7.2 离散型随机变量及其分布列
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：随机变量的概念、表示及特征............................................2
考点二：离散型随机变量............................................................. 2
考点三：离散型随机变量的分布列及其性质......................................2
考点四：两点分布......................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：随机变量的判断............................................................. 3
题型二：离散型随机变量的取值.................................................... 5
题型三：求离散型随机变量的分布列...............................................6
题型四：离散型随机变量的分布列求概率....................................... 12
题型五：离散型随机变量的分布列的性质求参数.............................. 15
题型六：两点分布.................................................................... 19
题型七：两个相关的随机变量的分布列问题.................................... 22
题型八：离散型随机变量的综合问题.............................................23
模块三：综合巩固....................................................................... 30
7.2 离散型随机变量及其分布列
模块一：基础知识
考点一：随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X 为
随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，
z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
4.随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点
相当于函数定义中的自变量，样本空间
相当于函数
的定义域.
区别：样本空间
不一定是数集，随机变量的取值X(
)随着试验结果
的变化而变化，而函数是从非空
数集到非空数集的一一对应.
考点二：离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
考点三：离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X 取每一个值xi 的概率P(X
＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列．
2.分布列的表格表示
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
分布列也可以用等式形式表示为P(X=
)=
，i=1，2，
，n，还可以用图形表示.
3．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
考点四：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A 表示“成功”，A－表示“失败”，定义X＝
1，A 发生，
0，A－发生.
如果P(A)＝p，则P( A－)＝1－p，那么X 的分布列如表所示
X
0
1
P
1－p
p
我们称X 服从两点分布或0－1 分布．
模块二：题型分类
题型一：随机变量的判断
1.一个袋中装有除颜色外完全相同的2 个黑球和6 个红球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是（
）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1 个红球
D．至少取到1 个红球或1 个黑球
【答案】B
【分析】根据随机变量的定义即可判断.
【详解】A 中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B 中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量．C
和D 叙述的结果也是确定的，故不是随机变量．
故选：B.
2.下列叙述中，是离散型随机变量的为（
）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2 个黑球6 个红球，任取2 个，取得一个红球的可能性
【解题思路】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数
之和为�，是常量，A 错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B 错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，
C 正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D 错误.
故选：C.
3.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数�；
②一个沿�轴进行随机运动的质点，它在�轴上的位置�；
③某派出所一天内接到的报警电话次数�；
④某同学上学路上离开家的距离�．
其中是离散型随机变量的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】根据离散型随机变量的定义判断即可.
【解答过程】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿�轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随
机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：B．
4.如果X 是一个离散型随机变量且�= ��+ �，其中a，b 是常数且�≠0，那么Y（
）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
【解题思路】根据随机变量的概念和函数的性质进行判断.
【解答过程】因为X 是一个离散型随机变量，而�= ��+ �，a，b 是常数且�≠�，
根据函数的性质知，�也是离散型随机变量.
故选：D.
5.将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（
）
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
【答案】C
【分析】根据随机变量的定义可得答案.
【详解】由随机变量的定义知，将一枚质地均匀的骰子掷两次，两次出现的点数之和可作为此次试验的随
机变量．
故选：C．
6.袋中有3 个白球、5 个黑球，从中任取2 个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（
）．
A．至少取到1 个白球
B．至多取到1 个白球
C．取到白球的个数
D．取到球的个数
【答案】C
【分析】由随机变量的含义可知.
【详解】选项A，B 是随机事件；选项D 是定值2；选项C 可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．
故选：C．
7:10 件产品中有3 件次品,从中任取2 件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
【答案】C
【分析】由题意逐一考查所给的选项即可.
【详解】逐一考查所给的选项：
A 中取到产品的件数是一个常量而不是变量,
B,D 中的量也是一个定值,
而C 中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.
本题选择C 选项.
【点睛】本题主要考查随机变量的定义，属于基础题.
题型二：离散型随机变量的取值
1.已知4 支钢笔的单价分别为10 元、20 元、30 元、40 元．从中任取2 支，若以Y 表示取到的钢笔的较高
单价（单位：元），则Y 的取值范围为（
）
A．
10,20,30,40,50,60,70,80
B．
10,20,30,40,50,60,70
C．
10,20,30,40
D．
20,30,40
【答案】D
【分析】任取2 支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为
10,20 ，
10,30 ，
10,40 ，
20,30 ，
20,40 ，
30,40 ，即可得到答案；
【详解】
10,20 表示取出的2 支钢笔为10 元和20 元，余类推，则任取2 支钢笔的单价（单位：元）的
所有可能情况为
10,20 ，
10,30 ，
10,40 ，
20,30 ，
20,40 ，
30,40 ，故取到的钢笔的较高单价为
20 元、30 元、40 元，即Y 的取值范围为
20,30,40 ．
故选：D
2.一串钥匙有6 枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验
次数X 的最大可能取值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．2
【答案】B
【分析】根据逐次试验可得正确的选项.
【详解】由于是逐次试验，可能前5 次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，
故选：B.
