文档文本内容
第2讲 随机变量及其分布（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................4
【考点一】分布列的性质及应用.....................................................................................................4
【考点二】随机变量的分布列.........................................................................................................6
【考点三】正态分布.......................................................................................................................9
【专题精练】...............................................................................................................................11
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、
二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学
爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概
率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
2．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为
，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考虑
两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发
送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司4．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
四、解答题
5．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：
第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中
一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.
该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙
每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
6．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
7．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，
负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜
的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
8．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：
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学科网（北京）股份有限公司(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
考点突破
【考点一】分布列的性质及应用
核心梳理：
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n.
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
(3)E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp.
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝[x－E(X)]2p＋[x－E(X)]2p＋…＋[x－E(X)]2p.
1 1 2 2 n n
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量 的分布列如图表，则随机变量X的方差 （ ）
40
A．120 B．160 C．200 D．260
2．（2024·广东·一模）已知随机变量 的分布列如下：
1 2
则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知随机变量X、Y，且 的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
6．（2024·江西新余·模拟预测）设随机变量 的分布列如图：
0 1
若 的数学期望为 ，事件 ： 或 ，事件 ： 或 ，则 ；
.
规律方法：
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
【考点二】随机变量的分布列
核心梳理：
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，
则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取
的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，
M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·.
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量 ，其中 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024·福建莆田·三模）已知数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，数据 ， ，
，…， 的平均数为 ，方差为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、多选题
3．（2024·云南贵州·二模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一
个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为 ，则（ ）
A． B．
C． 的期望 D． 的方差
4．（2024·安徽黄山·二模）下列论述正确的有（ ）
A．若随机变量 满足 ，则
B．若随机事件 ， 满足： ， ， ，则事件 与 相互独立
C．基于小概率值 的检验规则是：当 时，我们就推断 不成立，即认为 和 不独立，该推
断犯错误的概率不超过 ；当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 独立
D．若 关于 的经验回归方程为 ，则样本点 的残差为
三、填空题
5．（2024·河北·模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为 到 的 个相同小球.每次
抽奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回. 连续抽奖 次，设抽到编号为 的小球的次数为
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学科网（北京）股份有限公司，已知 服从二项分布 . 若 展开式中的 系数是 的概率的 倍，则 的值为
（结果用含 的式子表示）
6．（2023·广东佛山·二模）某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 ，且 ，
现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 表示 的瓷砖片数，则 ．
四、解答题
7．（2024·四川成都·三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 之
间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求 的值;
(2)若从高度在 和 中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在 内的株数
为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在 的条件下，至多 1株高度
低于 的概率.
8．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个
不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3
个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 个红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演
一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
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学科网（北京）股份有限公司9．（2024·山东青岛·一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读
好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时
间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，
后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代
表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为 ，求随
机变量 的分布列与数学期望．
10．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首
歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌
名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌
曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“ ”或者“ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期
望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
规律方法：
求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
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学科网（北京）股份有限公司(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均
值和方差的公式求解．
【考点三】正态分布
核心梳理：
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．
一、单选题
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为 ，
其中 为输出信号功率最大值（单位： ）， 为频率（单位： ）， 为输出信号功率的数学期望，
为输出信号的方差， 带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，
信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为 （如图所示），则其
带宽为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·三模）已知
0.9973.某体育器材
厂生产一批篮球，单个篮球的质量 （单位：克）服从正态分布 ，从这一批篮球中随机抽检300
个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
二、多选题
3．（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量 ，其中 ，下列说法正确的是
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．变量 的方差为1，均值为0 B．
C．函数 在 上是单调增函数 D．
4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2021·全国·模拟预测）对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．
已知最后结果的误差 ，为使误差 在 的概率不小于0.9545，至少要测量 次
（若 ，则 ）．
6．（2024·广东·一模）随机变量 ，若 且 ，则随机变量
的第80百分位数是 .
规律方法：
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴
之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)P(X<x)＝1－P(X≥x)．
0 0
(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．
专题精练
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）若随机变量 的可能取值为 ，且 （ ），则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”
出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互
错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小
球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到
右的编号分别为 ，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024·湖南·模拟预测）有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，
现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·二模）设 ，随机变量 取值 的概率均为
0.2，随机变量 取值 的概率也均为0.2，若记 分别为
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学科网（北京）股份有限公司的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D． 与 的大小关系与 的取值有关
6．（2024·河南信阳·一模）对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到
时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min）， ，对应的曲线为 ，
B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min）， ，对应的曲线为 ，则下列图象正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达
测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从 ，据此估计测试成绩不小于94的学生
所占的百分比为（ ）
参考数据：
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽
取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取
100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布 ， ，则X介于 ~2
的食盐袋数大约为（ ）
A．4 B．48 C．50 D．96
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知随机变量X，Y，其中 ，已知随机变量X的分布列如
下表
X 1 2 3 4 5
p m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（ ）
A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有 种
B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为
C．抽出的产品中至少有 件是次品的概率为
D．抽出的产品中次品数的数学期望为
11．（2023·浙江温州·三模）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报
社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为 万人，从该县随机选取 人进行问卷调查，根
据满意度得分分成以下 组： 、 、 、 ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可
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学科网（北京）股份有限公司认为满意度得分 （单位：分）近似地服从正态分布 ，且 ，
， ，其中 近似为样本平均数， 近似为
样本的标准差 ，并已求得 .则（ ）
A．由直方图可估计样本的平均数约为
B．由直方图可估计样本的中位数约为
C．由正态分布可估计全县 的人数约为 万人
D．由正态分布可估计全县 的人数约为 万人
三、填空题
12．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”
学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参
赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题
目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 .
13．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取
后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量
表示取到的黑球个数，则 ．
14．（2024·江苏南通·三模）已知随机变量 ．若 ，则 ，
若 ，则 的方差为 ．
四、解答题
15．（2024·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除
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学科网（北京）股份有限公司颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白
球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若
摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第
二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒
子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，
得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量 的数学期望的最大值.
16．（2024·吉林白山·一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏
心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，
两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记 ；若掷出的点数之和不
是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记 ；若 ，则当天穿深色，否则
穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为 ，而选择了浅
色后，再选西装的可能性为 ．
(1)求出随机变量 的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
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