25李林《880》题数三概率部分做题本_考研_数学_02.李林_25李林《880题》做题本（全）_数三

880 · 概率 · 目录 第十五章 随机事件及其概率 ....................................................... 2 基础题 ..................................................................... 2 综合题 ..................................................................... 9 拓展题 .................................................................... 13 第十六章 随机变量及其分布 ...................................................... 14 基础题 .................................................................... 14 综合题 .................................................................... 21 拓展题 .................................................................... 25 第十七章 多维随机变量及其分布 .................................................. 26 基础题 .................................................................... 26 综合题 .................................................................... 33 拓展题 .................................................................... 39 第十八章 随机变量的数字特征 .................................................... 40 基础题 .................................................................... 40 综合题 .................................................................... 48 拓展题 .................................................................... 56 第十九章 大数定律与中心极限定理 ................................................ 58 基础题 .................................................................... 58 第二十章 数理统计的基本概念 .................................................... 62 基础题 .................................................................... 62 综合题 .................................................................... 65 第二十一章 参数估计 ............................................................ 69 基础题 .................................................................... 69 综合题 .................................................................... 75 拓展题 .................................................................... 77 第 1 页，共77页880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 第十五章 随机事件及其概率 基础题 一、选择题 (1) 设当事件 第 2 页，共77页 A 与 B 同时发生时,事件 C 必发生,则 ( ) . A. P(C)=P(AB) B. P ( C ) = P ( A  B ) C. P ( C )  P ( A ) + P ( B ) − 1 D. P ( C )  P ( A ) + P ( B ) − 1 (2) 对任意两个事件 A 和 B ,若 P ( A B ) = 0 ,则 ( ) . A. P(A)P(B)=0 B. P ( A − B ) = P ( A ) C. AB=Ø D. A B = Ø (3) 设 P ( A )  0 , P ( B )  0 , P ( ∣A B ) = P ( A ) ,则下列选项不正确的是 ( ). A. A 与 B 互不相容 B. A 与 B 相容 C. P(B∣A)=P(B) D. P ( ∣A B ) = P ( A )880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (4) 设 第 3 页，共77页 A , B , C 是三个相互独立的随机事件,且 0  P ( C )  1 ,则下列四对事件中不相互独立 的 是( ). A. AB 与 C B. A C 与 C C. A − B 与 C D. A B 与 C (5) 设 0  P ( A )  1 , 0  P ( B )  1 且 P ( ∣A B ) + P ( ∣A B ) = 1 ,则 ( ) . A. A 与 B 互不相容 B. A 与 B 相互独立 C. A 与 B 对立 D. A 与 B 不相互独立880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (6) 设 第 4 页，共77页 A , B 为任意两个事件,且 A  B , P ( B )  0 ,则下列选项正确的是 ( ). A. P ( A )  P ( ∣A B ) B. P ( A )  P ( ∣A B ) C. P(A)P(A∣B) D. P ( A )  P ( ∣A B ) (7) 设 A,B 是两个随机事件,且 0  P ( A )  1 , P ( B )  0 , P ( ∣B A ) = P ( ∣B A ) ,则下列选项正确 的是 ( ). A. P(A∣B)=P ( A∣B ) B. P ( ∣A B )  P ( ∣A B ) C. P(AB)=P(A)P(B) D. P ( A B )  P ( A ) P ( B ) 二、填空题 (1) 设 P ( ∣A B ) = P ( ∣B A ) = 1 2 , P ( A ) = 1 3 ,则 P ( A  B ) = _________ .880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (2) 已知事件 第 5 页，共77页 A , B 相互独立且互不相容,则 m in  P ( A ) , P ( B ) = _________ . (3) 设事件 A , B , C 满足 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 4 , P ( A B ) = P ( B C ) = 0 , P ( A C ) = 1 8 ,则 A , B , C 三个事件中至少出现一个的概率为_______ (4) 设 P ( A ) = 0 .1 , P ( ∣B A ) = 0 .9 , P ( ∣B A ) = 0 .2 ,则 P ( ∣A B ) = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (5) 设 第 6 页，共77页 A , B 为随机事件,且 P ( A ) = 0 .3 , P ( B ) = 0 .4 , P ( A − B ) = 0 .5 ,则 P ( ∣B A  B ) = _________ . (6) 设在三次独立重复试验中,事件 A 发生的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率为 1 2 9 7 ,则 A 在 一次试验中发生的概率 p = _________ . (7) 在区间 ( 0 ,1 ) 内任取两个数 x,y ,则 x y  2 9 的概率为_________ .880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (8) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 第 7 页，共77页 p ( 0  p  1 ) ,则此人第 6 次 射击恰好第 2 次命中目标的概率为______. 