7.4 二项分布与超几何分布
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：相互独立事件................................................................ 2
考点二：n 重伯努利试验及其特征..................................................2
考点三：二项分布......................................................................2
考点四：二项分布的均值与方差.................................................... 2
考点五：超几何分布................................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：n 重伯努利试验的判断.....................................................2
题型二：利用二项分布求分布列.................................................... 3
题型三：二项分布的概率最大问题..................................................5
题型四：二项分布的均值与方差.................................................... 6
题型五：建立二项分布解决实际问题...............................................9
题型六：超几何分布的判断........................................................ 13
题型七：超几何分布的概率........................................................ 14
题型八：超几何分布的均值........................................................ 14
题型九：超几何分布的方差........................................................ 15
题型十：二项分布和超几何分布的综合..........................................17
模块三：综合巩固....................................................................... 20
7.4 二项分布与超几何分布
模块一：基础知识
考点一：相互独立事件
1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
2．设A,B 是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B 相互独立,简称A,B 独立．
考点二：n 重伯努利试验及其特征
1．伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2．n 重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．
3．n 重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n 次．(2)各次试验的结果相互独立．
考点三：二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，
则X 的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)．
考点四：二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点五：超几何分布
1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用
X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为
P(X＝k)＝CkMCn－k
N－M
CnN
，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．
2．均值：E(X)＝nM
N .
模块二：题型分类
题型一：n 重伯努利试验的判断
1.n 重伯努利试验的定义及特征
（1）定义：将一个伯努利试验
进行
所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．
（2）特征：①同一个伯努利试验重复做
．
②各次试验的结果
．
2. n 重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
3.下列例子中随机变量服从二项分布的有
．
①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数
M
N
；
④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数
M
N
．
题型二：利用二项分布求分布列
1.已知�∼�4,
1
3 ，则�(�= 1) =（
）
A．
8
81
B．
32
81
C．
4
27
D．
8
27
2.已知随机变量�服从二项分布�∼�6,
1
3 ，则��= 2 等于（
）
A．
13
16
B．
4
243
C．
13
243
D．
80
243
3.设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p 等于(
)
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
4．（22-23 高二下·重庆·期末）若
1
6, 3
B
，则
4
P
（
）
A．3
16
B．20
243
C．13
243
D．80
243
5.有8 件产品，其中4 件是次品，从中有放回地取3 次（每次1 件），若X 表示取得次品的次数，则�(�≤2) =
（
）
A．
3
8
B．
13
14
C．
4
5
D．
7
8
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛
获胜的概率均为2
3 ，则甲以3∶1 的比分获胜的概率为(
)
A．8
27
B．64
81
C．4
9
D．8
9
7.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10 门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3
次的概率为A；若击中目标记2 分，记10 门大炮总得分的期望值为B，则A，B 的值分别为（
）
A．15
128 ，5
B．15
128 ，10
C．15
256 ，5
D．15
256 ，10
8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，