3.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得100
分，则选手甲
回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值；
【详解】解：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300 分，100 分，100
分，
300
分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4 个．
故选：B
题型三：求离散型随机变量的分布列
1.投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为�，则�的分布列为（
）
A.
B.
C.
D.
【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.
【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为
�
�，且相互独立，�的取值可能为0，1，2.
��= �=
�
�×
�
�=
�
�，��= �= �×
�
�×
�
�=
�
�，��= �=
�
�×
�
�=
�
�，
所以�的分布列为：
X
�
�
�
P
�
�
�
�
�
�
故选：C.
2.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1 次，设两人命中总次数为X，
则X 的分布列为（
）
A.
B.
C.
D.
【解题思路】列出X 的可能取值，求出每个X 对应的概率，即可求出分布列.
【解答过程】易知X 的可能取值为0，1，2，��= �= �. �× �. �= �. ��，��= �= �. �× �. �+ �. �×
�. �= �. ��，��= �= �. �× �. �= �. ��，
故X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
故选：D.
3.某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000 元；阴天销路一般，可获利500 元；下雨天西瓜
滞销，会亏损500 元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，
试写出销售这批西瓜获利的分布列．
【答案】答案见解析．
【分析】根据已知数据列表格．
【详解】用X 表示获利，则X 的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：
X
1000
500
－500
P
0.4
0.2
0.4
4.装有除颜色外其余均相同的3 个红球，2 个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有X 个红球，随机变量X
的概率分布列如下:
X
0
1
2
P
1
x
2
x
3x
则
1
2
3
,
,
x x
x 的值分别为
、
、
.
【答案】
1
10 /0.1
3
5 /0.6
3
10 /0.3
【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解.
【详解】依题意，得
2
2
2
5
C
1
0
C
10
P X
，
1
1
3
2
2
5
C
C
3
1
C
5
P X
，
2
3
2
5
C
3
2
C
10
P X
，
所以
1
1
10
x
，
2
3
5
x
，
3
3
10
x
.
故答案为：1
10 ；3
5 ；3
10 .
5.学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次
机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第
一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则
直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投
篮命中率为3
4 ，在三分线处投篮命中率为2
3 ．假设学生甲每次投进与否互不影响．
(1)求学生甲被录取的概率；
(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X ，求X 的分布列．
【答案】(1) 5
6
(2)分布列见解析
【详解】（1）记事件A ，表示“甲在罚球线处投篮，第i 次投进”，事件
1
B 表示“甲在三分线处投篮，第i 次
投进”．
则
1
2
3
4
P A
P A
，
1
2
2
3
P B
P B
，
设事件C 表示“学生甲被录取”，则
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
C
A
A
A A
A A
B
B B
B
B B
，
所以
3
2
3
1
2
1
3
1
3
1
5
4
3
4
3
3
4
4
3
4
4
3
3
6
2
2
P C
，
所以学生甲被录取的概率为5
6 .
（2）由题分析知，X 的可能取值为2，3，4.
1
2
1
1
2
1
3
2
9
2
4
4
3
16
A A
P X
P
A B
1
1
2
1
1
1
3
2
3
1
3
3
4
4
3
4
3
8
P X
A
B
A
A
P
B
1
1
2
1
3
1
1
4
4
4
3
16
A
B
P X
P
A
所以X 的分布列为
X
2
3
4
P
9
16
3
8
1
16
6.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为2 1 1
,
,
3 2 3 ，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为2
3 ，第二次
抽中选择继续抽奖的概率为1
4 ，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列．
【答案】(1) 7
27
(2)答案见解析
【分析】
（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立
事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；
（2）先分析X 的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求X 的分布列.
【详解】（1）记小李第i 次抽中为事件
1,2,3
iA i
，则有
1
2
3
2
1
1
,
,
3
2
3
P A
P A
P A
，且
1
2
3
,
,
A A A 两
两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件A ，
则
1
2
1
2
3
2
2
1
2
2
1
1
1
7
1
1
3
3
2
3
3
2
4
3
27
P A
P A A
P A A A
；
（2）由题意可知X 的可能取值为：0,10,40,90 ，
2
16
0
1
3
27
P X
P A
，
2
2
2
10
1
3
3
9
P X
，
2
2
1
1
1
40
1
3
3
2
4
6
P X
，
2
2
1
1
1
1
90
3
3
2
4
3
54
P X
，
所以X 的分布列为：
X
0
10
40
90
P
16
27
2
9
1
6
1
54
7.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：（1）2
1
X 的分布列；
（2）求
(1
4)
P
X
的值.
【答案】（1）见解析；（2）0.7
【分析】根据概率和为1列方程，求得m 的值.
（1）根据分布列的知识，求得2
1
X 对应的分布列.
（2）利用
(1
4)
(
2)
(
3)
(
4)
P
X
P X
P X
P X
求得
(1
4)
P
X
的值.
