文档文本内容
2023届高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征
一、选择题（共20小题；）
1. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2
粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 ()
A. 100 B. 200 C. 300 D. 400
2. 已知随机变量 ξ 满足下列分布列，当 p∈(0,1) 且不断增大时 ()
ξ 0 1 2
P (1−p) 2 2p(1−p) p2
A. E(ξ) 增大，D(ξ) 增大
B. E(ξ) 减小，D(ξ) 减小
C. E(ξ) 增大，D(ξ) 先增大后减小
D. E(ξ) 增大，D(ξ) 先减小后增大
3. 甲、乙两自动车床生产同种标准件，X 表示甲机床生产 1000 件产品中的次品数，Y 表示乙机
床生产 1000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y 的分布列分别是
X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3
¿
P 0.7 0.1 0.1 0.1 P 0.5 0.3 0.2 0
据此判断 ()
A. 甲比乙质量好 B. 乙比甲质量好
C. 甲比乙质量相同 D. 无法判定
4. 设 X 是一个随机变量，若 D(10X)=10，则 D(X)= ()
1
A. B. 1 C. 10 D. 100
10
5. 已知随机变量 X 满足 E(1−X)=5，D(1−X)=5，则下列说法正确的是 ()
A. E(X)=−5，D(X)=5 B. E(X)=−4，D(X)=−4
C. E(X)=−5，D(X)=−5 D. E(X)=−4，D(X)=5
6. 如果 X 是离散型随机变量，E(X)=6，D(X)=0.5，X =2X−5，那么 E(X ) 和 D(X ) 分
1 1 1
别是 ()
A. E(X )=12，D(X )=1 B. E(X )=7，D(X )=1
1 1 1 1
C. E(X )=12，D(X )=2 D. E(X )=7，D(X )=2
1 1 1 1
7. 从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动．
设所选 3 人中女生人数为 ξ，则均值 E(ξ) 等于 ()
4 7
A. B. 1 C. D. 2
5 5
8. 已知离散型随机变量 ξ∼B(20,0.9)，若随机变量 η=5ξ，则 η 的数学期望 Eη 的值为 ()
A. 100 B. 90 C. 18 D. 4.59. 若随机变量 ξ 的分布列如下表所示，E(ξ)=1.6，则 a−b= ()
ξ 0 1 2 3
p 0.1 a b 0.1
A. 0.2 B. −0.2 C. 0.8 D. −0.8
10. 已知随机变量 X 满足 E(2X+3)=7，D(2X+3)=16，则下列选项正确的是 ()
7 13
A. E(X)= ，D(X)= B. E(X)=2，D(X)=4
2 2
7
C. E(X)=2，D(X)=8 D. E(X)= ，D(X)=8
4
1
11. 已知随机变量 ξ 满足 P(ξ =1)=p，P(ξ =0)=1−p，i=1,2．若 0<p <p < ，则 ()
i i i i i 1 2 2
A. E(ξ )<E(ξ )，D(ξ )<D(ξ )
1 2 1 2
B. E(ξ )<E(ξ )，D(ξ )>D(ξ )
1 2 1 2
C. E(ξ )>E(ξ )，D(ξ )<D(ξ )
1 2 1 2
D. E(ξ )>E(ξ )，D(ξ )>D(ξ )
1 2 1 2
12. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这
个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是
0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各猜
1 次，得分之和 X（单位：分）的均值为 ()
A. 0.9 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.1
13. 已知随机变量 ξ，η 满足 η=−2ξ+5，若 E(ξ)=3，D(ξ)=2，则 ()
A. E(η)=−1，D(η)=8 B. E(η)=−1，D(η)=−4
C. E(η)=3，D(η)=2 D. E(η)=−3，D(η)=1
14. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记
下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相
同，每次抽取相对独立，则方差 D(X)= ()
2 3
A. 2 B. 1 C. D.
3 4
15. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，命中后的剩余
子弹数目 ξ 的期望为 ()
A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4
16. 某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体
10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4，P(X=4)<P(X=6)，则 p= ()
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.317. 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验 3 次
2
均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，则此人试验次数 ξ 的数学期望是 ()
