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第七章 章末测试
一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（2021·吉林长春市）长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮
风又下雨的概率为 ，设事件 为下雨，事件 为刮风，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可知 ，
利用条件概率的计算公式，可得 ，故选B.
2．（2020·全国高二单元测试）现在有 张奖券， 张 元的， 张 元的，某人从中随机无放回地抽取
张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当取三张都是两元的得奖金额是 元；当取两张两元一张五元得奖金额是 元；
当取一张两元两张五元得奖金额是 元.故得奖金额为 ,对应的概率分别是
,故其数学期望是 ,应选B.3．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，
现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ；当无放回依次取出两个小
球时，记取出的红球数为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】 可能的取值为 ； 可能的取值为 ，
， ， ，
故 ， .
， ，
故 ， ,
故 ， .故选B.
4．（2021·浙江绍兴市）设 ，若随机变量 的分布列如下：
0 2
P a
则下列方差值中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意 ， ，
， ，
，
．
， ， ．
其中 最大．
故选：C．
5．（2020·全国高二课时练习）已知离散型随机变量 的概率分布如下，则其数学期望 （ ）
1 3 5
0.5 0.2
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
【答案】D
【解析】∵分布列中所有的概率之和等于1，
，∴随机变量 的数学期望 .
故选：D.
6．（2020·广东云浮市·高二期末）某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正
态分布 ，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ）
（参考数据：若随机变量服从正态分布 ，则 ，， ）
A．17 B．23 C．90 D．159
【答案】D
【解析】由题得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以用电量在210度以上的居民户数为 ．
7．（2020·全国高二）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 .故选：C.
8．（2020·湖北随州市·高二期末）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态
分布 ，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人
数占总人数的 ，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】D
【解析】由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，由对称性知： ，
所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为 ，
故选：D
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2020·辽宁沈阳市·高三月考）下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布 ，则
B．已知随机变量X服从正态分布 且 ，则
C． ；
D．已知随机变量 满足 ， ，若 ，则 随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大
【答案】ABD
【解析】对于选项 设随机变量 ，
则 ，
所以选项A正确；
对于选项 因为随机变量 ，
所以正态曲线的对称轴是 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以选项B正确；
对于选项 ，，故选项C不正确；
对于选项 由题意可知， ，
，
由一次函数和二次函数的性质知，
当 时， 随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大，故选项D正确.
故选：ABD.
10．（2020·全国高二单元测试）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正
确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
【答案】ABD
【解析】A.恰有一个白球的概率 ，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B ，其方差为 ，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝ ，P(A∩B)＝ ，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝ ，所以至少有一次取到红球的概率为 ，故D正确．
故选：ABD.
11．（2020·福建高三其他模拟）一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中
任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是
【答案】ACD
【解析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：
1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；
，
，
又X最有可能的取值是4，
．
故选：ACD．
12．（2020·湖北荆州市·荆州中学）已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试
的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为 ，若使标准分X服从正态分布N ，则
下列说法正确的有( ).
参考数据：① ；② ；③A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在 内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【解析】选项A；因为正态分布曲线关于 对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有 人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N ，可知： ，
所以 ，
因此这次考试标准分在 内的人数约为 人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于 对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为 ，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为 ，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）
13．（2021·天津静海区·静海一中）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不
放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ，则 _______； ______．
【答案】 1
【解析】随机变量 ，
对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第
一 次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球，
故 ，
故 ，所以 .
故答案为： .
14．（2021·江苏苏州市）在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局
胜利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为 ，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望
为______．【答案】
【解析】根据题意，该人参加两局答题活动得分为 ，则 可取的值为2，3，4，5，
若 ，即该人两局都失败了，则 ，
若 ，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则 ，
若 ，即该人第一局胜利，而第二局失败，则 ，
若 ，即该人两局都胜利了，则 ，
故 ，
故答案为： ．
15．（2020·江苏省镇江第一中学高二期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世
界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､
清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI芯片“思
元270”､赛灵思“Versal自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”
中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至
少有2项属于芯片领域的概率为___．
【答案】
【解析】根据题意，15项“世界互联网领先科技成果”中，
其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，其中“鲲鹏920”也属于芯片领域，
设选出的3项中，其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”为事件 ，
则共有 种情况，即 ，
设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件 ，
则共有 种情况，即 ，
所以在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为：.