三、解答题 (1) 设 A,A , ,A 为 n 个相互独立的事件,且 1 2 n P ( A k ) = p k ( k = 1 , 2 , , n ) ,求下列事件的概 率: (I) A = { n 个事件全不发生 } ; (II) B = { n 个事件不全发生 } ; (III) C = { n 个事件中至少有一个发生 } .880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (2) 对某一目标依次进行了三次独立的射击,设第一、第二、第三次射击命中的概率分别为 第 8 页，共77页 0 .4 , 0 .5 和 0.7 , 求: (I) 三次射击中恰好有一次命中的概率; (II) 三次射击中至少有一次命中的概率. (3) 有三个盒子, 第一个盒子中有 3 个黑球、 1 个白球, 第二个盒子中有 2 个 自球, 第三 个盒子 中有 3 个黑球、 2 个白球. (I) 任取一个盒子, 再从该盒子中取出一个球, 求这个球是白球的概率; (II) 已知取出的是白球, 求此球属于第三个盒子的概率.880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (4) 设 第 9 页，共77页 A , B 是两个随机事件,证明: 1 − P ( A ) − P ( B )  P ( A B )  P ( A  B )  P ( A ) + P ( B ) . 综合题 一、选择题 (1) 设某人毫无准备地参加一项测验, 其中有 5 道是非题, 他随机地选择“是” 或“非”, 则该人至少答对 1 题的概率为 ( ). 1 A. B. 5 1 3 2 C. 5 3 2 D. 3 3 1 2 (2) 有一根长为 L 的木棒,将其任意折成三段,记事件 A = { 中间一段为三段中的最长者 } , 则 P(A)= ( ). 1 1 A. B. C. 2 3 1 4 D. 2 3880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 二、填空题 (1) 设甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.5 和 0.4 , 已知目标被命 中, 则它是乙 射中的概率为________. (2) 设 第 10 页，共77页 P ( A ) = 0 .5 , P ( B ) = 0 .7 ,则 P ( A  B ) 的最大值与最小值分别是_________ . (3) 设 A , B 是两个随机事件, 0  P ( B )  1 , A B = A B ,则 P ( ∣A B ) + P ( ∣A B ) = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 (4) 设进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为 第 11 页，共77页 p ,则在试验成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为________ (5) 已知 10 部手机中有 7 个合格品和 3 个次品, 每次任取一个作测试, 测试后不放回,直 到将 3 个次品都找到为止, 则需要测试 7 次的概率为______. (6) 在 n 重伯努利试验中,事件 A 发生的概率为 p ,则事件 A 发生奇数次的概率为 _________ .880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 三、解答题 (1) 设甲盒中有 4 个红球和 2 个白球, 乙盒中有 2 个红球和 4 个白球, 掷一枚均匀的硬币, 若正面出现, 则从甲盒中任取一球, 若反面出现, 则从乙盒中任取一球, 设每次取出的球观看 颜色后放回原盒中. (I) 若前两次都取得红球, 求第三次也取得红球的概率; (II) 若前两次都取得红球, 求红球都来自甲盒的概率. (2) 设一批产品中有 第 12 页，共77页 1 5 % 的次品,进行独立重复抽样检验,若抽取 20 个样品,则抽出的 20 个样品中, 可能性最大的次品数是多少? 并求其概率.880 · 概率 · 15.随机事件及其概率 拓展题 解答题 (1) 设事件 A,B 相互独立, A,C 互不相容,且 第 13 页，共77页 P ( A ) = 0 .4 , P ( B ) = 0 .3 , P(C)=0.4, P ( ∣B C ) = 0 .2 , 求下列概率: (I) P ( A  B ) ; (II) P ( C ∣ A  B ) ; ( ) (III) P AB∣C . (2) 从 1 , 2 , , n 这 n 个数中任意相继不放回地取出两个数,求取出的第二个数比第一个数大 的概率.880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 第十六章 随机变量及其分布 基础题 一、选择题 (1) 设随机变量 第 14 页，共77页 X 1 与 X 的分布函数分别为 2 F 1 ( x ) 与 F 2 ( x ) , F ( x ) = a F 1 ( x ) − b F 2 ( x ) 是 某一随 机变量的分布函数, 则 ( ). A. a = 3 5 , b = − 2 5 B. a = 2 3 , b = 2 3 C. a = − 1 2 , b = 3 2 D. a = 1 2 , b = − 3 2 (2) 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ,且 f ( − x ) = f ( x ) , X 的分布函数为 F(x) ,则对 任意实数 k , 有 ( ) . k 1 k A. F(−k)=1− f (x)dx B. F(−k)= − f (x)dx 0 2 0 C. F(−k)=2F(k)−1 D. F(−k)=F(k)880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (3) 下列函数中, 可作为某一随机变量的分布函数的是 ( ). 1 A. F(x)= B. 1+x2 第 15 页，共77页 F ( x ) 1 a r c ta n x 1 2  = +   1( 1−e−x) , x0, C. F(x)=2 D.  0, x0 F ( x ) x f ( t ) d t  =  − ,且 f ( t ) d t 1    + − = (4) 设 X 是随机变量,对任意实数 x , P  X = x  = 0 的充分必要条件是 ( ). A. X 的概率密度 f ( x ) 是连续函数 B. X 的分布函数 F ( x ) 是连续函数 C. X 为离散型随机变量 D. X 是非离散型随机变量 (5) 设 X N ( , 4 2 ) , Y N ( , 5 2 )     ,记 p =PX −4,p =PY +5 ,则 ( ) . 1 2 A. 对任意实数  ,有 p  p B. 对任意实数  ,有 1 2 p 1  p 2 C. 对任意实数  ,有 p = p D. 只对 1 2 0  = ,有 p = p 1 2880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (6) 设 第 16 页，共77页 X N ( , 2 )   ,则随着  的增大, P { x }   −  ( ) . A. 单调减少 B. 单调增加 C. 保持不变 D. 增减不确定 (7) 设 f ( x ) 为随机变量 X 的概率密度,且 f ( 1 − x ) = f ( 1 + x ) ,  2 1 f ( x ) d x = 0 .4 , X 的分布 函数为 F ( x ) ,则 F ( 0 ) = ( ) . A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 二、填空题 (1) 设随机变量 X 服从参数为 ( 0 )   的指数分布,则 P{X 16∣X 8}=_________ .880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (2) 设 第 17 页，共77页 X N ( 2 , 2 )   且 P { 0  X  2 } = 0 .3 ,则 P { X  0 } = _ _ _ _ _ _ _ (3) 设 X N ( , 2 ) , f ( x )   为 X 的概率密度,当 x = 1 时, f ( x ) 取得最大值 2 1 2 ,则  P { X  3 } = _________ .