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7.7随机变量及其分布常考题型总结(提高)(解析版)(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_随机变量及其分布PDF

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文档文本内容

7.7 随机变量及其分布常考题型总结(提高)
题型一:条件概率与全概率公式的综合应用......................................2
题型二:利用随机变量分布列的性质解题.........................................5
题型三:两个相关的随机变量的分布列问题......................................8
题型四:离散型随机变量的分布列的综合应用................................. 10
题型五:均值、方差的性质........................................................ 13
题型六:均值与方差的综合应用...................................................17
题型七:二项分布的均值与方差...................................................21
题型八:超几何分布的均值与方差................................................23
题型九:二项分布与超几何分布的综合应用.................................... 27
题型十:正态曲线的对称性求概率................................................30
题型十一:正态分布的实际应用...................................................33
题型十二:随机变量及其分布综合问题..........................................37
7.7 随机变量及其分布常考题型总结(提高)
题型一:条件概率与全概率公式的综合应用
1.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩(单位:分)近似服从正态分布


2
100,10
N
,从中抽取一个同
学的数学成绩X ,记该同学的成绩为80
100
X


为事件A ,记该同学的成绩为70
90
X


为事件B ,则
在A 事件发生的条件下,B 事件发生的概率

P B A 为(
)(附参考数据:


0.68
P
X









,


2
2
0.95
P
X









,


3
3
0.99
P
X









)
A.27
95
B.36
95
C.12
95
D.24
95
【答案】A
【分析】利用3原则求出


P AB 的值,利用正态曲线的对称性求出
P A 的值,利用条件概率公式可求得


P B A 的值.
【详解】由题知,事件AB 为“该同学的成绩X 满足80
90
X


”,
因为
2
100
20
80






,
100 10
90






所以







2
2
2
2
P
X
X
P AB
P
X



























0.95
0.68
27
2
200



,
又



0.95
19
2
2
40
P A
P
X









,所以




27
40
27
200
19
95
P AB
P B A
P A




,
故选:A.
2.现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球,已知某袋子中装有3 个白球、2 个黑球,现从袋中随机依
次摸出2 个球,若第一次摸出的是白球,则放回袋中;若第一次摸出的是黑球,则把黑球换作白球,放回
袋中.记事件A “第一次摸球摸出黑球”,事件B “第二次摸球摸出白球”,则

P B A ()
A.6
25
B.8
25
C.3
5
D.4
5
【答案】D
【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可.
【详解】根据题意可知,
2
( )
5
P A 
第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率


2
4
8
5
5
25
P A
B




,
则

8
(
)
4
25
2
( )
5
5
P A
B
P B A
P A




,
故选:D.
3.随着经济的不断发展,城市的交通问题越来越严重,为倡导绿色出行,某公司员工小明选择了三种出行
方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不
迟到的概率为0.91,骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上
班小明迟到的概率是(
)
A.0.24
B.0.14
C.0.067
D.0.077
【解题思路】根据题意,结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的,以及互斥事件的概率加法公式,
准确计算,即可求解.
【解答过程】记小明步行上班为事件�,骑共享单车上班为事件�,乘坐地铁上班为事件�,
小明上班迟到为事件�,
则��= �. �,��= �. �,��= �. �,
�(�|�) = �−�(�|�) = �. ��, �(�|�) = �−�(�|�) = �. ��, �(�|�) = �−�(�|�) = �. ��,
所以��= ���+ ���+ ���= �(�) ⋅�(�|�) + �(�) ⋅�(�|�) + �(�) ⋅�(�|�)
= �. �× �. ��+ �. �× �. ��+ �. �× �. ��= �. ���,
所以某天上班他迟到的概率是�. ���.
故选:D.
4.小明参加某项答题闯关游戏,每答对一道题则进入下一轮,某次答题时小明从A、B 两块题板中任选择
一个答题,已知他答对A 题板中题目概率为0.8,答对B 题板中题目的概率为0.3,假设小明不了解每块题
板背后的题目,即小明随机等可能地从A、B 两块题板中任选一个作答,现已知小明进入了下一轮,则他
答的是A 题板中题目的概率是(
)
A.
3
11
B.
1
2
C.
8
11
D.1
【解题思路】利用条件概率、全概率公式求进入了下一轮情况下答的是A 题板中题目的概率.
【解答过程】设事件�表示选�题板中题目,事件�表示选�题板中题目,事件�表示进入下一轮比赛,
由题意,�(�) = �(�) = �. �,�(�|�) = �. �,�(�|�) = �. �,
又�(�|�) =
�(��)
�(�) =
�(�|�)�(�)
�(�|�)�(�)+�(�|�)�(�) =
�.��.�
�.��.�+�.��.�=
�
��.
故选:C.
5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,三个年级的学生都报名参加公益志愿活动,经过选
拔,高一年级有
1
3的学生成为公益活动志愿者,高二、高三年级各有
1
4的学生成为公益活动志愿者.
(1)设事件�=“在三个年级中随机抽取的1 名学生是志愿者”;事件��=“在三个年级中随机抽取1 名学生,
该生来自高�年级”(�= 1,2,3).请完成下表中不同事件的概率:
事件概率
��1 ��2 ��3 ���1 ���2 ���3 ��
概率值
1
3
(2)若在三个年级中随机抽取1 名学生是志愿者,根据以上表中所得数据,求该学生来自于高一年级的概率.
【解题思路】(1)根据三个年级的人数比值,以及每层抽取的比例,即可填写表格,再根据全概率公式,
即可求解;(2)根据条件概率公式,即可求解.
【解答过程】(1)根据三个年级的人数比值为�: �: �,则���=
�
�+�+�=
�
��,
���=
�
��,���=
�
��=
�
�,
由每个年级的抽取比例可知,����
=
�
�,����
=
�
�,
由全概率公式,得��= �������
+ �������
+ �������
=
�
��×
�
�+
�
��×
�
�+
�
�×
�
�=
��
��,
事件概率
�����������������������
概率值
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
(2)该学生来自于高一年级的概率����
=
����
��
=
�������
��
=
�
���
�
��
��
=
�
��.
6.某城市有甲、乙两个网约车公司,相关部门为了更好地监管和服务,通过问卷调查的方式,统计当地网
约车用户(后面简称用户,并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲,乙两个公司的乘车
费用,等待时间,乘车舒适度等因素的评价,得到如下统计结果:
①用户选择甲公司的频率为0.32,选择乙公司的频率为0.68:
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62,选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78;
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68,选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61;
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21,选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率,并比较用户对哪个因素
满意的概率最大,对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意,则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行?并说明理由.
【解题思路】(1)利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用
满意的概率,即可得出结论;
(2)利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率,比较大小后可得出结论.
【解答过程】(1)解:设事件�:用户选择甲公司的网约车出行,事件�:用户对等待时间满意,
事件�:用户对乘车舒适度满意,事件�:用户对乘车费用满意.
则��= �����
+ �����
= �. ��× �. ��+ �. ��× �. ��= �. ����,
��= �����
+ �����
= �. ��× �. ��+ �. ��× �. ��= �. ����,
��= �����
+ �����
= �. ��× �. ��+ �. ��× �. ��= �. ����
所以,用户对等待时间满意的概率最大,对乘车费用满意的概率最小.
(2)解:由题知,���
=
���
��
=
�.���.��
�.����
=
���
����,
���
=
���
��
=
�.���.��
�.����
=
����
����,
所以,���
< ���,故该用户选择乙公司出行的概率更大.
题型二:利用随机变量分布列的性质解题
1.设�是一个离散型随机变量,其分布列如下,则�等于(
)
�
−1
0
1
�
1
3
1
−2�
3�2 −�+
1
3
A.
2
3
B.
1
3
C.
1
4
D.
3
4
【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
【解答过程】解:由离散型随机变量的性质可得
�
�+ �−��+ ���−�+
�
�= �,
即��−�
��−�= �,解得�=
�
�或�=
�
�,
�=
�
�时�−��< �,不合题意,
∴�=
�
�.
故选:B.
2.从6 名男生和4 名女生中随机选出3 名同学参加一项竞技测试.
(1)求选出的3 名同学中至少有1 名女生的概率;
(2)设表示选出的3 名同学中男生的人数,求的分布列.
【答案】(1) 5
6
(2)见解析
【分析】(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率;
(2)根据题意,的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.
【详解】(1)解:由题意可知,选出的3 名同学全是男生的概率为
3
6
3
10
C
C
,
所以选出的3 名同学中至少有1 名女生的概率
3
6
3
10
5
1
6
C
C


;
(2)解:根据题意,的可能取值为0,1,2,3,则


3
4
3
10
1
0
30
C
P
C



,
1
2
6
4
3
10
3
(
1)
10
C C
P
C



,
2
1
6
4
3
10
1
(
2)
2
C C
P
C



,
3
6
3
10
1
(
3)
6
C
P
C



所以的分布列为:

