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7.3.2离散型随机变量的方差 ---B提高练
一、选择题
1．（2021·陕西渭南市高二月考）已知离散型随机变量 的分布列为
则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，故 ，
， ，故选：
D.
2．（2021·浙江省宁海中学高二月考）随机变量 的分布列为
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由分布列性质知： ，解得： ； ，； .故选：A.
3．（2021·全国高二课时练）一道试题，甲解出的概率为 ，乙解出的概率为 .设解出该题的人
数为X，则D(X)等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意X的可能取值为0，1，2，甲乙均未答对时，P(X＝0)＝ ，
甲乙二人一人答对一人答错时，P(X＝1)＝ ，
甲乙均答对时，P(X＝2)＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D(X)＝ .故选：B.
4．（2021·全国高二专题练）设 ，随机变量的分布
0 1P a b
则当a在 内增大时，（ ）
A． 增大， 增大 B． 增大， 减小
C． 减小， 增大 D． 减小， 减小
【答案】D
【详解】由因为分布列中概率之和为1，可得 ，
∴ ，∴当 增大时， 减小，
又由
可知当 在 内增大时， 减小.
5．（多选题）（2021·全国高二单元测试）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，
则下列说法正确的有（ ）
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．P(ξ≥1)＝0.46 D．P(ξ＝0)＝0.66
【答案】BD
【详解】由 ，
由ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知
，所以 ，故B正确．
又 ， ，故D正确．故选：BD.
6．（多选题）（2021·扬州大学附属中学高二月考）随机变量 的分布列为：其中 ，下列说法正确的是（ ）
0 1 2
A． B． C． 随 的增大而减小 D． 有最大值
【答案】ABD
【详解】由题意可知 ，即 ，所以 正确； ，
所以 正确； ， ，
所以在 上函数是增函数，在 ， 上函数是减函数，所以 先增大后减小、有最大值，
当 时取得最大值，所以 错误； 正确；故选：ABD．
二、填空题
7．（2021·浙江高二期末）某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为_____万元.
【答案】25.5
【详解】年薪的平均数为 万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为
，
所以该公司雇员年薪的标准差约为 （万元）．
8．（2021·公主岭市第一中学校高二期末）已知随机变量 的概率分布为，则 ______.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ， ，
所以 ，
.
9．（2021·江苏省江阴市一中高二月考）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若
，则 的值为__________．
-1 0 1 2
【答案】
【详解】由题知 ， ，由题得 ，
， ．则 ．
10. （2021·浙江杭州市·高二课时练习）已知随机变量 的分布列如下表：0 1
其中 ，则 的最大值是________.
【答案】
【详解】
又
当且仅当 ，即 时取等号,所以
所以
所以 ，故 的最大值是 .
三、解答题
11．（2021·全国高二课时练）为迎接 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销
活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 小时免费，超过 小时的部分每小时收费标准为
元（不足1小时的部分按 小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为 、 ； 小时以上且不超过 小时离开的概率分别为 、 ；两人滑雪
时间都不会超过 小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 （单位：元），求 的分布列与数学期望
，方差 .
【详解】
（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为 、 、 元，
两人都付 元的概率为 ，两人都付 元的概率为 ，
两人都付 元的概率为 .
则两人所付费用相同的概率为 ；
（2）设甲、乙所付费用之和为 ， 可能取值为 、 、 、 、 ，
则 ， ，
， ，
.
所以，随机变量 的分布列为.
.
12．（2021·江西九江一中高二期末）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然
后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，
）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 20
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方
差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
【详解】
（1）当日需求量 时，利润 .当日需求量 时，利润 .
所以 关于 的函数解析式为 .
（2）①X可能的取值为60，70，80，并且 ， ，
.
X的分布列为
60 70 80
0.1 0.2 0.7X的数学期望为 .
X的方差为 .
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
55 65 75 85
0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为 .
Y的方差为
由以上的计算结果可以看出， ，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.
另外，虽然 ，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那么Y的分布列为
55 65 75 85
0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为 .
由以上的计算结果可以看出， ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的
平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.
