7.8 随机变量及其分布大题总结
题型一：求离散型随机变量的分布列...............................................2
题型二：求离散型随机变量的均值..................................................4
题型三：离散型随机变量的方差、标准差.........................................7
题型四：二项分布的均值与方差...................................................10
题型五：超几何分布的均值与方差................................................13
题型六：离散型随机变量的均值与方差与其他知识综合..................... 15
题型七：正态分布.................................................................... 18
7.8 随机变量及其分布大题总结
题型一：求离散型随机变量的分布列
1.已知新高考数学共4 道多选题，评分标准是每题满分5 分，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选
或不选的得0 分．每道多选题共有4 个选项，正确答案往往为2 项或3 项. 为了研究多选题的答题规律，
某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为
1
2，正确答案是“选三项”的概率为
1
2.现有学
生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0 分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布
列.
2.学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4 次，投中一球得2 分，没有投中得0 分，假设每次投篮投中与
否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是
1
3.
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4 次投篮后的总得分ξ的分布列
3.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3 需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，
各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2 中至少有1 个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X 的分布列．
4.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求随机变量�= �－1 的分布列；
(2)求随机变量�= �2的分布列.
5.教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公
平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资
源匮乏的问题，某市教育局拟从5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3 批次进行，
每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从这5 人中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人
有支教经验，3 人没有支教经验．
(1)求5 名优秀教师中的“甲”，在这3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数�的分布列；
题型二：求离散型随机变量的均值
1.在当今信息泛滥的时代，很多因素容易分散孩子们的注意力．某儿童注意力训练机构从2~14 岁的学员中
随机抽取了50 名学员，得到相关数据如图所示：
(1)若抽取的这50 名学员的平均年龄为6.2 岁（每组数据以所在区间的中点值为代表），求图中a，b 的值．
(2)从所抽取的年龄在2,4 ，6,8 ，8,10 内的学员中，按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取7 人，再
从这7 人中任选3 人，记这3 人中年龄在6,8 内的学员人数为X，求X 的分布列和数学期望．
2.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴
定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5 项流程，其中前4 项流程选拔均通过，则被确认为有效招
飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4 项流程的概率依次约为
3
4 ,
1
3 ,
2
3 , 1.
假设学生能否通过这5 项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为
2
3 ,
3
5 ,
3
5，设甲､乙､丙三
人能被招飞院校录取的人数为X，求X 的分布列及数学期望.
3.为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”
主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖
学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
(1)从获奖学生中随机抽取1 人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1 人，以�表示这2 人中团体赛获奖的人数，求�的分布列和数学期
望；
4.3 月14 日为国际数学日，也称为π节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数
学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，
两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙
两组通过第一轮比赛的概率分别是
3
4 ,
3
5，通过第二轮比赛的概率分别是
4
5 ,
2
3，且各个小组所有轮次比赛的结
果互不影响.
(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为�，求�的数学期望；
(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100 分，答错一题
扣100 分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，
且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是
1
3 ,
2
3，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题
中得100 分的情况下甲获胜的概率.
5.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和
西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销
商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20 元，盲盒外观完全相同，内部
随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可
能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30 元．
(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3 次购买时恰好首次出现与已买到的
吉祥物款式相同的概率；
(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案
二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？
题型三：离散型随机变量的方差、标准差
1.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院
将此药给10 位病人服用，试验方案为：若这10 人中至少有2 人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；
否则，则认为该药无效．
(1)如果在该次试验中有5 人痊愈，院方欲从参加该次试验的10 人中随机选2 人了解服药期间的感受，记
抽到痊愈的人的个数为X，求X 的概率分布．
(2)在第（1）题的条件下求随机变量X 的期望与方差．
(3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P 并根据P 的值解释该试
验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）．
2.某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30 天的新闻点击量变化数据，如下表所示.
在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，
即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相
同.