0
1
2
3
P
1
30
3
10
1
2
1
6
3.随机变量ξ的分布列如下:
�
−1
0
1
�
�
�
�
其中2�= �+ �,则�( �= 1)等于(
)
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
2
D.
2
3
【解题思路】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为�可求.
【解答过程】∵��= �+ �,且�+ �+ �= �,
解得�=
�
�,
∴�( �= �) = �(�=−�) + �(�= �) = �+ �= ��=
�
�.
故选:D.
4.某一射手射击所得环数�的分布列如下:
�
4
5
6
7
8
9
10
�
0.02
0.05
0.06
0.08
�
�
0.21
(1)求�的值.
(2)求此射手“射击一次命中的环数≤8”的概率.
【解题思路】(1)根据分布列中的概率和为�可构造方程求得结果;
(2)由分布列中对应的概率,结合对立事件概率公式可求得结果.
【解答过程】(1)∵�. ��+ �. ��+ �. ��+ �. ��+ ��+ �. ��= �,∴�= �. ��.
(2)此射手“射击一次命中的环数≤�”的概率�= �−�. ��−�= �−�. ��−�. ��= �. �.
5.已知离散型随机变量�的分布列��=
�
5 = ���= 1,2,3,4,5 .
(1)求常数�的值;
(2)求��≥
3
5 ;
(3)求�
1
10 < �<
3
5 .
【解题思路】(1)依题意得到随机变量�的分布列,根据分布列的性质得到方程,解得即可;
(2)由�≥
�
�,即可得到�=
�
�或�=
�
�或�= �,根据互斥事件的概率公式计算可得;
(3)由
�
��< �<
�
�可得�=
�
�或�=
�
�,根据互斥事件的概率公式计算可得;
【解答过程】(1)解:由题意得随机变量�的分布列如下表所示.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
�
�
��
��
��
��
由分布列的性质得,�+ ��+ ��+ ��+ ��= �,解得�=
�
��.
(2)解:��≥
�
�= ��=
�
�+ ��=
�
�+ ��= �=
�
��+
�
��+
�
��=
�
�.
(3)解:∵
�
��< �<
�
�,∴�=
�
�或�=
�
�,
∴�
�
��< �<
�
�= ��=
�
�+ ��=
�
�=
�
��+
�
��=
�
�.
题型三:两个相关的随机变量的分布列问题
1.设离散型随机变量X 的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
若随机变量�= �−2,则�(�= 2)等于(
)
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
【解题思路】由概率和为1 求出�可得答案.
【解答过程】由0.15+0.15+0.15+0.25+m=1,得m=0.3,
所以��= �= ��= �= �. �.
故选:A.
2.已知X 的分布列为
X
﹣1
0
1
P
1
2
1
3
1
6
且Y=aX+3,E(Y)=
7
3,则a 为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题思路】利用期望的计算公式,计算出EX,再由期望的性质,Y=aX+3,�(�) = ��(�) + �求出a
即可.
【解答过程】先求出�(�) =(﹣1)×
�
�+0×
�
�+1×
�
�=−
�
�.
再由Y=aX+3 得�(�) = ��(�) + �.
∴
�
�=a(−
�
�)+3,解得a=2.
故选:B.
3.已知随机变量�的分布列如表所示.
�
−2
−1
0
1
2
3
�
1
12
1
4
1
3
1
12
1
6
1
12
(1)求随机变量�= �2的分布列;
(2)若��< �=
11
12,求实数�的取值范围.
【解题思路】(1)先根据�= ��及�的所有可能取值得�的所有可能取值,再根据�的取值的概率求出�的
取值的概率,从而可得�的分布列;
(2)根据�的分布列可求出结果.
【解答过程】(1)由随机变量�的分布列知,�的可能取值为0,1,4,9,
则��= �= ��= �=
�
�,
��= �= �(�=−�或�= �) =
�
�+
�
��=
�
��=
�
�,
��= �= �(�=−�或�= �) =
�
��+
�
�=
�
��=
�
�
��= �= ��= �=
�
��.
可得随机变量�的分布列如表所示.
�
0
1
4
9
�
�
�
�
�
�
�
�
��
(2)因为
�
�+
�
�+
�
�=
��
��,
�
�+
�
�+
�
�+
�
��= �,
又因为��< �=
��
��,所以�< �≤�.
∴实数�的取值范围是�, �.
4.某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的:底薪1000 元,每工作1 小时获取30 元.从该快
餐店中任意抽取一名小时工,设其月工作时间为X 小时,获取的税前月工资为Y 元.
(1)当�= 110 时,求Y 的值;
(2)写出X 与Y 之间的关系式;
(3)若��≤120 = 0.6,求��> 4600 的值.
【解题思路】(1)根据底薪1000 元,每工作1 小时获取30 元求解;
(2)根据底薪1000 元,每工作1 小时获取30 元求解;
(3)由(2)得到�≤���⇔�≤����求解.
【解答过程】(1)当�= ���时,表示工作了110 个小时,
所以�= ���× ��+ ����= ����.
(2)由题意得:�= ���+ ����.
(3)因为�≤���⇔���≤����⇔���+ ����≤����⇔�≤����,
所以�(�≤����) = �(�≤���) = �. �,
从而�(�> ����) = �−�(�≤����) = �−�. �= �. �.
题型四:离散型随机变量的分布列的综合应用
1.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖,最多有3 次抽奖机会,每次抽中,可依次获得10
元,30 元,50 元奖金,若没有抽中,则停止抽奖.顾客每次轴中后,可以选择带走所有奖金,结束抽奖;
也可选择继续抽奖,若没有抽中,则连同前面所得奖金全部归零,结束抽奖.小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动,己知他每次抽中的概率依次为
2
3 ,
1
2 ,
1
3,如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为
2
3,第二次抽
中选择继续抽奖的概率为
1
4,且每次是否抽中互不影响.
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率;
(2)设小李所得奖金总数为随机变量�,求�的分布列.
【解题思路】(1)设出事件,分两种情况讨论:第一次抽中但第二次没抽中,前两次抽中但第三次没抽中,
结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果;
(2)先分析�的可能取值,然后计算出对应概率,由此可求�的分布列.
【解答过程】
(1)记小李第�次抽中为事件���= �, �, �,则有���=
�
�, ���=
�
�, ���=
�
�,且��, ��, ��
两两互相独立,
记小李第一次抽中但奖金归零为事件�,
则��= �����+ �������=
�
�×
�
�× �−
�
�+
�
�×
�
�×
�
�×
�
�× �−
�
�=
�
��;
(2)由题意可知�的可能取值为:�, ��, ��, ��,
��= �= ��+ �−
�
�=
��
��,
��= ��=
�
�× �−
�
�=
�
�,
��= ��=
�
�×
�
�×
�
�× �−
�
�=
�
�,
��= ��=
�
�×
�
�×
�
�×
�
�×
�
�=
�
��,
所以�的分布列为:
�
�
��
��
��
�
��
��
�
�
�
�
�
��
2.踢毽子在我国流传很广,有着悠久的历史,是一项传统民间体育活动.某次体育课上,甲、乙、1 丙、丁
四人一起踢毽子.毽子在四人中传递,先从甲开始,甲传给乙、丙、丁的概率均为
1
3;当乙接到毽子时,乙
传给甲、丙、丁的概率分别为
1
3,
1
2,
1
6;当丙接到毽子时,丙传给甲、乙、丁的概率分别为
1
3,
1
2,
1
6;当丁接
到毽子时,丁传给甲、乙、丙的概率分别为
1
3,
1
6,
1
2.假设毽子一直没有掉地上,经过�次传毽子后,毽子被
甲、乙、丙、丁接到的概率分别为��,��,��,��,已知�1 = 0.
(1)记丁在前2 次传毽子中,接到毽子的次数为�,求�的分布列;
(2)证明��−
1
4 为等比数列,并判断经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率与
1
4的大小.
【解题思路】(1)根据相互独立事件概率计算求得�的分布列.
(2)利用凑配法证得��−
�
�是等比数列,从而求得��,进而判断出����>
�
�
【解答过程】(1)�的所有可能取值为0,1,
��= �= �×
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
�
�,
��= �=
�
�+ �×
�
�×
�
�=
�
�,
所以�的分布列为
�
0
1
�
�
�
�
�
(2)当�≥�时,��=
�
���−�+
�
���−�+
�
���−�.
当�≥�时,��=
�
���−�+
�
���−�+
�
���−�,��=
�
���−�+
�
���−�+
�
���−�,��=
�
���−�+
�
���−�+
�
���−�,
所以��+ ��+ ��= ��−�+
�
���−�+ ��−�+ ��−�= ��−�+ ���,
因为��=
�
���−�+
�
���−�+
�
���−�,所以���+�= ��+ ��+ ��,
所以���+�= ���+ ��−�,所以���+�+ ��= ���+ ��−�,
因为��= �,��=
�
�,所以���+ ��−�= �,所以
��−�
�
��−�−�
�
=−
�
�.
所以��−
�
�是首项为−
�
�,公比�=−
�
�的等比数列,
所以��−
�
�=−
�
�−
�
�
�−�
,即��=−
�
�−
�
�
�−�
+
�
�,
所以����=−
�
�−
�
�
���
+
�
�=
�
�×
�
�
���
+
�
�>
�
�,
故经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率大于
�
�.
3.某公司在一种传染病毒的检测试剂吅上加大了研发投入,其研发的检验试剂品分为两类不同剂型�和�.
现对其进行两次检测,第一次检测时两类试剂�和�合格的概率分别为
2
3和
3
5,第二次检测时两类试剂�和�
合格的概率分别为
3
4和
2
3.已知两次检测过程相互独立,两次检测均合格,试剂品才算合格.
(1)设经过两次检测后两类试剂�和�合格的种类数为�,求�的分布列;
(2)若地区排查期间,一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭
成员逐一使用试剂品进行检测,如果有一人检测呈阳性,则检测结束,并确定该家庭为“感染高危户”.设该
家庭每个成员检测呈阳性的概率均为�0 < �< 1 且相互独立,该家庭至少检测了3 个人才可以确定为“感
染高危户”率为��,若该家庭被确定为“感染高危户”,且当�= �0时,��最大,求�0的值.
【解题思路】(1)分别求出两类试剂�和�检测合格的概率,再求出所有可能取值的概率即可得分布列;
(2)根据题意可得��= �−����−�,利用换元法构造函数解析式根据�< �< �由基本不等式即
可求出��最大时的��的值.
【解答过程】(1)根据题意可知,试剂�检测合格的概率为
�
�×
�
�=
�
�,试剂�检测合格的概率为
�
�×
�
�=
�
�;
易知�的所有可能取值为�, �, �;
��= �= �−
�
�
�−
�
�=
�
��,
��= �= �−
�
�×
�
�+
�
�× �−
�
�=
�
�,
��= �=
�
�×
�
�=
�
�,
所以�的分布列为
�
0
1
2
�
�
��
�
�
�
�
(2)根据题意可知,检测3 个人可以确定为“感染高危户”的概率为�−���,
检测4 个人可以确定为“感染高危户”的概率为�−���;
所以可得��= �−���+ �−���= �−����−�,
令�= �−�, �< �< �,所以�∈�, �,
则��可化为��= ���−��, �< �< �,
因为���−��≤
��+�−��
�
=
�
�,
当且仅当��= �−��时,即�=
�
�时等号成立,此时��的最大值为
�
�;
此时�= �−
�
�,即��= �−
�
�.
4.中国的CT 机打破了欧美30 年的技术垄断,实现了从无到有的突破,中国的CT 机不仅在技术上达到了
国际水平,而且在价格上也更具竞争力.此外,中国的CT 机还具有更好的定制化服务,能够更好地满足不
同地区和不同医疗机构的需求,明峰医疗和联影医疗是中国CT 机行业中的佼佼者.2023 年8 月某医院购进
甲型CT 机2 台,乙型CT 机1 台,该医院决定按照以下方案调试新机器:每台设备最多进行
....2.次调试
...,
只要调试成功就投入使用
...........,每次调试费用0 元:如果两次调试均不成功,则邀请生产商上门调试,生产商
调试一台医院调试不成功的CT 机需要额外支付1000 元,生产商调试后直接投入使用;其中医院对甲机型
每次调试成功的概率为
2
3,对乙机型每次调试成功的概率为
1
2,调试相互独立.
(1)求医院不需要生产商上门调试的概率�;
(2)计算医院支付调试费用�的分布列.
【解题思路】(1)记事件�为一台甲设备调试成功,事件�为一台乙设备调试成功,根据题意求出�(�), �(�),然后
由独立事件和概率公式可求得结果,
(2)由题意得�的可能取值为0,1000,2000,3000,求出相应的概率,从而可求得�的分布列.
【解答过程】(1)记事件�为一台甲设备调试成功,事件�为一台乙设备调试成功,
则由题意得��=
�
�+
�
�×
�
�=
�
�,��=
�
�+
�
�×
�
�=
�
�,
所以医院不需要生产商上门调试的概率�=
�
�×
�
�×
�
�=
���
���=
��
��,
(2)由题意可得�的可能取值为0,1000,2000,3000,则
��= �= �
�× �
�× �
�= ���
���
��= ����= C�
�× �
�× �
�× �
�+ �
�× �
�× �
�= ���
���
��= ����= C�
�× �
�× �
�× �
�+ �
�× �
�× �
�= ��
���
��= ����=
�
�×
�
�×
�
�=
�
���,
所以�的分布列为
�
0
1000
2000
3000
�
��
��
��
��
��
���
�
���
题型五:均值、方差的性质
1.已知随机变量�服从两点分布,且��= 1 =
1
3,则�3�−2 和�3�−2 分别为(
)
A.3,2
B.−1,2
C.−1, −
4
3
D.−1,
2
3
【解题思路】由题意求得��=
�
�,��=
�
�,结合���−�= ���−�,���−�= ����,即
可求解.
【解答过程】由随机变量�服从两点分布,且��= �=
�
�,
可得��= �×
�
�+ �×
�
�=
�
�,且��= (�−
�
�)�×
�
�+ (�−
�
�)�×
�
�=
�
�,
所以���−�= ���−�= �×
�
�−�=−�,���−�= ��× ��= �×
�
�= �.
故选:B.
2.设离散型随机变量�的分布列为
�
0
1
2
3
4
�
�
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量�满足�= 2�+ 1,则下列结论中正确的是(
)
A.�= 0.01
B.�(�) = 3
C.�(�) = 7.4
D.�(�) = 5
【解题思路】根据分布列的性质可判断A,根据数学期望公式可判断B,根据方差的性质可判断C,根据
期望公式可判断D.
【解答过程】由�+ �. �+ �. �+ �. �+ �. �= �,得�= �. �,故A 错误;
��= �× �. �+ �× �. �+ �× �. �+ �× �. �+ �× �. �= �,故B 错误;
��= �−��× �. �+ �−��× �. �+ �−��× �. �+ �−��× �. �+ �−��× �. �= �. �,
因为�= ��+ �,所以��= ���+ �= ���= �× �. �= �. �,故C 错误;
因为�= ��+ �,所以�(�) = ��(�) + �= �× �+ �= �,故D 正确.
故选:D.
3.已知


