7.6 随机变量及其分布常考题型总结（基础）
题型一：条件概率的计算............................................................. 2
题型二：利用全概率公式求概率.................................................... 3
题型三：离散型随机变量的判断.................................................... 4
题型四：求离散型随机变量的分布列...............................................5
题型五：两点分布......................................................................7
题型六：离散型随机变量的均值.................................................... 8
题型七：求离散型随机变量的方差、标准差......................................9
题型八：二项分布的概率最大问题................................................12
题型九：超几何分布的判断........................................................ 13
题型十：正态曲线的特点........................................................... 14
题型十一：利用3σ原则求概率.................................................... 16
7.6 随机变量及其分布常考题型总结（基础）
题型一：条件概率的计算
1.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4 名大
学生将前往3 处场地A，B，C 开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加
且只能去一处场地，则当甲去场地A 时，场地B 有且只有1 名志愿者的概率为（
）
A．3
4
B．21
50
C．6
11
D．3
5
2.某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为
2
3，连续答
对两道题的概率为
1
2.用事件A 表示“甲选手答对第一道题”，事件B 表示“甲选手答对第二道题”，则�(�|�)
＝（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
4
3.已知��= 0.5，��= 0.3，��∩�= 0.1，求��|�=（
）
A．
1
10
B．
1
3
C．
1
5
D．1
4.某校从学生文艺部6 名成员（4 男2 女）中，挑选2 人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
5.在一个盒子中有大小与质地相同的20 个球，其中10 个红球，10 个白球，两人依次不放回地各摸1 个球，
求：
(1)在第一个人摸出1 个红球的条件下，第二个人摸出1 个白球的概率；
(2)第一个人摸出1 个红球，且第二个人摸出1 个白球的概率.
题型二：利用全概率公式求概率
1.某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%和35%，
又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03 和0.02.
(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自
同一流水线的概率；
(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
2.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手
机超过1 小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生，则
他近视的概率为（
）
A．
5
21
B．
9
40
C．
9
20
D．
7
20
3.甲、乙两个袋子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲袋中有2 个红球，2 个白球和1 个黑球，乙袋中
有3 个红球，1 个白球和1 个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事
件�1, �2和�3分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件�表示从乙袋中取出的球是红球，则
�(�)=（
）
A．
17
30
B．
3
5
C．
9
22
D．
4
11
4.莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，
发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为大家准备了4 种礼物，分别是莆田文化金
属书签､莆阳古厝徽章､广化寺祈福香包､湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点，则有两次
抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物.假设打卡
二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3 人，求3 人抽奖总次数不低于4 次的概率；
(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
题型三：离散型随机变量的判断
1.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数�；
②一个沿�轴进行随机运动的质点，它在�轴上的位置�；
③某派出所一天内接到的报警电话次数�；
④某同学上学路上离开家的距离�．
其中是离散型随机变量的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（
）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数�1；
②一个沿直线�= 2�进行随机运动的质点离坐标原点的距离�2；
③某同学射击3 次，命中的次数�3；
④某电子元件的寿命�4；
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
3.下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
4.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10 张已编好号码的卡片(1 号到10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
题型四：求离散型随机变量的分布列
1.已知随机变量X 的分布列为
X
1
0
1
P
1
4
1
4q
q
则实数q （
）
A．1
4
B．1
6
C．1
8
D．1
12
2.一个袋中装有5 个形状大小完全相同的小球，其中红球有2 个，白球有3 个，从中任意取出3 个球.
(1)求取出的3 个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X 表示取得红球的个数，求随机变量X 的分布列.
3.设离散型随机变量�的分布列如下表：
�
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
则�=__________；作出2�+ 1 的分布列；作出�−1 的分布列．
4.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨
论学习.甲组一共有4 人，其中男生3 人，女生1 人；乙组一共有5 人，其中男生2 人，女生3 人.现要从
这9 人的两个兴趣小组中抽出4 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件�为“选出的这4 个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件�
发生的概率；
(2)用�表示抽取的4 人中乙组女生的人数，求随机变量�的分布列.