(用标准正态分布函数 (x) 表示). (4) 设自动机床在任何时长为 t 的时间间隔内发生故障的次数 X 服从参数为 t  的泊松分 布, Y 表示相 继两次故障之间的时间间隔,则当 t  0 时, P { Y  t} = _________ .880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (5) 设 第 18 页，共77页 X  N ( 0 ,1 ) ,则 Y = ∣ X ∣ 的概率密度 f (y)= _________ . Y (6) 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布, k 为大于零的常数,则 P { X  k + ∣1 X  k } = _________ . 三、解答题 (1) 设离散型随机变量 X 的分布律为 求: (I) X 的分布函数; (II) P  X  1 2  ; (III) P  − 1  X  2  .880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (2) 设连续型随机变量 X 的分布函数为 第 19 页，共77页 F ( x ) =  0 k 1 , 1 , + k 2 a r c s in x a , x − x  a  −  a a x , ,  a , 其中 a  0 . 求: (I) 常数 k 1 , k 2 的值; (II) X 的概率密度; (III) P  X  a 2  . (3) 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布,对 X 进行三次独立重复观察,至少有一次 观测值大于 3 的概率为 2 2 6 7 ,求  的值.880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (4) 设随机变量 第 20 页，共77页 X 的概率密度为 f ( x ) =  3 0 x , 2 , 0 其  他 x  , 1 , 求 Y = 1 X 的分布函数和概率密度. (5) 设随机变量 X 在 ( 0 ,1 ) 内服从均匀分布,求 Y = − 2 ln X 的概率密度. (6) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 ) ( x )    = + −   + ,求 Y = 1 − 3 X 的分布函 数和概率密度.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 综合题 一、选择题 (1) 设 第 21 页，共77页 f ( x ) 为随机变量 X 的概率密度,则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是( ). A. f ( 1 − x ) B. f  x 2  C. f ( x 2 ) D. f 2 ( x ) (2) 设 X 1 , X 2 , X 3 都服从正态分布,且 p i = P { − 2  X i  2  ( i = 1 , 2 , 3 ) X 1  N ( 0 ,1 ) , X 2  N ( 0 , 2 2 ) , X 3  N ( 5 , 3 2 ) , ,则 ( ) . A. p  p  p B. 3 1 2 p 1  p 3  p 2 C. p 1  p 2  p 3 D. p 2  p 1  p 3 (3) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ,若当 x   −   + 时,恒有 0  f ( x )  1 ,则 X 可能服从 ( ). A. N ( 1,2) B. N(,1) C. N ( ,2) D. N ( 0,2)880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 二、填空题 (1) 设随机变量 X N ( ,2)(0),(x ,y ) 为其分布函数曲线 0 0 第 22 页，共77页 y = F ( x ) 的拐点,则 x 0 = _ _ _ _ _ _ _ . y 0 = _ _ _ _ _ _ _ _ . (2) 设随机变量 X N ( , 2 )   ,其中 0 , F ( x )   为 X 的分布函数,则 F ( x ) F ( x )     − + + = _________ . (3) 设随机变量 X 服从泊松分布,且 PX =1=PX =2 ,则 P { X  1 } = .880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 (4) 在伯努利试验中,设事件发生的概率 第 23 页，共77页 p = 3 4 , X 表示事件首次发生所需的试验次数, n 为 正整数, 则 n 1 P  X 2 n    = = = _________ . (5) 设离散型随机变量 X 的分布律为 P  X = k  = a k ! e − 2 ( k = 0 ,1 , 2 , ) ,则常数 a = _________ . (6) 设 X N ( 0,2) ,X 在区间 (a,b) 内取值的概率最大,其中 a  0 ,则 2  = .880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 三、解答题 (1) 设随机变量 第 24 页，共77页 X 服从 2  = 的指数分布,求 Y = 1 − e − 2 X 的分布函数和概率密度. (2) 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ,求 Y = s in X 的分布函数和概率密度. (3) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) e 1 2 2 x , e 2 x2 , x x 0 0 , ,  =  − −   求 Y = X 2 的分布函数和概率 密度(可用(x)和  ( x ) 表示).880 · 概率 · 16.随机变量及其分布 拓展题 解答题 设随机变量 第 25 页，共77页 X 1− x, −1x1, 的概率密度为 f (x)= 求 0, 其他. Y = X 2 + 1 的分布函数和概率密度.880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 第十七章 多维随机变量及其分布 基础题 一、选择题 (1) 设二维随机变量 第 26 页，共77页 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ,则 P  X  x 0 , Y  y 0  = ( ) . A. 1+F(x ,y )−F(x ,+)−F(+,y ) B. 0 0 0 0 F ( x 0 , y 0 ) 1 F ( x 0 , ) F ( , y 0 )   − + + + + C. 1−F(x ,+)−F(+,y ) D. 0 0 1 − F ( x 0 , y 0 ) (2) 设两个相互独立的随机变量 X 与 Y 分别服从 N(0,1) 与 N(1,1) ,则 ( ) . 1 A. PX +Y 1= B. 2 P  X + Y  0  = 1 2 1 C. PX −Y 1= D. 2 P  X − Y  0  = 1 2 二、填空题 (1) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为 且事件 X =0 与  X + Y = 1  相互独立,则 a=______,b=______..880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (2) 设 第 27 页，共77页 X 与 Y 相互独立且均服从参数为  的指数分布,则 Z = m in  X , Y  的分布函数 F Z ( z ) = ________ . (3) 设随机变量 X , Y 均服从区间为  0 , 4  的均匀分布, P  m a x  X , Y   3  = 9 1 6 ,则 P{minX,Y3}=_________ . 三、解答题 (1) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为 (I) 求 2 X + Y , m a x  X , Y  , m in  X , Y  的分布律; (II) 求 P  m in  X , Y   0  ; (III) 问 X 与 Y 是否相互独立? 并说明理由.880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (2) 设二维随机变量 第 28 页，共77页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 0 2 , e x , 0 y x , ( 0 ) .    =  − 其  他   (I) 证明: Y 服从参数为  的指数分布; (II) 问 X 与 Y 是否相互独立? 并说明理由. (3) 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  1 0 , , 0 其  他 x  . 