,
B n p

,且


3
2
9.2
E


,


3
2
12.96
D


,则下列说法不正确的有(
)
A.
6
n 
,
0.4
p 
B.

6
1
1 0.6
P 

C.
3
3
3
6
(
3)
C
0.6
0.4
P 




D.


0,1,2,
,
P
k
k
n



中

3
P 
是最大值
【答案】D
【分析】
根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断AB;利用根据二项分布概率公式即可计算判断CD.
【详解】
因为
(3
2)
3 ( )
2
9.2
E
E






,
(3
2)
9
( )
12.96
D
D





,
所以
( )
2.4
E 
,
( )
1.44
D 
,
由
~
( , )
B n p

,所以
( )
2.4
E
np


,
( )
(1
)
1.44
D
np
p



,所以
6
n 
,
0.4
p 
,故A 正确;
6
(
1)
1
(
0)
1
0.6
P
P






,B 正确;
又
3
3
3
6
(
3)
C
0.6
0.4
P 




,故C 正确;
6
6
(
)
C 0.4 0
,
.6
k
k
k
P
k
k





,




6
6
6
6
1
1
5
1
1
6
6
6
,
0,1,2,3,4,5,
3
1
C 0.4 0.6
C 0.6
3C
(
)
(
1)
C
0.4
0.6
C
0.4
2C
2 6
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
P
k
k
P
k
k


















令



3
1
9
1
2 6
5
k
k
k




,
故当
2,3,4,5
k 
时,
,
(
)
1
(
1)
P
k
P
k






所以
(
2)
(
3)
(
4)
(
5)
(
6)
P
P
P
P
P














,
而当
0,1
k 
时,
,
(
)
1
(
1)
P
k
P
k






所以
(
2)
(
1)
(
0)
P
P
P








,
因此
(
2)
P 
是最大值,D 错误.
故选:D.
4.若随机变量X 服从两点分布,其中


1
0
3
P X 

,




,
E X
D X 分别为随机变量X 的均值与方差,则下
列结论不正确的是(
)
A.



1
P X
E X


B.


3
2
4
E
X 

C.


3
2
4
D
X 

D.