否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为1
9 ，第二轮检测不合格的概率为1
10 ，两轮检测是否
合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损80
元，已知一轮中有4 件产品，记一箱产品获利X 元，则
80
P X
等于（
）
A．96
625
B．256
625
C．608
625
D．209
625
题型三：二项分布的概率最大问题
1.若X～B 7,
1
2 ，则使P（X＝k）最大的k 的值是（
）
A．2
B．3
C．4 或3
D．4
2.某人在11 次射击中击中目标的次数为X，若�~�11,0.8 ，若��= �最大，则k＝（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
3.经检测一批产品中每件产品的合格率为3
5 ，现从这批产品中任取5 件，设取得合格产品的件数为X ，则
以下选项正确的是（
）
A．X 的可能取值为1，2，3，4，5
B．
3
2
2
5
3
2
(
2)
C
5
5
P X
C．
3
X
的概率最大
D．X 服从超几何分布
4.某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且
,0.7
X
B n
，记
kP
P X
k
，
0,1,2,
,
k
n
L
，若
7P 是唯
一的最大值，则
E X 的值为（
）
A．7
B．7.7
C．8.4
D．9.1
5.已知�∼��, �，若4��= 2 = 3��= 3 ，则�的最大值为（
）
A．
5
6
B．
4
5
C．
3
4
D．
2
3
6.设随机变量�∼��, �，记��= C�
���1 −��−�，�= 0,1,2, ⋯, �，下列说法正确的是（
）
A．当k 由0 增大到n 时，��先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大.二项分布当�= 0.5 时是
对称的，当�< 0.5 时向右偏倚，当�> 0.5 时向左偏倚
B．如果�+ 1 �为正整数，当且仅当�= �+ 1 �时，��取最大值
C．如果�+ 1 �为非整数，当且仅当k 取�+ 1 �的整数部分时，��取最大值
D．��= ��1 −�
题型四：二项分布的均值与方差
1.设随机变量�∼�4,
2
3 ，则下列说法不正确的有（
）
A．��= 1 =
8
81
B．��= 2 = ��= 3
C．�的数学期望��=
8
3
D．�的方差��=
8
9
2.已知
1
~
4, 2
X
B
，则
(3
2)
E
X
（
）
A．12
B．9
C．6
D．4
3.某次数学测验共有10 道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的
题目数为X ，且X 服从二项分布
1
10, 4
B
，则以下说法错误的是（
）
A．
5
2
E X
B．
15
8
D X
C．
2
1
6
E
X
D．
3
1
4
P X
4.在3 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为
63
64，则事
件A 发生的次数X 的期望和方差分别为（
）
A．
9
4和
9
64
B．
3
4和
3
16
C．
9
16和
3
64
D．
9
4和
9
16
5.已知随机变量
~
,
X
B n p ，若
1
E X ，
4
5
D X
，则
4
P X
（
）
A．4
625
B．32
125
C．1
125
D．1
25
6.�、�两组各有3 人独立的破译某密码，�组每个人成功破译出该密码的概率为�1，�组每个人成功破译出
该密码的概率为�2，记�、�两组中成功破译出该密码的人数分别为�, �，若0 < �1 < �2 <
1
2，则下列关系
正确的是（
）
A．�(�) > �(�), �(�) < �(�)
B．�(�) > �(�), �(�) > �(�)
C．�(�) < �(�), �(�) < �(�)
D．�(�) < �(�), �(�) > �(�)
7.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独
立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．�(2�+ 1) = 160
B．�(�= 30) = C100
30 (0.8)30(0.2)70
C．�(2�+ 1) = 32
D．存在�≠50，使得�(�= �) = �(�= 100 −�)成立
8.某广场上有4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是2
3 ，出现绿
灯的概率都是1
3 .记这4 盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4 盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2 时的概率；
（2）求ξ的均值．
9.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低于50 个的概率；
(2)用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
10.某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女学生各
25 名，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
男生人数
2
5
8
9
1
女生人数
a
b
10
3
2
(1)从该校参加活动的男生中随机抽取3 人，X 表示这3 人成绩不低于80 分的人数，求X 的分布列、数学
期望和方差；
(2)试确定a，b 为何值时，使得抽取的女生成绩的方差最小，并说明理由．
11.某市体育中考由平时体育成绩和体育测试成绩两部分组成，满分为30分，其中平时体育成绩占15分，
体育测试成绩占15分．现从该市某学校参加中考的九（1）班、九（2 ）班两个班级学生中随机抽取了各20
名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
0,15
15,18
18,21
21,24
24,27
27,30
九（1）班人数
2
2
8
1
3
4
九（2 ）班人数
m
n
6
2
4
2
(1)从该校九（1）班的学生中随机抽取3 人，X 表示这3人成绩不低于21分的人数，求X 的分布列、数学
期望和方差；
(2)试确定
,
m n 为何值时，使得抽取的九（2 ）班成绩的方差最小，并说明理由．
题型五：建立二项分布解决实际问题
1.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相
互独立的，并且概率都是1
3 ．
(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、期望、方差；
(2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
