2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征（含解析）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_三轮复习_通用版2023届高考数学三轮冲刺卷（含解析）

2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征 一、选择题（共20小题；） 1. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 () A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 2. 已知随机变量 ξ 满足下列分布列，当 p∈(0,1) 且不断增大时 () ξ 0 1 2 P (1−p) 2 2p(1−p) p2 A. E(ξ) 增大，D(ξ) 增大 B. E(ξ) 减小，D(ξ) 减小 C. E(ξ) 增大，D(ξ) 先增大后减小 D. E(ξ) 增大，D(ξ) 先减小后增大 3. 甲、乙两自动车床生产同种标准件，X 表示甲机床生产 1000 件产品中的次品数，Y 表示乙机 床生产 1000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y 的分布列分别是 X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 ¿ P 0.7 0.1 0.1 0.1 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判断 () A. 甲比乙质量好 B. 乙比甲质量好 C. 甲比乙质量相同 D. 无法判定 4. 设 X 是一个随机变量，若 D(10X)=10，则 D(X)= () 1 A. B. 1 C. 10 D. 100 10 5. 已知随机变量 X 满足 E(1−X)=5，D(1−X)=5，则下列说法正确的是 () A. E(X)=−5，D(X)=5 B. E(X)=−4，D(X)=−4 C. E(X)=−5，D(X)=−5 D. E(X)=−4，D(X)=5 6. 如果 X 是离散型随机变量，E(X)=6，D(X)=0.5，X =2X−5，那么 E(X ) 和 D(X ) 分 1 1 1 别是 () A. E(X )=12，D(X )=1 B. E(X )=7，D(X )=1 1 1 1 1 C. E(X )=12，D(X )=2 D. E(X )=7，D(X )=2 1 1 1 1 7. 从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动． 设所选 3 人中女生人数为 ξ，则均值 E(ξ) 等于 () 4 7 A. B. 1 C. D. 2 5 5 8. 已知离散型随机变量 ξ∼B(20,0.9)，若随机变量 η=5ξ，则 η 的数学期望 Eη 的值为 () A. 100 B. 90 C. 18 D. 4.59. 若随机变量 ξ 的分布列如下表所示，E(ξ)=1.6，则 a−b= () ξ 0 1 2 3 p 0.1 a b 0.1 A. 0.2 B. −0.2 C. 0.8 D. −0.8 10. 已知随机变量 X 满足 E(2X+3)=7，D(2X+3)=16，则下列选项正确的是 () 7 13 A. E(X)= ，D(X)= B. E(X)=2，D(X)=4 2 2 7 C. E(X)=2，D(X)=8 D. E(X)= ，D(X)=8 4 1 11. 已知随机变量 ξ 满足 P(ξ =1)=p，P(ξ =0)=1−p，i=1,2．若 0

D(ξ ) 1 2 1 2 C. E(ξ )>E(ξ )，D(ξ )E(ξ )，D(ξ )>D(ξ ) 1 2 1 2 12. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这 个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各猜 1 次，得分之和 X（单位：分）的均值为 () A. 0.9 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.1 13. 已知随机变量 ξ，η 满足 η=−2ξ+5，若 E(ξ)=3，D(ξ)=2，则 () A. E(η)=−1，D(η)=8 B. E(η)=−1，D(η)=−4 C. E(η)=3，D(η)=2 D. E(η)=−3，D(η)=1 14. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记 下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相 同，每次抽取相对独立，则方差 D(X)= () 2 3 A. 2 B. 1 C. D. 3 4 15. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，命中后的剩余 子弹数目 ξ 的期望为 () A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4 16. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)0，q>0，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ p q P q p 4 若 E(ξ)= ，则 p2+q2= () 9 4 1 5 A. B. C. D. 1 9 2 9 19. 已知随机变量 ξ+η=8，若 ξ∼B(10,0.6)，则 Eη，Dη 分别是 () A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6 20. 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6， 且此人是否游览哪个景点互不影响，设 X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的 景点数之差的绝对值，则 E(X) 等于 () A. 1.48 B. 0.76 C. 0.24 D. 1 二、填空题（共5小题；） 21. 已知 X 是离散型随机变量， E(X)=6，D(X)=0.5， X =2X−5，那么 E(X )= 1 1 ，D(X )= ． 1 22. 中国福利彩票 3D 游戏（以下简称 3D），是以一个 3 位自然数（如：0 记作 000）为投注 号码的彩票，投注者从 000∼999 这些 3 位自然数中选择一个进行投注，每注 2 元，如果 与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金 1000 元，反之则获得奖金 0 元，某人随 机投了一注，他的奖金的期望是 元． 23. 已知随机变量 X 的概率分布如下： X 0 2 4 6 P 0.1 0.3 2a a 那么 a= ，EX= ． 24. 设离散型随机变量 ξ 的可能取值为 1，2，3，4，P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4)，又 ξ 的数学 期望 E(ξ)=3，则 a+b= ． 25. 