7.7 随机变量及其分布常考题型总结（提高）
题型一：条件概率与全概率公式的综合应用......................................2
题型二：利用随机变量分布列的性质解题.........................................4
题型三：两个相关的随机变量的分布列问题......................................5
题型四：离散型随机变量的分布列的综合应用...................................7
题型五：均值、方差的性质.......................................................... 9
题型六：均值与方差的综合应用...................................................11
题型七：二项分布的均值与方差...................................................14
题型八：超几何分布的均值与方差................................................15
题型九：二项分布与超几何分布的综合应用.................................... 17
题型十：正态曲线的对称性求概率................................................18
题型十一：正态分布的实际应用...................................................21
题型十二：随机变量及其分布综合问题..........................................24
7.7 随机变量及其分布常考题型总结（提高）
题型一：条件概率与全概率公式的综合应用
1.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布
2
100,10
N
，从中抽取一个同
学的数学成绩X ，记该同学的成绩为80
100
X
为事件A ，记该同学的成绩为70
90
X
为事件B ，则
在A 事件发生的条件下，B 事件发生的概率
P B A 为（
）（附参考数据：
0.68
P
X
，
2
2
0.95
P
X
，
3
3
0.99
P
X
）
A．27
95
B．36
95
C．12
95
D．24
95
2.现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3 个白球、2 个黑球，现从袋中随机依
次摸出2 个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回
袋中.记事件A “第一次摸球摸出黑球”，事件B “第二次摸球摸出白球”，则
P B A （）
A．6
25
B．8
25
C．3
5
D．4
5
3.随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行
方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不
迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上
班小明迟到的概率是（
）
A．0.24
B．0.14
C．0.067
D．0.077
4.小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B 两块题板中任选择
一个答题，已知他答对A 题板中题目概率为0.8，答对B 题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题
板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B 两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他
答的是A 题板中题目的概率是（
）
A．
3
11
B．
1
2
C．
8
11
D．1
5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选
拔，高一年级有
1
3的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有
1
4的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件�=“在三个年级中随机抽取的1 名学生是志愿者”；事件��=“在三个年级中随机抽取1 名学生，
该生来自高�年级”（�= 1,2,3）．请完成下表中不同事件的概率：
事件概率
��1 ��2 ��3 ���1 ���2 ���3 ��
概率值
1
3
(2)若在三个年级中随机抽取1 名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
6.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网
约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车
费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素
满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
题型二：利用随机变量分布列的性质解题
1.设�是一个离散型随机变量，其分布列如下，则�等于（
）
�
−1
0
1
�
1
3
1
−2�
3�2 −�+
1
3
A．
2
3
B．
1
3
C．
1
4
D．
3
4
2.从6 名男生和4 名女生中随机选出3 名同学参加一项竞技测试．
(1)求选出的3 名同学中至少有1 名女生的概率；
(2)设表示选出的3 名同学中男生的人数，求的分布列．
3.随机变量ξ的分布列如下：
�
−1
0
1
�
�
�
�
其中2�= �+ �，则�( �= 1)等于（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
2
3
4.某一射手射击所得环数�的分布列如下：
�
4
5
6
7
8
9
10
�
0.02
0.05
0.06
0.08
�
�
0.21
(1)求�的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数≤8”的概率．
5.已知离散型随机变量�的分布列��=
�
5 = ���= 1,2,3,4,5 ．
(1)求常数�的值；
(2)求��≥
3
5 ；
(3)求�
1
10 < �<
3
5 ．
题型三：两个相关的随机变量的分布列问题
1.设离散型随机变量X 的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
若随机变量�= �−2，则�(�= 2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
2.已知X 的分布列为
X
﹣1
0
1
P
1
2
1
3
1
6
且Y＝aX+3，E（Y）=
7
3，则a 为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.已知随机变量�的分布列如表所示．
�
−2
−1
0
1
2
3
�
1
12
1
4
1
3
1
12
1
6
1
12
(1)求随机变量�= �2的分布列；
(2)若��< �=
11
12，求实数�的取值范围．
4.某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000 元，每工作1 小时获取30 元．从该快
餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X 小时，获取的税前月工资为Y 元．
(1)当�= 110 时，求Y 的值；
(2)写出X 与Y 之间的关系式；
(3)若��≤120 = 0.6，求��> 4600 的值．
题型四：离散型随机变量的分布列的综合应用
1.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为
2
3 ,
1
2 ,
1
3，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为
2
3，第二次抽
中选择继续抽奖的概率为
1
4，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量�，求�的分布列．
2.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1 丙、丁
四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为
1
3；当乙接到毽子时，乙
传给甲、丙、丁的概率分别为
1
3，
1
2，
1
6；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为
1
3，
1
2，
1
6；当丁接
到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为
1
3，
1
6，
1
2.假设毽子一直没有掉地上，经过�次传毽子后，毽子被
甲、乙、丙、丁接到的概率分别为��，��，��，��，已知�1 = 0.