2.非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重
要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为
研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000 名非遗短视频粉丝，记录他们的年
龄，将数据分成6 组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求a 的值；
(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2 人，记取出的2 人中年龄不超过40 岁的人数为X，用频率估计概
率，求X 的分布列及数学期望
(
)
E X ；
(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频
粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m 与n 的大小关系．（结论不要求证明）
3.甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共
设定5 个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5 个投篮点投球，且每投中一次
可获得1 分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，
且每投中一次可获得2 分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6 分的概率1
8
p
，求p ；
(2)由（1）问中求得的p 值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
4.某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、
每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答
题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为2
3 ，第二组每道题答对的概率均为1
2 ，两组题至少答对
3 题才可获得一枚纪念章．
(1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为X ，请写出X 的分布列，并求
E X ；
(2)若甲同学进行了4 轮答题，求甲同学恰好获得2 枚纪念章的概率．
5.小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有��∈N* 道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按
次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5 分，否则
得0 分；第二轮每道题答对得20 分，否则得0 分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率
均为
1
3，第二轮每题答对的概率均为
2
3．设小明第一轮答题的总得分为�，第二轮答题的总得分为�．
(1)若�= 30，求��；
(2)证明：当�≥24 时，��> ��．
6.某商场对M ，N 两类商品实行线上销售（以下称“ A 渠道”）和线下销售（以下称“ B 渠道”）两种销售模
式．M 类商品成本价为120 元件，总量中有40%将按照原价200 元/件的价格走B 渠道销售，有50%将按
照原价8.5 折的价格走A 渠道销售；N 类商品成本价为160 元/件，总量中有20%将按照原价300 元/件的
价格走B 渠道销售，有40%将按照原价7.5 折的价格走A 渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价
6 折的价格销售，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
(2)某商场举行让利大用卖活动，全场M ，N 两类商品走A 渠道销售，假设每位线上购买M ，N 商品的顾
客只选其中一类购买，每位顾客限购1 件，且购买商品的顾客中购买M 类商品的概率为1
4 ．已知该商场当
天这两类商品共售出5 件，设X 为该商场当天所售N 类商品的件数，Y 为当天销售这两类商品带来的总收
益，求Y 的期望
E Y ，以及当
0.5
P X
n
（nN）时，n 可取的最大值．
7.为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知
识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采
取电脑出题的方式，从题库中随机出10 道题，编号为�1，�2，�3，�4，⋯，�10，电脑依次出题，参赛选
手按规则作答，每答对一道题得10 分，答错得0 分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3 的倍数，
且不少于18 人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参
赛：
方案一：将班级选派的3�名参赛选手每3 人一组，分成�组，电脑随机分配给同一组的3 名选手一道相同
的试题，3 人均独立答题，若这3 人中至少有2 人回答正确，则该小组顺利出线；若这�个小组都顺利出线，
则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的3�名参赛选手每�人一组，分成3 组，电脑随机分配给同一组的�名选手一道相同
的试题，每人均独立答题，若这�个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3 个小组中至少有2 个小组
顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为
4
5，每次作答结果相互独立，且他
不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A 班每位参赛选手答对试题的概率均为常数�0 < �< 1 ，A 班为使晋级团体赛
决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
题型六：超几何分布的判断
1.判断正误
（1）超几何分布就是一种概率分布模型．(
)
（2）一个袋子里装有4 个白球，5 个黑球和6 个黄球，从中任取4 个球，则取出的黑球个数X 服从超几何
分布．(
)
2.下列随机变量中，服从超几何分布的有
．(填序号)
①在10 件产品中有3 件次品，一件一件地不放回地任意取出4 件，记取到的次品数为X；
②从3 台甲型彩电和2 台乙型彩电中任取2 台，记X 表示所取的2 台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6 个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.