【详解】由分布列的性质知：0.2
0.1 0.1 0.3
1
m
，解得
0.3
m
（1）由题意可知
(2
1
1)
(
0)
0.2
P
X
P X
，
(2
1
3)
(
1)
0.1
P
X
P X
，
(2
1
5)
(
2)
0.1
P
X
P X
(2
1
7)
(
3)
0.3
P
X
P X
，
(2
1
9)
(
4)
0.3
P
X
P X
所以2
1
X 的分布列为：
2
1
X
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
（2）
(1
4)
(
2)
(
3)
(
4)
0.1
0.3
0.3
0.7
P
X
P X
P X
P X
【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.
8.甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3 局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如
下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每
局甲校获胜的概率为2
3 ，乙校获胜的概率为1
3 ，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为1
3 ，乙校获胜
的概率为2
3 .每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1 获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
【答案】（1）4
27 ；（2）分布列答案见解析.
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.
（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列.
【详解】（1）甲校以3：1 获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，
2
1
2
2 1 1 1
2
2
1
4
8
4
C
3 3 3 3
3
3
3
81
81
27
P
.
（2）的所有可能取值为1，2，3，
2
2
2
1
1
2
2
1
3
3
3
3
9
P
，
2
1
2
4
1 2 2 2
1
1
2
10
2
27
3 3 3 3
3
3
3
27
P
C
，
4
10
11
3
1
27
27
27
P
，
故的概率分布为：
1
2
3
P
2
9
10
27
11
27
9.从含有2 名女生的10 名大学毕业生中任选3 人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．
【答案】ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
7
15
7
15
1
15
【分析】根据ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其概率，写出分布列即可.
【详解】解：由题意得：ξ的所有可能取值为0，1，2
“ξ＝0”表示入选3 人全是男生，则
3
8
3
10
7
0
15
(
)
C
P
C
＝＝
“ξ＝1”表示入选3 人中恰有1 名女生，则
1
2
2
8
3
10
7
15
(
)
C C
P
C
＝1 ＝
“ξ＝2”表示入选3 人中有2 名女生，则
2
1
2
8
3
10
1
15
(
)
C C
P
C
＝2 ＝
因此ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
7
15
7
15
1
15
题型四：离散型随机变量的分布列求概率
1.设随机变量X 的概率分布列如下表，则
(
2
1)
P X
（）
X
1
2
3
4
P
1
3
m
1
4
1
6
A．1
4
B．1
6
C．5
6
D．5
12
【答案】C
【分析】根据题意，利用随机变量X 的定义与对立事件的概率公式即可得解.
【详解】依题意，
2
1
1
3
X
X
，即事件
2
1
X
的对立事件是
4
X
的事件，
所以
(
2
1)
P X
1
5
1
(
4)
1
6
6
P X
.
故选：C.
2.已知随机变量X 服从两点分布，且
1
0.6
P X
.设
3
2
Y
X
，那么
2
P Y
等于（
）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
【答案】D
【分析】
根据变量间的关系，转化为
2
0
P Y
P X
，由两点分步求解.
【详解】
当
2
Y 时，由3
2
2
0
X
X
，
所以
2
0
1
1
1 0.6
0.4
P Y
P X
P X
.
故选：D
3.设随机变量X 的分布列
(
)
(
1,2,3)
2i
k
P X
i
i
，则
2
P X
的值为（
）
A．1
B．3
7
C．4
7
D．5
7
【答案】B
【分析】
由离散型随机变量的分布列性质求出k ，然后求解
2
P X
即可.
【详解】因为随机变量X 的分布列
(
)
(
1,2,3)
2i
k
P X
i
i
，
所以
1
2
3
1
2
2
2
k
k
k
，解得：
8
7
k
，
8
8
2
1
3
7
7
2
2
3
4
8
7
7
7
P X
P X
P X
.
故选：B.
4.某一射手射击所得环数X 的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.05
0.06
0.08
m
m
0.21
(1)求m 的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数
8
”的概率．
【答案】(1)
0.29
m
(2)0.5
【分析】（1）根据分布列中的概率和为1可构造方程求得结果；
（2）由分布列中对应的概率，结合对立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）
0.02
0.05
0.06
0.08
2
0.21
1
m
，
0.29
m
.
（2）此射手“射击一次命中的环数
8
”的概率
1 0.21
1 0.21 0.29
0.5
p
m
.
5.离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y N ）代替，分布列如下：
X
i
1
2
3
4
5
6
(
)
P X
i
0.21
0.20
0.
5
x
0.10
0.1 y
0.10
则
3
11
2
3
P
X
（
）
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
【答案】B
【分析】先根据概率之和为1 求出
2,
4
x
y
，从而求解概率即可.
【详解】由题意得0.21 0.20
0.05
0.10
0.10
0.10
1
10
100
x
y
，化简得10
24
x
y
，
又,x y N 且
,
0,9
x y
，所以
2,
4
x
y
，
所以
3
11
2
3
0.20
0.25
0.45
2
3
P
X
P X
P X
.
故选：B
6.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
10
1
5
1
10
1
5
2
5
则下列各式正确的是（
）
A．��< 3 =
2
5
B．��> 1 =
4
5
C．�2 < �< 4 =
2
5
D．��< 0.5 = 0
【解题思路】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解.