2
9
D X 
【答案】C
【分析】根据随机变量X 服从两点分布推出

2
1
3
P X 

,根据公式先计算出


E X 、


D X ,由此分别
计算四个选项得出结果.
【详解】随机变量X 服从两点分布,其中
1
(
0)
3
P X 

,
2
(
1)
3
P X



,


1
2
2
0
1
3
3
3
E X




,


2
2
2
1
2
2
0
1
3
3
3
3
9
D X




















,
在A 中,
(
1)
(
)
P X
E X


,故A 正确;
在B 中,
(3
2)
3 (
)
2
4
E
X
E X




,故B 正确;
在C 中,




3
2
9
9
2
9
D
X
D X






,故C 错误;
在D 中,
2
(
)
9
D X 
,故D 正确.
故选:C.
5.已知随机变量X 的分布列为
X
0
1
x
P
1
2
1
3
p
若��=
2
3,
(1)求��的值;
(2)若�= 3�−2,求��的值.
【解题思路】(1)根据分布列有关知识,概率和为1,以及均值方差计算;
(2)利用�= ��+ �,则��= ����可得解.
【解答过程】(1)由题意可得:
�
�+
�
�+ �= �
��= �×
�
�+ �×
�
�+ ��=
�
�
,解得�=
�
�
�= �
,
所以��= �−
�
�
�
×
�
�+ �−
�
�
�
×
�
�+ �−
�
�
�
×
�
�=
�
�.
(2)因为�= ��−�,则��= ���= �,
所以��=
�.
6.已知随机变量�的概率分布表如下表所示:
�
�1
�2
…
��
�
�1
�2
…
��
其中,��≥0,�= 1,2, ⋅⋅⋅, �,
�=1
�
��
σ
= 1,记随机变量�的数学期望和方差分别为��,��.求证:
(1)���+ �= ���+ �;
(2)��=
�=1
�
��
2
෌
��−�2 �.
【解题思路】(1)根据期望公式将���+ �展开,借助
�=�
�
��
σ
= �和��= ����+ ����+⋅⋅⋅+ ����化
简可证;
(2)将方差公式展开,利用期望公式和
�=�
�
��
σ
= �化简可证.
【解答过程】(1)因为
�=�
�
��
σ
= �,��= ����+ ����+⋅⋅⋅+ ����,
所以���+ �= ���+ ���+ ���+ ���+⋅⋅⋅+ ���+ ���
= �����+ �����+⋅⋅⋅+ �����+ ���+ ���+⋅⋅⋅+ ���
= �����+ ����+⋅⋅⋅+ ����+ ���+ ��+⋅⋅⋅+ ��
= ���+ �
(2)��= ��−��
���+ ��−��
���+⋅⋅⋅+ ��−��
���
= ��
�−�����+ �����+ ��
�−�����+ �����+⋅⋅⋅+ ��
�−�����+ �����= ��
���+
��
���+⋅⋅⋅+ ��
���
−�������+ �������+⋅⋅⋅+ �������
+ ���
��+ ��+ ⋯+ ��
=
�=�
�
��
�
෍
��−���
����+ ����+⋅⋅⋅+ ����+ ���
=
�=�
�
��
�
෍
��−����+ ���
=
�=�
�
��
�
෌
��−���.
题型六:均值与方差的综合应用
1.某网站为研究新闻点击量的变化情况,收集得到了该网站连续30 天的新闻点击量变化数据,如下表所示.
在描述新闻点击量变化时,用“↑”表示“上涨”,即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高;用“↓”表示“下降”,
即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低;用“-”表示“不变”,即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相
同.
时段
新闻点击量
第1 天到第15 天
↑
-
↑
↓
↑
-
↓
↑
-
↓
↑
↓
-
↓
↓
第16 天到第30 天
-
↑
-
↑
-
↑
↓
↑
↓
↑
-
↓
↑
↓
↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率;
(2)从样本中的前15 天和后15 天中各随机抽取1 天,记�表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数,求�
的分布列和数学期望��;
(3)从样本给出的30 天中任取1 天,用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”,“�= 0”表示该天新闻点击量“下
降”或“不变”,然后继续统计接下来的10 天的新闻点击量,其中有6 天“上涨”、3 天“下降”、1 天“不变”,
相应地,从这40 天中任取1 天,用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”,“�= 0”表示该天新闻点击量“下降”
或“不变”,直接写出方差��,��大小关系.
【解题思路】(1)30 天中,有10 天点击量下降,从而估计出相应的概率;
(2)求出�的可能取值及对应的概率,得到分布列,求出数学期望;
(3)求出��= �=
�
�,��= �=
�
�,得到��,同理得到��,比较出大小.
【解答过程】(1)30 天中,有10 天点击量下降,故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为
��
��=
�
�;
(2)前15 天中,有5 天的点击量上涨,后15 天中,有7 天上涨,
故�的可能取值为�, �, �,
则��= �=
10
��×
�
��=
��
��,��= �=
�
��×
�
��+
��
��×
�
��=
��
��,
��= �=
�
��×
�
��=
�
��,
故�的分布列如下:
�
0
1
2
�
��
��
��
��
�
��
��= �×
��
��+ �×
��
��+ �×
�
��=
�
�;
(3)��< ��,理由如下:
由(2)知,样本给出的30 天中点击量上涨的天数为12,
故��= �=
��
��=
�
�,��= �=
��
��=
�
�,
则��=
�
�× �+
�
�× �=
�
�,��= �−
�
�
�
×
�
�+ �−
�
�
�
×
�
�=
�
��,
这40 天中点击量上涨的天数为��+ �= ��,
故��= �=
��
��=
�
��,��= �=
��
��=
��
��,
故��=
�
��× �+
��
��× �=
�
��,��= �−
�
��
�
×
�
��+ �−
�
��
�
×
��
��=
��
���,
由于
��
��<
��
���,故��< ��.
2.我市拟建立一个博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层师选,甲、乙两家
建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6 个招标问题中随
机抽取3 个问题,已知这6 个招标问题中,甲公司能正确回答其中4 道题目,而乙公司能正确回答每道题
目的概率均为
2
3,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2 道题目的概率;
(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2 道题和回答对3 道题的概率,即可求出结果.
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列,再求两个随机变量的期望和方差,由此作出判断.
【解答过程】(1)由题意可知,甲公司至少答对2 道题目可分为答对两题或者答对三题;
所求概率�=
��
���
�
��
�+
��
�
��
�=
�
�.
(2)设甲公司正确完成面试的题数为�,则�的取值分别为�, �, �.
��= �=
��
���
�
��
�=
�
�, ��= �=
��
���
�
��
�=
�
�, ��= �=
��
���
�
��
�=
�
�.
则�的分布列为:
�
1
2
3
�
�
�
�
�
�
�
∴��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �,
��= (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�=
�
�;
设乙公司正确完成面试的题为�,则�取值分别为�, �, �, �.
��= �=
�
��,��= �= C�
�×
�
�×
�
�
�
=
�
�,
��= �= C�
�×
�
�
�
×
�
�=
�
�,��= �=
�
�
�
=
�
��
则�的分布列为:
�
0
1
2
3
�
�
��
�
�
�
�
�
��
∴��= �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
��= �.
��= (�−�)�×
�
��+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
��=
�
�.
由��= ��, ��< ��可得,甲公司竞标成功的可能性更大.
3.气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下:
日最高气温t(单位:℃)
�
≤22℃
22℃< �
≤28℃
28℃< �
≤32℃
�
> 32℃
天数
6
12
Y
Z
由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气
温不高于32℃的频率为0.9.
某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:
日最高气温t(单位:℃)
�
≤22℃
22℃< �
≤28℃
28℃< �
≤32℃
�
> 32℃
日销售额X(千元)
2
5
6
8
(1)求Y,Z 的值;
(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差;
(3)在日最高气温不高于32℃时,求日销售额不低于5 千元的概率.
【解题思路】(1)先求出日最高气温高于32℃的频率,即可求得�,进而可求得�;
(2)易求得�各个取值的概率,再根据期望公式和方差公式即可得解;
(3)根据条件概率公式即可得解.
【解答过程】(1)由题意,��≤��℃= �. �,
∴��> ��℃= �−�. �= �. �,
∴�= ��× �. �= �, �= ��−�+ ��+ �= �;
(2)由题意�可取�, �, �, �,
��= �=
�
��= �. �, ��= �=
��
��= �. �,
��= �=
�
��= �. �, ��= �=
�
��= �. �,
六月份西瓜日销售额的分布列为
X
2
5
6
8
P
0.2
0.4
0.3
0.1
∴��= �× �. �+ �× �. �+ �× �. �+ �× �. �= �,
��= �−��× �. �+ �−��× �. �+ �−��× �. �+ �−��× �. �= �;
(3)日最高气温不高于32℃共有��天,
其中日销售额不低于5 千元共有��+ �= ��天,
则在日最高气温不高于32℃时,求日销售额不低于5 千元的概率为
��
��=
�
�.
4.为了响应大学毕业生自主创业的号召,小李毕业后开了水果店,水果店每天以每个5 元的价格从农场购
进若干西瓜,然后以每个10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的西瓜作赠品处理.
(1)若水果店一天购进16 个西瓜,求当天的利润�(单位:元)关于当天需求量�(单位:个,�∈N)的函
数解析式;
(2)水果店记录了100 天西瓜的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求量�
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若水果店一天购进16 个西瓜,�表示当天的利润(单位:元),求�的分布列、数学期望及方差;
②若水果店计划一天购进16 个或17 个西瓜,你认为应购进16 个还是17 个?请说明理由.
【解题思路】(1)分�≥��和�≤��两种情况讨论,分别求出所对应的利润,即可得解;
(2)①依题意可得�的可能取值为��,��,��,求出所对应的概率,即可得到分布列,从而求出数学期
望与方差;②求出购进��个西瓜所对应的利润,即可判断.
【解答过程】(1)解:当�≥��时,�= ��× (��−�) = ��,
当�≤��时,�= ��−�(��−�) = ���−��,
所以�= ���−��(�⩽��)
��(�⩾��)
(�∈N).
(2)解:①依题意可得�的可能取值为��,��,��,
所以�(�= ��) = �. �,�(�= ��) = �. �,�(�= ��) = �. �,
所以�的分布列为
�
��
��
��
�
�. �
�. �
�. �
所以��= ��× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �= ��,
��= ���× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �= ��.
②购进��个时,当天的利润为
�= (��× �−�× �) × �. �+ (��× �−�× �) × �. �+(��× �−�× �) × �. ��+ ��× �× �. ��,
= ��. �
因为��. �> ��,所以应购进17 个.
题型七:二项分布的均值与方差
1.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3 位的二进制数�= �1�2�3,其中�的各位数中,���= 1,2,3
出现0 的概率为
1
3,出现1 的概率为
2
3.若启动一次出现的二进制数为�= 100,则称这次试验成功.若成功
一次得2 分,失败一次得−1 分,则81 次这样的独立重复试验的总得分�的数学期望为(
)
A.−63
B.−6
C.63
D.6
【解题思路】由题可求出试验成功的概率,再利用二项分布及其期望的性质可求.
【解答过程】根据题意一次试验成功的概率为
�
�×
�
�×
�
�=
�
��,
∴次重复试验中成功次数�服从二项分布�∼���,
�
��,
故��= ��×
�
��= �,