(1)记丁在前2 次传毽子中，接到毽子的次数为�，求�的分布列；
(2)证明��−
1
4 为等比数列，并判断经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率与
1
4的大小.
3.某公司在一种传染病毒的检测试剂吅上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型�和�.
现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂�和�合格的概率分别为
2
3和
3
5，第二次检测时两类试剂�和�
合格的概率分别为
3
4和
2
3.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.
(1)设经过两次检测后两类试剂�和�合格的种类数为�，求�的分布列;
(2)若地区排查期间，一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭
成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该
家庭每个成员检测呈阳性的概率均为�0 < �< 1 且相互独立，该家庭至少检测了3 个人才可以确定为“感
染高危户”率为��，若该家庭被确定为“感染高危户”，且当�= �0时，��最大，求�0的值.
4.中国的CT 机打破了欧美30 年的技术垄断，实现了从无到有的突破，中国的CT 机不仅在技术上达到了
国际水平，而且在价格上也更具竞争力.此外，中国的CT 机还具有更好的定制化服务，能够更好地满足不
同地区和不同医疗机构的需求，明峰医疗和联影医疗是中国CT 机行业中的佼佼者.2023 年8 月某医院购进
甲型CT 机2 台，乙型CT 机1 台，该医院决定按照以下方案调试新机器：每台设备最多进行
．．．．2．次调试
．．．，
只要调试成功就投入使用
．．．．．．．．．．．，每次调试费用0 元：如果两次调试均不成功，则邀请生产商上门调试，生产商
调试一台医院调试不成功的CT 机需要额外支付1000 元，生产商调试后直接投入使用；其中医院对甲机型
每次调试成功的概率为
2
3，对乙机型每次调试成功的概率为
1
2，调试相互独立.
(1)求医院不需要生产商上门调试的概率�；
(2)计算医院支付调试费用�的分布列.
题型五：均值、方差的性质
1.已知随机变量�服从两点分布，且��= 1 =
1
3，则�3�−2 和�3�−2 分别为（
）
A．3,2
B．−1,2
C．−1, −
4
3
D．−1,
2
3
2.设离散型随机变量�的分布列为
�
0
1
2
3
4
�
�
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量�满足�= 2�+ 1，则下列结论中正确的是（
）
A．�= 0.01
B．�(�) = 3
C．�(�) = 7.4
D．�(�) = 5
3.已知
,
B n p
，且
3
2
9.2
E
，
3
2
12.96
D
，则下列说法不正确的有（
）
A．
6
n
，
0.4
p
B．
6
1
1 0.6
P
C．
3
3
3
6
(
3)
C
0.6
0.4
P
D．
0,1,2,
,
P
k
k
n
中
3
P
是最大值
4.若随机变量X 服从两点分布，其中
1
0
3
P X
，
,
E X
D X 分别为随机变量X 的均值与方差，则下
列结论不正确的是（
）
A．
1
P X
E X
B．
3
2
4
E
X
C．
3
2
4
D
X
D．
2
9
D X
5.已知随机变量X 的分布列为
X
0
1
x
P
1
2
1
3
p
若��=
2
3，
(1)求��的值;
(2)若�= 3�−2，求��的值.
6.已知随机变量�的概率分布表如下表所示：
�
�1
�2
…
��
�
�1
�2
…
��
其中，��≥0，�= 1,2, ⋅⋅⋅, �，
�=1
�
��
σ
= 1，记随机变量�的数学期望和方差分别为��，��．求证：
(1)���+ �= ���+ �；
(2)��=
�=1
�
��
2
��−�2 �．
题型六：均值与方差的综合应用
1.某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30 天的新闻点击量变化数据，如下表所示.
在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，
即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相
同.