1 , − x  y  x , 求: (I) 边缘概率密度 f X ( x ) , fY ( y ) ; (II) 条件概率密度 f ∣X Y ( ∣x y ) , f ∣Y X ( ∣y x ) ; (III) P  x  1∣2 Y  0  .880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (4) 设二维随机变量 第 29 页，共77页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  k 0 e , − (4 x + 3 y ) , x 其  他 0 , . y  0 , 求: (I) 常数 k 的值,并判别 X 与 Y 是否相互独立,说明理由; (II) Z = X + Y 的概率密度 f Z ( z ) . (5) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度分别为 f X ( x ) 0 1 , e x1 , x x 0 0 , ,   fY ( y ) 0 2 , e 2 y , y y 0 0 , , =  −     =  −   其中 1 0 , 2 0     为常数,令 Z =  1 0 , , X X   Y Y , , 求 Z 的分布律和分布 函数.880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (6) 设二维随机变量 第 30 页，共77页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) x 0 e , y , 0 x . y ,  =  − 其  他   + 求: (I) X 与 Y 的边缘概率密度,并判别 X 与 Y 是否相互独立; (II) ( X , Y ) 的分布函数 F ( x , y ) ; (III) Z = X + Y 的概率密度 f Z ( z ) . (7) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为 f ( x ) =  2 2 x 0 , , x 其  他 2 , , 求 Z = X Y 的分布函数和概率密度.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (8) 设随机变量 第 31 页，共77页 X 和 Y 相互独立, X 在区间 ( 0 ,1 ) 内服从均匀分布, Y 的概率密度为 fY ( y ) =  1 20 e , − y2 , y y   0 0 , . (I) 求 ( X , Y ) 的联合概率密度; (II) 设 X 和 Y 满足关于 k 的二次方程, k 2 + 2 X k + Y = 0 ,求 k 有实根的概率. (9) 设 X 与 Y 相互独立, X 服从参数为 1 2 1 的指数分布, Y 服从参数为 的指数分 3 布,求 Z = X + Y 的 概率密度.880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (10) 设 第 32 页，共77页 ( X , Y ) 服从区域 G =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  1  上的均匀分布,求 Z = X Y 的分布函 数和概率密度. (11) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X N ( 0 , 2 ) , Y   服从  − a , a  ( a  0 ) 上的均匀分布,求 Z = X + Y 的概率密度 (可用  ( x ) 表示).880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (12) 设随机变量 第 33 页，共77页 X 与 Y 相互独立, X 服从 p = 0 .6 的 0 − 1 分布, Y 的分布函数为 F Y ( y ) =  1 0 − , e − y , y y   0 0 , , 记 Z = X − Y . 求:  1  (I) PZ − X =0 ;  2  (II) Z 的分布函数. 综合题 一、选择题 (1) 设随机变量 X 与 Y 独立同分布,均服从 P  X = k  = p ( 1 − p ) k − 1 ( k = 1 , 2 , ; 0  p  1 ) , 则 P  X Y  ( ) p 1− p 2p p A. B. C. D. 1− p 2− p 1− p 2− p880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (2) 设二维随机变量 第 34 页，共77页 ( X 1 , X 2 ) 的概率密度为 f1 ( x 1 , x 2 ) , Y 1 = 2 X 1 , Y 2 = 3 X 2 ,则 ( Y 1 , Y 2 ) 的概 率密度 f 2 ( y 1 , y 2 ) = ( ) A. f1 ( 2 y 1 , 3 y 2 ) B. f1  1 2 y 1 , 1 3 y 2  C. 1 2 f1 ( 2 y 1 , 3 y 2 ) D. 1 6 f1  1 2 y 1 , 1 3 y 2  (3) 设随机变量 X,Y 均服从 N ( 0 ,1 ) ,且 X 与 Y 相互独立,则 ( ) . A. P  X − Y  0  = 1 4 B. P  X + Y  0  = 1 4 1 C. P  minX,Y0  = D. 4 P  m a x  X , Y   0  = 1 4 (4) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X  N ( 0 ,1 ) .Y 的概率分布为 P  Y = 1  = 3 4 P  Y = 0  = 1 4 , ,记 Z = X Y ,则对于 Z 的分布函数 F ( z ) 有 ( ). 3 5 A. lim F(z)= , lim F(z)= B. z→0− 8 z→0+ 8 lim z → 0 − F ( z ) = lim z → 0 + F ( z ) = 1 2 1 3 C. lim F(z)= ,lim F(z)= D. z→0− 4 z→0+ 4 lim z → 0 − F ( z ) = 3 4 , lim z → 0 + F ( z ) = 5 8880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 二、填空题 (1) 设随机变量 第 35 页，共77页 X 与 Y 相互独立, X 服从二项分布 B  4 , 1 2  , Y 服从 =1 的泊松分布, 则概率 P { 1  m a x  X , Y   3 } = _______ . (2) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从参数为 1  = 的指数分布, Y 服从参数为 0.6 的 0 − 1 分布, 则 P  X + Y  1 .6  = _________ . (3) 设随机变量 X 与 Y 均服从 N ( 0 , 2 ) 1  ,且 PX 1,Y −1= ,则 4 P { X  1 , Y  − 1 } = _________ .880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 三、解答题 (1) 在区间 0,1 上随机地掷两点,求这两点间距离的概率密度. (2) 设二维随机变量 第 36 页，共77页 ( X , Y ) 在 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  1  上服从均匀分布,令 U =  0 1 , , X X   Y Y , , V =  0 1 , , X X   2 2 Y Y , , 求 ( U ,V ) 的联合分布律,并判别 U 与 V 是否相互独立.880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (3) 设随机变量 第 37 页，共77页 X 和 Y 都在  a , b  上服从均匀分布,且 X 与 Y 相互独立. 求: (I) Z 1 = m a x  X , Y  和 Z 2 = m in  X , Y  的概率密度; (II) (Z ,Z ) 的联合概率密度. 1 2 (4) 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 D =  ( x , y )∣ y  0 , x 2 + y 2  1  上的均匀分布,令 U =  0 1 2 , , , X 0 Y    0 X X ,  , Y , V =  0 1 , , X X   3 3 Y Y , . 