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专题02 随机变量及分布列
题型一：随机变量的概念
题型二：离散型随机变量的判定
题型三：分布列的性质的应用
题型四：求离散型随机变量的分布列
题型五：两点分布
题型六：两个相关离散型随机变量的分布列
题型一：随机变量的概念
1．连续不断地射击某一目标，首先击中目标需要的射击次数
是一个随机变量，则
表示的试验结
果是 ．
【答案】前次未击中目标，第
次击中目标
【详解】由于随机变量
表示首次击中目标需要的射击次数，所以当
时，
表示前
次均未击中目标，第
次击中目标，
故
表示的试验结果为前次未击中目标，第
次击中目标．
故答案为：前次未击中目标，第
次击中目标.
2．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
【答案】D
【详解】A 中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一
个随机变量．
B 中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．
C 中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量，
D 中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量．
故选：D.
3．指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)掷一颗质地均匀的骰子，出现的点数；
(3)某个人的属相随年龄的变化．
【答案】(1)是随机变量，理由见解析
(2)是随机变量，理由见解析
(3)不是随机变量，理由见解析
【详解】（1）某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，
因此命中的环数是随机变量；
（2）掷一颗质地均匀的骰子，出现的结果是1 点，2 点，3 点，4 点，5 点，6 点中的一个，且出现哪一个
结果是随机的，
因此出现的点数是随机变量；
（3）一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，
因此属相不是随机变量．
4．判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．
(1)从
张已编好号码的卡片（从号到
号）中任取一张，被抽出卡片的号数；
(2)抛两颗质地均匀的骰子，出现的点数之和；
(3)体积为
的正方体的棱长．
【答案】(1)是随机变量，理由见解析
(2)是随机变量，理由见解析
(3)不是随机变量，理由见解析
【详解】（1）被抽取卡片的号数可能是
，共
种结果，出现哪种结果是随机的，是随机变量．
（2）抛两颗质地均匀的骰子，出现的点数之和可能为
，共
种结果，出现哪种结
果都是随机的，是随机变量．
（3）体积为
的正方体的棱长为
，是定值，不是随机变量．
题型二：离散型随机变量的判定
5．下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有
个黑球
个红球，任取
个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
为，是常量，A 错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B 错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，
C 正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D 错误.
故选：C.
6．（多选）下列是离散型随机变量的是（ ）
A．车载大灯的使用寿命X1
B．从1 至4 这4 个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1 的次数为X2
C．某次物理实验测量所得的实验误差X3
D．某培养皿上的细菌个数X4
【答案】BD
【详解】对于A，车载大灯的使用寿命
不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于B，从1 至4 这4 个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1 的次数为
能一一列举，是离散型随机变
量；
对于C，某次物理实验测量所得的实验误差
不能一一列举，不是离散型随机变量；
对于D，某培养皿上的细菌个数
能一一列举，是离散型随机变量．
故选：BD．
7．从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3 人中女生的人数，则
表示 .
【答案】所选3 人中至多有1 名女生
【详解】
包含两种情况：
或
.
故
表示所选3 人中至多有1 名女生.
故答案为：所选3 人中至多有1 名女生.
8．下列随机变量中是离散型随机变量的是 ，是连续型随机变量的是 （填序号）．
①某机场候机室中一天的旅客数量X；
②某水文站观察到一天中江水的水位X；
③某景区一日接待游客的数量X；
④某大桥一天经过的车辆数X.
【答案】 ①③④ ②
【详解】①③④中的随机变量
的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变
量；
②中的随机变量
可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量．
故答案为：①③④，②
9．袋中有大小相同的5 个球，分别标有1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两
个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X 的可能取值是 ．（用集合表示）
【答案】
【详解】因为两球号码和可出现同号相加，如下表所示：
一
1
2
3
4
5
二
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
所以X 的可能取值是
.
故答案为：
.
题型三：分布列的性质的应用
10．离散型随机变量
的概率分布规律为
，其中
是常数，则
等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题知
，解得
，所以
，
又
，
故选：B.
11．若X 的分布列为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】由分布列的性质可知：
，
所以
，解得
．
故选：B
12．设离散型随机变量X 的分布列如表所示，则
（ ）
X
1
2
P
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由分布列的性质可得
,即
，
解得
.
又
，解得
，故
.
故选:B.
13．已知离散型随机变量
的分布列为
1
2
4
6
0.2
0.1
则下列选项正确的是（ ）（多选）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
【答案】ABD
【详解】对于A 中，由分布列的性质，可得
，解得
，所以A 正确；
对于B 中，若
，可得
，则
，故B 正确；
对于C 中，由概率的定义知
，所以C 不正确；
对于D 中，由
，
，则
，所以D 正确．
故选：ABD.
14．已知某个离散型随机变量的分布列为：
0
1
2
3
0.3
0.1
则
的最小值为 .
【答案】15
【详解】由分布列性质可知，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为15.