【解答过程】��< �=
�
��＋
�
�＋
�
��＋
�
�＝
�
�，A 错误；
��> �=
�
�＋
�
�＝
�
�，B 错误；
��< �< �= ��= �=
�
�，C 正确；
��< �. �=
�
��＋
�
�＝
�
��，D 错误.
故选：C.
7.随机变量ξ的分布列如下：
�
−1
0
1
�
�
�
�
其中2�= �+ �，则�( �= 1)等于（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
2
3
【解题思路】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为�可求.
【解答过程】∵��= �+ �，且�+ �+ �= �，
解得�=
�
�，
∴�( �= �) = �(�=−�) + �(�= �) = �+ �= ��=
�
�.
故选：D.
8.已知随机变量�的分布列为��= �=
1
2�, �= 1,2,3, ⋯，则�1 < �≤6 =（
）
A．
17
32
B．
15
32
C．
33
64
D．
31
64
【解题思路】根据已知条件结合互斥事件的概率公式求解即可.
【解答过程】因为随机变量�的分布列为��= �=
�
��, �= �, �, �, ⋯，
所以��< �≤�= �(�= �) + �(�= �) + �(�= �) + �(�= �) + �(�= �)
= �
��+ �
��+ �
��+ �
��+ �
��
=
��+�+�+�+�
��
=
��
��，
故选：D.
题型五：离散型随机变量的分布列的性质求参数
1.设�是一个离散型随机变量，其分布列为
�
2
3
4
�
1
2
1 −2�
2�2
则�等于（
）
A．1
B．1 −
2
2
C．
1
2
D．1 +
2
2
【解题思路】利用分布列的性质求得正确答案.
【解答过程】依题意
�
�+ �−��+ ���=���−��+
�
�=1，
即���−��+ �= ��−��=0，解得�=
�
�，
经检验可知，�=
�
�符合题意.
故选：C.
2.某一随机变量�的分布列为
�
0
1
2
3
�
0.1
�
2�
0.1
则��的最大值为（
）
A．0.2
B．0.8
C．0.08
D．0.6
【解题思路】根据分布列的性质可得�+ ��= �. �，由基本不等式即可求解.
【解答过程】由分布列可得�+ ��= �. �，又�> �，�> �，所以�+ ��= �. �≥����⇒��≤�. ��，
当且仅当�= ��= �. �时，即�= �. �, �= �. �时，等号成立，
故��的最大值为0.08.
故选：C.
3.已知随机变量X 的分布列为
(
)
(
1
i
P X
i
i
a
，2，3，4 ，5)，则
(2
5)
P
X
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．3
5
D．9
10
【答案】C
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得a 的值，又由
2
5
2
3
4
P
X
P X
P X
P X
，计算可得答案.
【详解】根据题意，随机变量X 的分布列为
1,2,3,4,5
i
P X
i
i
a
，
由分布列的性质，则有
5
1
1
i
i
a
，解得
15
a
，
故
2
5
2
3
4
P
X
P X
P X
P X
.
2
3
4
9
3
15
15
15
15
5
.
故选：C.
4.已知随机变量X 的概率分布为
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，其中a=（
）
A．1
B．5
4
C．5
6
D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意，
1
1
(
)
1
P X
n
a n
n
，
由分布列的性质得
4
1
1
1
1
1
1
1
1
4
(
)
[(1
)
(
)
(
)
(
)]
1
2
2
3
3
4
4
5
5
n
a
P X
n
a
，
解得
5
4
a
.
故选：B
5.若随机变量的分布列如下表：
1
2
3
4
P
0.1
m
0.2
0.3
则
3
1
P
（
）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
【答案】D
【分析】根据分布列中概率之和为1求出m 的值，进而可求得
3
1
P
的值.
【详解】由题意可得0.1 0.2
0.3
1
m
，解得
0 4
m. ，
因此，
3
1
2
4
0.4
0.3
0.7
P
P
P
.
故选：D.
【点睛】本题考查利用随机变量分布列求概率，考查计算能力，属于基础题.
6.设离散型随机变量的概率分布如下，则a 的值为（）
X
1
2
3
4
P
1
6
1
3
1
6
a
A．1
2
B．1
6
C．1
3
D．1
4
【答案】C
【详解】试题分析：由离散性随机变量分布列的性质得，1
6 + 1
3 + 1
6 +a =1，所以a 的值为1
3 ，故选C．
考点：本题主要考查离散性随机变量及其分布列、分布列的性质．
点评：思路明确，计算要准确．
7.若随机变量X 的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8 时，实数a 的取值范围是（
）
A．(－∞，2]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
【答案】C
【分析】根据分布列可得P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，即可确定m 的取值范围.
【详解】由随机变量X 的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8 时，实数a 的取值范围是(1，2]．
故选：C
8.若随机变量Y 的分布列如下表，则当
0.8
P Y
x
时，实数x 的取值范围是（
）
Y
2
1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
A．
2
x
B．1
2
x
C．1
2
x
D．1
2
x
【答案】D
【分析】求出
2
1
0
1
0.8
P Y
P Y
P Y
P Y
，即得解.