总得分�= ��−��−�= ��−��,
故��= ���−��= ��−��=−��,
故选A.
2.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法,且每位患者治愈与否相互独
立,设其中被治愈的人数为X,则下列选项中正确的是(
)
A.�(2�+ 1) = 160
B.�(�= 30) = C100
30 (0.8)30(0.2)70
C.�(2�+ 1) = 32
D.存在�≠50,使得�(�= �) = �(�= 100 −�)成立
【解题思路】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定.
【解答过程】由题意可得�∼����, �. �,
则��= ���× �. �= ��, ��= ���× �. �× �−�. �= ��,
所以�(��+ �) = ���+ �= ���,���+ �= ���= ��,故AC 错误;
由二项分布的概率公式得�(�= ��) = C���
��(�. �)��(�. �)��,故B 正确;
��= �= C���
�
⋅(�. �)�⋅(�. �)���−�, ��= ���−�= C���
���−�⋅(�. �)���−�⋅(�. �)�,
若��= �= ��= ���−�,
则C���
�
⋅(�. �)�⋅(�. �)���−�= C���
���−�⋅(�. �)���−�⋅(�. �)�,
化简得(�. �)��−���= (�. �)��−���,解得�= ��,与条件矛盾,即D 错误.
故选:B.
3.现有60 道选择竞答题,两名同学独立完成,甲同学答对了36 道,乙同学答对了24 道,假设答对每道题
都是等可能的,试求:
(1)任选一道题目,恰有一个人答对的概率;
(2)任选10 道题目,记甲答对的题目数为�,求�的期望值.
【解题思路】(1)分别求出甲答对和乙答对的概率,然后即可得出答案;
(2)判断出�服从二项分布,利用二项分布期望公式即可求解.
【解答过程】(1)设事件�表示“甲答对”,事件�表示“乙答对”,
则��=
��
��=
�
�, ��=
��
��=
�
�,
∴任选一道题目,恰有一个人答对的概率为:
���∪��= ��∩�+ ��∩�= ����+ ����=
�
�× �−
�
�+ �−
�
�×
�
�=
��
��.
(2)由(1)知任选一道题目,甲答对的概率为,��=
�
�,甲答对的题目数为�服从二项分布���,
�
�,
得�的期望值:�[�] = ��×
�
�= �.
4.某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题,在不同条件下研究结构纤维按不同
方向及角度黏合强度,在两条生产线上同时进行工艺比较实验,为了比较某项指标�的对比情况,随机地
抽取了部分甲生产线上产品该项指标的�值,并计算得到其平均数�ത= 74,中位数�= 72,随机地抽得乙
生产线上100 件产品该项指标的�值,并绘制成如下的频率分布直方图.
(1)求乙生产线的产品指标�值的平均数�ത与中位数�(每组值用中间值代替,结果精确到0.01),并判断乙生
产线较甲生产线的产品指标�值是否更好(如果|�ത−�| < |�ത−�|,则认为乙生产线的产品指标�值较甲生产
线的产品指标�值更好,否则不认为更好).
(2)用频率估计概率,现从乙生产线上随机抽取5 件产品,抽出指标�值不小于70 的产品个数用�表示,求�
的数学期望与方差.
【解题思路】(1)根据直方图估计平均数和中位数的公式计算即可,再判断即可;
(2)先求出指标�值不小于70 的概率,由题意可得�服从二项分布,再根据二项分布的期望与方差公式
计算即可.
【解答过程】(1)�= ��× ��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �. ���+ ��× �. ���+ ��× �. ��= ��. ��,
因为�. ��+ �. ��× ��= �. �< �. �, �. ��+ �. ��+ �. ���× ��= �. ��> �. �,
所以中位数在区间��, ��上,
则�. ��+ �. ��× ��+ �. ���× �−��= �. �,解得�≈��. ��,
即中位数�= ��. ��,
因为|�ഥ−�| = �. ��< |�ഥ−�| = �,
所以乙生产线较甲生产线的产品指标�值更好;
(2)指标�值不小于70 的概率为�. ���+ �. ���+ �. ��× ��=
�
��,
由题意可得�∼��,
�
��,
所以��= �×
�
��=
�
�, ��= �×
�
��× �−
�
��=
��
��.
题型八:超几何分布的均值与方差
1.已知6 件产品中有2 件次品,4 件正品,检验员从中随机抽取3 件进行检测,记取到的正品数为�,则下
列结论正确的是(
)
A.�2�−1 =
4
3
B.��=
1
5
C.��= 1
D.�2�−1 =
8
5
【解题思路】根据题意可知,X 可能取1,2,3,且服从超几何分布,求出对应的概率,根据数学期望,
方差的公式及性质计算即可.
【解答过程】根据题意可知,X 可能取1,2,3,且服从超几何分布,
故�(�= �) =
C�
�C�
�
C�
�=
�
�, �(�= �) =
C�
�C�
�
C�
�=
�
�, �(�= �) =
C�
�
C�
�=
�
�,
所以�(�) = �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �,
�(�) = (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�=
�
�,
���−�= ���−�= �× �−�= �,
���−�= ��(�) = �
�,
故选:D.
2.口袋中有相同的黑色小球n 个,红、白、蓝色的小球各一个,从中任取4 个小球.ξ表示当n=3 时取出
黑球的数目,η表示当n=4 时取出黑球的数目.则下列结论成立的是(
)
A.E(ξ)<E(η),D(ξ)<D(η)
B.E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η)
C.E(ξ)<E(η),D(ξ)>D(η)
D.E(ξ)>E(η),D(ξ)>D(η)
【解题思路】当�= �时,�的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出��= �,��=
�
�;
当�= �时,η可取1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出��=
��
�,��=
��
��,即可得解.
【解答过程】当�= �时,ξ的可能取值为1,2,3,
��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�,��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�,��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�,
∴��=
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �,��=
�
�+
�
�=
�
�;
当�= �时,η可取1,2,3,4,
��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
�
��,��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
��
��,
��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
��
��,��= �=
��
�⋅��
�
��
�
=
�
��,
∴��=
�
��+ �×
��
��+ �×
��
��+ �×
�
��=
��
�,
��=
�
���−
��
�
�
+
��
���−
��
�
�
+
��
���−
��
�
�
+
�
���−
��
�
�
=
��
��;
∴�(�) < �(�),�(�) < �(�).
故选:A.
3.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果,该校从全校学生中随机
抽取了50 名学生作为样本进行测试,记录他们的成绩,测试卷满分100 分,将数据分成6 组:[40,50),[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)若全校学生参加同样的测试,试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替);
(2)在样本中,从其成绩在80 分及以上的学生中随机抽取3 人,用�表示其成绩在[90,100]中的人数,求�
的分布列及数学期望;
(3)在(2)抽取的3 人中,用�表示其成绩在[80,90)的人数,试判断方差�(�)与�(�)的大小.(直接写结果)
【解题思路】(1)利用直方图的性质及平均数的计算方法即得;
(2)由题可知�服从超几何分布,即求;
(3)由超几何分布即得.
【解答过程】(1)由直方图可得第二组的频率为�−�. ��−�. ��−�. ��−�. ��−�. ��= �. ��,
∴全校学生的平均成绩为:
��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �. ��= ��. �
(2)由题可知成绩在80 分及以上的学生共有��× �. ��+ �. ��= ��人,其中��, ���中的人数为5,
所以�可取0,1,2,3,则
��= �=
���
�
���
�=
��
��,��= �=
���
���
�
���
�
=
��
��,
��= �=
���
���
�
���
�
=
��
��,��= �=
��
�
���
�=
�
��,
故�的分布列为:
�
0
1
2
3
P
��
��
��
��
��
��
�
��
��= �×
��
��+ �×
��
��+ �×
��
��+ �×
�
��= �;
(3)��= ��.
4.某区域中的物种�拥有两个亚种(分别记为�种和�种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某生物研
究小组计划在该区域中捕捉100 个物种�,统计其中�种的数目后,将捕获的生物全部放回,作为一次试
验结果.重复进行这个试验共20 次,记第�次试验中�种的数目为随机变量�� (�= 1,2, ⋯, 20).设该区域中�
种的数目为�,�种的数目为�,每一次试验均相互独立.
(1)求�1的分布列;
(2)记随机变量�ഥ=
1
20
�=1
20 ��
σ
.已知�(��+ ��) = �(��) + �(��),�(��+ ��) = �(��) + �(��);
(ⅰ)证明:�(�ഥ) = �(�1),�(�ഥ) =
1
20 �(�1);
(ⅱ)该小组完成所有试验后,得到��的实际取值分别为�� (�= 1,2, ⋯, 20).数据�� (�= 1,2, ⋯, 20)的平均值
�ത= 40,方差�2 = 1.176.采用�ത和�2分别代替�(�ഥ)和�(�ഥ),给出�,�的估计值.
【解题思路】(1)根据条件,判断��服从超几何分布,再利用超几何分布的分布列即可求出结果;
(2)(ⅰ)直接利用均值和方差的性质即可证明结果;
(ⅱ)先利用第(ⅰ)中的结论,求出�(�ഥ) =
����
�+� ,�(�ഥ) =
���(�+�−���)
(�+�)�(�+�−�)  ,再结合条件建立方程组,从
而求出结果.
【解答过程】(1)依题意,��(�= �, �, ⋯, ��)均服从完全相同的超几何分布,故��的分布列为�(��= �) =
C�
�C�
���−�
C�+�
���
(�∈�∗, ���{�, ���−�} ≤�≤���{���, �}).
(2)(ⅰ)由题可知
�(�ഥ) = �(
�
��
�=�
����
σ
) =
�
���(
�=�
����
σ
) =
�
��
�=�
���(��)
σ
=
�
��× ���(��) = �(��) ,
�(�ഥ) = �(
�
��
�=�
����
σ
) =
�
����(
�=�
����
σ
) =
�
���
�=�
���(��)
σ
=
�
���× ���(��) =
�
���(��) ,
故�(�ഥ) = �(��),�(�ഥ) =
�
���(��)
(ⅱ)由(ⅰ)可知�ഥ的均值
�(�ഥ) = �(��) = ����
�+ �.
先计算��的方差
�(��) =
�
���(��= �)
෍
−��(��)
=
�
�(�−�) C�
�C�
���−�
C�+�
���
෎
+
�
�C�
�C�
���−�
C�+�
���
෎
−��(��)
= �(�−�)
�
C�−�
�−�C�
���−�
C�+�
���
෎
+ �
�
C�−�
�−�C�
���−�
C�+�
���
෎
−��(��)
= �(�−�)
C�+�
���
C�+�−�
���−�+
�
C�+�
���C�+�−�
���−�−��(��)
= �����(�+ �−���)
(�+ �)�(�+ �−�) ,
所以�(�ഥ) =
���(�+�−���)
(�+�)�(�+�−�) .
依题意有
����
�+ �= �� ,
���(�+ �−���)
(�+ �)�(�+ �−�) = �. ��� ,
解得�= ����. �,�= ����. �.
所以可以估计�= ����,�= ����.
题型九:二项分布与超几何分布的综合应用
1.口袋中有6 个球(除颜色外其他属性都相同),其中3 个黑球,2 个红球,1 个白球,�表示有放回的摸球
3 次,每次摸一个,取出红球的数目,�表示不放回的摸球3 次,每次摸一个,取出黑球的数目,则下列结
论成立的是(
)
A.��< ��
B.��> ��
C.��= ��
D.无法判断
【解题思路】分别求得��与��的值,进而得到二者间的关系.
【解答过程】�表示有放回的摸球3 次,每次摸一个,取出红球的数目,
�的可能取值为0,1,2 ,则�∼�(�,
�
�),则��= �×
�
�= �;
�表示不放回的摸球3 次,每次摸一个,取出黑球的数目,
�的可能取值为0,1,2 ,3,�满足超几何分布,
则��= �×
�
�=
�
�,则��< ��
故选:A.
2.若10 件产品中有4 件次品和6 件正品.现从中随机抽取3 件产品,记取得的次品数为随机变量�,则下
列结论正确的是(
)
A.若是有放回的抽取,则��= 2 = 0.096
