文档内容
第2讲 随机变量及其分布（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................4
【考点一】分布列的性质及应用.....................................................................................................4
【考点二】随机变量的分布列.........................................................................................................6
【考点三】正态分布.......................................................................................................................9
【专题精练】...............................................................................................................................11
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、
二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学
爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概
率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
2．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为
，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考虑
两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发
送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司4．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
四、解答题
5．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：
第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中
一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.
该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙
每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
6．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
7．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，
负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜
的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
8．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：
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学科网（北京）股份有限公司(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
考点突破
【考点一】分布列的性质及应用
核心梳理：
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n.
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
(3)E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp.
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝[x－E(X)]2p＋[x－E(X)]2p＋…＋[x－E(X)]2p.
1 1 2 2 n n
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量 的分布列如图表，则随机变量X的方差 （ ）
40
A．120 B．160 C．200 D．260
2．（2024·广东·一模）已知随机变量 的分布列如下：
1 2
则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知随机变量X、Y，且 的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
6．（2024·江西新余·模拟预测）设随机变量 的分布列如图：
0 1
若 的数学期望为 ，事件 ： 或 ，事件 ： 或 ，则 ；
.
规律方法：
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
【考点二】随机变量的分布列
核心梳理：
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0μ＋a)．
(2)P(X