时段
新闻点击量
第1 天到第15 天
↑
-
↑
↓
↑
-
↓
↑
-
↓
↑
↓
-
↓
↓
第16 天到第30 天
-
↑
-
↑
-
↑
↓
↑
↓
↑
-
↓
↑
↓
↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15 天和后15 天中各随机抽取1 天，记�表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求�
的分布列和数学期望��；
(3)从样本给出的30 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下
降”或“不变”，然后继续统计接下来的10 天的新闻点击量，其中有6 天“上涨”、3 天“下降”、1 天“不变”，
相应地，从这40 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下降”
或“不变”，直接写出方差��，��大小关系.
3.为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000 名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式
A
B
C
D
E
回访顾客（人数）
700
350
300
250
400
满意度
0.4
0.5
0.6
0.5
0.6
注：
1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，
用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1 人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1 人，设其中满意的人数为�，求�的分布列和数学期
望；
(3)用“�= 1”和“�= 0”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“�= 1”和“�= 0”分别表示对B 款运动满
意和不满意，试比较方差�(�)与�(�)的大小.
4.为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质
均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中
学打算从各年级推荐的总共6 名老师中任选3 名去参加“送教下乡”的活动．这6 名老师中，英语老师､化学
老师､数学老师各2 名．
(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；
(2)设�表示选出的3 人中数学老师的人数，求�的均值与方差．
5.为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班∼(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：
每班随机各抽10 名学生进行身体素质监测.经统计，每班10 名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散
点图如下（�轴表示对应的班号，�轴表示对应的优秀人数）：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1 人，求该生身体素质监测成
绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1 人，设�表示2 人中身体素质监测成绩达
到优秀的人数，求�的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10 名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中
分别随机抽取1 名同学，用“��= 1”表示第�班抽到的这名同学身体素质优秀，“��= 0”表示第�班抽到的这
名同学身体素质不是优秀（�= 1,2, . . . , 8）．写出方差��1 , ��2 , ��3 , ��4 的大小关系（不必写出证明
过程）．
题型四：二项分布的均值与方差
1.在某次猜灯谜活动中，共有20 道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜对
概率为0.6，乙同学猜对概率为0.4，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；
(2)任选2 道灯谜，恰好甲猜对了2 次乙猜对1 次的概率；
(3)记20 道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X，求X 的期望．
2.我校高二年级决定从2024 年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，
决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如
果两次的点数恰好有一次的点数能被3 整除，则按方式I 回答问卷，否则按方式II 回答问卷”
方式I：若第一次点数能被3 整除，则在问卷中画“△”，否则画“×”
方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”.
当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新
奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）× 100%.
(1)若高二年级-共有900 名学生，用X 表示其中用方式1 回答问卷的人数，求X 的数学期望；
(2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度.
3.第19 届亚运会于9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献
亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者
轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次
答对问题的概率都是0.5，且每次答题互不影响．
(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?
(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8 位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之
二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1 位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?
并说明理由．
4.某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同
方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标�的对比情况，随机地
抽取了部分甲生产线上产品该项指标的�值，并计算得到其平均数�ത= 74，中位数�= 72，随机地抽得乙
生产线上100 件产品该项指标的�值，并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)求乙生产线的产品指标�值的平均数�ത与中位数�（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生
产线较甲生产线的产品指标�值是否更好（如果|�ത−�| < |�ത−�|，则认为乙生产线的产品指标�值较甲生产
线的产品指标�值更好，否则不认为更好）．
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5 件产品，抽出指标�值不小于70 的产品个数用�表示，求�
的数学期望与方差．
5.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号�次，每次发射信号“0”和“1”是等可能
的.记发射信号1 的次数为�.
(1)当�= 6 时，求��≤2
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量�，若其数学期望��和方差��均存在，则对任意正实数�，
有��−��
< �≥1 −
��
�2 .根据该不等式可以对事件“ �−��
< �”的概率作出下限估计.为了至少
有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4 与0.6 之间，试估计信号发射次数�的最小值.