B.若是无放回的抽取,则��= 2 = 0.3
C.无论是有放回的抽取还是无放回的抽取,�的数学期望��相等
D.无论是有放回的抽取还是无放回的抽取,�的方差相等��相等
【解题思路】若是有放回的抽取,则�∼��,
�
�,求出��= �及��、��,若是无放回的抽取,则�
服从超几何分别,求出所对应的概率,从而得到��、��,即可判断.
【解答过程】若是有放回的抽取,则�∼��,
�
�,
则��= �= C�
��
�
�
× �−
�
�=
��
���= �. ���,
��= �×
�
�=
�
�,��= �×
�
�× �−
�
�=
��
��,故A 错误;
若是无放回的抽取,则�可能取�,�,�,�,
其对应的概率为��= �=
C�
�C�
�
C��
�
=
�
�,��= �=
C�
�C�
�
C��
�
=
�
�,
��= �=
C�
�C�
�
C��
�
=
�
��,��= �=
C�
�C�
�
C��
�
=
�
��,
∴��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
��+ �×
�
��= �. �,
��= �−�. ��×
�
�+ �−�. ��×
�
�+ �−�. ��×
�
��+ �−�. ��×
�
��=
��
��.
故B、C 正确,D 错误;
故选:BC.
3.为庆祝建军节的到来,某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要
在�,�两名学生中产生,该班委设计了一个选拔方案:�,�两名学生各自从6 个问题中随机抽取3 个问
题作答.已知这6 个问题中,学生�能正确回答其中的4 个问题,而学生�能正确回答每个问题的概率均为
2
3.�,
�两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)分别求�,�两名学生恰好答对2 个问题的概率.
(2)设�答对的题数为�,�答对的题数为�,若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生?请说明理由.
【解题思路】(1)由古典概型概率公式求得�的概率,由独立重复试验的概率公式计算出�的概率;
(2)�的可能取值为1,2,3,计算出概率后得概率分布列,求出期望与方差,而�∼��,
�
�,也计算出
均值与方差,比较可得.
【解答过程】
(1)由题意,知�恰好答对2 个问题的概率为��=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�,�恰好答对2 个问题的概率为��=
C�
��
�
��
�
�
=
�
�.
(2)�的可能取值为1,2,3,
则��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�;��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�;��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�.
所以��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �,��= �−��×
�
�+ �−��×
�
�+ �−��×
�
�=
�
�.
易知�∼��,
�
�,
所以��= �×
�
�= �,��= �×
�
�×
�
�=
�
�.
因为��= ��,��< ��,
所以�与�答题的平均水平相当,但�比�更稳定.所以选择学生�.
4.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题,按照答对
题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成,2 道题不能完成;应聘者乙
每题正确完成的概率都是
2
3,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【解题思路】(1)设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为�,�,由于�~�(�, �, �),�~��,
�
�,分别
写出分布列,再求期望值均为�;
(2)由于均值相等,可通过比较各自的方差.
【解答过程】(1)设�为甲正确完成面试题的数量,�为乙正确完成面试题的数量,
依题意可得:�~�(�, �, �),
∴�(�= �) =
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�,�(�= �) =
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�,�(�= �) =
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�,
∴X 的分布列为:
X
1
2
3
P
�
�
�
�
�
�
∴��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �.
�~��,
�
�,
∴�(�= �) = ��
��
�
��
�
�
=
�
��,�(�= �) = C�
��
�
��
�
�
=
�
��=
�
�,
�(�= �) = C�
��
�
��
�
�
=
��
��=
�
�,�(�= �) = ��
��
�
��
�
�
=
�
��,
∴Y 的分布列为:
Y
0
1
2
3
P
�
��
�
�
�
�
�
��
∴��= �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
��= �.
(2)��=
�
�× (�−�)�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�=
�
�,
��= ��(�−�) = �×
�
�×
�
�=
�
�,
∵��< ��,
∴甲发挥的稳定性更强,则甲通过面试的概率较大.
题型十:正态曲线的对称性求概率
1.某班学生的一次数学考试成绩�(满分:100 分)服从正态分布:�∼�85, �2 ,且�(83 < �< 87) =
0.3, �(78 < �< 83) = 0.13,则�(�< 78) =(
)
A.0.14
B.0.22
C.0.23
D.0.26
【解题思路】根据正态分布曲线的对称性,结合题设条件,即可求解.
【解答过程】因为数学考试成绩�服从�∼���, ��且�(��< �< ��) = �. �,
所以�(�< ��) =
�−�(��<�<��)
�
= �. ��,
又因为�(��< �< ��) = �. ��,
所以�(�< ��) = �(�< ��) −�(��< �< ��) = �. ��−�. ��= �. ��.
故选:B.
2.某校高三数学摸底考试成绩�(单位:分)近似服从正态分布�110, �2 ,且�90 < �< 130 = 0.86,
该校高三数学摸底考试成绩超过90 分的人数有930 人,则(
)
A.估计该校高三学生人数为1200
B.估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为70.
C.估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为425.
D.估计该校学生中成绩不超过90 分的人数比超过130 分的人数多.
【解题思路】由正态分布曲线的对称性可求得��> ��,由频数、频率和总数的关系可求得结果.
【解答过程】解:由���< �< ���= �. ��,得��≤��=
�
�× �−�. ��= �. ��,
∴��> ��= �−�. ��= �. ��.
估计该校学生人数为:���÷ �. ��= ����人,A 不正确;
估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为����× �. ��= ��,B 正确;
估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为����× �. ��÷ �= ���,C 错误;
由��≤��= ��≥���=
�
�× �−�. ��= �. ��,
估计该校学生中成绩不超过90 分的人数与超过130 分的人数相等,D 错误,
故选:B.
3.为了切实维护居民合法权益,提高居民识骗防骗能力,守好居民的“钱袋子”,某社区开展“全民反诈在行
动——反诈骗知识竞赛”活动,现从参加该活动的居民中随机抽取了100 名,统计出他们竞赛成绩分布如
下:
成绩(分)
[40.50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
(90,100]
人数
2
4
22
40
28
4
(1)求抽取的100 名居民竞赛成绩的平均分�ത和方差�2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表);
(2)以频率估计概率,发现该社区参赛居民竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ,其中�近似为样本成绩
平均分�ത,�2近似为样本成绩方差�2,若�−�< �≤�+ 2�,参赛居民可获得“参赛纪念证书”;若�> �+ 2�,
参赛居民可获得“反诈先锋证书”,
①若该社区有3000 名居民参加本次竞赛活动,试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果保留整数);
②试判断竞赛成绩为96 分的居民能否获得“反诈先锋证书”.
附:若�∼��, �2 ,则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827,�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈0.9545,�(�−3�<
�≤�+ 3�) ≈0.9973.
【解题思路】(1)利用公式直接求出均值、方差即可;
(2)①结合给的概率和正态分布的性质,确定获得“参赛纪念证书”,进而计算可得人数;
②利用正态分布的知识求出�> �+ ��,即�> ��,进而可得结果.
【解答过程】(1)100 名居民本次竞赛成绩平均分
�ഥ= ��×
�
���+ ��×
�
���+ ��×
��
���+ ��×
��
���+ ��×
��
���+ ��×
�
���= ��,
100 名居民本次竞赛成绩方差
��= (��−��)�×
�
���+ (��−��)�×
�
���+ (��−��)�× ��
���
+ (��−��)�×
��
���+ (��−��)�×
��
���+ (��−��)�×
�
���= ���,
(2)①由于�近似为样本成绩平均分�ഥ,��近似为样本成绩方差��,
所以,�= ��, ��= ���,
可知,�=
���= ��,
由于竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, ��,
因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率
�(�−�< �≤�+ ��)
= �
��(�−�< �≤�+ �) + �
��(�−��< �≤�+ ��)
≈�
�× �. ����+ �
�× �. ����= �. ����
����× �. ����= ����. �≈����
估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456;
②当�> �+ ��时,即�> ��时,参赛居民可获得“反诈先锋证书”,
所以竞赛成绩为96 分的居民能获得“反诈先峰证书”.
4.为普及传染病防治知识,增强市民的疾病防范意识,提高自身保护能力,某市举办传染病防治知识有奖
竞赛.现从该市所有参赛者中随机抽取了100 名参赛者的竞赛成绩,并以此为样本绘制了如表所示的频率
分布表.
竞赛成绩
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
6
10
18
33
16
11
6
(1)求这100 名参赛者的竞赛成绩的样本均值�ത和样本方差�2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若该市所有参赛者的成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ,用样本估计总体,�近似为样本均值,�2近似
为样本方差,利用所得正态分布模型解决以下问题:(参考数据:226 ≈15)
①如果按照15.87%, 34.13%, 34.13%, 15.87%的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、
特等奖四个等级,试确定各等级的分数线(精确到整数);
②若该市共有10000 名市民参加了竞赛,试估计参赛者中获得特等奖的人数(结果四舍五入到整数).
附:若随机变量X 服从正态分布��, �2 ,则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827,�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈
0.9545, �(�−3�< �≤�+ 3�) ≈0.9973.
【解题思路】(1)根据频率分布表中的数据利用平均数公式和方差公式可求得结果,
(2)①设竞赛成绩达到a 及以上为特等奖;成绩达到b 但小于a 为一等奖,成绩达到c 但小于b 为二等
奖,成绩未达到c 为参与奖,则根据题意和正态分布的性质可得�= ��,�≈�−�≈��, �≈�+ �≈��,
从而可得答案,②根据正态分布的性质求解
【解答过程】(1)由频率分布表可得
�ഥ=
�
���(��× �+ ��× ��+ ��× ��+ ��× ��+ ��× ��+ ��× ��+ ��× �) = ��
��=
�
������× ��+ ���× ��+ ���× ��= ���
(2)该市所有参赛者的成绩X 近似地服从正态分布�(��,���),
①设竞赛成绩达到a 及以上为特等奖;成绩达到b 但小于a 为一等奖,成绩达到c 但小于b 为二等奖,成
绩未达到c 为参与奖,则
�(�≥�) = ��. ��%, �(�≤�< �) = ��. ��%, �(�≤�< �) = ��. ��%, �(�< �) = ��. ��%,
