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专题十五 《概率与分布列》讲义
15.2 条件概率与独立事件
题型一 . 条件概率
1．在一副扑克牌中任取一张，记事件A表示“抽到草花”，事件B表示“抽到草花
的数字为“5”，则P（B|A）＝（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
52 13 4 13
【解答】解：在一副扑克牌中任取一张，记事件A表示“抽到草花”，
事件B表示“抽到草花的数字为“5”，
13 1
P（A）= ，P（AB）= ，
54 54
1
P(AB) 54 1
∴P（B|A）= = = ．
P(A) 13 13
54
故选：B．
2．某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的
概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前
提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）
A．0.85 B．0.80 C．0.60 D．0.56
【解答】解：某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路
口遇到红灯的概率为0.75，
两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，
设事件A表示“第一个路口遇到红灯”，事件B表示“第二个路口遇到红灯”，
则P（A）＝0.75，P（AB）＝0.60，
∴在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为：
P(AB) 0.6
P（B|A）= = =0.8．
P(A) 0.75
故选：B．
3．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现
是假钞，则两张都是假钞的概率是（ ）
2 1 2 4
A． B． C． D．
7 7 17 17【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有
一张假钞”，
则所求的概率即P（A|B）．
C2 C2+C1 ⋅C1
又 P(AB)=P(A)= 5 ， P(B)= 5 5 15，
C2 C2
20 20
结合条件概率公式可得： P(A|B)= P(AB) = C 5 2 = 2 ．
P(B) C2+C1 ⋅C1 17
5 5 15
故选：C．
4．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里
取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（ ）
3 1 7 2
A． B． C． D．
10 3 10 3
【解答】解：一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回
的再从盒子里取出一个小球，
设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取出白球”，
7 7 3 7
则P（A）= ，P（AB）= × = ，
10 10 9 30
∴第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是：
7
P(AB) 30 1
P（B|A）= = = ．
P(A) 7 3
10
故选：B．
5．一张储蓄卡的密码共有8位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动
提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率：
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
【解答】解：记“第i次按对密码”为事件A（i＝1，2）“不超过2次就按对密码“为
i
事件A
1 9 1 1
（1）P（A）＝P（A ）+P（A A ）= + × =
1 1 2 10 10 9 5
（2）记“最后一位按偶数”为事件B1 4 1 2
则P（A|B）＝P（A |B）+P（（A A |B）= + × = ．
1 1 2 5 5 4 5
6．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3
个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有 4个次品的包数占30%，而其余包中各含
有1个次品，求采购员拒绝购买的概率．
【解答】解：记事件B 为“取到的是含有4个次品的包”；事件B 为“取到的是含一
1 2
个次品的包”，
事件A为“采购员拒绝购买”，则P（B ）＝0.3；P（B ）＝0.7．
1 2
根据条件概率公式可知，P（A|B 1 ）＝1 − C 6 3 = 5；P（A|B 2 ）＝1 − C3 9 = 3 ，
C3 6 C3 10
10 10
所 以 由 全 概 率 公 式 得 P （ A ） ＝ P （ B ） P （ A|B ） +P （ B ） P （ A|B ）
1 1 2 2
3 5 7 3 23
= × + × = ．
10 6 10 10 50
23
所以采购员拒绝购买的概率为 ．
50
7．已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，
其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师
到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市
里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是 .
【解答】解：设“在B学校抽取到市里上公开课的是男老师”为事件M，“从A学校抽
到B学校的老师是男老师”为事件N，
6 3 9 4 18
则P（M）= × + × = ，
15 11 15 11 55
9 4 12
P（MN）= × = ，
15 11 55
12
P(MN) 55 2
∴P（N/M）= = = ．
P(M) 18 3
55
题型二 . 独立事件
1．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑
球，先从甲罐中机取出一个球放入乙罐，分别以A ，A ，A 表示由甲罐取出的球是红
1 2 3球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球
的事件，下列结论中不正确的是（ ）
A．事件B与事件A 不相互独立
1
B．A 、A 、A 是两两互斥的事件
1 2 3
3
C．P（B）=
5
7
D．P（B|A ）=
1
11
【解答】解：由题意A ，A ，A 是两两互斥事件，
1 2 3
5 1 2 1 3
P（A ）= = ，P（A ）= = ，P（A ）= ，
1 2 3
10 2 10 5 10
1 7
×
P(BA ) 2 11 7
P（B|A ）= 1 = = ，
1
P(A ) 1 11
1
2
6 6
P（B|A ）= ，P（B|A ）= ，
2 3
11 11
P（B）＝P（A B）+P（A B）+P（A B）＝P（A ）P（B|A ）+P（A ）P（B|A ）+P
1 2 3 1 1 2 2
1 7 1 6 3 6 13
（A ）P（B|A ）= × + × + × = ．
3 3
2 11 5 11 10 11 22
所以C不正确．
故选：C．
2．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，
1 4
遇到红灯的概率都是 ，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
3 27
1 1 1
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 ， ， ，假设他们破译
5 3 4
2
密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
5
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个
1
球，则取到同色球的概率为
21
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生的概率与B发生A不
9
2
发生的概率相同，则事件A发生的概率是
9
【解答】解：对于A，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情况是：
前2个路口都遇到绿灯，第3个路口遇到红灯，
2 2 1 4
其概率为P= × × = ，故A正确；
3 3 3 27
对于B，此密码被破译的对立事件是三个人同时没有破译密码，
1 1 1 3
∴此密码被破译的概率为P＝1﹣（1− ）（1− ）（1− ）= ，故B错误；
5 3 4 5
对于C，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为：
8 6 4 6 1
P= × + × = ，故C正确；
12 12 12 12 2
{ 1
对于D，由题意得 (1−P(A))(1−P(B))= ，
9
P(A)(1−P(B))=(1−P(A))P(B)
2
解得P（A）＝P（B）= ，故D错误．
3
故选：AC．
3．如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N 、N ，当元件A、B、C都正常工
1 2
作时，系统N 正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统
1
N 正常工作．系统N ，N 正常工作的概率分别为p ，p ，
2 1 2 1 2
（Ⅰ）若元件A、B、C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求p ，p ；
