7.2 离散型随机变量及其分布列
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：随机变量的概念、表示及特征............................................2
考点二：离散型随机变量............................................................. 2
考点三：离散型随机变量的分布列及其性质......................................2
考点四：两点分布......................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：随机变量的判断............................................................. 3
题型二：离散型随机变量的取值.................................................... 4
题型三：求离散型随机变量的分布列...............................................5
题型四：离散型随机变量的分布列求概率.........................................7
题型五：离散型随机变量的分布列的性质求参数................................ 9
题型六：两点分布.................................................................... 11
题型七：两个相关的随机变量的分布列问题.................................... 12
题型八：离散型随机变量的综合问题.............................................13
模块三：综合巩固....................................................................... 17
7.2 离散型随机变量及其分布列
模块一：基础知识
考点一：随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X 为
随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，
z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
4.随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点
相当于函数定义中的自变量，样本空间
相当于函数
的定义域.
区别：样本空间
不一定是数集，随机变量的取值X(
)随着试验结果
的变化而变化，而函数是从非空
数集到非空数集的一一对应.
考点二：离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
考点三：离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X 取每一个值xi 的概率P(X
＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列．
2.分布列的表格表示
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
分布列也可以用等式形式表示为P(X=
)=
，i=1，2，
，n，还可以用图形表示.
3．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
考点四：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A 表示“成功”，A－表示“失败”，定义X＝
1，A 发生，
0，A－发生.
如果P(A)＝p，则P( A－)＝1－p，那么X 的分布列如表所示
X
0
1
P
1－p
p
我们称X 服从两点分布或0－1 分布．
模块二：题型分类
题型一：随机变量的判断
1.一个袋中装有除颜色外完全相同的2 个黑球和6 个红球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是（
）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1 个红球
D．至少取到1 个红球或1 个黑球
2.下列叙述中，是离散型随机变量的为（
）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2 个黑球6 个红球，任取2 个，取得一个红球的可能性
3.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数�；
②一个沿�轴进行随机运动的质点，它在�轴上的位置�；
③某派出所一天内接到的报警电话次数�；
④某同学上学路上离开家的距离�．
其中是离散型随机变量的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.如果X 是一个离散型随机变量且�= ��+ �，其中a，b 是常数且�≠0，那么Y（
）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
5.将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（
）
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
6.袋中有3 个白球、5 个黑球，从中任取2 个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（
）．
A．至少取到1 个白球
B．至多取到1 个白球
C．取到白球的个数
D．取到球的个数
7:10 件产品中有3 件次品,从中任取2 件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
题型二：离散型随机变量的取值
1.已知4 支钢笔的单价分别为10 元、20 元、30 元、40 元．从中任取2 支，若以Y 表示取到的钢笔的较高
单价（单位：元），则Y 的取值范围为（
）
A．
10,20,30,40,50,60,70,80
B．
10,20,30,40,50,60,70
C．
10,20,30,40
D．
20,30,40
2.一串钥匙有6 枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验
次数X 的最大可能取值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．2
3.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得100
分，则选手甲
回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
题型三：求离散型随机变量的分布列
1.投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为�，则�的分布列为（
）
A.
B.
C.
D.
2.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1 次，设两人命中总次数为X，
则X 的分布列为（
）
A.
B.
C.
D.
3.某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000 元；阴天销路一般，可获利500 元；下雨天西瓜
滞销，会亏损500 元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，
试写出销售这批西瓜获利的分布列．
4.装有除颜色外其余均相同的3 个红球，2 个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有X 个红球，随机变量X
的概率分布列如下:
X
0
1
2
P
1
x
2
x
3x
则
1
2
3
,
,
x x
x 的值分别为
、
、
.
5.学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次
机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第
一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则
直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投
篮命中率为3
4 ，在三分线处投篮命中率为2
3 ．假设学生甲每次投进与否互不影响．
(1)求学生甲被录取的概率；
(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X ，求X 的分布列．
6.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为2 1 1
,
,
3 2 3 ，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为2
3 ，第二次
抽中选择继续抽奖的概率为1
4 ，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列．
7.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：（1）2
1
X 的分布列；
（2）求
(1
4)
P
X
的值.