求: (I) (U,V) 的联合概率分布; (II) P  U V  0  .880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 (5) 设 第 38 页，共77页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  1 40 ( , 1 + x y ) , x 其  他 1 , . y  1 , (I) 求 X 和 Y 的边缘概率密度,并判别 X 与 Y 是否相互独立; (II) 记 Z 1 = X 2 , Z 2 = Y 2 ,求 Z 1 , Z 2 的分布函数及 ( Z 1 , Z 2 ) 的联合分布函数. (6) 设随机变量 X k 的概率密度为 f (x)= (−x+) ,对 ex +e−x X 作两次独立观察, 1, x 1, 其观测 值分别记为 x ,x ,令 Y = i (i=1,2) . 求: 1 2 i 0, x i 1 (I) k 的值及 P  X 1  0 , X 2  1  ; (II) ( Y 1 , Y 2 ) 的概率分布.880 · 概率 · 17.多维随机变量及其分布 拓展题 解答题 (1) 设某手机一个月的需求量 第 39 页，共77页 X 是随机变量,其概率密度为 f ( x ) =  x 0 e , − x , x x   0 0 , . 记 k 个月 的需求总量为 Y k ,设各个月的需求量相互独立. (I) 求 Y 2 和 Y 3 的概率密度 f 2 ( x ) 与 f (x) ; 3 (II) 记连续三个月中的月最大需求量为 Y ,求 Y 的概率密度. (2) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率密度为 f X ( x ) =  1 0 , , 0 其  他 x  , 1 , Y的分布函数 为 F Y ( y ) ,令 Z =  Y X , , X X   1 21 2 , , 求 Z 的分布函数 F Z ( z ) .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 第十八章 随机变量的数字特征 基础题 一、选择题 (1) 设随机变量 第 40 页，共77页 X 服从参数为 2 的指数分布,则 Y = 2 X + e − 2 X 的期望 E Y = ( ) . 3 A. B. 2 2 3 C. 3 4 D. 4 3 (2) 设随机变量 X B(n,p) ,且 EX =2.4,DX =1.44 ,则 ( ) . A. n=8,p=0.6 B. n = 6 , p = 0 .4 C. n = 4 , p = 0 .5 D. n = 1 2 , p = 0 .1 (3) 设 E X 与 E ( X 2 ) 均存在,则 ( ) . A. E ( X 2 )  ( E X ) 2 B. E ( X 2 )  ( E X ) 2 C. E ( X 2 )  E X D. E ( X 2 )  E X公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (4) 设 第 41 页，共77页 ( X , Y ) 服从二维正态分布,则 U = X + Y 与 V = X − Y 不相关的充分必要条件是( ). A. E X = E Y B. E ( X 2 ) = E ( Y 2 ) C. E ( X 2 ) + ( E Y ) 2 = E ( Y 2 ) + ( E X ) 2 D. E ( X 2 ) + ( E X ) 2 = E ( Y 2 ) + ( E Y ) 2 (5) 设 X  N ( 0 ,1 ) , Y  N ( 1 , 4 ) ,且 xy 1  = ,则 ( ) . A. PY =2X +1=1 B. P  Y = − 2 X + 1  = 1 C. P  Y = − 2 X − 1  = 1 D. P  Y = 2 X − 1  = 1 (6) 设随机变量 X 在  − 1 ,1  上服从均匀分布, Y 1 = a r c s in X , Y 2 = a r c c o s X ,则 Y Y1 2  = ( ) . 1 3 A. 1 B. -1 C. D. 2 4880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (7) 设袋中有 6 只红球,4 只白球,任意摸出一只球,记住颜色后放回袋中,共进行 4 次,设 X 表示摸到 红球的次数,则 EX =( ) . 2 A. B. 5 第 42 页，共77页 8 5 C. 1 2 5 D. 4 8 5 二、填空题 (1) 一袋中有 N 个球,其中白球数目 X 是一个随机变量,且 E X = n ,从袋中任取一球,则 取得的球是白球的概率为_______. (2) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 1 e x 2 2 x 1 ( x )    = − + − −   + ,则 E ( X2) = _________ .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (3) 从 第 43 页，共77页 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取一数 X ,再从 1 , , X 中任取一数 Y ,则 E Y = _________ . (4) 设随机变量 X 的分布函数 F ( x ) = 0 .3   x − 2 4  + 0 .7   x + 3 1  ,其中  ( x ) 为标准正态 分布的分布函数,则 E X = _ _ _ _ _ . (5) 设 (X,Y)N ( ,,2,2, ) ,若 X +Y 与 1 2 2 X − 3 2 Y 不相关,则相关系数 = _________ .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (6) 设二维随机变量 第 44 页，共77页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  x 0 e , − x (1 + y ) , x 其  他 0 , , y  0 , 则 X  E X } = P { X  ∣2 _________ . 三、解答题 (1) 设 X 与 Y 的概率分布分别为 且 P  X2 =Y2 =1 . 求: (I) ( X , Y ) 的概率分布; (II) xy  .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (2) 设随机变量 第 45 页，共77页 X , Y , Z 满足 E X E Y 1 , E Z 1 .D X D Y D Z 1 , X Y 0 , X Z 1 2   = = = − = = = = = , Y Z 1 2  = − ,求 E(X +Y −2Z),D(X +Y +Z) . (3) 设 X 与 Y 相互独立,且均服从 N  1 , 1 2  ,求 D ( X − Y ) . (4) 设 X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 e x ( x )   = − −   + . (I) 求 E X 和 DX ; (II) 求 C o v ( X , X ) ,并判别 X 与 X 是否不相关; (III) 问 X 与 X 是否相互独立?880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (5) 设随机变量 第 46 页，共77页 X 与 Y 相互独立, P  Y = − 1  = 1 4 , P  Y = 1  = 3 4 , X  N ( 0 ,1 ) . 求: (I) Z = X Y 的概率密度; (II) Cov(Z,X) . (6) 设 X  N ( 1 ,1 ) , Y  N ( − 2 ,1 ) ,且 X 与 Y 相互独立. 求: (I) Z=2X +Y 的概率密度; (II) E ( 2 X + Y ) , D ( 2 X + Y ) .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (7) 设二维随机变量 第 47 页，共77页 ( X , Y ) 服从区域 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  上的均匀分布. 求: (I) Z =X +Y 的概率密度; (II) E ( Z 2 ) . (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P  X = 0  = P  X = 1  = 1 2 , Y 在  0 ,1  上服从 均匀分布.求: (I) Z =X +Y 的分布函数和概率密度; (II) 相关系数 xz  .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 综合题 一、选择题 (1) 设对任意两个随机变量 第 48 页，共77页 X 与 Y ,有 E ( X Y ) = E X  E Y ,则 ( ) . A. X 与 Y 相互独立 B. X 与 Y 不相互独立 C. D(X +Y)=DX +DY D. D ( X Y ) = D X  D Y (2) 设 X  N ( 0 ,1 ) , Y = X 2 + X + 1 ,则 X 与 Y ( ) . A. 