3.在15 个村庄中，有7 个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10 个村庄中交通不方便的村庄的个
数，则X 服从超几何分布，其参数为（
）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
4.一个袋子中100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球作为样
本，用随机变量�表示样本中黄球的个数，则�服从（
）
A．二项分布，且��= 8
B．两点分布，且��= 12
C．超几何分布，且��= 8
D．超几何分布，且��= 12
5.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70% ，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的
分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4 只，蓝球5只，任取3 只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列；
(4)某班级有男生25 人，女生20 人．选派4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记
为X ，求X 的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的
分布列．
题型七：超几何分布的概率
1.数学老师从6 道习题中随机抽3 道让同学检测，规定至少要解答正确2 道题才能及格．某同学只能求解
其中的4 道题，则他能及格的概率是
2.某党支部有10名党员，7 男3女，为迎接建党100周年，从中选取2 人做汇报演出，若X 表示选中的女党
员数，则
2
P X
（
）.
A．7
15
B．8
15
C．14
15
D．1
3.已知共15 张卡牌由5 张红卡、10 张其它颜色卡组成，混合后分3 轮发出，每轮随机发出5 张卡．
(1)求事件“第1 轮无红色卡牌”的概率
1p ；
(2)求事件“第1 轮有至少3 张红色卡牌”的概率
2p ；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率
3p ．
4.某12 人的兴趣小组中，有5 名“三好学生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用X 表示这6 人中“三好学生”
的人数，则当X 取
时，对应的概率为
2
3
5
7
6
12
C C
C
.
5.在10 个排球中有6 个正品，4 个次品，从中随机抽取4 个，则正品数比次品数少的概率为（
）
A．5
42
B．4
35
C．19
42
D．8
21
题型八：超几何分布的均值
1.一个口袋中装有7 个球，其中有5 个红球，2 个白球抽到红球得2 分，抽到白球得3 分．现从中任意取
出3 个球，则取出3 个球的得分Y 的均值
E Y 为
．
2.一个不透明的袋子中装有3 个黑球，n 个白球
*
N
n
，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意
取出3 个球，已知取出2 个黑球，1 个白球的概率为9
20 ，设X 为取出白球的个数，则
E X
（
）
A．3
2
B．1
2
C．1
D．2
3.从装有6个白球，2 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2 分，每取出1个白
球得1分. 按照规则从容器中任意抽取2 个球，所得分数的期望为（
）
A．5
2
B．3
C．10
3
D．7
2
4.某班级要从4 名男生，2 名女生中随机选取3 人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为X ，
则
E X
（
）
A．4
3
B．8
5
C．6
5
D．1
5.某地盛行糕点有n 种，该地的糕点店从中准备了m（�< �）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕
点有k（�< �）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量
X 为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则��=（
）
A．
��
�
B．
�+�
�2
C．
��
�
D．
�−�
�
6.设随机变量�∼�(10, �, 1000)（2 ≤�≤992 且�∈�∗），�(2; 10, �, 1000)最大时，�(�) =（
）
A．1.98
B．1.99
C．2.00
D．2.01
7.从装有6 个白球，2 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1 个红球得2 分，每取出1
个白球得1 分. 按照规则从容器中任意抽取2 个球，所得分数的期望为（
）
A．
5
2
B．3
C．
10
3
D．
7
2
题型九：超几何分布的方差
1.已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进行检测，记取到的正品数为X ，则
下列结论正确的是（
）
A．
4
2
1
3
E
X
B．
1
5
D X
C．
1
E X
D．
8
2
1
5
D
X
2.某公司有日生产件数为95 件的“生产能手”3 人，有日生产件数为55 件的“新手”2 人，从这5 人中任意抽
取2 人，则2 人的日生产件数之和X 的标准差为
．
3.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1 个红球，乙盒子里有3 个红球和3 个黑球，现从乙盒子里随机取出�1 ≤
�≤6, �∈�∗个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为�个，则随着�1 ≤�≤
6, �∈�∗的增加，下列说法正确的是（
）
A．��增加，��增加
B．��增加，��减小
C．��减小，��增加
D．��减小，��减小
4.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参
与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4 人，女生2 人，现从中随机
选取2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X 的分布列及期望��、方差��.