8.甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3 局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如
下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每
局甲校获胜的概率为2
3 ，乙校获胜的概率为1
3 ，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为1
3 ，乙校获胜
的概率为2
3 .每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1 获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
9.从含有2 名女生的10 名大学毕业生中任选3 人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．
题型四：离散型随机变量的分布列求概率
1.设随机变量X 的概率分布列如下表，则
(
2
1)
P X
（）
X
1
2
3
4
P
1
3
m
1
4
1
6
A．1
4
B．1
6
C．5
6
D．5
12
2.已知随机变量X 服从两点分布，且
1
0.6
P X
.设
3
2
Y
X
，那么
2
P Y
等于（
）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
3.设随机变量X 的分布列
(
)
(
1,2,3)
2i
k
P X
i
i
，则
2
P X
的值为（
）
A．1
B．3
7
C．4
7
D．5
7
4.某一射手射击所得环数X 的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.05
0.06
0.08
m
m
0.21
(1)求m 的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数
8
”的概率．
5.离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y N ）代替，分布列如下：
X
i
1
2
3
4
5
6
(
)
P X
i
0.21
0.20
0.
5
x
0.10
0.1 y
0.10
则
3
11
2
3
P
X
（
）
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
6.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
10
1
5
1
10
1
5
2
5
则下列各式正确的是（
）
A．��< 3 =
2
5
B．��> 1 =
4
5
C．�2 < �< 4 =
2
5
D．��< 0.5 = 0
7.随机变量ξ的分布列如下：
�
−1
0
1
�
�
�
�
其中2�= �+ �，则�( �= 1)等于（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
2
3
8.已知随机变量�的分布列为��= �=
1
2�, �= 1,2,3, ⋯，则�1 < �≤6 =（
）
A．
17
32
B．
15
32
C．
33
64
D．
31
64
题型五：离散型随机变量的分布列的性质求参数
1.设�是一个离散型随机变量，其分布列为
�
2
3
4
�
1
2
1 −2�
2�2
则�等于（
）
A．1
B．1 −
2
2
C．
1
2
D．1 +
2
2
2.某一随机变量�的分布列为
�
0
1
2
3
�
0.1
�
2�
0.1
则��的最大值为（
）
A．0.2
B．0.8
C．0.08
D．0.6
3.已知随机变量X 的分布列为
(
)
(
1
i
P X
i
i
a
，2，3，4 ，5)，则
(2
5)
P
X
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．3
5
D．9
10
4.已知随机变量X 的概率分布为
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，其中a=（
）
A．1
B．5
4
C．5
6
D．2
5.若随机变量的分布列如下表：
1
2
3
4
P
0.1
m
0.2
0.3
则
3
1
P
（
）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
6.设离散型随机变量的概率分布如下，则a 的值为（）
X
1
2
3
4
P
1
6
1
3
1
6
a
A．
1
2
B．1
6
C．1
3
D．1
4
7.若随机变量X 的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8 时，实数a 的取值范围是（
）
A．(－∞，2]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
8.若随机变量Y 的分布列如下表，则当
0.8
P Y
x
时，实数x 的取值范围是（
）
Y
2
1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
A．
2
x
B．1
2
x
C．1
2
x
D．1
2
x
9.已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数）：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
则
1
3
P
X
等于（
）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
10.已知随机变量的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中, ,
a b c 成等差数列，则函数
2
2
f x
x
x
有且只有一个零点的概率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
题型六：两点分布
1.已知X 服从两点分布，且
0
0.3
P X
，则
1
P X
．
2.小明通过某次考试的概率是未通过的5 倍，令随机变量
1,
0,
X
考试通过
考试未通过，则
0
P X
（
）
A．1
3
B．5
6
C．1
6
D．2
3
3.设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量去表示1次试验的成功次数，则
0
P
等于（
）
A．0
B．1
2
C．1
3
D．2
3
4.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（
）
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射击手射击一次，击中目标的次数X
C．从装有除颜色外其余均相同的5 个红球，3 个白球的袋中任取1 个球，设
1,
0,
X
取出白球
取出红球
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
5.若随机变量X 服从两点分布，且
0
0.8
P X
．令
3
2
Y
X
，则
1
P Y
．
6.设随机变量X 服从两点分布，若
1
0
0.4
P X
P X
，则
1
P X
．
7.已知随机变量X 服从两点分布，且
2
0
2
P X
a
，
1
P X
a
，那么
a
．
8.已知随机变量X 服从两点分布，且��= 1 =
3
2 ��= 0 ，则��= 1 =（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
9.若离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且�(�= 1) = �, 4 −5�(�= 0) = �，则�=（
）
A．
2
3
B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
题型七：两个相关的随机变量的分布列问题
1.已知随机变量X 的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
�
0.1
若Y＝2X－3，则��= 5 的值为______
2.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
3.已知随机变量X 的分布列如下：
X
0
1
2
P
1
3
1
2
a
若随机变量Y 满足�= 3�−1，则下列说法正确的是（
）
A．�=
1
6
B．��> 1 =
5
6
C．��= 2 =
1
2
D．��< 2 = 0
4.已知离散型随机变量�的分布列��= �=
�
15，�= 1,2,3,4,5.令�= 2�−2，则��> 0 =
.