题型五：两点分布
1.已知离散型随机变量�的分布列服从两点分布，且��= 0 = 2 −5��= 1 = �，则�=（
）
A．
3
4
B．
1
2
C．
1
3
D．
2
3
2.已知随机变量��满足���= 0 = ��，���= 1 = 1 −��，且0 < ��<
1
2，�= 1,2．若��1 < ��2 ，则（
）．
A．�1 < �2，且��1 < ��2
B．�1 > �2，且��1 > ��2
C．�1 < �2，且��1 > ��2
D．�1 > �2，且��1 < ��2
3.在一次购物抽奖活动中，假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张，可获价值50 元的奖品，有二等奖奖券3
张，每张可获价值10 元的奖品，其余6 张没有奖品．顾客甲从10 张奖券中任意抽取1 张，求中奖次数X
的分布列．
4.袋中有除颜色外都相同的红球10 个，白球5 个，从中摸出2 个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问
如何定义随机变量X，才能使X 满足两点分布，并求分布列．
题型六：离散型随机变量的均值
1.已知某随机变量X 的分布为
�
-1
1
2
�
0.3
0.2
�
则��等于（
）
A．0.9
B．0.7
C．1.2
D．无法确定
2.元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15 个大小和形状均相同的小球，其中白球10 个，红球5 个，
每次摸出2 个球．若摸出的红球个数为�，则�5�−5 =（
）
A．−
5
3
B．
5
3
C．−
10
3
D．
10
3
3.我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120 个学生，得到这些学生5 天
内每天坚持自主学习时长�（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5 小时．
时长�
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
4，5
学生数
30
24
40
16
10
(1)估计这120 个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)以表中�的分组中各组的频率为概率，校领导要从120 名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的
时长�∈[0,1)，则赠送家长慰问金100 元；抽取的时长�∈[1,2)，则赠送家长慰问金200 元；抽取的时长�∈
2,5 ，则赠送家长慰问金300 元．设抽取的2 名学生家长慰问金额之和为�，求�的分布列及数学期望．
4.学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20 米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”
考核合格得4 分，否则得0 分；“20 米运球绕杆射门”考核合格得6 分，否则得0 分.现将某班学生分为两组，
一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20 米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进
行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个
项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20 米运球绕杆射门”考核合
格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记�为小明结束考核后的累计得分，求�的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
题型七：求离散型随机变量的方差、标准差
1.设0 < �< 1，随机变量�的分布列为
�
0
1
2
P
2 −�
3
1
3
b
则当�在(0,1)内增大时（
）
A．��增大
B．��减小
C．��先减小后增大
D．��先增大后减小
2.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局
甲赢的概率都是
1
3，随机变量�表示最终的比赛局数，则（
）
A．��=
26
9 , ��=
8
81
B．��=
26
9 , ��=
20
81
C．��=
22
9 , ��=
8
81
D．��=
22
9 , ��=
20
81
3.某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广
告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X 分别为0 元，20 万元，40 万元，且��= 20 = 0.3，
期望��= 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y 分别为10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差��；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
4.不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12 款不粘锅商品，并
委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6 项性能项
目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6 个
指标．其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下：
检测结果
检测结果
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
1
品牌1
Ⅰ级
Ⅰ级
7
品牌7
Ⅰ级
Ⅰ级
2
品牌2
Ⅱ级
Ⅰ级
8
品牌8
Ⅰ级
Ⅰ级
3
品牌3
Ⅰ级
Ⅰ级
9
品牌9
Ⅱ级
Ⅱ级
4
品牌4
Ⅱ级
Ⅱ级
10
品牌10
Ⅱ级
Ⅱ级
5
品牌5
Ⅰ级
Ⅰ级
11
品牌11
Ⅱ级
Ⅱ级
6
品牌6
Ⅱ级
Ⅰ级
12
品牌12
Ⅱ级
Ⅱ级
（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
(1)从这12 个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率：
(2)从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌
个数恰为2 个的概率；
(3)顾客甲从品牌�，�+ 1，�+ 2 �= 1，4，7，10 中随机选取1 个品牌，用“��= 1”表示选取的品牌两
个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级，“��= 0”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ级（k=1，4，
7，10）．写出方差��1, ��4, ��7, ��10的大小关系（结论不要求证明）．
题型八：二项分布的概率最大问题
1.若�~�10,0.5 ，则��= �取得最大值时，�=（
）
A．4 或5
B．5 或6
C．10
D．5
2.设随机变量�∼��, �，记��= ��
���(1 −�)�−�, �= 0,1,2, ⋯, �.在研究��的最大值时，某数学兴趣小组的
同学发现：若�+ 1 �为正整数，则�= �+ 1 �时，��= ��−1，此时这两项概率均为最大值；若�+ 1 �
为非整数，当�取�+ 1 �的整数部分，则��是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地
均匀的股子并实时记录点数1 出现的次数.当投郑到第30 次时，记录到此时点数1 出现7 次，若继续再进
行70 次投掷试验，则当投掷到第100 次时，点数1 总共出现的次数为（
）的概率最大
A．16
B．17
C．18
D．19
3.某种植户对一块地的��∈�∗, �> 2 个坑进行播种，每个坑播3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2，且
每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要
补播种.