【详解】解：由题表得
2
1
0
1
0.8
P Y
P Y
P Y
P Y
，
则1
2
x
．
故选：D
9.已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数）：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
则
1
3
P
X
等于（
）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
【答案】C
【分析】先由各个概率和为1 可求出a ，再由
1
3
1
2
3
P
X
P X
P X
P X
可求得结果.
【详解】因为0.1 0.1
0.3
0.2
0.1 1
a
，所以
0.2
a
，
所以
1
3
1
2
3
P
X
P X
P X
P X
0.1 0.2
0.3
0.6
.
故选：C.
10.已知随机变量的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中, ,
a b c 成等差数列，则函数
2
2
f x
x
x
有且只有一个零点的概率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
【答案】B
【解析】根据题意求得
1
3
b
，得到函数
2
2
f x
x
x
有且只有一个零点，结合
0
，求得
1
，即
可求解.
【详解】由题意知, ,
[0,1]
a b c
，且
2
1
b
a
c
a
b
c
，解得
1
3
b
，
又由函数
2
2
f x
x
x
有且只有一个零点，
即对于方程
2
2
0
x
x
只有一个根，可得
4
4
0
，解答
1
，
所以
1
(
1)
3
P
.
故选：B
题型六：两点分布
1.已知X 服从两点分布，且
0
0.3
P X
，则
1
P X
．
【答案】0.7
【分析】利用两点分布的性质解答.
【详解】解：因为X 服从两点分布，所以
1
1
0
0.7
P X
P X
．
故答案为：0.7
2.小明通过某次考试的概率是未通过的5 倍，令随机变量
1,
0,
X
考试通过
考试未通过，则
0
P X
（
）
A．1
3
B．5
6
C．1
6
D．2
3
【答案】C
【分析】根据通过某次考试的概率是未通过的5 倍，由
1
0
5
0
P X
P X
求解.
【详解】因为通过某次考试的概率是未通过的5 倍，
所以
1
0
5
0
P X
P X
，
解得
1
0
6
P X
.
故选：C
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3.设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量去表示1次试验的成功次数，则
0
P
等于（
）
A．0
B．1
2
C．1
3
D．2
3
【答案】C
【分析】由题意得出关于
0
P
和
1
P
的方程组，即可解得
0
P
的值.
【详解】由题意知，
1
2
0
P
P
且
1
0
1
P
P
，
1
0
3
P
.
故选：C.
【点睛】本题考查概率的求解，根据题意建立方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
4.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（
）
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射击手射击一次，击中目标的次数X
C．从装有除颜色外其余均相同的5 个红球，3 个白球的袋中任取1 个球，设
1,
0,
X
取出白球
取出红球
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【答案】A
【分析】根据两点分布的概念结合题意即可求解.
【详解】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数X 的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A 中的随机变
量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，B 中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1 个球，可能取到红球或者白球，C 中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D 中的随机变量服从两点分布.
故选A.
5.若随机变量X 服从两点分布，且
0
0.8
P X
．令
3
2
Y
X
，则
1
P Y
．
【答案】0.2
【分析】利用离散性随机变量的性质求解.
【详解】因为
1
Y ，且
3
2
Y
X
．
所以X=1．
所以
1
1
1
0
0.2
P Y
P X
P X
．
故答案为：0.2
6.设随机变量X 服从两点分布，若
1
0
0.4
P X
P X
，则
1
P X
．
【答案】0.7 / 7
10
【分析】由两点分布得
1
0
1
P X
P X
，再根据题意
1
0
0.4
P X
P X
，即可求出答案.
【详解】由于随机变量X 服从两点分布，故
1
0
1
P X
P X
①，又由于
1
0
0.4
P X
P X
②，
则①②得
2
1
1.4
1
0.7
P X
P X
.
故答案为：0.7 .
7.已知随机变量X 服从两点分布，且
2
0
2
P X
a
，
1
P X
a
，那么
a
．
【答案】1
2 /0.5
【分析】根据概率之和为1 即可求解.
【详解】由题意可知
2
1
0
2
1
2
1
P X
a
a
P X
a
或
1
a ，由于
0
a
，所以
1
2
a
，
故答案为：1
2
8.已知随机变量X 服从两点分布，且��= 1 =
3
2 ��= 0 ，则��= 1 =（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【解题思路】令��= �= �，则��= �= �−�，根据题意即可求解.
【解答过程】令��= �= �，则��= �= �−�，
因为��= �=
�
���= �，所以�=
�
��−�，解得�=
�
�.
故选：C.
9.若离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且�(�= 1) = �, 4 −5�(�= 0) = �，则�=（
）
A．
2
3
B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
【解题思路】根据两点分布的特点，得到�(�= �) + �(�= �) = �，从而解方程可得答案.
【解答过程】因为X 的分布列服从两点分布，所以�(�= �) + �(�= �) = �，
由�(�= �) = �, �−��(�= �) = �，
所以�−��−��= �
= �，所以�=
�
�，
故选：D.
题型七：两个相关的随机变量的分布列问题
1.已知随机变量X 的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
�
0.1
若Y＝2X－3，则��= 5 的值为______
【解题思路】根据分布列的性质求得�= �. �，结合�(�= �) = �(�= �)，即可求解.