5.2020 年5 月28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021 年1 月1
日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性
地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并
组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20 名学生的成绩（单位：分），
绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
等级
合格
中等
良好
优秀
（1）从样本中任取2 名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2 名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3 人座谈，记�为抽到高二年级的人数，求�的分布列，数
学期望与方差.
题型十：二项分布和超几何分布的综合
1.为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要
在�，�两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：�，�两名学生各自从6 个问题中随机抽取3 个问
题作答.已知这6 个问题中，学生�能正确回答其中的4 个问题，而学生�能正确回答每个问题的概率均为
2
3.�，
�两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求�，�两名学生恰好答对2 个问题的概率.
（2）设�答对的题数为�，�答对的题数为�，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
2.某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6 道备选题中一次性随
机抽取3 道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2 个选题方可通过.6 道备选题中，考
生甲有4 个选题能正确完成，2 个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是
2
3，且每个选题正确
完成与否互不影响.
(1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.
3.“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023 年已经培养了6000 多名具
有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、
化学学科夏令营活动．
(1)若数学组的7 名学员中恰有3 人来自A 中学，从这7 名学员中选取3 人，表示选取的人中来自A 中学
的人数，求的分布列和数学期望：
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答
对每道题的概率分别为
1
2
,
p p ，且
1
2
4
3
p
p
，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次
答题活动中取得6 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
4.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题，按照答对
题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙
每题正确完成的概率都是
2
3，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
5.普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强
对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5 轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则
如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10 分．每一轮比赛中，参赛者在30 分钟
内完成法律文书题和案例分析题各2 道，若有不少于3 道题得分超过8 分，将获得“优胜奖”，5 轮比赛中，
至少获得4 次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽
取法律文书题和案例分析题各5 道，其中有4 道法律文书题和3 道案例分析题得分超过8 分．
(1)从这10 道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2 道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概
率；
(2)将上述两类题目得分超过8 分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前
强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8 分的概率共增加了0.1，以获得“优胜奖”的次数期望为
参考，试预测该同学能否进入决赛．
6.近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8 道谜语中一次性抽出4 道作答．小张
有6 道谜语能猜中，2 道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为�(0 < �< 1)，且猜中每道谜语与否
互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求�的取值范围．
模块三：综合巩固
1.将一枚均匀的硬币投掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．
2.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲
队获胜的概率为2
3 ，乙队获胜的概率为1
3 ，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为
．
3.已知离散型随机变量X 服从二项分布
~
( , )
X
B n p ，且
(
)
4
E X
，
(
)
D X
q
，则1
1
p
q
的最小值为
A．2
B．5
2
C．9
4
D．4
4.设随机变量
~
(12,
)
X
B
p ，若
4
E X
，则
D X 的最大值为（
）
A．4
B．3
C．8
3
D．2
9
5.已知在10件产品中有2 件次品，现从这10件产品中任取3 件，用X 表示取得次品的件数，则
1
P X
（
）
A．
1
2
3
10
C
C
B．
1
2
2
8
3
10
C C
C
C．
2
1
3
8
3
10
C C
C
D．
1
1
2
3
3
10
C C
C
6.一个袋子中装有6 个红球和4 个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2 个球，其
