文档内容
8.2 一元线性回归模型及其应用（精讲）
思维导图
常见考法
考点一 样本中心解小题
【例1】（2021·江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价 （元）与每天的销售量 （个）统计如
下表：
16 17 18 19
50 34 31
据上表可得回归直线方程为 ，则上表中的 的值为（ ）A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】D
【解析】由题意 ， ，
所以 ，解得 ．故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）随机变量 与 的数据如表中所列，其中缺少了一个数值，已知
关于 的线性回归方程为 ，则缺少的数值为（ ）
2 3 4 5 6
5 6 ▲ 7 9
A．6 B．6.6 C．7.5 D．8
【答案】A
【解析】设缺少的数值为 ，由于回归方程为 过样本中心点 ，
且 ，代入 ，所以 ，解得 .
故选：A.
2．（2021·河南信阳市）根据如下样本数据：
2 3 4 5 6
4 2.5
得到的回归方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由图表中的数据可得，变量 随着 的增大而减小，则 ，， ，
又回归方程 经过点 ，可得 ，故选：B．
3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频
率 （每分钟鸣叫的次数）与气温 （单位： ）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表
的观测数据，建立了 关于 的线性回归方程 .
（次数/分钟）
则当蟋蟀每分钟鸣叫 次时，该地当时的气温预报值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由表格中的数据可得 ， ，
由于回归直线过样本中心点 ，可得 ，解得 .
所以，回归直线方程为 .在回归直线方程中，令 ，可得 .
故选：D.
考点二 一元线性方程
【例2】（2021·兴义市第二高级中学）在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商
品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，求
（1）销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）若使销售量为12，则价格应定为多少.
附：在回归直线 中 ，
【答案】（1） （2） 8.75
【解析】（1）由题意知 ， ，
， ，
线性回归方程是 ；
（2）令 ，可得 ，
预测销售量为12件时的售价是8.75元．
【一隅三反】
1．（2020·河南开封市）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的
时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者
的心率 （单位：次/分钟）和配速 （单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42
公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，求 与 的线性回归方程；
（2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他
能获得的名次.参考公式：线性回归方程 中， ，
参考数据： .
【答案】（1） ；（2）210分钟，192名．
【解析】（1）由散点图中数据和参考数据得 ，
，
，
，
所以 与 的线性回归方程为 .
（2）将 代入回归方程得 ，
所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为 分钟.
从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为
，有 的跑者成绩超过该跑者，
则该跑者在本次比赛获得的名次大约是 名.
2．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别
是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度
购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易
额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码( ) 1 2 3 4 5 6 7
总交易额 (单位：百亿) 5.7 9.1 12.1 16.8 21.3 26.8 37
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额.
参考数据： ， ， ；
参考公式：相关系数 ；
回归方程 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，
.
【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为 ，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约
为38百亿.
【解析】（1） ， ，
，
所以因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98，
说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，
从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系.
（2）因为 ， ，
所以 ，
，
所以y关于t的回归方程为
又将2021年对应的 代入回归方程得： .
所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.
3．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与
某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明
（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多
少？附：相关系数公式 ．
参考数据： ， ．
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
．
【答案】（1）0.95；答案见解析；（2） ；610千克.
【解析】（1）由已知数据可得 ， ，
所以 ，
，
，
所以相关系数 ．
因为 ，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2） ， ，所以回归方程为 ．
当 时， ，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克．
考点三 非一元线性方程
【例3】（2020·全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得 个样本点，得到下表及散点图．
（1）根据散点图判断 与 哪一个适宜作为 关于 的回归方程；（给出判断即可，
不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果试建立 与 的回归方程；（计算结果保留整数）
（3）在（2）的条件下，设 且 ，试求 的最小值．
参考公式：回归方程 中， ， .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .【解析】（1）由题中散点图可以判断， 适宜作为 关于 的回归方程；
（2）令 ，则 ，原数据变为
由表可知 与 近似具有线性相关关系，计算得 ，
，
，
所以， ，则 ．
所以 关于 的回归方程是 ．
（3）由（2）得 ， ，
任取 、 ，且 ，即 ，
可得
，
因为 ，则 ， ，所以， ，
所以，函数 在区间 上单调递增，则 .
【一隅三反】1．（2020·江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）
与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.
表中 .
（1）根据散点图判断 ，与 哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型？（不必
说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程.
（3）若该产品的日销售量 （件）与时间x的函数关系为 ，求该产品投
放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 .
【答案】（1） 更适合作价格y关于时间x的回归方程；（2） ；（3）第10天，最
高销售额为2420元；
【解析】（1）根据散点图知 更适合作价格y关于时间x的回归方程类型；
（2）令 ，则 ，
而 ，
，即有 ；
（3）由题意结合（2）知：
日销售额为 ，
∴ ，
若 ，令 ，
∴ 时， ，即 天， 元,
所以该产品投放市场第10天的销售额最高，最高销售额为2420元.
2．（2021·江苏苏州市）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”
规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额 （单位：亿元）对年盈利额 （单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规
划发展期间近10年年研发资金投入额 和年盈利额 的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①
，② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数．令 ，
，经计算得如下数据：
26 215 65 2 680 5.36
11250 130 2.6 12
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立 关于 的回归方程;（系数精确到0.01）
（ⅱ）若希望2021年盈利额 为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额 为多少亿元？（结果精确
到0.01）
附：①相关系数 ，回归直线 中： ，
②参考数据： ， ．
【答案】（1）模型 的拟合程度更好；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）27.56.
【解析】（1）设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，由题意，，
，
则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好．
（2）（ⅰ）先建立 关于 的线性回归方程，
由 ，得 ，即 ，
，
，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
所以 ，则 ．
（ⅱ）2021年盈利额 （亿元），
所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ．
所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元．