3
4 13 5 13
A. B. C. D.
3 9 3 7
18. 已知 p>0，q>0，随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ p q
P q p
4
若 E(ξ)= ，则 p2+q2= ()
9
4 1 5
A. B. C. D. 1
9 2 9
19. 已知随机变量 ξ+η=8，若 ξ∼B(10,0.6)，则 Eη，Dη 分别是 ()
A. 6 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 2 和 5.6 D. 6 和 5.6
20. 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，
且此人是否游览哪个景点互不影响，设 X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的
景点数之差的绝对值，则 E(X) 等于 ()
A. 1.48 B. 0.76 C. 0.24 D. 1
二、填空题（共5小题；）
21. 已知 X 是离散型随机变量， E(X)=6，D(X)=0.5， X =2X−5，那么 E(X )=
1 1
，D(X )= ．
1
22. 中国福利彩票 3D 游戏（以下简称 3D），是以一个 3 位自然数（如：0 记作 000）为投注
号码的彩票，投注者从 000∼999 这些 3 位自然数中选择一个进行投注，每注 2 元，如果
与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金 1000 元，反之则获得奖金 0 元，某人随
机投了一注，他的奖金的期望是 元．
23. 已知随机变量 X 的概率分布如下：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.3 2a a
那么 a= ，EX= ．
24. 设离散型随机变量 ξ 的可能取值为 1，2，3，4，P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4)，又 ξ 的数学
期望 E(ξ)=3，则 a+b= ．
25. 一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1
7
个白球的概率是 ，则袋中的白球个数为 ；若从袋中任意摸出 3 个球，记
9
得到白球的个数为 ξ，则随机变量 ξ 的均值 E(ξ)= ．
三、解答题（共5小题；）26. 为了响应教育部颁布的 《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课
程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出
唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．如图中，已知课程 A，B，C，D，E 为人
文类课程，课程 F，G，H 为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采
取分层抽样方法从全校抽取 1% 的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．
（1）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
（2）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽
取 4 名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人 1500 元，
选择课程G的同学参加，费用为每人 2000 元．
（i）设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程G的人数，求随机变量 X 的分布列；
（ii）设随机变量 Y 表示选出的 4 名同学参加科学营的费用总和，求随机变量 Y 的期望．
27. A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从 A，B 两组随几各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B
组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不少于 14 天的概率．
（2）如果 a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
（3）当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明）
1
28. 已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为 ．为了研究连续服用该药物后出
3
现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假
设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．
（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；
（2）如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验
至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为 η，求 η 的期望．
29. 如图，某工人的住所在 A 处，上班的企业在 D 处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路
线可供选择：环城南路经过路口 C，环城北路经过路口 F，中间路线经过路口 G．如果开车1 1 1 1 1
到 B，C，E，F，G 五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为 ， ， ， ， ，此外再
5 2 4 3 6
无别的路口会遇到红灯．
（1）为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?
（2）对于（1）中所选择的路线，求其堵车次数的方差．
30. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门
从某地区（人数众多）随机选取了 80 位患者和 100 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行
检测，结果如下：
患者的检测结果 人数
阳性 76
阴性 4
非患者的检测结果 人数
阳性 1
阴性 99
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（2）从该地区患者中随机选取 3 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 X
表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 X 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有 10 万人，患病率为 0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测
