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第七章 随机变量及其分布--复习与小结 ---B提高练
一、选择题
1．（2021·吉林长春市高二）甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，
乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的
概率是（ ）
A．50% B． C． D．
【答案】C
【详解】解：记明天下雨为事件 ，后天下雨为事件 ，依题意可得 ，
，所以 故选：C
2．（2021·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量 服从正态分布 ，若
，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】因为随机变量 服从正态分布 ， ，
根据正态分布的特征，可得 ，解得 .故选：B．
3．（2021·广东汕头市高二）交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育
具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，
李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是（ ）
A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.904
【答案】C
【详解】解法一：3道题中至少答对2道题有答对2道和答对3题这两种情况，则3道题中至少答
对2道题的概率为 .解法二：设3道题中至少答对2道题为事件 ，则
.故选：C.
4．（2021·浙江宁波市镇海中学）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，
若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是 ，记比赛的最终局数为随机变量 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量 的可能值为2或3，
，A错；
，B错；
，
因为 ，所以 ，C正确；
记 ， ，
，
，
因为 ，所以 ，D错．故选：C．
5．（多选题）（2021·江苏南通市高二期末）2．（2021·山东高三其他模拟）中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，
向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3
名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（ ）
A．设事件 ：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
B．设事件 ：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件 ：“抽取的3人中全是男志愿者”，
则
C．用 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则
D．用 表示抽取的三人中男志愿者的人数，则
【答案】ABD
【详解】对A，所有可能的情况有 种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有
种，故 ，故A正确；
对B， ， ，
所以 ，故B正确；
对C，可得 的可能取值为0，1，2，3，
则 ， ， ，
，所以 ，故C错误.
对D，可得 的可能取值为0，1，2，3，
则 ， ， ，
，
则 ， ，
则 ，故D正确.故选：ABD.
6．（多选题）（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的
取值为 ，且 ，定义X的信息熵 .
（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则
H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【详解】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正
确.对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且
（ ）.
.
由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以D选项错误.故选：AC
二、填空题
7. 伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会 名男生和
名女生骨干成员中选出 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用 表示事件“抽到的2名队长性别相同”， 表示事件“抽到的 名队长都是男生”，则 ________
【答案】
【详解】由题意得 ,
则 .
8．（2021·湖北高二月考）遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来
黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩
遗爱湖的概率都是 ，不游玩遗爱湖的概率都是 ，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2
分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n分的概率为 ，则 ＝_______．
【答案】
【详解】 表示累计得4分，包含以下三种情况：调查2人都继续游玩遗爱湖，或者调查4人都不
游玩遗爱湖，或者调查3人，其中1人继续游玩遗爱湖，2人都不游玩遗爱湖.
故 ．
9．（2021·青铜峡市高级中学高二期末）随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若
，则 的值是______
【答案】5【详解】 a，b，c成等差数列， ,又 ,且 ,
联立以上三式解得: ,
,
则 ,
10．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取
球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则
_______； ______．
【答案】 ；
【详解】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，随机变量 ，
，
，所以 .
三、解答题
11．（2021·云南民族大学附属中学高二月考）某学校高一年级进行班级之间的中国历史知识竞赛
活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答
错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题甲、乙两人抢到每道题的概率都是 ，甲、乙正确回答每道题的概率分别为 ， ，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）问：若将题干中的抢答五道题改为抢答三道题，先得两分者获胜，其余条件不变，则对甲更
有利还是更不利?请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）对甲更有利，理由见解析.
【详解】解：（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件 .
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴ ，
∴比赛开始，甲率先得一分的概率为 .
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为 ， ，
设两人共抢答了 道题比赛结束，且甲获胜.
根据比赛规则， 的所有可能取值分别为3，4，5，
则 ，
，
，
则甲获胜的概率 .
（3）由（1）（2）知改变规则后甲获胜的概率，
而 ，
即 此时甲获胜的概率更大了，对甲更有利.
12（2021·黑龙江高二）每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植
树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲
箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结
束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机
会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球
则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进
行摸奖；植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数．
（1）经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数 近似服从正态分布
，请估计植树的棵数 在区间 内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量 （单位：元），求 的分布
列；
（3）某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两次；方
法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大．
附：若 ，则 ，
．
【答案】（1）68人；（2）答案见解析；（3）选方法三所得奖金的期望值最大．
【详解】解：（1）由题意知，
，
所以 ，估计植树的棵树 在区间 内的人数是68人．
（2）随机变量 的所有可能取值为0，20，50，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 20 50
（3）方法一：甲箱内摸奖三次，
由（2）得E ，
所以 ，即方法一所得奖金的数学期望是 ．
方法二：乙箱内摸奖两次，
在乙箱中摸奖一次，设中奖金额为随机变量 ，则随机变量 的所有可能取值为0，20，50，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 20 50
所以 ，
所以 ，即方法二所得奖金的数学期望是 ．
方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．
，即方法三所得奖金的数学期望是 ，因为 ，所以选方法三所得奖金的期望值最大．