相关且相互不独立 B. 相关且相互独立 C. 不相关且相互独立 D. 不相关且相互不独立 (3) 设随机变量 X 与 Y 相关,相关系数为 X Y , Z a X b ( a , b )  = + 为 常 数 ,则 Y Z X Y   = 的 充分必要条件为 ( ) . A. a0 B. a0 C. a0 D. a = 1880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (4) 设随机变量 第 49 页，共77页 X 在 0 , 2    上服从均匀分布, U = s in X ,V = c o s X ,则 U 与 V 的相关 系数 U V  为 ( ) . A.  =0 B. UV U V 1  = C. 0 U V 1    D. 1 U V 0  −   (5) 设随机变量 X 服从参数为 ( 0 )   的泊松分布, Y 服从参数为 1 的指数分布,则  X Y 1  = 的充分必要条件是 ( ). A. C o v ( X + Y , X ) = 0 B. Cov(X −Y,X)=0 C. C o v ( X + Y , Y ) = 0 D. C o v ( X − Y , X + Y ) = 0 二、填空题 (1) 设随机变量 X 的概率分布为 P  X = k  = C k ! ( k = 0 ,1 , 2 , ) ,则 E ( X 2 ) = _________ .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (2) 设随机变量 第 50 页，共77页 X 在 ( 0 , a ) ( a  1 2 ) 上服从均匀分布,则 X 位于 E X 与 D X 之间的概 率为_________ . (3) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布,且有相同的概率密度,则概率 P  X n  m in  X 1 , X 2 , , X n − 1   = _________ . (4) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 )  = + ,则 E ( m in  x ,1  ) = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (5) 设 15000 件产品中有 1000 件次品,从中任取 150 件进行检测,则检测到次品数 X 的 期望 EX =_________ . (6) 设随机变量 第 51 页，共77页 X 的分布函数为 F ( x ) ,记 Y =  − 0 1 1 , , , x x x  =  0 0 0 , , , 则 E ( Y 2 ) = _________ . (7) 设 X  N ( 1 , 2 ) , Y  N ( 0 ,1 ) ,且 X 与 Y 相互独立,则 Z =2X −Y +3 的概率密度 f (z)= _________ . Z880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (8) 设 第 52 页，共77页 ( X , Y )  N ( 1 ,1 , 2 , 2 ; 0 ) ,U = X + 2 Y ,V = X − 2 Y ,则 U V  = _________ . (9) 设二维随机变量 (X,Y)N(1,1;2,4;0) ,则 D(XY)= _________ . 三、解答题 (1) 在区间 (0,1) 内随机取 n 个数 X 1 , X 2 , , X n . (I) 求最大数与最小数之间距离 d 的数学期望; (II) 若用 Y 2 表示 n 个数中大于 的个数,求 EY 和 DY . 3880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (2) 设 第 53 页，共77页 X 1 , X 2 , , X n ( n  2 ) 为独立同分布的随机变量,且均服从 Y i = X i − X ( i = 1 , 2 , , n ) N ( 0 ,1 ) , ,其中 X = 1 n n i= 1 X i .求: (I) D Y i ( i = 1 , 2 , , n ) ; (II) Y Y1 n  . (3) 设随机试验 E 1 有三种两两不相容的结果 A,A ,A ,且三种结果发生的概率均为 ,将 1 2 3 3 试验 E 独立重复做 2 次, X 表示 2 次试验中结果 A 1 发生的次数, Y 表示 2 次试验中 结果 A 2 发生的次数. 求: (I) ( X , Y ) 的联合分布律; (II) X Y  .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (4) 设随机变量 第 54 页，共77页 X 1 , X 2 , X 3 相互独立,且均服从参数为  的指数分布,记 Y = m in  X 1 , X 2  , T = m a x  Y , X 3  . 求: (I) Y 的概率密度 f (y) ; Y (II) 期望 E T . (5) 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立同分布,其相同的概率密度为 f ( x ) 2 0 e , 2 ( x ) , x x , ( ) ,     =  − −   为 常 数 求 Z = m1  in i n  X i 的数学期望.880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (6) 设 第 55 页，共77页 X 1 与 X 相互独立, 2 X i  B ( i , p ) ( i = 1 , 2 ; 0  p  1 ) . 令 Y 2 =  0 1 , , X X 2 2 − − X X 1 1 =  2 2 , . Y 1 =  0 1 , , X X 1 1 + + X X 2 2 =  1 1 , , (I) 求 C o v ( Y 1 , Y 2 ) ; (II) 确定 p 的值,使 Cov(Y,Y ) 取值最小. 1 2 (7) 设袋中有红球 16 个、黄球 3 个、白球 1 个 (设球的大小相同), 从袋中任取一球, 记 X i =  1 0 , , 取 其 到 他 第 . i 种 颜 色 的 球 ( i = 1 红, ;i = 2 黄, ;i = 3 白, ) , 求: (I) (X ,X ) 的联合概率分布; 1 2 (II) C o v ( X 1 , X 2 ) .880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (8) 设 第 56 页，共77页 X 与 Y 相互独立,且均服从 N ( , 2 )  ,求 E ( m a x  X , Y  ) . 拓展题 解答题 (1) 设随机变量 X 1 与 X 相互独立,且 X B(1,p),X B(2,p) ,其中 2 1 2 0  p  1 ,令 Y 1 = 2 X 1 + X 2 , Y 2 = X 1 − X 2 . (I) 求相关系数  ; YY 12 (II) 问 Y 1 与 Y 2 是否相互独立? 并说明理由.880 · 概率 · 18.随机变量的数字特征 (2) 设 第 57 页，共77页 X 是连续型随机变量,且 P  X  a  = P { X  b } = 1 4 ,令 X 2 =  − 1 1 , , X X   b b , . X 1 =  − 1 1 , , X X   a a , , 求: (I) ( X 1 , X 2 ) 的联合分布及边缘分布; (II) Cov(X ,X ),D(X −X ) . 1 2 1 2880 · 概率 · 19.大数定律与中心极限定理 第十九章 大数定律与中心极限定理 基础题 一、选择题 (1) 设 第 58 页，共77页 X 1 , X 2 , , X n 是总体 X 的简单随机样本,且 E ( X k ) = a k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,根据中心极 1 n 限定理, 当 n 充分大时, Y = X2 近似服从 ( ). n n i i=1 A. N  a 2 , a 4 − n a 22  B. N ( a 2 , a 4 − a 22 )  a −a2  C. Na , 4 2  D.  1 n    N ( a 2 , a 22 ) (2) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立,记 Y n = X 1 + X 2 + + X n ,根据列维-林德伯格中心 极限 定理, Y 近似服从正态分布 n ( n 充 分 大 ) ,则只要 X ,X , ,X ( ) . 1 2 n A. 服从同一离散型分布 B. 服从同一连续型分布 C. 服从同一指数分布 D. 具有相同的期望与方差880 · 概率 · 19.