时段
新闻点击量
第1 天到第15 天
↑
-
↑
↓
↑
-
↓
↑
-
↓
↑
↓
-
↓
↓
第16 天到第30 天
-
↑
-
↑
-
↑
↓
↑
↓
↑
-
↓
↑
↓
↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15 天和后15 天中各随机抽取1 天，记�表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求�
的分布列和数学期望��；
(3)从样本给出的30 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下
降”或“不变”，然后继续统计接下来的10 天的新闻点击量，其中有6 天“上涨”、3 天“下降”、1 天“不变”，
相应地，从这40 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下降”
或“不变”，直接写出方差��，��大小关系.
2.我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家
建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6 个招标问题中随
机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中4 道题目，而乙公司能正确回答每道题
目的概率均为
2
3，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2 道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
3.气象部门提供了某地区今年六月份（30 天）的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t（单位：℃）
�
≤22℃
22℃< �
≤28℃
28℃< �
≤32℃
�
> 32℃
天数
6
12
Y
Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和Z 数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气
温不高于32℃的频率为0.9．
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t（单位：℃）
�
≤22℃
22℃< �
≤28℃
28℃< �
≤32℃
�
> 32℃
日销售额X（千元）
2
5
6
8
(1)求Y，Z 的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5 千元的概率．
4.为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5 元的价格从农场购
进若干西瓜，然后以每个10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16 个西瓜，求当天的利润�（单位：元）关于当天需求量�（单位：个，�∈N）的函
数解析式；
(2)水果店记录了100 天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量�
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16 个西瓜，�表示当天的利润（单位：元），求�的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16 个或17 个西瓜，你认为应购进16 个还是17 个？请说明理由．
题型七：二项分布的均值与方差
1.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3 位的二进制数�= �1�2�3，其中�的各位数中，���= 1,2,3
出现0 的概率为
1
3，出现1 的概率为
2
3．若启动一次出现的二进制数为�= 100，则称这次试验成功．若成功
一次得2 分，失败一次得−1 分，则81 次这样的独立重复试验的总得分�的数学期望为（
）
A．−63
B．−6
C．63
D．6
2.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独
立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．�(2�+ 1) = 160
B．�(�= 30) = C100
30 (0.8)30(0.2)70
C．�(2�+ 1) = 32
D．存在�≠50，使得�(�= �) = �(�= 100 −�)成立
3.现有60 道选择竞答题，两名同学独立完成，甲同学答对了36 道，乙同学答对了24 道，假设答对每道题
都是等可能的，试求：
(1)任选一道题目，恰有一个人答对的概率；
(2)任选10 道题目，记甲答对的题目数为�，求�的期望值．
4.某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同
方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标�的对比情况，随机地
抽取了部分甲生产线上产品该项指标的�值，并计算得到其平均数�ത= 74，中位数�= 72，随机地抽得乙
生产线上100 件产品该项指标的�值，并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)求乙生产线的产品指标�值的平均数�ത与中位数�（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生
产线较甲生产线的产品指标�值是否更好（如果|�ത−�| < |�ത−�|，则认为乙生产线的产品指标�值较甲生产
线的产品指标�值更好，否则不认为更好）．
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5 件产品，抽出指标�值不小于70 的产品个数用�表示，求�
的数学期望与方差．
题型八：超几何分布的均值与方差
1.已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进行检测，记取到的正品数为�，则下
列结论正确的是（
）
A．�2�−1 =
4
3
B．��=
1
5
C．��= 1
D．�2�−1 =
8
5
2.口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4 个小球．ξ表示当n＝3 时取出
黑球的数目，η表示当n＝4 时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（
）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
3.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机
抽取了50 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100 分，将数据分成6 组：[40,50)，[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80 分及以上的学生中随机抽取3 人，用�表示其成绩在[90,100]中的人数，求�
的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3 人中，用�表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差�(�)与�(�)的大小.（直接写结果）
4.某区域中的物种�拥有两个亚种（分别记为�种和�种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研
究小组计划在该区域中捕捉100 个物种�，统计其中�种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试
验结果.重复进行这个试验共20 次，记第�次试验中�种的数目为随机变量�� (�= 1,2, ⋯, 20).设该区域中�
种的数目为�，�种的数目为�，每一次试验均相互独立.