一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 0.5?并说明理由答案
1. B 【解析】E(X)=1000×0.9×0+1000×0.1×2=200．
2. C 【解析】由题意可知，随机变量 ξ 满足二项分布，即 ξ∼B(2,p)，
易得 E(ξ)=2p，D(ξ)=2p(1−p)，
所以当 0<p<1 且不断增大时，E(ξ) 增大，D(ξ) 先增大后减小．
3. A 【解析】E(X)=0.1+0.2+0.3=0.6，E(Y)=0.3+0.4=0.7，
所以 E(X)<E(Y)，所以甲车床生产的零件次品较少．
4. A 【解析】由 D(10X)=10，得 D(10X)=100D(X)=10，
1
所以 D(X)= ．
10
5. D
【解析】因为随机变量 X 满足 E(1−X)=5，D(1−X)=5，
所以 1−E(X)=5，D(X)=5，
解得 E(X)=−4，D(X)=5．
6. D 【解析】E(X )=2E(X)−5=12−5=7，D(X )=4D(X)=4×0.5=2．
1 1
7. B
8. B 【解析】由题设离散型随机变量 ξ∼B(20,0.9)，若随机变量 η=5ξ，
所以 Eξ=20×0.9=18，
因为 η=5ξ，
所以 Eη=E(5ξ)=5Eξ=5×18=90．
9. B 【解析】因为分布列中所有概率和为 1，所以 a+b=0.8，
因为 E(ξ)=1.6，
所以 a+2b+0.3=1.6，a+2b=1.3，
解得 a=0.3，b=0.5，a−b=−0.2．
10. B
【解析】E(2X+3)=2E(X)+3=7；D(2X+3)=4D(X)=16．故 E(X)=2，D(X)=4．
故选：B．
11. A 【解析】因为随机变量 ξ 满足 P(ξ =1)=p，P(ξ =0)=1−p，i=1,2,⋯，
i i i i i
1 1
0<p <p < ，所以 <1−p <1−p <1，
1 2 2 2 2 1
E(ξ )=1×p +0×(1−p )=p ，
1 1 1 1
E(ξ )=1×p +0×(1−p )=p ，
2 2 2 2
D(ξ )=(1−p ) 2p +(0−p ) 2 (1−p )=p −p 2 ，
1 1 1 1 1 1 1
D(ξ )=(1−p ) 2p +(0−p ) 2 (1−p )=p −p 2 ，
2 2 2 2 2 2 2
D(ξ )−D(ξ )=p −p2−(p −p 2)=(p −p )(p +p −1)<0，
1 2 1 1 2 2 2 1 1 2所以 E(ξ )<E(ξ )，D(ξ )<D(ξ )．
1 2 1 2
12. A 【解析】由题意得 X=0,1,2，则
P(X=0)=0.6×0.5=0.3，
P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5，
P(X=2)=0.4×0.5=0.2，
所以 E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9．
13. A 【解析】因为 η=−2ξ+5，所以 E(η)=−2E(ξ)+5，D(η)=(−2) 2D(ξ)，
又 E(ξ)=3，D(ξ)=2，所以 E(η)=−1，D(η)=8．
14. C
15. C
【解析】由题意知 ξ=0,1,2,3，
因为当 ξ=0 时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，
所以 P(ξ=0)=0.43，
因为当 ξ=1 时，表示前两次都没射中，第三次射中，
所以 P(ξ=1)=0.6×0.42，
因为当 ξ=2 时，表示第一次没射中，第二次射中，
所以 P(ξ=2)=0.6×0.4，
因为当 ξ=3 时，表示第一次射中，
所以 P(ξ=3)=0.6，
所以 Eξ=2.376．
16. B 【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为 p，可看做是独立重复事件，该群体 10
位成员的支付情况满足 X∼B(10,p)，
{ D(X)=2.4, { 10p(1−p)=2.4,
其中 ⇒
P(X=4)<P(X=6) C4 p4(1−p) 6<C6 p6(1−p) 4,
10 10
解得 p=0.4或0.6，且 p>0.5，故 p=0.6．
17. B 【解析】试验次数 ξ 的可能取值为 1，2，3，
2 1 2 2 1 1 (2 1)1
P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，P(ξ=3)= × × + ．
3 3 3 9 3 3 3 3 9
所以 ξ 的分布列为
ξ 1 2 3
2 2 1
P
3 9 9
2 2 1 13
所以 E(ξ)=1× +2× +3× = ．
3 9 9 9
18. C
19. B
20. A
【解析】X 的可能取值为 1，3，X=3 表示这三个景点都游览了或都没有游览，
所以 P(X=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24，P(X=1)=1−0.24=0.76，所以 X 的分布列为
X 1 3
P 0.76 0.24
所以 E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48．故选A．
21. 7，2
22. 1
23. 0.2，3.4
1
24.
10
3
25. 5，
2
C2
7
【解析】设袋中的白球个数为 x，则有 1− 10−x = ，
C2 9
10
即 (10−x)(9−x)=20=5×4，
由此解得 x=5．
ξ 的所有可能取值分别为 0，1，2，3，
C3
1
且 P(ξ=0)= 5 = ，
C3 12
10
C1 ⋅C2
5
P(ξ=1)= 5 5= ，
C3 12
10
C2 ⋅C1
5
P(ξ=2)= 5 5= ，
C3 12
10
C3
1
P(ξ=3)= 5 = ，
C3 12
10
1 5 5 1 3
因此 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = ．
12 12 12 12 2
26. （1） 选择人文类课程的人数为 (100+200+400+200+300)×1%=12（人）；
选择自然科学类课程的人数为 (300+200+300)×1%=8（人）．
（2） （i）依题意，随机变量 X 可取 0，1，2．
C4C0
3
C3C1
4
C2C2
3
P(X=0)= 6 2= ，P(X=1)= 6 2= ，P(X=2)= 6 2= ．
C4 14 C4 7 C4 14
8 8 8
故随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
3 4 3
P
14 7 14（ii）法 1：依题意，随机变量 Y =2000X+1500(4−X)=6000+500X，
所以随机变量 Y 的数学期望为
E(Y)= 6000+500E(X)
( 3 4 3 )
= 6000+500 0× +1× +2×
14 7 14
= 6500.
（ii）法 2：依题意，随机变量 Y 可取 6000，6500，7000．
所以随机变量 Y 的分布列为
Y 6000 6500 7000
3 4 3
P
14 7 14
所以随机变量 Y 的数学期望为
3 4 3
E(Y)= 6000× +6500× +7000×
14 7 14
= 6500.