大数定律与中心极限定理 (3) 设 第 59 页，共77页 X 1 , X 2 , , X n 是独立同分布的随机变量序列,且 E ( X 2i )   + ,则对任意有 ( ) . A. limP    1  n X2    =0 B. limP    1  n X2 −E ( X2)    =0 n→  n i=1 i  n→  n i=1 i i  C. limP    1  n X2 −E ( X2)    =1 D. n→  n i=1 i i  lim n P 1 n n i 1 X 2i 0   →   =   = 二、填空题 (1) 设随机变量 X i 服从二项分布 B ( i , 0 , 2 ) ( i = 1 , 2 , ,1 0 ) ,且 X 1 , X 2 , , X 1 0 相互独立,则根  10  据切比雪夫不等式,有 P6X 16_________ . i  i=1  (2) 设 X 与 Y 满足: E X 2 , E Y 2 , D X 1 , D Y 4 , X Y 1 2  = − = = = = − ,则根据切比雪夫不等式, 有_________ .880 · 概率 · 19.大数定律与中心极限定理 (3) 设 第 60 页，共77页 X 在区间  − 1 , b  上服从均匀分布,由切比雪夫不等式有 P { X 1 } 2 3  −   ,则 b _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ .  = = (4) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n  1 相互独立,且均服从 B 1, . 若存在常数    2 k ,使得 lim n P k n i 1 ( X 2 i n X 2 i 1 ) x ( x ) ,  →   = − −   =  其中  ( x ) 为 N ( 0 ,1 ) 的分布函数,则 k = _________ . 三、解答题 (1) 设一条生产线的合格率为 0.8 ,要使一批产品的合格率在 7 6 % 与 84% 之间的概率不 小于 90% ,问这批产品至少要生产多少件?公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 19.大数定律与中心极限定理 (2) 设随机变量 第 61 页，共77页 X 的概率密度为 f ( x ) =  x 0 n e n , − ! x , x 其  他 0 , ( n 为 正 整 数 ) , 利用切比雪夫不等式证 明: P { 0  X  2 ( n + 1 )}  n n + 1 . (3) 设随机变量序列 X 1 , X 2 , , X n 独立, X i 的分布律为 其中 i = 1 , 2 , , n  1 n   ,利用大数定律,证明: limP X =0 . n→  n i=1 i 880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 第二十章 数理统计的基本概念 基础题 一、选择题 (1) 设 第 62 页，共77页 ( X 1 , X 2 , X 3 ) 为总体 X N ( 0 , 2 )   的简单随机样本,则统计量 U = X 1 2 − X X 3 2 服从的 分布为 ( ) . A. t(1) B. t ( 2 ) C. F ( 1 ,1 ) D. F ( 2 ,1 ) (2) 设随机变量 X , Y 均服从 N ( 0 ,1 ) ,则 ( ) . A. X +Y 服从正态分布 B. X 2 + Y 2 服从 2  分布 X2 C. 服从 F 分布 D. X2 与 Y2 均服从 Y2 2  分布 (3) 设总体 X N ( ,2) ,(X ,X , ,X ) 为总体 X 的简单随机样本, X = 1  16 X ,且 1 2 16 16 i i=1 P∣{ X −∣k}=P∣{ X −∣4}, 则 k =( ) A. 4 B. 4 C. 16 D. 16880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 (4) 设 第 63 页，共77页 ( X 1 , X 2 , , X 1 0 ) 是来自总体 X  N ( 0 ,1 ) 的简单随机样本,则统计量 T = 1 4  4 i= 1 X i  2 + 1 6  1 0 i= 5 X i  2 服从的分布为 ( ) . A. N ( 0 , 2 ) B. 2 ( 1 0 )  C. 2 ( 2 )  D. N ( 0 ,1 0 ) 二、填空题 (1) 从总体X N ( 3.4,62) 中抽取样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) , X = 1 n n i= 1 X i ,若X 位于 ( 1 .4 , 5 .4 ) 内的概率 不小于 0.95,则样本容量 n 至少应取______(已知 (1.96)=0.975 ) (2) 设总体 N ( , 4 2 )  的简单随机样本为 ( X 1 , X 2 , , X 1 0 ) ,样本方差为 S 2 ,已知 P  S2 a  =0.1,则 a _ _ _ _ _ _ _ .( 20 ,1 ( 9 ) 1 4 .6 8 4   已 知 = ,上侧分位数)880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 (3) 设随机变量 第 64 页，共77页 X  F ( n , n ) ,且 P { X  a } = 0 .0 5 ,则 P  X  1 a  = _________ . (4) 设 X  t ( n ) , Y  F ( 1 , n ) ,给定 ( 0 0 .5 )     ,常数 k 满足 P { X k }   = ,则 P { Y  k 2 } = _________ . 三、解答题 (1) 设 ( X 1 , X 2 , , X 9 ) 为总体 X  N ( 0 , 2 2 ) 的简单随机样本,若 a , b , c 使 X = a ( X 1 + X 2 ) 2 + b ( X 3 + X 4 + X 5 ) 2 + c ( X 6 + X 7 + X 8 + X 9 ) 2 服从 2  分布,求 a , b , c 的值 及 2 分布的自由度.880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 (2) 设总体 第 65 页，共77页 X N ( 0 , 2 ) , ( X 1 , X 2 , , X 1 0 )   为 X 的简单随机样本,求下列统计量的分布. 7 (X +X +X )2 (I) T =  1 2 3 ; (II) 1 3 X2 + +X2 4 10 T 2 = 7 3  X X 1 + 24 + X 2 + + X X 3 21 0 ; 7 X2 +X2 +X2 (III) T =  1 2 3 . 3 3 X2 + +X2 4 10 综合题 一、选择题 (1) 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X N ( 0 , 2 )   的简单随机样本, S 21 = n i= 1 ( X i − X ) 2 , X = 1 n n i= 1 X i , 则下列选项服从 t ( n − 1 ) 分布的统计量为 ( ) . nX A. B. n−1S 1 n − n 1 S X 1 C. n ( n S − 1 1 ) X D. n ( n X − 1 ) S 1880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 (2) 设 第 66 页，共77页 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X 的简单随机样本, X = 1 n n i= 1 X i ,则 E ( X 2 ) 的矩估计量 为 ( ) . A. X 2 + 1  n ( X −X )2 B. n i i=1 X 2 + n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 C. 1  n ( X −X )2 D. n−1 i i=1 1 n n i= 1 ( X i − X ) 2 (3) 设总体 X 与总体 Y 相互独立,且都服从 N ( , 2 ) , X  与 Y 分别为来自总体 X , Y 的样本均值,样本 容量均为 n ,则当 n 固定时, P { X Y }  −  的值随着  增大而 ( ). A. 单调增加 B. 单调减少 C. 保持不变 D. 