题型五：超几何分布的均值与方差
1.假设某市大约有800 万网络购物者，某电子商务公司对该地区n 名网络购物者某年度上半年前6 个月内
的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.5,1.1]内，其频率分布直方图如图所示，
若频率分布直方图中的a，b，c，d 满足�= �+ 0.5 = �+ 1 = �+ 1.5，且从左到右6 个小矩形依次对应第
一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d 的值；
(2)现用分层抽样方法从前4 组中选出18 人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2 组所抽取的人中，再随机抽取3 人，记这3 人来自第一组的人数为X，求随机变量X 的分布列与
数学期望．
2.某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4 个黑球，3 个红球，1
个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3 个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有�
个红球，则分得�个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
3.近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8 道谜语中一次性抽出4 道作答．小张
有6 道谜语能猜中，2 道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为�(0 < �< 1)，且猜中每道谜语与否
互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求�的取值范围．
4.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参
与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4 人，女生2 人，现从中随机
选取2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X 的分布列及期望��、方差��.
5.某区域中的物种�拥有两个亚种（分别记为�种和�种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研
究小组计划在该区域中捕捉100 个物种�，统计其中�种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试
验结果.重复进行这个试验共20 次，记第�次试验中�种的数目为随机变量�� (�= 1,2, ⋯, 20).设该区域中�
种的数目为�，�种的数目为�，每一次试验均相互独立.
(1)求�1的分布列；
(2)记随机变量�ഥ=
1
20
�=1
20 ��
σ
.已知�(��+ ��) = �(��) + �(��)，�(��+ ��) = �(��) + �(��)；
（ⅰ）证明：�(�ഥ) = �(�1)，�(�ഥ) =
1
20 �(�1)；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到��的实际取值分别为�� (�= 1,2, ⋯, 20).数据�� (�= 1,2, ⋯, 20)的平均值
�ത= 40，方差�2 = 1.176.采用�ത和�2分别代替�(�ഥ)和�(�ഥ)，给出�，�的估计值.
题型六：离散型随机变量的均值与方差与其他知识综合
1.如图是2023 年11 月1 日到11 月20 日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．
(1)从这20 天中任选1 天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100 的概率；
(2)从新增确诊的人数超过100 的日期中任选两天，用�表示新增确诊的人数超过140 的天数，求�的分布
列和数学期望；
(3)记每天新增确诊的人数为�，每天新增疑似的人数�，根据这20 天统计数据，试判断��与��的大小关
系（结论不要求证明）．
2.为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞
赛设置6 个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3 个题目进行作答，若所抽取的3 个题目全部作答正确，
则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6 个题目，某科室的甲能正确作答其中的4 个题目，乙能正确作
答每个题目的概率均为
2
3，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的．
(1)已知甲乙两人总共正确作答3 个题目，求甲答对1 道乙答对2 道的概率；
(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由．
3.杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966 年率先提出，1972 年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水
稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展.截至2021 年5 月22 日，中国国家水稻数
据中心收录杂交水稻品种超1000 种.如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和第80 百分位数；
(2)以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，
检验规定如下：①检验次数不超过5 次；
②若检验出3 个生育期超过中位数的稻种则检验结束.
设检验结束时，检验的次数为X，求随机变量X 的分布列、期望和方差.
4.某数学学习小组的5 位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试
的成绩如下表所示（满分100 分）
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
第一次
82
89
78
92
81
第二次
83
90
75
95
76
(1)在5 位学生中依次抽取3 位学生．在前2 位学生中至少有1 位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，
求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设��（�= 1，2，…，5）表示第i 位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5
位学生中随机选取2 位，得到数据��, ��(1 ≤�, �≤5, �≠�)，定义随机变量X 如下：�=
0,
0 ≤��−��< 3,
1,
3 ≤��−��< 6,
2,
��−��≥6,
求X 的分布列和数学期望EX 和方差．
5.随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解�、�两个旅游景点游客的满意度，某研究性学
习小组采用随机抽样的方法，获得关于�旅游景点的问卷100 份，关于�旅游景点的问卷80 份.问卷中，对
景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4 分、3 分、2 分、1 分，数据统
计如下：
非常满意
满意
一般
差评
�景点
50
30
5
15
�景点
35
30
7
8
假设用频率估计概率，且游客对�，�两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有（人数足够多）在�旅游景点的游客中随机抽取2 人，从所有（人数足够多）在�旅游景点的游
客中随机抽取2 人，估计这4 人中恰有2 人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择�、�哪个旅游景点?说明理由.