(1)求�1的分布列；
(2)记随机变量�ഥ=
1
20
�=1
20 ��
σ
.已知�(��+ ��) = �(��) + �(��)，�(��+ ��) = �(��) + �(��)；
（ⅰ）证明：�(�ഥ) = �(�1)，�(�ഥ) =
1
20 �(�1)；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到��的实际取值分别为�� (�= 1,2, ⋯, 20).数据�� (�= 1,2, ⋯, 20)的平均值
�ത= 40，方差�2 = 1.176.采用�ത和�2分别代替�(�ഥ)和�(�ഥ)，给出�，�的估计值.
题型九：二项分布与超几何分布的综合应用
1.口袋中有6 个球（除颜色外其他属性都相同），其中3 个黑球，2 个红球，1 个白球，�表示有放回的摸球
3 次，每次摸一个，取出红球的数目，�表示不放回的摸球3 次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结
论成立的是（
）
A．��< ��
B．��> ��
C．��= ��
D．无法判断
2.若10 件产品中有4 件次品和6 件正品．现从中随机抽取3 件产品，记取得的次品数为随机变量�，则下
列结论正确的是（
）
A．若是有放回的抽取，则��= 2 = 0.096
B．若是无放回的抽取，则��= 2 = 0.3
C．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，�的数学期望��相等
D．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，�的方差相等��相等
3.为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要
在�，�两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：�，�两名学生各自从6 个问题中随机抽取3 个问
题作答.已知这6 个问题中，学生�能正确回答其中的4 个问题，而学生�能正确回答每个问题的概率均为
2
3.�，
�两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求�，�两名学生恰好答对2 个问题的概率.
（2）设�答对的题数为�，�答对的题数为�，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
4.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题，按照答对
题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙
每题正确完成的概率都是
2
3，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
题型十：正态曲线的对称性求概率
1.某班学生的一次数学考试成绩�（满分：100 分）服从正态分布：�∼�85, �2 ，且�(83 < �< 87) =
0.3, �(78 < �< 83) = 0.13，则�(�< 78) =（
）
A．0.14
B．0.22
C．0.23
D．0.26
2.某校高三数学摸底考试成绩�（单位：分）近似服从正态分布�110, �2 ，且�90 < �< 130 = 0.86，
该校高三数学摸底考试成绩超过90 分的人数有930 人，则（
）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数比超过130 分的人数多．
3.为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行
动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100 名，统计出他们竞赛成绩分布如
下：
成绩（分）
[40.50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
(90,100]
人数
2
4
22
40
28
4
(1)求抽取的100 名居民竞赛成绩的平均分�ത和方差�2（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ，其中�近似为样本成绩
平均分�ത，�2近似为样本成绩方差�2，若�−�< �≤�+ 2�，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若�> �+ 2�，
参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000 名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96 分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若�∼��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈0.9545，�(�−3�<
�≤�+ 3�) ≈0.9973．
4.为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖
竞赛．现从该市所有参赛者中随机抽取了100 名参赛者的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率
分布表．
竞赛成绩
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
6
10
18
33
16
11
6
(1)求这100 名参赛者的竞赛成绩的样本均值�ത和样本方差�2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若该市所有参赛者的成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ，用样本估计总体，�近似为样本均值，�2近似
为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：226 ≈15）
①如果按照15.87%, 34.13%, 34.13%, 15.87%的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、
特等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）；
②若该市共有10000 名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）．
附：若随机变量X 服从正态分布��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈
0.9545, �(�−3�< �≤�+ 3�) ≈0.9973．
题型十一：正态分布的实际应用
1.我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选
考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B
＋，B，C
＋，C，D
＋，D，E 共8 个等级，
参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考
科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，
[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果
某次高考模拟考试物理科目的原始成绩�∼�(50,256)，那么D 等级的原始分最高大约为（
）
附：①若�∼�(�, �2)，�=
�−�
�，则�∼�(0,1)；
②当�∼�(0,1)时，�(�≤1.5) ≈0.9.
A．23
B．29
C．26
D．43
2.近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者
满意度调查，某县人口约为50 万人，从该县随机选取5000 人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5
组：50,60 、60,70 、⋯、90,100 ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：
分）近似地服从正态分布��, �2 ，且��−�< �< �+ �≈0.6826，��−2�< �< �+ 2�≈0.9544，
��−3�< �< �+ 3�≈0.9974，其中�近似为样本平均数，�近似为样本的标准差s，并已求得�= 12.