增减性不确定 二、填空题 (1) 设 ( X , Y ) N ( 1 , 2 ; 2 , 2 ; 0 ) , X 1 , X 2 , , X n1 ( n 1 1 )       和 Y,Y , ,Y (n 1) 分别为来自 1 2 n 2 2 总体 X 与 Y 的简单随机样本, X 与 Y 分别为其样本均值,且 T = n 1 + 1 n 2 − 2  n1 i= 1 ( X i − X ) 2 + n 2 j= 1 ( Y j − Y ) 2  ,则方差 D ( T ) = _ _ _ _ _ .880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 (2) 设 第 67 页，共77页 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 N ( 0 ,1 ) 的简单随机样本, X 为样本均值, S 2 为样本方 差, T 2 = n ( X − S ) 2 ,则 E ( T 2 ) = 三、解答题 (1) 设总体 X  N ( 0 ,1 ) , ( X 1 , X 2 , , X 2 n ) 为 X 的简单随机样本,求下列统计量的分布. 1 2n n (I) T = X2 +X X ; (II) 1 2 i 2i−1 2i i=1 i=1 T 2 = 2 n − 2 n i= 2 1 X X 2i 1 ; (III) T 3 = ( 2 n ) − 3 2 n  3 i= 4 3 i= 1 2 X i X 2i .880 · 概率 · 20.数理统计的基本概念 (2) 设随机变量 第 68 页，共77页 X 1 , X 2 , X 3 相互独立且均服从 N ( 0 , 2 )  ,证明: T = 2 3 X 1 + X 2 X − 2 + X 3 X 3 服从 t ( 1 ) 分布. (3) 设 ( X 1 , X 2 , , X n , X n + 1 ) 为总体 X N ( , 2 )   的简单随机样本,记 X = 1 n n i= 1 X i , S 2 n 1 1 n i 1 ( X i X ) 2 , Y ( n n 1 ) 2 ( X n 1 X ) 2 , T k ( X n 1 S 2 X ) 2 .  = −  = − = +  + − = + − (I) 求 E Y 和 D Y ; (II) 若 T 服从 F 分布,求 k 的值.880 · 概率 · 21.参数估计 第二十一章 参数估计 基础题 解答题 (1) 设 第 69 页，共77页 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本, E X , D X 2   = = ,若 ˆ k n i 1 1 ( X i 1 X i ) 2  =  − = + − 满足 E ˆ =2 ,求 k 的值. (2) 设总体 X 的概率分布为 已知容量为 3 的样本值为 x =1,x =2,x =1 ,求  的矩估计值和最大似然估计值. 1 2 3880 · 概率 · 21.参数估计 (3) 设总体 第 70 页，共77页 X 的概率密度为 f ( x ; ) 0 , x ln , x x 0 0 , ( 0 1 ) , ( X 1 , X 2 , , X n )     =  −     为总体 X 的简单随机样本,求  的矩估计量. (4) 设总体 X 的概率密度为 f ( x ; ) 0 , x 1 , 0 x , 1 ,    =   − 其  他  其中 0 为未知参数, ( x 1 , x 2 , , x n ) 为 X 的简单随机样本值. 求: (I)  的矩估计值; (II)  的最大似然估计值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取880 · 概率 · 21.参数估计 (5) 设总体 第 71 页，共77页 X 的概率密度为 f ( x ; ) 1 0 , , 0 x , ,    =  其  他  其中 0   为未知参数, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 X 的简单随机样本. 求: (I)  的最大似然估计量 ˆ  ; (II) E (  ˆ) 和 D (  ˆ) . (6) 某射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为 p  0 ,设他在第 X 次射击时首次击 中目标,以 X 为总体, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 X 的简单随机样本. 求: (I) X 的概率分布; (II) 参数 p 的矩估计量和最大似然估计量.880 · 概率 · 21.参数估计 (7) 设 第 72 页，共77页 ( X 1 , X 2 , , X 1 0 ) 为总体 X N ( 0 , 2 )   的简单随机样本, 0 为未知参数. (I) 求 2  的最大似然估计量 ˆ 2  ; 6 10 (II) 若记 U =X ,V =X ,利用最大似然估计量 i i i=1 i=5 ˆ 2  求相关系数 U V  .  (lnx−)2 1 −  e 2 , x0, (8) 设总体 X 的概率密度函数为 f (x)= 2 (X 1 ,X 2 , ,X n ) 为总体 X  0, x0, 的简单随机样本. (I) 求  的最大似然估计量 ˆ  ; (II) 记 Y = ln X ,求 Y 的分布函数和 E ˆ  .880 · 概率 · 21.参数估计 (9) 设总体 第 73 页，共77页 X  B ( 1 , p ) ,参数 p   1 4 , 3 4  ,样本容量为 1,求 p 的最大似然估计值. (10) 设总体 X 在 1 2 , 1 2    − +  上服从均匀分布,  为未知参数, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为总 体 X 的样 本,求  的矩估计量 ˆ1  和最大似然估计量 ˆ2  .880 · 概率 · 21.参数估计 (11) 设总体 第 74 页，共77页 X N ( , 2 ) , , 2    为未知参数, ( x 1 , x 2 , , x n ) 为总体 X 的简单随机样本值, 求 ,2 的最大似然估计量. (12) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 e x ( x ) ,     = − − −   + 为未知参数,试根据样本 值 1028,968,1007 ,求  的矩估计值和最大似然估计值.880 · 概率 · 21.参数估计 (13) 设 第 75 页，共77页 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 e x , x , 0 .     = − −   +  求参数  的矩估计量 ˆ  及 E ( ˆ 2 )  . 综合题 解答题 (1) 设二维随机变量 ( X , Y ) x2+y2 1 − 的概率密度为 f (x,y)= e 22 ,(x,y)R2,0.记 22 Z = X 2 + Y 2 . (I) 求 Z 的概率密度 f (z) ; Z (II) 若 Z 1 , Z 2 , , Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本,求 2  的最大似然估计量 2  ,并求 E ( ˆ 2 )  .880 · 概率 · 21.参数估计 (2) 设 第 76 页，共77页 T 是连续型随机变量, P  T a  , P { T b }    =  = ,其中 0 , 1 2 , a b      . 令 X =  − 1 1 , , T T   a a , , Y =  − 1 1 , , T T   b b , . (I) 求 ( X , Y ) 的概率分布及 Z = X + Y 的概率分布; (II) 若  为未知参数,则利用总体 Z 的样本值 −2,0,0,0,2,2 求  的矩估计值与最大似 然估计值. (3) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, Y 的分布律为 P  Y = − 1  = P  Y = 1  = 1 2 , X 的概率密 x 度 f (x) 满足 f(x)+ f (x)=0(0) . 记 2 Z = X Y . (I) 求 Z 的分布函数和概率密度; (II) 设 Z 1 , Z 2 , , Z n 为总体 Z 的简单随机样本,求 2  的最大似然估计量.880 · 概率 · 21.参数估计 拓展题 解答题 (1) 设总体 第 77 页，共77页 X 的概率密度为 f ( x ; 1 , 2 ) 1 2 e x 2 1 , 1 x , 2 0 ,         = − − −    +  ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 X 的简单随机样本. (I) 当 1  已知时,求 2  的矩估计量和最大似然估计量; (II) 求 1 , 2  的矩估计量和最大似然估计量. (2) 设相互独立的随机变量 X ,X , ,X 均服从 N ( ,2) , 1 2 n Y 1 n n i 1 Y i , Y i X i ( i 1 , 2 , , n ) .  =  = = − = (I) 求 Y 1 的概率密度; (II) 利用一阶矩求  的矩估计量; (III) 求 E Y 和 D Y .