故答案为：
15．若随机变量X 的分布列如下：
1
2
3
4
0.1
0.4
0.3
则
（ ）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
【答案】B
【详解】由题可得
，解得
．
由
，可得
或4，
则
（
或
）
．
故选：B
题型四：求离散型随机变量的分布列
16．不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字
，0，1，1，2，现从中随机取出2 个
小球．
(1)求取出的2 个小球上的数字不同的概率；
(2)记取出的2 个小球上的数字之积为
，求
的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）从5 个小球中随机取出2 个，对5 个小球进行编号，分别为
，
样本空间为
，共计10 个样本点，
其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1 的小球），
因此数字不同的情况有
种，故取出的2 个小球上的数字不同的概率为
；
（2）随机变量
的取值分别为：
，
当
时：取出数字
和 2，取法数 1 种，
；
当
时：取出数字
和 1，取法数 2 种，
；
当
时：取出数字
和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种），
总取法数 4 种，
；
当
时：取出两个数字 1，取法数 1 种，
；
当
时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率
；
故
的分布列为：
17．投掷四枚不同的金属纪念币
，其中
两枚正面向上的概率均为
，
两枚（质地不均
匀）正面向上的概率均为
．将这四枚纪念币同时投掷一次，设
表示出现正面向上的枚数．求
的分布列（用
表示）.
【答案】分布列见解析
【详解】由题意可得
的可能取值为0，1，2，3，4．
，
，
，
．
所以
的分布列为
0
1
2
3
4
18．某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：
日销售量／
件
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后，设某天开始营业时有该商品3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2 件，则当天
进货补充至3 件，将频率视为概率．记
为第二天开始营业时该商品的数量，求
的分布列．（假设该商
品的日销售量的分布规律不变）
【答案】分布列见解析
【详解】根据题意，存量少于2 件，则当天进货补充至3 件，所以
取值为2 或3，
，即卖出1 件，概率为
，
，即卖出
件，概率为
，
所以分布列为
2
3
19．将编号为1，2，3，4 的四个小球随机放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个小盒只能装一
个小球，用
表示编号与盒子编号相同的小球数，求
的分布列．
【答案】答案见解析
【详解】由题可知，
可取0,1,2,4，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
4
20．某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10 分，回答不正确得0 分，
第三个问题回答正确得20 分，回答不正确得
分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是
，回
答第三个问题正确的概率为
，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于
10 分就算闯关成功．
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分
的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】
【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件
，则
；
（2）这位同学回答这三个问题的总得分
的所有可能取值为
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
随机变量
的分布列是
0
10
20
30
40
21．第33 届夏季奥林匹克运动会即将于2024 年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个
阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
，
乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
，其中
．
(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大?
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
，求p 的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为
，求
的分布列．
【答案】(1)乙
(2)
(3)分布列见解析
【分析】
【详解】（1）解：甲进入决赛的概率为
，乙进入决赛的概率为
，
丙进入决赛的概率为
，
因为
，所以
，
显然，乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大.
（2）解：因为甲、乙、丙三人中恰有两队进入决赛的概率为
，
则
，
整理得
，解得
或
，
因为
，所以
.
（3）解：由（2）知，丙进入决赛的概率为
，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为
，
根据题意，得到随机变量
的可能取值为
，
可得
；
，
，
则
，
所以随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
题型五：两点分布
22．已知随机变量X 服从两点分布，且
.设
，则
（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.6
【答案】D
【详解】由题意可知：
，
因为
，所以
.
故选：D.
23．已知随机变量
服从两点分布，且
，则
.
【答案】
【详解】易知
，解之得
或
（舍去）.
故答案为：
.
24．已知随机变量X 服从两点分布，且
，则
．
【答案】
/0.6
【详解】解：由随机变量X 服从两点分布，得
，
又因为
，
所以
．
故答案为：
25．已知随机变量
均服从两点分布，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
随机变量
均服从两点分布，
，
，
又
，
，由条件概率公式
，
故选：D.
26．在一次购物抽奖活动中，假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张，可获价值50 元的奖品，有二等奖奖券3
张，每张可获价值10 元的奖品，其余6 张没有奖品．顾客甲从10 张奖券中任意抽取1 张，求中奖次数X
的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有1 和0 两种情况．
，
则
.
因此X 的分布列为：
X
0
1
P
27．已知一批200 件的待出厂产品中，有1 件不合格品，现从中任意抽取2 件进行检查，若用随机变量
表示抽取的2 件产品中的次品数，求
的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】由题意知，
的取值有
，故
服从两点分布，
，
所以
．
所以随机变量
的分布列为
0
1
28．已知随机变量X，Y 均服从两点分布，若
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为随机变量X，Y 均服从两点分布，且
，
，
所以
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故答案为：A.
题型六：两个相关离散型随机变量的分布列
29．设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.
2
0.
4
0.
1
0.
3
若随机变量
，则
等于（ ）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】A
【详解】因为
，所以
.
故选：A.
30．已知随机变量
的取值范围为
，且
，若
，则
．
【答案】0.9/
【详解】令
，解得
，且
，
所以
．
故答案为：0.9．
31．已知随机变量
的取值范围为
，且
，
，
，
，则
，若
，则
．
【答案】 0.5 0.9
【详解】由题意可知
，
．
故答案为：0.5，0.9．
32．已知随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
求随机变量
的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】由
，得
当
，5 时，
；
当
，4，6 时，
；
当
时，
．
则
，
，
，
所以随机变量Y 的分布列为
Y
1
0
P
33．已知随机变量
的分布列如表所示．
0
1
2
3
(1)求随机变量
的分布列；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由随机变量
的分布列知，
的可能取值为0，1，4，9，
则
，
或
，
或
．
可得随机变量
的分布列如表所示．
0
1
4
9
（2）因为
，
，
又因为
，所以
.
∴实数
的取值范围是
．
34．设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：（1）
的分布列；
（2）
的值．
【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.
【分析】
【详解】由分布列的性质知，
，解得
．
（1）由题意可知，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
（2）
.