一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 7 个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为 ；若从袋中任意摸出 3 个球，记 9 得到白球的个数为 ξ，则随机变量 ξ 的均值 E(ξ)= ． 三、解答题（共5小题；）26. 为了响应教育部颁布的 《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课 程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出 唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．如图中，已知课程 A，B，C，D，E 为人 文类课程，课程 F，G，H 为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采 取分层抽样方法从全校抽取 1% 的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）． （1）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少? （2）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽 取 4 名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人 1500 元， 选择课程G的同学参加，费用为每人 2000 元． （i）设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程G的人数，求随机变量 X 的分布列； （ii）设随机变量 Y 表示选出的 4 名同学参加科学营的费用总和，求随机变量 Y 的期望． 27. A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 A，B 两组随几各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙． （1）求甲的康复时间不少于 14 天的概率． （2）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率． （3）当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明） 1 28. 已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为 ．为了研究连续服用该药物后出 3 现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假 设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关． （1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率； （2）如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验 至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为 η，求 η 的期望． 29. 如图，某工人的住所在 A 处，上班的企业在 D 处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路 线可供选择：环城南路经过路口 C，环城北路经过路口 F，中间路线经过路口 G．如果开车1 1 1 1 1 到 B，C，E，F，G 五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为 ， ， ， ， ，此外再 5 2 4 3 6 无别的路口会遇到红灯． （1）为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线? （2）对于（1）中所选择的路线，求其堵车次数的方差． 30. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门 从某地区（人数众多）随机选取了 80 位患者和 100 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行 检测，结果如下： 患者的检测结果 人数 阳性 76 阴性 4 非患者的检测结果 人数 阳性 1 阴性 99 （1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取 3 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 X 的分布列和数学期望； （3）假设该地区有 10 万人，患病率为 0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测 一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 0.5?并说明理由答案 1. B 【解析】E(X)=1000×0.9×0+1000×0.1×2=200． 2. C 【解析】由题意可知，随机变量 ξ 满足二项分布，即 ξ∼B(2,p)， 易得 E(ξ)=2p，D(ξ)=2p(1−p)， 所以当 00.5，故 p=0.6． 17. B 【解析】试验次数 ξ 的可能取值为 1，2，3， 2 1 2 2 1 1 (2 1)1 P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，P(ξ=3)= × × + ． 3 3 3 9 3 3 3 3 9 所以 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 2 2 1 P 3 9 9 2 2 1 13 所以 E(ξ)=1× +2× +3× = ． 3 9 9 9 18. C 19. B 20. A 【解析】X 的可能取值为 1，3，X=3 表示这三个景点都游览了或都没有游览， 所以 P(X=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24，P(X=1)=1−0.24=0.76，所以 X 的分布列为 X 1 3 P 0.76 0.24 所以 E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48．故选A． 21. 7，2 22. 1 23. 0.2，3.4 1 24. 10 3 25. 5， 2 C2 7 【解析】设袋中的白球个数为 x，则有 1− 10−x = ， C2 9 10 即 (10−x)(9−x)=20=5×4， 由此解得 x=5． ξ 的所有可能取值分别为 0，1，2，3， C3 1 且 P(ξ=0)= 5 = ， C3 12 10 C1 ⋅C2 5 P(ξ=1)= 5 5= ， C3 12 10 C2 ⋅C1 5 P(ξ=2)= 5 5= ， C3 12 10 C3 1 P(ξ=3)= 5 = ， C3 12 10 1 5 5 1 3 因此 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = ． 