【解答过程】由分布列的性质，可得�. �+ �. �+ �. �+ �+ �. �= �，解得�= �. �，
因为�= ��−�，可得�(�= �) = �(�= �) = �. �.
故答案为：�. �.
2.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【解答过程】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故选：A．
3.已知随机变量X 的分布列如下：
X
0
1
2
P
1
3
1
2
a
若随机变量Y 满足�= 3�−1，则下列说法正确的是（
）
A．�=
1
6
B．��> 1 =
5
6
C．��= 2 =
1
2
D．��< 2 = 0
【解题思路】根据分布列的性质求解即可.
【解答过程】由分布列的性质可知，
�
�+
�
�+ �= �，所以�=
�
�，A 正确；
�(�> �) = ��= �=
�
�，B 错误；
��= �= ��= �=
�
�，C 正确；
��< �= ��=−�= ��= �=
�
�，D 错误．
故选：AC．
4.已知离散型随机变量�的分布列��= �=
�
15，�= 1,2,3,4,5.令�= 2�−2，则��> 0 =
.
【解题思路】首先列举�的取值，再分别求其概率，即可得到��> �.
【解答过程】由已知�取值0，2，4，6，8，且��= �=
�
��，��= �=
�
��，
��= �=
�
��=
�
�，��= �=
�
��，��= �=
�
��=
�
�，
则��> �= ��= �+ ��= �
= ��= �= ��= �=
��
��.
故答案为：
��
��.
题型八：离散型随机变量的综合问题
1.学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人
打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平
局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.
(1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数X 的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率.
【答案】(1)答案见解析
(2)0.132
【分析】（1）根据题意比赛局数X 的可能取值为2 ，3 ，4 ，根据对应的事件求其概率即可；
（2）分别求甲乙、甲丙、乙丙开局时甲成为优胜者的概率，再根据全概率公式可得.
【详解】（1）比赛局数X 的可能取值为2,3,4 .
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以
2
0.3 0.3
0.7
0.5
0.44
P X
，
比赛三局结束，则第二局､第三局丙连胜，所以
3
0.3 0.7
0.5
0.7
0.5 0.7
0.35
P X
，
比赛四局结束，所以
4
1
2
3
0.21
P X
P X
P X
，
所以X 的分布列为：
X
2
3
4
P
0.44
0.35
0.21
（2）记甲､乙比赛第一局为事件A ，甲､丙比赛第一局为事件B ，乙､丙比赛第一局为事件C ，甲成为优胜
者为事件D .第一局比赛双方可能是甲乙､甲丙､乙丙共三种情况，
则
1
3
P A
P B
P C
，
所以
0.3 0.3
0.3 0.7
0.5 0.3
0.7
0.5 0.3 0.3
0.153
P D A
，
0.3 0.3
0.3 0.7
0.5 0.3
0.7
0.5 0.3 0.3
0.153,
P D B
0.5 0.3 0.3
0.5 0.3 0.3
0.09
P D C
.
所以
P D
P D A P A
P D B P B
P D C P C
1
1
1
0.153
0.153
0.09
3
3
3
0.132
.
所以甲成为优胜者的概率为0.132.
2.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100 名学生，其中共有4
名女生和3 名男生的成绩在90 分以上，从这7 名同学中每次随机抽1 人在全校作经验分享，每位同学最
多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求��，���，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7 名学生中随机抽取3 人进行经验分享，记被抽取的3 人中女生的人
数为X，求X 的分布列．
【解题思路】（1）由条件概率的计算公式求解即可；
（2）由超几何分布计算出概率，然后列出概率分布列即可.
【解答过程】（1）由题意可得：��=
�
�，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件��，
从7 个同学中每次不放回地随机抽取2 人，试验的样本空间Ω包含��= A�
�= �× �= ��个等可能的样
本点，
因为���= A�
�× A�
�= �× �= ��，���= A�
�× A�
�= �，
所以��=
���+���
��
=
��+�
��=
�
�, ���=
���
��
=
��
��=
�
�，
故���
=
���
��
=
�
�
�
�
=
�
�．
（2）被抽取的3 人中女生人数X 的取值为0，1，2，3，
��= �=
C�
�
C�
�=
�
��，��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
��
��，
��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
��
��，��= �=
C�
�
C�
�=
�
��，
X 的分布列：
X
0
1
2
3
P
�
��
��
��
��
��
�
��
3.教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公
平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资
源匮乏的问题，某市教育局拟从5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3 批次进行，
每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从这5 人中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人
有支教经验，3 人没有支教经验．
(1)求5 名优秀教师中的“甲”，在这3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；
【答案】(1) 36
125
(2)分布列见解析
【分析】
（1）根据二项分布的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.
【详解】（1）
5 名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为2
5 ，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为
2
2
3
2
3
36
C
5
5
125
P
；
（2）
X 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X 的可能取值有0，1，2．
2
2
2
5
C
1
(
0)
C
10
P X
；
1
1
2
3
2
5
C C
6
(
1)
C
10
P X
；
2
3
2
5
C
3
(
2)
C
10
P X
．
所以分布列为：
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
4.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为
2
3 ,
1
2 ,
1
3，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为
2
3，第二次抽
中选择继续抽奖的概率为
1
4，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量�，求�的分布列．
【解题思路】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，
结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；
（2）先分析�的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求�的分布列.