27. （1） 设“甲康复的时间不少于 14 天”为事件 A．
由“从 A，B 两组随机地各选 1 人”，可认为基本事件数为 7×7=49，其中满足“甲康复的时间
3×7 3
不少于 14 天”的基本事件数为 3×7=21，所以 P(A)= = ．
7×7 7
（2） 设事件 A 为“甲是 A 组第 i 个人”，事件 B 为“乙是 B 组第 i 个人”，
i i
i=1,2,⋯,7．
由题知，当甲是从 A 组中康复时间为 10，11 两人中选或乙是从 B 组中康复时间为 17，25 两人
中选时，必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”．故甲是从 A 组中康复时间为 12，13，14，
15，16 五人中选取，且乙是从 B 组中康复时间为 12，13，14，15，16 五人中选取，
可认为基本事件数为 5×5=25，其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为 10．
5 5 10 10
设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此 P(C)= × × = .
7 7 25 49
（3） a=11 或 18；
28. （1） 方法一：设持续 i 天为事件 A ，i=1,2,3,4，
i
用药持续最多一个周期为事件 B，
1 1 2 2 1 (2) 2 4 1 (2) 3 8
所以 P(A )= ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，P(A )= × = ，
1 3 2 3 3 9 3 3 3 27 4 3 3 81
65
则 P(B)=P(A )+P(A )+P(A )+P(A )= ．
1 2 3 4 81
方法二：设用药持续最多一个周期为事件 B，则 B 为用药超过一个周期，
(2) 4 16
所以 P(B)= = ，
3 81
(2) 4 65
所以 P(B)=1− = ．
3 81
（2） 因为随机变量 η 可取 1，2，所以
P(η=1)=C3(1) 3 (2) 1
+
(1) 4
=
1
，P(η=2)=1−
1
=
8
，
4 3 3 3 9 9 9
1 8 17
所以 E(η)=1× +2× = ．
9 9 9
29. （1） 设这位个人选择行驶路线：A−B−C−D，A−F−E−D，A−B−G−E−D 时堵车的
次数分别为 X ，X ，X ，
1 2 3
则 X ，X 的可能取值均为 0，1，2，
1 2
X 的可能取值为 0，1，2，3．
3
4 1 2
P(X =0)= × = ，
1 5 2 5
1 1 4 1 1
P(X =1)= × + × = ，
1 5 2 5 2 2
1 1 1
P(X =2)= × = ．
1 5 2 10
2 1 1 7
所以 E(X )=0× +1× +2× = ．
1 5 2 10 10
2 3 1
P(X =0)= × = ，
2 3 4 2
1 3 2 1 5
P(X =1)= × + × = ，
2 3 4 3 4 12
1 1 1
P(X =2)= × = ．
2 3 4 12
1 5 1 7
所以 E(X )=0× +1× +2× = ．
2 2 12 12 12
4 5 3 1
P(X =0)= × × = ，
3 5 6 4 2
1 5 3 4 1 3 4 5 1 47
P(X =1)= × × + × × + × × = ，
3 5 6 4 5 6 4 5 6 4 120
4 1 1 1 5 1 1 1 3 1
P(X =2)= × × + × × + × × = ，
3 5 6 4 5 6 4 5 6 4 10
1 1 1 1
P(X =3)= × × = ，
3 5 6 4 120
1 47 1 1 37
所以 E(X )=0× +1× +2× +3× = ．
3 2 120 10 120 60
综上，E(X ) 最小，
2
所以这位工人应该选择行驶路线 A−F−E−D．
（2） 由（1）知，
7 1
E(X )= ，P(X =0)= ，
2 12 2 2
5 1
P(X =1)= ，P(X =2)= ，
2 12 2 12则
( 7 ) 2 1 ( 7 ) 2 5 ( 7 ) 2 1
D(X ) = 0− × + 1− × + 2− ×
2 12 2 12 12 12 12
¿ ¿
59
所以该条行驶路线堵车次数的方差为 ．
144
30. （1） 由题意知，80 位患者中有 76 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
76 19
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 = ．
80 20
19
（2） 由题意可知 X−B(n,p)，其中 n=3，p= ．
20
X 的所有可能的取值为 0，1，2，3．
P(X=0)=C0(19) 0
×
( 1 ) 3
=
1
，
3 20 20 8000
P(X=1)=C1(19) 1
×
( 1 ) 2
=
57
，
3 20 20 8000
P(X=2)=C2(19) 2
×
( 1 ) 1
=
1083
，
3 20 20 8000
P(X=3)=C3(19) 3
×
( 1 ) 0
=
6859
．
3 20 20 8000
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 57 1083 6859
P
8000 8000 8000 8000
57
故 X 的数学期望 E(X)=np= ．
20
（3） 此人患该疾病的概率未超过 0.5，理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为
1 19
99000× +1000× =990+950=1940，其中患者人数为 950．
100 20
950 970
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 < =0.5，
1940 1940
所以此人患该疾病的概率未超过 0.5．