1 2
（Ⅱ）若元件A、B、C正常工作的概率的概率都是p（0＜p＜1），求p ，p ，并比较
1 2
p ，p 的大小关系．
1 2
【解答】解：（1）设元件A、B、C正常工作为事件A，B，C，则A，B，C相互独立
P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，P（C）＝0.8，
故p ＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝0.5×0.6×0.8＝0.24，
1p ＝P（A•（B+C））＝P（A）[1﹣P（B⋅C）]＝0.5×（1﹣0.4×0.2）＝0.46．
2
（2）P（A）＝P（B）＝P（C）＝p， ，
p =P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=p3
1
p ＝P（A•（B+C））＝P（A）[1﹣P（B⋅C）]＝p[1﹣（1﹣p）2]，
2
p −p =p3−p[1−(1−p) 2]=2p3−2p2=2p2(p−1)
1 2
又0＜p＜1，故p ﹣p ＜0，即p ＜p ．
1 2 1 2
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔
1 1
掉，问第二次才能打开门的概率是 ．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 ．
3 4
【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为
2 2 1
× = ．
4 3 3
2 2 1
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为 × = ，
4 4 4
1 1
故答案为： ； ．
3 4
5．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放
回并往盒中加入同色球 4 个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为
（ ）
3 7 7 31
A． B． C． D．
5 9 15 45
【解答】解：盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，
从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，
若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，
2 3 2
则此时取出黄色球的概率为：P = × = ，
1
5 9 15
若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，
3 7 7
则此时取出黄色球的概率为：P = × = ，
1
5 9 15
∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：
2 7 3
P＝P +P = + = ．
1 2
15 15 5故选：A．
6．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球、2个白球，
乙袋中有2个红球、3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（
）
4 9 12 13
A． B． C． D．
5 25 25 25
【解答】解：甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，
其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数n＝5×5＝25，
两球不同颜色包含的基本事件个数m＝3×3+2×2＝13，
13
则两球不同颜色的概率为p= ．
25
故选：D．
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日期：2021/12/9 15:23:35；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
课后作业 . 条件概率与独立事件
1．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、
环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件 A为4名“同
学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（B|A）＝
（ ）
1 3 2 5
A． B． C． D．
4 4 9 9
【解答】解：事件A的基本事件有 种，A∩B事件的基本事件有 6种，
A4=24 A3=
4 3
6 1
则P（B|A）= = ．
24 4
故选：A．
2．已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是
（ ）
3 3 1 1
A． B． C． D．
10 5 2 6
【解答】解：3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测
一件产品，检测后不放回，
设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，
3 3 2 3
P（A）= ，P（AB）= × = ，
5 5 4 10
则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：
3
P(AB) 10 1
P（B|A）= = = ．
P(A) 3 2
5
故选：C．
3．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，
规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为
5
．
16
【解答】解：我们把从顶点A到3的路线图单独画出来：
分析可得，
1
从顶点A到3总共有C 2＝10种走法，每一种走法的概率都是 ，
5
2
1 5
∴珠子从出口3出来是C2（ ）5= ．
5 2 164．甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲
3 2
猜对每个谜语的概率为 ，乙猜对每个谜语的概率为 ，甲、乙在猜谜语这件事上互不
4 3
5
影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 ．
12
【解答】解：甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个
谜语，
3 2
甲猜对每个谜语的概率为 ，乙猜对每个谜语的概率为 ，
4 3
甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，
则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为：
3 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 5
P= × × × + × × × + × × × + × × × = ．
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 12
5
故答案为： ．
12
5．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，
这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人
占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在
一年内出事故的概率是（ ）
A．0.175 B．0.085 C．0.125 D．0.225
【解答】解：某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．
统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．
“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占
30%，
则一个被保险人在一年内出事故的概率是：
P＝0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%＝0.175．
故选：A．
3
6．某地市场调查发现， 的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买
5
3
家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为 ，
49
而在实体店购买的家用小电器的合格率为 ．现该地市场监管局接到一个关于家用小
10
电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ）
3 11 15 3
A． B． C． D．
20 15 19 4
3
【解答】解：∵大约 的人喜欢在网上购买家用小电器，
5
3
网上购买的家用小电器合格率约为 ，
4
3 3 3
故网上购买的家用小电器被投诉的概率为 ×（1− ）= ，
5 4 20
9
又∵实体店里的家用小电器的合格率约为 ．
10
3 9 1
∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1− ）×（1− ）= ，
5 10 25
故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电
3
20 15
器是在网上购买的可能性P= = ．
3 1 19
+
20 25
故选：C．
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