(1)从�个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？
(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？
(3)当�取何值时，有3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
4.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要
力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软
件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件
正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了�(�≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个
数为X，�= �(�= 0,1, ⋯, �)的概率记为��= �，则n 为何值时，��= 6 的值最大？
题型九：超几何分布的判断
1.一个袋中有6 个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4 个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中
任取4 个球，有如下几种变量：
①X 表示取出的最大号码；
②X 表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2 分，取出一个白球记1 分，X 表示取出的4 个球的总得分；
④X 表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(
)
A．①②
B．③④
C．①②④
D．
①②③④
2.在一个袋中装有质地大小一样的6 个黑球，4 个白球，现从中任取4 个小球，设取的4 个小球中白球的
个数为X，则下列结论正确的是（
）
A．�(�= 1) =
2
5
B．随机变量�服从二项分布
C．随机变量�服从超几何分布
D．��=
8
3
3.一个袋子中100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球作为样
本，用随机变量�表示样本中黄球的个数，则�服从（
）
A．二项分布，且��= 8
B．两点分布，且��= 12
C．超几何分布，且��= 8
D．超几何分布，且��= 12
4.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6 的骰子的个数记为�，求�的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10 颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为�，求�的分
布列；
(3)盒子中有红球3 只，黄球4 只，蓝球5 只，任取3 只球，把不是红色的球的个数记为�，求�的分布列；
(4)某班级有男生25 人，女生20 人．选派4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数
记为�，求�的分布列；
(5)现有100 台平板电脑未经检测，抽取10 台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为�，求�
的分布列．
题型十：正态曲线的特点
1.设�~��1, �1
2 ，�~��2, �2
2 ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．�1 > �2
B．�1 > �2
C．��≥�2 ≥��≥�1
D．��≤�2 ≥��≤�1
2.已知三个正态分布密度函数��(�) =
1
2���
−(�−��)2
2��2 (�∈�, �= 1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是
（
）
A．�1 = �2>�3
B．�1 > �3
C．�1 = �2
D．�2 < �3
3.已知某公司人均月收入X 服从正态分布，其密度函数图像如图所示．
(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；
(2)求此公司人均月收入在8 000～8 500 元之间的人数所占的百分比．
4.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），
经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X 和Y 表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X 和Y 的概率密度曲线如图（a）所示，如果
某天有38min 可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min 可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理
由.
（提示：
（2）中X 和Y 的概率密度曲线分别反映的是X 和Y 的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，
图（b）中阴影部分的面积表示的就是X 取值不大于38min 时的概率.）
题型十一：利用3σ原则求概率
1.已知服从正态分布�(�,�2)的随机变量在区间(�−�,�+ �),(�−2�,�+ 2�)和(�−3�,�+ 3�)内取值的概
率约为68.3%，95.4%和99.7%.若某校高一年级1000 名学生的某次考试成绩X 服从正态分布�90, 152 ，
则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有（）
A．997 人
B．972 人
C．954 人
D．683 人
2.某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000 名学生参赛，统计得考试成绩�（满分150 分）服从正态分
布�110,100 .考试成绩140 分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（
）附：�(�−
�< �< �+ �) = 0.6826, �(�−2�< �< �+ 2�) = 0.9544, �(�−3�< �< �+ 3�) = 0.9974.
A．26
B．52
C．456
D．13
3.设�∼�1, 22 ，试求：
(1)�−1 < �≤3 ；
(2)�3 < �≤5 .
参考数据：��−�< �≤�+ �≈0.6826，��−2�< �≤�+ 2�≈0.9544
4.某公司建有1000 个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X 服从正态分布��, �2 ，其中�=
376, �2 = 12100，公司把销售件数不小于596 的群称为“A 级群”，销售件数在[266,596)内的群为“B 级群”，
销售件数小于266 的群为“C 级群”．
(1)若�(�< �) ≥�(�> 2�−1)，求a 的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A 级群”奖励1000 元，每个“B 级群”奖励500 元，每个“C 级群”奖励200 元，那么公
司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，�~��, �2 ，则�(�−�< �< �+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �< �+ 2�) ≈0.9545，�(�−3�<
�< �+ 3�) ≈0.9973．