由于�(�≥�) = �(�≥�) + �(�≤�< �) = ��%,因此�= ��;
由于�(�≤�< �) = �(�≤�< �) + �(�≤�< �) = ��. ��%,
因此�≈�−�≈��, �≈�+ �≈��,
所以分数低于50 的为参与奖,分数大于等于50 小于65 的为二等奖,分数大于等于65 小于80 的为一等
奖,分数大于等于80 的为特等奖.
②∵�+ �≈��, ∴�(�> ��) ≈
�−�.����
�
= �. �����
∴估计参赛者中超过80 分的人数为�. �����× �����≈����.
题型十一:正态分布的实际应用
1.我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选
考科目组成,将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B
+,B,C
+,C,D
+,D,E 共8 个等级,
参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,选考
科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],
[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩,如果
某次高考模拟考试物理科目的原始成绩�∼�(50,256),那么D 等级的原始分最高大约为(
)
附:①若�∼�(�, �2),�=
�−�
�,则�∼�(0,1);
②当�∼�(0,1)时,�(�≤1.5) ≈0.9.
A.23
B.29
C.26
D.43
【解题思路】设D 等级的原始分最高为�,由题意有�(�≤
�−��
��) = �. �,即�(�≤
�−��
��) = �(�≤−�. �),
即可求结果.
【解答过程】由题意知:从低到高,即E 到D 等级人数所占比例为��%,
若D 等级的原始分最高为�,则�(�≤
�−��
��) = �. �,又�(�≤�. �) ≈�. �,
所以�(�≤
�−��
��) = �−�(�≤�. �),而�∼�(�, �),
所以�(�≤
�−��
��) = �(�≤−�. �),即
�−��
��
=−�. �,可得�= ��−�. �× ��= ��分.
故选:C.
2.近年来,网络消费新业态、新应用不断涌现,消费场景也随之加速拓展,某报社开展了网络交易消费者
满意度调查,某县人口约为50 万人,从该县随机选取5000 人进行问卷调查,根据满意度得分分成以下5
组:50,60 、60,70 、⋯、90,100 ,统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X(单位:
分)近似地服从正态分布��, �2 ,且��−�< �< �+ �≈0.6826,��−2�< �< �+ 2�≈0.9544,
��−3�< �< �+ 3�≈0.9974,其中�近似为样本平均数,�近似为样本的标准差s,并已求得�= 12.
则以下不正确的是(
)
A.由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B.由直方图可估计样本的中位数约为75
C.由正态分布估计全县�≥98.5 的人数约为2.3 万人
D.由正态分布估计全县62.5 ≤�< 98.5 的人数约为40.9 万人
【解题思路】由频率分布直方图所给数据可计算出样本的平均数与中位数,即可判断AB 选项;由��≥
��. �=
�−��−��<�<�+��
�
由此即可判断C 选项;由���. �≤�< ��. �
=
��−�<�<�+�+��−��<�<�+��
�
,
可判断D 选项.
【解答过程】对于A 选项,由直方图可估计样本的平均数为
�= ��× �. ���+ ��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �. ���+ ��× �. ��× ��= ��. �,A 对;
对于B 选项,满意度得分在��, ��之间的频率为�. ���+ �. ��× ��= �. ��< �. �,
满意度得分在��, ��之间的频率为�. ���+ �. ��+ �. ��× ��= �. ��> �. �,
设样本的中位数为�,则�∈��, ��,
由中位数的定义可得�. ��+ �−��× �. ��= �. �,解得�= ��,B 对;
对于C 选项,因为�= ��. �,�= ��,��. �= �+ ��,
所以,��≥��. �= ��≥�+ ��=
�−��−��<�<�+��
�
≈�. ����,
所以,由正态分布可估计全县�≥��. �的人数约为��× �. ����≈�. ��万人,C 错;
对于D 选项,因为��. �= �−�,��. �= �+ ��,
所以,���. �≤�< ��. �= ��−�≤�< �+ ��
=
��−�<�<�+�+��−��<�<�+��
�
≈�. ����,
所以,由正态分布可估计全县��. �≤�< ��. �的人数约为��× �. ����≈��. �万人,D 对.
故选:C.
3.自1996 年起,我国确定每年3 月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是
为全面深入地推动中小学生安全教育工作,大力降低各类伤亡事故的发生率,切实做好中小学生的安全保
护工作,促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”,某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛,竞赛
奖励规则如下,得分在[70,80)内的学生获三等奖,得分在[80,90)内的学生获二等奖,得分在[90,100]内的
学生获一等奖,其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100 名学生的竞赛成绩,统
计如下:
成绩(分)
30,40
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
.
频数
6
12
18
24
18
12
10
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率;
(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布�∼�(65,100),利用所得正态分布模型解决以下问题:
(i)若该市共有10000 名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过85 分的学生数(结果四舍五入到
整数);
(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于100000)随机抽取4 名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在65
分以上的学生数为Y,求随机变量Y 的分布列及数学期望.
附参考数据:若随机变量X 服从正态分布��, �2 ,则:�(�−�< �⩽�+ �) ≈0.6827, �(�−2�< �⩽�+
2�) ≈0.9545, �(�−3�< �⩽�+ 3�) ≈0.9973.
【解题思路】(1)根据古典概型运算公式进行求解即可;
(2)(ⅰ)根据题中所给的公式,结合正态分布的性质进行求解即可;(ⅱ)运用二项分布的性质进行求解
即可.
【解答过程】(1)从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,基本事件总数为C���
�
,设抽取的两名学生中
恰有一名学生获一等奖为事件�,
则事件�包含的基本事件的个数为C��
�C��
�,因为每个基本事件出现的可能性都相等,所以��=
C��
�C��
�
C���
�
=
�
��,
故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为
�
��.
(2)(ⅰ)因为�+ ��= ��,所以:��> ��≈
�−�.����
�
= �. �����,
所以参赛学生中成绩超过��分的学生数约为�����× �. �����≈���人
(ⅱ)由�= ��,得��> ��=
�
�,即从所有参赛学生中堕机抽取�名学生,该生竞赛成绩在��分以上的
概率为
�
�,
所以随机变量�服从二项分布�~��,
�
�,
所以��= �= C�
��
�
�
=
�
��,��= �= C�
��
�
�
=
�
�,��= �= C�
��
�
�
=
�
�,
��= �= C�
��
�
�
=
�
�,��= �= C�
��
�
�
=
�
��,
所以随机变量�的分布列为:
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
所以期望为��= �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
��= �.
4.某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成
绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000 名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽
取100 人的预赛成绩作为样本,得到如下频率分布直方图:
(1)规定预赛成绩不低于80 分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60 分的学生中随机地抽取2 人,求
至少有1 人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数�的分布列及数学期望;
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩�服从正态分布��, �2 ,其中�可近似为样
本中的100 名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且�2 = 361,已知小明的
预赛成绩为91 分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛?
(3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100 分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量�,每
一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第�题时“花”掉的分数为0.2�(�= 1,2,
⋯,�);③每答对一题加2 分,答错既不加分也不减分;④答完�题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩,
已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳
的复赛成绩,则他的答题数量�应为多少?
附:若�∼��, �2 ,则��−�< �< �+ �≈0.6827,��−2�< �< �+ 2�≈0.9545,��−3�< �<
�+ 3�≈0.9973;362 ≈19.
【解题思路】(1)根据超几何分布的知识求得正确答案.
(2)先求得�∼���, ���,然后根据正态分布的对称性求得正确答案.
(3)设学生甲复赛成绩为�,计算��,然后结合二次函数的性质求得正确答案.
【解答过程】(1)预赛成绩在[��, ��)范围内的样本量为:�. ����× ��× ���= ��,
预赛成绩在[��, ���)范围内的样本量为:�. ����× ��× ���= ��,
设抽取的2 人中预赛成绩优良的人数为X,可能取值为�, �, �,
则��≥�=
C��
�C��
�+C��
�C��
�
C��
�
=
�
��,
又��= �=
C��
�
C��
�=
�
��, ��= �=
C��
�C��
�
C��
�
=
��
��, ��= �=
C��
�
C��
�=
�
��,
则�的分布列为:
�
0
1
2
�
�
��
��
��
�
��
故��= �×
�
��+ �×
��
��+ �×
�
��=
�
�.
(2)�= �ഥ= ��× �. ���+ ��× �. ��+ ��× �. ���+ ��× �. ����+ ��× �. ����× ��= ��,
��= ���,则�= ��,
又�~���, ���,
故��≥��= ��≥�+ ��=
�
�[�−��−��< �< �+ ��] ≈�. ����5,
故全市参加预赛学生中,成绩不低于91 分的有������× �. �����= ���人,
因为���< ���,故小明有资格参加复赛.
(3)设学生甲答对的题目数为�,复赛成绩为�,
则�∼�(�,�. �),故�(�) = �. ��,
�= ���−�. �(�+ �+ �+ ⋯+ �) + ��,
故�(�) = ���−�. �(�+ �+ �+ ⋯+ �) + ��(�)
=−
�
����+
��
�+ ���=−
�
���−
��
�
�
+
���
�,
因为�∈N∗,所以答题数量为7 或8 时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.
题型十二:随机变量及其分布综合问题
1.近年随着全民健身运动的大力推广,2023 年下半年某市举办第二届职工足球比赛.假设共有12 支队伍参
加比赛,12 支队伍分成三个小组,每小组四支球队,每小组进行单循环比赛(小组内的每两支队伍比赛一
场),胜利方得3 分,平局各得1 分,输球方不得分.每小组的前2 名直接进入第二阶段淘汰赛,剩下六支
队伍中成绩最好的前两名也进入第二阶段淘汰赛,一共有八支队伍进入第二阶段淘汰赛,淘汰赛中胜利方
直接进入下一轮,输球方直接淘汰,直到决出冠军、亚军和季军.
(1)问本次比赛一共要打多少场比赛?
(2)假设小组赛时甲所在小组每队实力相当,胜平负都是等可能,记X 表示小组赛时甲队比赛得分,求X 的
分布列及数学期望.
【答案】(1)26
(2)分布列见解析,数学期望为:4
【分析】(1)分别计算出小组赛的场数以及后面淘汰赛等各轮的场数,即可求得答案;
(2)确定X 的取值,求出每个值对应的概率,可得分布列,根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】(1)由题意知小组赛中共有
2
4
3 C
18


