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7.2 离散型随机变量及分布列（精讲）
思维导图
常见考法考法一 随机变量及离散型随机变量
【例1】（1）（2020·河北沧州市一中高二月考）下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数
（2）．（2020·全国高一课时练习）下列随机变量中不是离散型随机变量的是（ ）
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
C．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.故选：B
（2）在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机
变量
在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以
按一定次序一一列出，
故Y是离散型随机变量
在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，
故T不是离散型随机变量
在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型
随机变量故选：C
【一隅三反】
1．（2021·南昌县莲塘）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( )
A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数
C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数
【答案】A
【解析】 抛掷一枚骰子不可能出现 点，出现 点为不可能事件
出现 点的次数不能作为随机变量本题正确选项：
2．（2020·河北沧州市一中高二月考）抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出
的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为 ( )
A．第一枚为5点,第二枚为1点B．第一枚大于4点,第二枚也大于4点
C．第一枚为6点,第二枚为1点
D．第一枚为4点,第二枚为1点
【答案】C
【解析】由于 表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为 ，
而 只有一种情况，也即 ，此时第一枚为 点,第二枚为 点，故选C.
3．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得 分，平局得 分，输了得 分，共下三局.用
表示甲的得分，则 表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得 分，平局得 分，输了得 分，
故 有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选：D.
4．（2020·湖北武汉市·高二期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变
量的是（ ）
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
【答案】C
【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，
其中随机变量 的取值 ，故选C.
5（2020·全国高二）下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．
①某宾馆每天入住的旅客数量是 ；
②某水文站观测到一天中珠江的水位 ；
③西部影视城一日接待游客的数量 ；④阅海大桥一天经过的车辆数是 .
【答案】②
【解析】①③④中的随机变量 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随
机变量；②中随机变量 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变
量．故答案为：②
考法二 分布列
【例2-1】（2020·吉林油田第十一中学）若随机变量X的分布列如下所示
X －1 0 1 2
P 0.2 a b 0.3
且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（ ）
A．0.4，0.1 B．0.1，0.4
C．0.3，0.2 D．0.2，0.3
【答案】B
【解析】由随机变量X的分布列得： ，所以 ，
又因为 ，解得 ，所以 ，故选：B
【例2-2】．（2020·全国高二课时练习）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾
客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次
第1次 第2次 第3次 第4次 次
第
收费比
1 0.95 0.90 0.85 0.80
率
若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数
据如下：
消费次数 1 2 3 4 5
人数 60 20 10 5 5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1 ）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为 元，求 的分布列.
【答案】（1）公司获得的平均利润为 元；（2）分布列答案见解析.
【解析】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为 元，
第二次消费时，公司获得利润为 元，
所以两次消费中，公司获得的平均利润为 元，
（2）因为公司成本为 元，所以消费一次公司获得的平均利润为 元，消费两次公司获得的平均利润
为 元，消费三次公司获得的平均利润为 元，消费四次公司获得的平均利润
为 元，
消费五次公司获得的平均利润为 元，
的所有可能的取值为 ，
，
，
，
，，
.故 的分布列为
50 45 40 35 30
0.6 0.2 0.1 0.05 0.05
【一隅三反】
1．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的有（ ）
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
【答案】ABD
【解析】因为 ，解得 ，故A正确；
由分布列知 , ，
，故BD正确，C错误.
故选：ABD
2．（2020·山东济宁市·高二期末）在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学
参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对
的概率均为 ，乙队中3名同学答对的概率分别是 ， ， ，且每名同学答题正确与否互不影响.用
表示乙队的总得分.
（1）求随机变量 的分布列；
（2）设事件 表示“甲队得2分，乙队得1分”，求 .【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由题意知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）设甲队得分为Y，则 ，
，
.
3．（2020·农安县教师进修学校）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 、 、 ，三人
各射击一次，击中目标的次数记为 .
（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；
（2）求 的分布列.【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件 ，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：
；
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值为 、 、 、 ，
， ，
， .
所以，随机变量 的分布列如下：
考法三 两点分布
【例3】（2020·永安市第三中学高二期中）设随机变量 服从两点分布，若
，则成功概率 （ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】随机变量 服从两点分布， ，
根据两点分布概率性质可知： ，解得 ，故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国高三专题练习）若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用 描述一次试验的成功次数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】据题意知，“ ”表示一次试验试验失败，“ ”表示一次试验试验成功.
设一次试验失败率为 ，则成功率为 ，所以 ，所以 ，
所以 .故选：C.
2．（2020·全国）已知离散型随机变量 的分布列服从两点分布，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 的分布列服从两点分布，所以 ，
因为 ，所以
故选：C.