【解答过程】
（1）记小李第�次抽中为事件���= �, �, �，则有���=
�
�, ���=
�
�, ���=
�
�，且��, ��, ��
两两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件�，
则��= �����+ �������=
�
�×
�
�× �−
�
�+
�
�×
�
�×
�
�×
�
�× �−
�
�=
�
��；
（2）由题意可知�的可能取值为：�, ��, ��, ��，
��= �= ��+ �−
�
�=
��
��，
��= ��=
�
�× �−
�
�=
�
�，
��= ��=
�
�×
�
�×
�
�× �−
�
�=
�
�，
��= ��=
�
�×
�
�×
�
�×
�
�×
�
�=
�
��，
所以�的分布列为：
�
�
��
��
��
�
��
��
�
�
�
�
�
��
5.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨
论学习.甲组一共有4 人，其中男生3人，女生1人；乙组一共有5人，其中男生2 人，女生3 人.现要从这9人
的两个兴趣小组中抽出4 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A 为“选出的这4 个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A
发生的概率；
(2)用X 表示抽取的4 人中乙组女生的人数，求随机变量X 的分布列.
【答案】(1) 2
7
(2)分布列见解析
【分析】（1）直接利用古典概型概率公式求
P A 即可；
（2）先由题得X 可能取值为0,1,2,3,再求概率及X 的分布列.
【详解】（1）
1
1
2
3
2
4
4
9
C ×C ×C
36
2
C
126
7
P A
.
（2）X 可能取值为0,1,2,3，
4
0
6
3
4
9
C ×C
15
5
0
C
126
42
P X
，
3
1
6
3
4
9
C ×C
60
10
1
C
126
21
P X
，
2
2
6
3
4
9
C ×C
45
5
2
C
126
14
P X
，
1
3
6
3
4
9
C ×C
6
1
3
C
126
21
P X
，
X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
5
42
10
21
5
14
1
21
6.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，
要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n 瓶酒，并重新按品质
优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n 的n 种酒，在第二次排序时
的序号为�1, �2, �3, …, ��，并令�=
�=1
�
�−��
σ
，称X 是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排
序的偏离度的高低为其评分.
(1)当�= 3 时，若�1, �2, �3等可能地为1，2，3 的各种排列，求X 的分布列；
(2)当�= 4 时，
①若�1, �2, �3, �4等可能地为1，2，3，4 的各种排列，计算�≤2 的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有�≤2（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，
请说明理由.
【解题思路】（1）计算每种��, ��, ��排序的�值以及对应概率，由此可得�的分布列；
（2）①先计算出��= �, ��= �的值，然后可求��≤�；②先分析续三轮测试中，都有�≤�的概
率，然后根据概率值的大小进行分析即可.
【解答过程】（1）��, ��, ��的排序共有A�
�= �种，且每种排序等可能，
此时�可取�, �, �，
又�= �时，��, ��, ��的排序为�, �, �，��= �=
�
�，
�= �时，��, ��, ��的排序为�, �, �或�, �, �，��= �=
�
�，
�= �时，��, ��, ��的排序为�, �, �或�, �, �或�, �, �，��= �=
�
�，
所以�的分布列为：
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
（2）①��, ��, ��, ��的排序共有A�
�= ��种，且每种排序等可能，
而
�=�
�
�−��= �
σ
，故�−���= �, �, �, �中有偶数个奇数，故
�=�
�
�−��
σ
必为偶数，
当�= �时，��, ��, ��, ��的排序与第一次排序无变化时，
此时仅有�种排序：�, �, �, �，则��= �=
�
��，
当�= �时，��, ��, ��, ��的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时，
此时有�种排序：�, �, �, �、�, �, �, �、�, �, �, �，��= �=
�
��=
�
�，
所以��≤�= ��= �+ ��= �=
�
��+
�
�=
�
�；
②因为各轮测试相互独立，
所以“连续三轮测试中，都有�≤�”的概率为
�
�
�
=
�
���<
�
����，
所以
�
���是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有�≤�的结果的可能性很小，
所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测.
7.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中
抽取容量为200 的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100 分.调查结果显示：最低
分为51 分，最高分为100 分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频
数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男生评分结果的频数分布表
分数区间
频数
50,60
3
60,70
3
70,80
16
80,90
38
90,100
20
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
(1)求a 的值；
(2)为进一步改善食堂状况，从评分在50,70 的男生中随机抽取3 人进行座谈，记这3 人中对食堂“不满意”
的人数为X，求X 的分布列；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取两名学生，求有且只有一人对食堂“比较满意”
的概率.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图可知，频率和即小矩形面积和为1，求�的值；
（2）由频率分布表可知��, ��的男生一共6 人，�= �, �, �, �，利用超几何分布求概率，得�的分布列；
（3）首先计算男生和女生对食堂“比较满意”的人数，求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率．再
求随机抽取两人有且只有一人对食堂“比较满意”的概率.