12 12 12 12 2 26. （1） 选择人文类课程的人数为 (100+200+400+200+300)×1%=12（人）； 选择自然科学类课程的人数为 (300+200+300)×1%=8（人）． （2） （i）依题意，随机变量 X 可取 0，1，2． C4C0 3 C3C1 4 C2C2 3 P(X=0)= 6 2= ，P(X=1)= 6 2= ，P(X=2)= 6 2= ． C4 14 C4 7 C4 14 8 8 8 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 3 P 14 7 14（ii）法 1：依题意，随机变量 Y =2000X+1500(4−X)=6000+500X， 所以随机变量 Y 的数学期望为 E(Y)= 6000+500E(X) ( 3 4 3 ) = 6000+500 0× +1× +2× 14 7 14 = 6500. （ii）法 2：依题意，随机变量 Y 可取 6000，6500，7000． 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 6000 6500 7000 3 4 3 P 14 7 14 所以随机变量 Y 的数学期望为 3 4 3 E(Y)= 6000× +6500× +7000× 14 7 14 = 6500. 27. （1） 设“甲康复的时间不少于 14 天”为事件 A． 由“从 A，B 两组随机地各选 1 人”，可认为基本事件数为 7×7=49，其中满足“甲康复的时间 3×7 3 不少于 14 天”的基本事件数为 3×7=21，所以 P(A)= = ． 7×7 7 （2） 设事件 A 为“甲是 A 组第 i 个人”，事件 B 为“乙是 B 组第 i 个人”， i i i=1,2,⋯,7． 由题知，当甲是从 A 组中康复时间为 10，11 两人中选或乙是从 B 组中康复时间为 17，25 两人 中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从 A 组中康复时间为 12，13，14， 15，16 五人中选取，且乙是从 B 组中康复时间为 12，13，14，15，16 五人中选取， 可认为基本事件数为 5×5=25，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为 10． 5 5 10 10 设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此 P(C)= × × = . 7 7 25 49 （3） a=11 或 18； 28. （1） 方法一：设持续 i 天为事件 A ，i=1,2,3,4， i 用药持续最多一个周期为事件 B， 1 1 2 2 1 (2) 2 4 1 (2) 3 8 所以 P(A )= ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，P(A )= × = ， 1 3 2 3 3 9 3 3 3 27 4 3 3 81 65 则 P(B)=P(A )+P(A )+P(A )+P(A )= ． 1 2 3 4 81 方法二：设用药持续最多一个周期为事件 B，则 B 为用药超过一个周期， (2) 4 16 所以 P(B)= = ， 3 81 (2) 4 65 所以 P(B)=1− = ． 3 81 （2） 因为随机变量 η 可取 1，2，所以 P(η=1)=C3(1) 3 (2) 1 + (1) 4 = 1 ，P(η=2)=1− 1 = 8 ， 4 3 3 3 9 9 9 1 8 17 所以 E(η)=1× +2× = ． 9 9 9 29. （1） 设这位个人选择行驶路线：A−B−C−D，A−F−E−D，A−B−G−E−D 时堵车的 次数分别为 X ，X ，X ， 1 2 3 则 X ，X 的可能取值均为 0，1，2， 1 2 X 的可能取值为 0，1，2，3． 3 4 1 2 P(X =0)= × = ， 1 5 2 5 1 1 4 1 1 P(X =1)= × + × = ， 1 5 2 5 2 2 1 1 1 P(X =2)= × = ． 1 5 2 10 2 1 1 7 所以 E(X )=0× +1× +2× = ． 1 5 2 10 10 2 3 1 P(X =0)= × = ， 2 3 4 2 1 3 2 1 5 P(X =1)= × + × = ， 2 3 4 3 4 12 1 1 1 P(X =2)= × = ． 2 3 4 12 1 5 1 7 所以 E(X )=0× +1× +2× = ． 2 2 12 12 12 4 5 3 1 P(X =0)= × × = ， 3 5 6 4 2 1 5 3 4 1 3 4 5 1 47 P(X =1)= × × + × × + × × = ， 3 5 6 4 5 6 4 5 6 4 120 4 1 1 1 5 1 1 1 3 1 P(X =2)= × × + × × + × × = ， 3 5 6 4 5 6 4 5 6 4 10 1 1 1 1 P(X =3)= × × = ， 3 5 6 4 120 1 47 1 1 37 所以 E(X )=0× +1× +2× +3× = ． 3 2 120 10 120 60 综上，E(X ) 最小， 2 所以这位工人应该选择行驶路线 A−F−E−D． （2） 由（1）知， 7 1 E(X )= ，P(X =0)= ， 2 12 2 2 5 1 P(X =1)= ，P(X =2)= ， 2 12 2 12则 ( 7 ) 2 1 ( 7 ) 2 5 ( 7 ) 2 1 D(X ) = 0− × + 1− × + 2− × 2 12 2 12 12 12 12 ¿ ¿ 59 所以该条行驶路线堵车次数的方差为 ． 144 30. （1） 由题意知，80 位患者中有 76 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性． 76 19 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 = ． 80 20 19 （2） 由题意可知 X−B(n,p)，其中 n=3，p= ． 20 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3． P(X=0)=C0(19) 0 × ( 1 ) 3 = 1 ， 3 20 20 8000 P(X=1)=C1(19) 1 × ( 1 ) 2 = 57 ， 3 20 20 8000 P(X=2)=C2(19) 2 × ( 1 ) 1 = 1083 ， 3 20 20 8000 P(X=3)=C3(19) 3 × ( 1 ) 0 = 6859 ． 3 20 20 8000 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 1 57 1083 6859 P 8000 8000 8000 8000 57 故 X 的数学期望 E(X)=np= ． 20 （3） 此人患该疾病的概率未超过 0.5，理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 1 19 99000× +1000× =990+950=1940，其中患者人数为 950． 100 20 950 970 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 < =0.5， 1940 1940 所以此人患该疾病的概率未超过 0.5．