中白球的个数为X，则X 的数学期望是（
）．
A．4
5
B．3
5
C．2
5
D．1
5
7.有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是（
）
A．N
B．
1
n
M
N
C．nM
N
D．
1
n
M
N
8.一个不透明的袋子有10 个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6 个黑球，4 个白球.现进行
如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3 个球，记取到白球的个数为
1
X ，期望和方差分别为
1
1
,
E X
D X
；试验二：逐个有放回地随机摸出3 个球，记取到白球的个数为
2
X ，期望和方差分别为
2
2
,
E X
D X
.则下列判断正确的是（
）
A．
1
2
E X
E X
B．
1
2
E X
E X
C．
1
2
D X
D X
D．
1
2
D X
D X
9.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若
从这10 个数中任取3 个数，则这3 个数中至多有1 个阴数的概率为（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．2
3
10.设随机变量
2
3,
,
3
X
B
p
D X
，且
1
E X ．若8 名党员中有15
2
p 名男党员，从这8 人中选4 名代
表，记选出的代表中男党员人数为Y ，则
3
P Y
（
）
A．3
7
B．4
7
C．5
7
D．6
7
11.课桌上有12 本书，其中理科书籍有4 本，现从中任意拿走6 本书，用随机变量表示这6 本书中理科
书籍的本数，则概率为
6
0
5
1
8
4
8
4
6
6
12
12
C C
C C
+
C
C
的是（
）
A．
(
1)
P
B．
(
1)
P
C．
(
1)
P
D．(
2)
P
12.设随机变量
10,
X
B
p
，且满足
2.1
D X
，
4
6
P X
P X
，则p （
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
13.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3 位的二进制数
1
2
3
A
a a a
，其中A 的各位数中，
1,2,3
k k
a
出现0 的概率为1
3 ，出现1 的概率为2
3 ．若启动一次出现的二进制数为
100
A
，则称这次试验成功．若成
功一次得2 分，失败一次得1
分，则81 次这样的独立重复试验的总得分Y 的数学期望为（
）
A．63
B．6
C．63
D．6
14.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互
独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．
(2
1)
160
E
X
B．
30
30
70
100
(
30)
C
(0.8) (0.2)
P X
C．
(2
1)
32
D
X
D．存在
50
k
，使得
(
)
(
100
)
P X
k
P X
k
成立
15.（多选）若随机变量
1
~
6, 3
X
B
，下列说法中正确的有（
）
A．
2
4
2
6
1
2
2
C
3
3
P X
B．期望
4
3
E X
C．期望
2
1
3
E
X
D．方差
2
1
4
D
X
16.（多选）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3 个黑球，3 个白球，现从中任取4 个球，设这4 个
球中黑球的个数为X ，则（
）
A．X 服从二项分布
B．X 的值最小为1
C．
3
2
5
P X
D．
2
E X
17.（多选）若袋子中有4 个白球，2 个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4 次，每次取一个球，取到白
球记1分，取到黑球记0 分，记4 次取球的总分数为X ，则（
）
A．
1
~
4, 3
X
B
B．
32
3
81
P X
C．
8
3
E X
D．
16
9
D X
18.（多选）为了响应国家强军强国的战略，某中学在军训中组织了射击比赛．规定每名同学有4 次射击机
会，击中一次得10 分，没击中得5
分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射击机会，每次击中的概率为
是3
4 ，每次射击相互独立．记X 为小明的得分总和，记Y 为小明击中的次数，下列结论正确的是（
）
A．
3
E Y
B．
27
3
64
P Y
C．
189
20
256
P X
D．
675
4
D X
19.（多选）一个袋子有5 个大小相同的球，其中有2 个红球，3 个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出
2 个球，记取到红球的个数为
1
X ，期望和方差分别为
1
1
,
E X
D X
；试验二：从中随机地无放回摸出2
个球，记取到红球的个数为
2
X ，期望和方差分别为
2
2
,
E X
D X
；则（
）
A．
1
2
E X
E X
B．
1
2
E X
E X
C．
1
2
D X
D X
D．
1
2
D X
D X
20.（多选）某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得4 分，没踢进得0 分．小
明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为2
3 ，每次射门相互独立．记X 为小明得分总
和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（
）
A．
10
3
E
B．
4
4
5
2
2
4
C
1
3
3
P X
C．
40
3
E X
D．
49
9
D X
21.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3 个白球和m 个黑球，从中随机摸取1 个球，有放回地摸取3
次，记摸取白球的个数为X．若
9
(
)
4
E X
，则
(
2)
P X =
=
．
22.有一批产品，其中有12 件正品和4 件次品，从中有放回地任取3 件，若X 表示取到次品的次数，则
2
P X
，
D X
．
23.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20 道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题
答对与否相互独立．若答对一题得3 分，答错一题扣1 分，则该同学总得分的数学期望为
，方差
为
．
24.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间
留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可
能向左或向右落下，其中向左落下的概率为1
3 ，向右下落的概率为2
3 ，最后落入底部的格子中.格子从左到
右分别编号为0 ，1，2 ，...，10，则小球落入
号格子的概率最大.( 图片仅供参考)