题型八：离散型随机变量的综合问题
1.学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人
打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平
局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.
(1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数X 的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率.
2.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100 名学生，其中共有4
名女生和3 名男生的成绩在90 分以上，从这7 名同学中每次随机抽1 人在全校作经验分享，每位同学最
多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求��，���，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7 名学生中随机抽取3 人进行经验分享，记被抽取的3 人中女生的人
数为X，求X 的分布列．
3.教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公
平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资
源匮乏的问题，某市教育局拟从5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3 批次进行，
每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从这5 人中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人
有支教经验，3 人没有支教经验．
(1)求5 名优秀教师中的“甲”，在这3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；
4.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为
2
3 ,
1
2 ,
1
3，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为
2
3，第二次抽
中选择继续抽奖的概率为
1
4，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量�，求�的分布列．
5.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨
论学习.甲组一共有4 人，其中男生3人，女生1人；乙组一共有5人，其中男生2 人，女生3人.现要从这9人
的两个兴趣小组中抽出4 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A 为“选出的这4 个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A
发生的概率；
(2)用X 表示抽取的4 人中乙组女生的人数，求随机变量X 的分布列.
6.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，
要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n 瓶酒，并重新按品质
优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n 的n 种酒，在第二次排序时
的序号为�1, �2, �3, …, ��，并令�=
�=1
�
�−��
σ
，称X 是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排
序的偏离度的高低为其评分.
(1)当�= 3 时，若�1, �2, �3等可能地为1，2，3 的各种排列，求X 的分布列；
(2)当�= 4 时，
①若�1, �2, �3, �4等可能地为1，2，3，4 的各种排列，计算�≤2 的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有�≤2（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，
请说明理由.
7.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中
抽取容量为200 的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100 分.调查结果显示：最低
分为51 分，最高分为100 分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频
数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男生评分结果的频数分布表
分数区间
频数
50,60
3
60,70
3
70,80
16
80,90
38
90,100
20
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
(1)求a 的值；
(2)为进一步改善食堂状况，从评分在50,70 的男生中随机抽取3 人进行座谈，记这3 人中对食堂“不满意”
的人数为X，求X 的分布列；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取两名学生，求有且只有一人对食堂“比较满意”
的概率.
模块三：综合巩固
1.从装有2 个白球、3 个黑球的袋中任取2 个小球，下列可以作为随机变量的是（
）
A．至多取到1 个黑球
B．至少取到1 个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
2.甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，共下三局．用表示甲的得分，则
3
表
示（
）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3.设0
1
p
，随机变量的分布列为：
5
8
9
P
1
3
p
2
p
2
3
p
则p （
）
A．1
4
B．3
4
C．2
5
D．4
5
4.袋中有2 个黑球、5 个红球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是（
）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
5.如图，我国古代珠算算具算盘每个档( 挂珠的杆)上有7 颗算珠，用梁隔开，梁上面2 颗叫上珠，下面5颗
叫下珠，若从某一档的7 颗算珠中任取3 颗，记上珠的个数为X ，则
1
P X
（
）
A．6
7
B．5
7
C．3
7
D．2
7
6.若随机变量X 的分布列为
X
2
1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
0.1
0.2
则当
0.7
P X
a
时，实数a 的取值范围是（
）
A．
,2
B．
1,2
C．
1,2
D．
1,2
7.设随机变量的分布列如下表，则
2
5
1
4
P
（
）
1
2
3
4
P
1
12
a
1
3
1
3
A．5
12
B．
1
2
C．7
12
D．1
6
8.一袋中装有4 个白球和2 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红