则以下不正确的是（
）
A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县�≥98.5 的人数约为2.3 万人
D．由正态分布估计全县62.5 ≤�< 98.5 的人数约为40.9 万人
3.自1996 年起，我国确定每年3 月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是
为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保
护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛
奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的
学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100 名学生的竞赛成绩，统
计如下：
成绩（分）
30,40
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
.
频数
6
12
18
24
18
12
10
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布�∼�(65,100)，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85 分的学生数（结果四舍五入到
整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4 名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65
分以上的学生数为Y，求随机变量Y 的分布列及数学期望.
附参考数据：若随机变量X 服从正态分布��, �2 ，则：�(�−�< �⩽�+ �) ≈0.6827, �(�−2�< �⩽�+
2�) ≈0.9545, �(�−3�< �⩽�+ 3�) ≈0.9973.
4.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成
绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽
取100 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于80 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60 分的学生中随机地抽取2 人，求
至少有1 人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数�的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩�服从正态分布��, �2 ，其中�可近似为样
本中的100 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且�2 = 361，已知小明的
预赛成绩为91 分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100 分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量�，每
一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第�题时“花”掉的分数为0.2�（�= 1，2，
⋯，�）；③每答对一题加2 分，答错既不加分也不减分；④答完�题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，
已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳
的复赛成绩，则他的答题数量�应为多少?
附：若�∼��, �2 ，则��−�< �< �+ �≈0.6827，��−2�< �< �+ 2�≈0.9545，��−3�< �<
�+ 3�≈0.9973；362 ≈19．
题型十二：随机变量及其分布综合问题
1.近年随着全民健身运动的大力推广，2023 年下半年某市举办第二届职工足球比赛.假设共有12 支队伍参
加比赛，12 支队伍分成三个小组，每小组四支球队，每小组进行单循环比赛（小组内的每两支队伍比赛一
场），胜利方得3 分，平局各得1 分，输球方不得分.每小组的前2 名直接进入第二阶段淘汰赛，剩下六支
队伍中成绩最好的前两名也进入第二阶段淘汰赛，一共有八支队伍进入第二阶段淘汰赛，淘汰赛中胜利方
直接进入下一轮，输球方直接淘汰，直到决出冠军､亚军和季军.
(1)问本次比赛一共要打多少场比赛？
(2)假设小组赛时甲所在小组每队实力相当，胜平负都是等可能，记X 表示小组赛时甲队比赛得分，求X 的
分布列及数学期望.
2.来自微碧江的报道：2023 年6 月17 日，铜仁市碧江区第二届房地产交易展示会在三江公园隆重开幕．据
了解，本次房交会以政府搭台、企业让利、政策支持、百姓受益为办展宗旨，聚集了碧江区17 家房开企
业、18 个楼盘参展，2080 套房源、25 万平方米供群众选购，9 大银行和公积金中心在现场助阵和提供咨
询服务．本次房交会从6 月17 日持续到6 月22 日，期间每天都安排有精彩演出、免费美食、互动游戏、
露天电影和游江龙舟五类活动．
(1)甲、乙两名市民参加了不同类的活动，且每人只参加一类活动．已知甲参加了免费美食的活动，求乙参
加游江龙舟活动的概率是多少?
(2)已知来自某小区的市民参加互动游戏的概率是1
10 ，设来自该小区的2 名市民参加互动游戏的人数为，
求的分布列与期望．
3.2023 年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情
况，在某高速公路收费点记录了10 月1 日上午8:20 ~ 9:40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时
间段内共有1000 辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20 ~ 8:40 记作区间[20,40) ，8:40 ~ 9:00 记
作
40,60 ，9:00 ~ 9:20记作
60,80 ，9: 20 ~ 9: 40记作
80,100 ，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，
已知
2
m
n
，8:20 ~ 9:40 时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段
[20,40)
40,60
60,80
80,100
频数
100
300
m
n
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000 辆车中抽取10 辆，再从这10 辆车中随机抽
取4 辆，设抽到的4 辆车中在9：00~9：40 通过的车辆数为X ，求X 的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻
2
~
,
T
N
，其中可用（1）中这
1000 辆车在8:20 ~ 9:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，
2
可用样本的方差近似代替（同一
组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800 辆车通过该收费点，估计在8:28 ~ 9:22 之间通
过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若
2
~
,
T
N
，则①
0.6827
P
T
；②
2
2
0.9545
P
T
；
③
3
3
0.9973
P
T
.