25. 2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林
匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥
会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了
10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过30人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从
这10所学校中随机选出3所，记X 为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这4个动作技巧进行集训，且在集训中进
行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这4 个动作中至少有3 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在
集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为2
3 ，其余每个动作达到“优秀”的概率都为1
3 ，
每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到
5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
26.“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过
一至四关的概率依次是5 4 3 2
,
,
,
6 5 4 3 ，女生闯过一至四关的概率依次是4 3 2 1
,
,
,
5 4 3 2 ．男生甲、乙，女生丙、丁
四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）．
(1)求甲闯过四关的概率；
(2)设随机变量
X 为该四人小组闯过四关的人数，求
E X
．
27.中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了
解程度，某学习小组随机向该地100 位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据
如下表所示：
规定成绩在
0,60 内代表对中医药文化了解程度低，成绩在
60,100 内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100 位市民中随机抽取1 人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地41 岁~50 岁年龄段的市民中随机抽取3 人，记X 为对中医药文化了解程度
高的人数，求X 的分布列和期望.
28.第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，在保持原有40 个大项目不变的前提下，
增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子
竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10 个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，
各省代表队人数如下表：
省代表队
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
电子竞技人数
45
52
24
38
57
19
26
47
34
29
霹雳舞人数
26
18
44
43
32
27
56
36
48
20
(1)从这10 支省代表队中随机抽取3 支，在抽取的3 支代表队参与电子竞技的人数均超过35 人的条件下，
求这3 支代表队参与霹雳舞的人数均超过25 人的概率；
(2)某省代表队准备进行为期3 个月的霹雳舞封闭训练，对Powermove 中的Swipe、Windmill、Air tracks、
Flare、Headspin 动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项
评分，有一个动作达到“优秀”即可得1 分．已知在一轮测试的5 个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的
概率均为2
3 ，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4 分的次数的平均值不低于8 次，
那么至少要进行多少轮测试？
29.2024 年7 月18 日第30 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价
工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介
于40 至100 之间，将数据按照[40 ，50) ，[50 ，60) ，[60 ，70) ，[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 分成6
组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50 名学生成绩的中位数；
(2)在这50 名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 的三组中抽取了11 人，再
从这11 人中随机抽取3 人，记为3 人中成绩在[80 ，90) 的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在[90 ，100] 的为A 等级，成绩在[70 ，90) 的为B 等级，其它为C 等级．以样
本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100 人，其中获得B 等级的人数
设为，记B 等级的人数为k 的概率为
(
)
P
k
，写出
(
)
P
k
的表达式，并求出当k 为何值时，(
)
P
k
最
大？
30.2024 年3 月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全
省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民
节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x （千瓦时）时，按
平价计费，每月用电量超过标准电量x （千瓦时）时，超过部分按议价计费.随机抽取了100 户居民月均用
电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450 度，将数据按照
0,50 ，
50,100 ，…
400,450 分成9
组，制成了频率分布直方图（如图所示）.
(1)求直方图中m 的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的
值；
(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4 户，若其中不小于400（千瓦时）的有X 户居
民，求X 的分布列.
