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专题十五 《概率与分布列》讲义
15.3 二项分布与超几何分布
题型一 . 二项分布
1．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活．网购的苹果在运输过程中容
易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影
响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为 ．
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中
的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
3．设A，B两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得 1
1
分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛A队获胜的概率均为 ，
3
且各局比赛相互独立，则比赛结束时A队得分比B队高3分的概率为 ．
4．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X
表示抽到的二等品件数，则DX＝ ．
5．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝
．
6．乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分
为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规
定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的
1 1
来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，
2 3
1 3
小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ．假设共有两次来球且落在A，B
5 5
上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望．
ξ
7．人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体
重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40，45），第2组[45，50），第3组[50，55），第4组[55，60），第5组[60，65]，并制成如图所
示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1：3，第3组的频数为90．
（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；
（Ⅱ）用这些样本数据估计全市高二学生（学生数众多）的体重．若从全市高二学生中
任选5人，设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X的分布列和数学期望．
8．有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，
要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得
20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得﹣150分）．设每
1
次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
2
（Ⅰ）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？
（Ⅱ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运
用概率统计的相关知识分析其中的道理．
9．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p
（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p ．
0
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p 作为p
0
的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件
不合格品支付25元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，
求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作
检验？题型二 . 超几何分布
1．100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次
品的概率为（ ）
A．0.42 B．0.3 C．0.7 D．0.21
2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个
村庄中交通不方便的村庄数，则P（X＝4）＝ ．（用数字表示）
3．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为
．
4．已知超几何分布满足X～H（3，5，8），则P（X＝2）＝ ．
5．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．现采用分层抽样的方
法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做
进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求
事件A发生的概率．
6．某学校400名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全部都在12秒到17秒之间，现抽取其
中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，
14），…，第五组[16，17]，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）请估计该校400名学生中，成绩属于第三组的人数；
（2）请估计样本数据的中位数（精确到0.01）；
（3）若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第五组则只有一名男生，其他都
是女生，现从第一、第五组中各抽取2名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为
X，求X的分布列和期望．
7．2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求．
某城市实行网格化管理，该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（单位：斤，2斤＝1千克），
体重不超过9.8千克的为合格．
（1）从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿，求网格1至少有一个婴儿体重合格且网
格2至少有一个婴儿体重合格的概率；
（2）妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检
通过，若至少3个合格，则抽检为良好，求网格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良
好的概率；
（3）若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X表示网格2内婴儿的个数，
求X的分布列与数学期望．
课后作业 . 二项分布与超几何分布
1．福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大
致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需
要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概
3 4 2
率分别为 ， ， ，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
4 5 3
（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X概率分布列及期望；
2．翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知
道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡
翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石
2
规则，规则甲的赌中率为 ，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P （0＜P ＜
0 0
3
1），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中
与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．
（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获
7
得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为 ，求P 的大小；
0
9（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他
们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？
3．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择
校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能 6：
15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个
路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯
1
的概率均为 ，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计
3
如下：
红灯 1 2 3 4 5
等待时间 60 60 90 30 90
（秒）
（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；
（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量 Y的分布列和数学期
望．
4．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若
从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．
5．在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）
个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中
恰有2个红球的概率；
4
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是 ，求红球的个数；
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（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个
黑球记2分，取出1个红球记3分．用 表示取出的2个球所得分数的和，写出 的分布
列，并求 的数学期望E ． ξ ξ
ξ ξ