故答案为： .
16．（2020·全国高三专题练习）已知X的分布列如图所示，则（1） ，（2）
，（3） ，其中正确的个数为________.
X -1 0 1
P 0.2 0.3 a
【答案】1
【解析】由分布列的性质，可得 ，即 ，
所以 ，
,
综上可得（1）正确，（2）（3）错误，所以正确的个数是1.
故答案为：1.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·全国）为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间
按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；
(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值
E(X);
(3)试比较男生学习时间的方差 与女生学习时间的方差 的大小.(只需写出结论)
【答案】（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3） .
【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不
足4小时的有4人.
故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400× =240.
(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
由题意可得
P(X=0)= ，
P(X=1)= ，
P(X=2)= ，
P(X=3)= ，P(X=4)= .
X 0 1 2 3 4
P
所以随机变量X的分布列为
∴均值E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =2.
(3)由折线图可得 .
18．（2021·江西景德镇市）为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年
1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，
将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在 之间的理科学生成绩绘制
成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是
多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为 ， ， ，请问甲同学参加三
次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数 分布列及期望.【答案】（1）458；（2）答案见解析.
【解析】（1） 分以上的频率为： ，
要达到60%的二本率，所以， 之间频率为：
因为 的频率总和为
所以模拟二本线应在 之间，设为
则 解得： ；
（2）至少2科及格的概率
， ， ，1，2，3
0 1 2 3
.
19．（2021·湖北宜昌市）某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第
一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得 分；第三个
问题回答正确得30分，回答错误得 分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算
闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率是 ，且各题
回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分 的分布列和期望；
（3）求这位参赛者闯关成功的概率．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ；（3） .
【解析】（1）设事件 这位参赛者回答对第i个问题 ，
∴
（2）
， ，
， ，
， ，
， ，
∴ 的分布列为：
0 10 20 30 50 60
．
（3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为 ．20．（2021·江西赣州市））一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球
各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、
红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；
③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则
再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记
分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分 的分布列和数学期望 .
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【解析】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件 ，因为球的总分为16，
即事件 指的是甲的得分大于等于8
则
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、
10分、11分等所以 的分布列为：
6 7 8 9 10 11
所以 的数学期望 ．
21．（2021·湖北黄冈市·高二期末）在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛
两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布 ，其中 可以近
似为100名学生的预赛平均成绩， ，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛
学生可在开始答题前自行选择答题数量 ，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答
第 题时扣掉 分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望
得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
（参考数据 ，若 ，则 ，
， ）．
【答案】（1） ，（2） ，（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量 应该是7．
【解析】（1）样本成绩不低于60分的学生有 人
其中成绩不低于80分的有 人
则至少有1人成绩不低于80分的概率
（2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为 ，
所以 ， ，所以
所以 ，则
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为 人
（3）以随机变量 表示甲答对的题数，则 ，且 ，
记甲答完 题所加的分数为随机变量 ，则 ，
，
依题意为了获取答 题的资格，甲需要扣掉的分数为：
，
设甲答完 题的分数为 ，则 ，
由于 ， 当 时， 取最大值 ，即复赛成绩的最大值为 ．
若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量 应该是7．
22．（2021·全国）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公
司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速
度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为 ，使用共享单车的概率为 .该公司为了促
进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择
意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立.
（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为 分的概率为 (比如： 表示累计得分为1
分的概率， 表示累计得分为2分的概率， )，试探求 与 之间的关系，并求数列 的通
项公式.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： ；（2） ， .
【解析】（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，
则总得分为随机变量 的可能取值为 ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为
3 4 5 6所以数学期望 .
（2）已调查过的累计得分恰为 分的概率为 ，得不到 分的情况只有先得 分，
再得2分，概率为 ，其中 .
因为 ，即 ，所以 ，
则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