色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X ，则
2
P X
（
）
A．4
5
B．2
5
C．1
5
D．3
5
9.（多选）已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
4
6
P
0.2
m
n
0.1
则下列选项正确的是（
）
A．
0.7
m
n
B．若
0.3
m
，则
(
3)
0.5
P X
C．若
0.9
m
，则
0.2
n
D．
(
1)
2 (
6)
P X
P X
10.（多选）已知随机变量X 的分布列为
(
)
(
1)(
2)
a
P X
n
n
n
（
0,1,2
n
），其中a 是常数，则（
）
A．
(
0)
(
1)
(
2)
1
P X
P X
P X
B．
4
3
a
C．
8
(0
2)
9
P
X
D．以上均不正确
11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 的所有可能取值为1,2,
,n
，且
0
1,2,
,
i
P X
i
p
i
n
，
1
1
n
i
i
p
，定义X 的信息熵
3
1
log
n
i
i
i
H X
p
p
，则下列说法中正确的
是（
）
A．当
1
n 时，
0
H X
B．当
3
n
且
1
1,2,3
3
ip
i
时，
1
H X
C．若
1
1,2,
,
ip
i
n
n
，则
H X 随着n 的减小而减小
D．当
2
n
时，
H X 随着
1p 的增大而减小
12.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次
围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假
设每局比赛甲胜乙的概率都为
(0
1)
p
p
，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（
）
A．乙连胜三场的概率是
3
(1
)
p
B．
3
3
(
4)
3
(1
)
3 (1
)
P X
p
p
p
p
C．
2
2
(
5)
12
(1
)
P X
p
p
D．
(
5)
P X
的最大值是
3
8
13.（多选）已知为随机变量，从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，
0
；当
两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
1
．则下列结论正确的是（
）
A．共有24 对相交棱
B．
6
0
11
P
C．
1
2
11
P
D．
5
1
11
P
14.已知X 服从参数为0.6 的两点分布，则
0
P X
.
15.设随机变量X 的分布列为
1,2,
,8
P X
i
ai i
L
，则常数
a
.
16.离散型随机变量X 的概率分布规律为
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，其中a 是常数，则
1
5
2
2
P
n
.
17.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n，且
0
1,2,
,
i
P X
i
p
i
n
，
1
1
n
i
i
p
，定义
1
1
n
i
n
i
i
M X
p p
．若
1
2
1
n
p p
n
，则当
3
n
时，
M X 的最大值为
．
18.已知病毒A 在某溶液中的存活个数
k 的概率满足
3
3 e
01 2
!
k
P X
k
k
k
，，，
，已知只要该溶液中存
在一个A 病毒，就可以导致生物C 死亡，则该溶液能够导致生物C 死亡的概率为
．
19.已知新高考数学共4 道多选题，评分标准是每题满分5 分，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选
或不选的得0 分．每道多选题共有4 个选项，正确答案往往为2 项或3 项. 为了研究多选题的答题规律，
某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为1
2 ，正确答案是“选三项”的概率为1
2 .现有
学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0 分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布
列.
20.某县教育局从县直学校推荐的6 名教师中任选3 人去参加进修活动，这6 名教师中，语文、数学、英语
教师各2 人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X 表示选出的3 人中数学教师的人数，求X 的分布列．
21.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3 需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，
各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2 中至少有1 个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X 的分布列．
22.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1 丙、丁
四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为1
3 ；当乙接到毽子时，乙
传给甲、丙、丁的概率分别为1
3 ，1
2 ，1
6 ；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为1
3 ，1
2 ，1
6 ；
当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为1
3 ，1
6 ，1
2 .假设毽子一直没有掉地上，经过n 次传毽子
后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为
na ，
nb ，
nc ，
n
d ，已知
1
0
a
.
(1)记丁在前2 次传毽子中，接到毽子的次数为X ，求X 的分布列；
(2)证明
1
4
na
为等比数列，并判断经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率与1
4 的大小.
23.在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学
的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为1
2 ，1
2 ，p，
复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为1
12 ．
(1)求p 的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X 的分布列．
24.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖
若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500 名参加活动的高一学生，获奖情况统计
结果如下：
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200 名男生和300 名女生中各随机抽取1 名，求抽到的2 名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1 名，从该地区高一女生中随机抽取1 名，以X 表示这
2 名学生中获奖的人数，求X 的分布列