场,
8 支队伍参加淘汰赛共4 场,
4 强赛时共有2 场比赛,冠亚军比赛有1 场比赛,三四名有1 场比赛,
一共有18
4
2
1 1
26



场比赛.
(2)小组进行单循环比赛,故甲队和其它3 队都要比赛一场,
故
0,1,2,3,4,5,6,7,9
X 
,
则






3
3
3
1
2
3
3
1
1
1
1
1
1
0
,
1
C
,
2
C
3
27
3
9
3
9
P X
P X
P X





























,






3
3
3
3
1
1
1
1
3
3
2
3
1
1
4
1
2
1
1
3
C
,
4
C C
,
5
C
3
3
27
3
9
3
9
P X
P X
P X




































,






3
3
3
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
6
C
,
7
C
,
9
3
9
3
9
3
27
P X
P X
P X





























,
得分X 的分布列为:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
9
P
1
27
1
9
1
9
4
27
2
9
1
9
1
9
1
9
1
27
(
)
4
E X


.
2.来自微碧江的报道:2023 年6 月17 日,铜仁市碧江区第二届房地产交易展示会在三江公园隆重开幕.据
了解,本次房交会以政府搭台、企业让利、政策支持、百姓受益为办展宗旨,聚集了碧江区17 家房开企
业、18 个楼盘参展,2080 套房源、25 万平方米供群众选购,9 大银行和公积金中心在现场助阵和提供咨
询服务.本次房交会从6 月17 日持续到6 月22 日,期间每天都安排有精彩演出、免费美食、互动游戏、
露天电影和游江龙舟五类活动.
(1)甲、乙两名市民参加了不同类的活动,且每人只参加一类活动.已知甲参加了免费美食的活动,求乙参
加游江龙舟活动的概率是多少?
(2)已知来自某小区的市民参加互动游戏的概率是1
10 ,设来自该小区的2 名市民参加互动游戏的人数为,
求的分布列与期望.
【答案】(1) 1
4
(2)分布列见解析,1
5
【分析】(1)已知甲参加了免费美食的活动,则可求乙在剩下四类活动中参加游江龙舟活动的概率;
(2)依题意可知
1
~
(2,
)
10
B

,即可求二项分布的分布列和期望.
【详解】(1)在甲参加了免费美食活动的条件下,记“乙参加游江龙舟活动的这一事件”为B ,
则
1
( )
4
P B 
.
所以已知甲参加了免费美食的活动,乙参加游江龙舟活动的概率是1
4 .
(2)依题意
1
~
(2,
)
10
B

,
2
1
81
(
0)
(1
)
10
100
P 



;
1
2
1
1
9
(
1)
C (1
)
10
10
50
P 




;
2
2
2
1
1
(
2)
C (
)
10
100
P 


.
所以的分布列如下:

0
1
2
P
81
100
9
50
1
100
的数学期望
1
1
( )
2 10
5
E 


.
3.2023 年中秋国庆双节期间,我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情
况,在某高速公路收费点记录了10 月1 日上午8:20 ~ 9:40 这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时
间段内共有1000 辆车通过该收费点,为方便统计,时间段8:20 ~ 8:40 记作区间[20,40) ,8:40 ~ 9:00 记
作

40,60 ,9:00 ~ 9:20记作

60,80 ,9: 20 ~ 9: 40记作

80,100 ,对通过该收费点的车辆数进行初步处理,
已知
2
m
n

,8:20 ~ 9:40 时间段内的车辆数的频数如下表:
时间段
[20,40)


40,60


60,80


80,100
频数
100
300
m
n
(1)现对数据进一步分析,采用分层随机抽样的方法从这1000 辆车中抽取10 辆,再从这10 辆车中随机抽
取4 辆,设抽到的4 辆车中在9:00~9:40 通过的车辆数为X ,求X 的分布列与期望;
(2)由大数据分析可知,工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻


2
~
,
T
N 
,其中可用(1)中这
1000 辆车在8:20 ~ 9:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,
2
可用样本的方差近似代替(同一
组中的数据用该组区间的中点值代表),已知某天共有800 辆车通过该收费点,估计在8:28 ~ 9:22 之间通
过的车辆数(结果四舍五入保留到整数).
参考数据:若


2
~
,
T
N 
,则①

0.6827
P
T









;②

2
2
0.9545
P
T









;
③

3
3
0.9973
P
T









.
【答案】(1)分布列见解析,期望为12
5
(2)655
【分析】
(1)根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望.
(2)先求得
2
,
,然后根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】(1)因为100
300
1000
m
n




,
2
m
n

,所以
400
m 
,
200
n 
.
由分层随机抽样可知,抽取的10 辆车中,在9:00~9:40 通过的车辆数位于时间段

60,80 ,

80,100 这
两个区间内的车辆数为(400
200)
10
6
1000



,
车辆数X 的可能取值为0,1,2,3,4,
0
4
6
4
4
10
C C
1
(
0)
C
210
P X 


,
1
3
6
4
4
10
C C
24
4
(
1)
C
210
35
P X 



,
2
2
6
4
4
10
C C
90
3
(
2)
C
210
7
P X 



,
3
1
6
4
4
10
C C
80
8
(
3)
C
210
21
P X 



,
4
0
6
4
4
10
C C
15
1
(
4)
C
210
14
P X 



,
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
210
4
35
3
7
8
21
1
14
所以
1
4
3
8
1
12
(
)
0
1
2
3
4
210
35
7
21
14
5
E X 





.
(2)这1000 辆车在8:20 ~ 9:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值
100
300
400
200
30
50
70
90
64
1000
1000
1000
1000









,即9:04,
2
2
2
2
2
100
300
400
200
(30
64)
(50
64)
(70
64)
(90
64)
324
1000
1000
1000
1000














,
所以
18

.
估计在8:28 ~ 9:22 这一时间段内通过的车辆数,也就是28
82
T


通过的车辆数,
工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻


2
~
64,18
T
N
,






28
82
64
2 18
64 18
2
P
T
P
T
P
T


















1
2
2
2 P
T












1
0.8186
2 P
T









,
所以估计在8:28 ~ 9:22 这一时间段内通过的车辆数为800 0.8186
655


.