则 ________.0 1
12．（2020·安徽省六安中学高二期末（理））已知 的分布列
0 1
且 ， ，则 ______.
13．（2021·湖南衡阳市八中高二期末）已知随机变量X的分布列如下：
0 1 3
若随机变量Y满足 ，则Y的方差 ___________.
【题组二 实际应用中的分布列与均值】
1．（2021·浙江金华市·高三期末）一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，
每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数 ，则
__________， __________．
2．（2021·江苏南通市·高三期末）“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国
范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客
会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则 _________________， ____________.
3．（2020·全国高二课时练习）一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其
他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球
得2分，用随机变量 表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为 ．
（1）求袋子内黑球的个数；
（2）求 的分布列与均值．
4．（2019·全国高二课时练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍
未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛
结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和均值（数学期望）.5．（2021·海林市）某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽
取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;
(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
【题组三 均值方差做决策】
1．（2019·全国高二课时练习）设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分
别如表1和表2所示：
X 900 1 000 1 100
P 0.1 0.8 0.1
Y 950 1 000 1 050
P 0.3 0.4 0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？2．（2020·全国高二课时练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售
价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间
[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计
了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 （单位：
瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？3．（2020·全国高二课时练习）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种
超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，
超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过
4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延
保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保
的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？4．（2019·全国高二课时练习）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性
随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6
道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与
否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值;
(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.
5．（2020·辽宁本溪市·高二月考）为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款
新能源分时租赁汽车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15
千米，每天租用该款汽车上､下班各一次.由于堵车､红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是变量 (单
位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间 分
频数 2 18 20 10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 分.
（1）写出王先生一次租车费用 (单位：元)与用车时间 (单位：分)的函数关系式；
（2）若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：
①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间(同一时段，用该区间的中点值做代表).
②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.