题型七：正态分布
1.为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化
课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10 名学生进行体质测试，
得到如下表格：
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩
ix （分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记这10 名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，
2s ，经计算
10
2
1
1
1690
i
x
x
，
10
2
1
33050
i
i
x
．
(1)求x ；
(2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布
2
,
N
，用x ，
2s 的值分别作为，
2
的近似值，
若监测中心计划从全市抽查100 名高中生进行体质测试，记这100 名高中生的体质测试成绩恰好落在区间
30,82 的人数为Y ，求Y 的数学期望
( )
E Y ．
附：若
2
~
,
N
，则(
)
0.6827
P
，
(
2
2 )
0.9545
P
，
3
3
0.9
(
)
973
P
．
2.新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车品
控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取100
件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表．
质量差（单位：mg）
56
67
70
78
86
件数（单位：件）
10
20
48
19
3
(1)求样本平均数x 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差X 近似服从正态分布
2
,
N
，
其中
2
36
，用样本平均数x 作为的近似值，求概率
64
82
P
X
的值；
(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1 条生产线的生产效率是第2 条生产线的生产效率的两
倍．若第1 条生产线出现废品的概率约为0.015，第2 条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产
线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽
取一件，求该零件为废品的概率．
参考数据：若随机变量服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
，
2
2
0.9545
P
，
3
3
0.9973
P
．
3.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如
下：得分在
70,80 内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在
90,100 内的学生获一等奖，
其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制
了如图所示的样本频率分布直方图.
(1)估计这100 名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若该市共有10000 名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布
2
,
N
，其中
14
，
为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78 分的学生人数（结果四舍五入到整数）.
附：若随机变量X 服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
.
4.某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究.
(1)该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：C
）
近似服从正态分布
37.6,0.16
N
，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求
37.2
38.4
P
X
；
(2)数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是
否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能
检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性.
（i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；
（ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.
附：
2
~
,
X
N
，则
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
.
5.“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内
容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资
源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体
教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100 人，对他们的分数（满分：100 分）进行
统计，按
50,60 ，
60,70 ，
70,80 ，
80,90 ，
90,100 分成5 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)现从这100 人中随机抽取2 人，记其中得分不低于90 分的人数为X，求随机变量X 的分布列和期望.
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y 服从正态分布
2
,
N
，其中近似为样本平
均数，
2
近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数
76
Y
，样本分数的方差
2 135
s
.已知该校教职工共
有1000 人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61 分的教职工人数.
参考公式：若随机变量Z 服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
Z
≤
≤
，
2
2
0.9545
P
Z
≤
≤
，
3
3
0.9973
P
Z
.
参考数据：15
3.87
.
6.某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000 名学生中随机选出40 名学生统计成绩，其中24 名女生平均
成绩为70 个，标准差为4；16 名男生平均成绩为80 个，标准差为6.
(1)高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布
2
,
N
，若用这40名参赛的同学的样本平均数x
和标准差s（四舍五入取整数）分别作为，，估计高一年级颠球成绩不超过60 个的人数（四舍五入取
整数）；
(2)颠球比赛决赛采用5 局3 胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为2
3 ，在甲获
胜的条件下，求其前2 局获胜的概率.
附：若
2
~
,
X
N
，则
0.6827
P
X
，
2
0.9545
P
X
，
3
0.9973
P X
.
7.学习强国是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵
向到底､横向到边的网络学习平台．学习强国APP 提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管
理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习．某校团委组织全体教职工参加“学
习强国”竞赛．现从全校教职工中随机抽取100 人，对他们的分数（满分：100 分）进行统计，按
50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ，分成5 组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)现从这100 人中随机抽取2 人，记其中得分不低于90 分的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y 服从正态分布
2
,
N
，其中近似为样本平
均数，
2
近似为样本方差．已知该校教职工共有1200 人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61 分的教职
工人数（结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
参考公式：若随机变量Z 服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827,
2
2
0.9545,
P
Z
P
Z
3
3
0.9973
P
Z
.
参考数据：15
3.87
.