【解答过程】（1）因为�. ���+ �+ �. ��+ �. ��+ �. ��× ��= �，
所以�= �. ���.
（2）由频率分布表可知��, ��的男生一共6 人，3 人不满意，3 人一般，
所以�的可能取值有0,1,2,3.
��= �=
C�
�⋅C�
�
C�
�=
�
��，��= �=
C�
�⋅C�
�
C�
�=
�
��，��= �=
C�
�⋅C�
�
C�
�=
�
��，
��= �=
C�
�⋅C�
�
C�
�=
�
��，
所以�的分布列为：
X
0
1
2
3
P
�
��
�
��
�
��
�
��
（3）因为样本人数200 人，其中男生共有80 人，所以样本中女生共有120 人.
由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有���× �. ��× ��= ��人，由频数分布表，
可知男生对食堂“比较满意”的共有16 人，所以随机抽取一名学生，
对食堂“比较满意”的概率为
��+��
���=
�
�，
所以从全校所有学生中随机抽取两人，有且只有一人对食堂“比较满意”的概率为�×
�
�×
�
�=
�
��.
模块三：综合巩固
1.从装有2 个白球、3 个黑球的袋中任取2 个小球，下列可以作为随机变量的是（
）
A．至多取到1 个黑球
B．至少取到1 个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
【答案】C
【分析】根据随机变量的定义，判断选项.
【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条
件的只有C，取到白球的个数，可以是0，1，2.
故选：C
2.甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，共下三局．用表示甲的得分，则
3
表
示（
）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出
3
的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，
故
3
表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
3.设0
1
p
，随机变量的分布列为：
5
8
9
P
1
3
p
2
p
2
3
p
则p （
）
A．1
4
B．3
4
C．2
5
D．4
5
【答案】D
【分析】利用分布列的性质，列式计算即得.
【详解】由1
2
1
3
2
3
p
p
p
，得
4
5
p
，所以
4
5
p
.故选：D
4.袋中有2 个黑球、5 个红球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是（
）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
【答案】B
【分析】根据随机变量的定义判断.
【详解】选项A 的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A 错误；
选项B 取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B 正确；
选项C 是一个事件而非随机变量，故C 错误；
选项D 中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D 错误．
故选：B.
5.如图，我国古代珠算算具算盘每个档( 挂珠的杆)上有7 颗算珠，用梁隔开，梁上面2 颗叫上珠，下面5颗
叫下珠，若从某一档的7 颗算珠中任取3 颗，记上珠的个数为X ，则
1
P X
（
）
A．6
7
B．5
7
C．3
7
D．2
7
【答案】A
【分析】
由题意可知，X 的所有可能取值为0 ，1，2 ，方法一：
1
0
1
P X
P X
P X
，方法二：
1
1
2
P X
P X
.
【详解】
方法一：由题意可知，X 的所有可能取值为0 ，1，2 ，
则
3
1
2
5
2
5
3
3
7
7
C
C C
6
1
0
1
C
C
7
P X
P X
P X
．
方法二：由题意可知，X 的所有可能取值为0 ，1，2 ，
则
2
1
2
5
3
7
C C
6
1
1
2
1
C
7
P X
P X
．
故选：A
6.若随机变量X 的分布列为
X
2
1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
0.1
0.2
则当
0.7
P X
a
时，实数a 的取值范围是（
）
A．
,2
B．
1,2
C．
1,2
D．
1,2
【答案】C
【分析】可由分布列的性质直接求解.
【详解】由随机变量X 的分布列知:
1
0.1
0
0.3
1
0.4,
2
0.7
P X
P X
P X
P X
,
,
，
则当
0.7
P X
a
时，实数a 的取值范围是
1,2 .
故选：C.
7.设随机变量的分布列如下表，则
2
5
1
4
P
（
）
1
2
3
4
P
1
12
a
1
3
1
3
A．5
12
B．
1
2
C．7
12
D．1
6
【答案】C
【分析】根据题意，解2
5
1
4
可得1
4
，结合分布列计算
(1
4)
P
，即可得答案.
【详解】根据题意，2
5
1
4
，解得1
4
，则
2
5
1
(1
4)
4
P
P
，
结合分布列：
1
1
7
(1
4)
(
2)
(
3)
1
(
1)
(
4)
1 12
3
12
P
P
P
P
P
.
故选：C
8.一袋中装有4 个白球和2 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红
色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X ，则
2
P X
（
）
A．4
5
B．2
5
C．1
5
D．3
5
【答案】A
【分析】
由题意，令X
k
表示前k 个球为白球，第
1
k 个球为红球，此时
(
2)
(
0)
(
1)
(
2)
P X
P X
P X
P X
，
再进行计算即可求解．
【详解】
令X
k
表示前k 个球为白球，第
1
k 个球为红球，
此时
2
1
4
2
4
4
3
2
1
(
0)
, (
1)
, (
2)
6
3
6
5
15
6
5
4
5
P X
P X
P X
，
则
1
4
1
4
(
2)
(
0)
(
1)
(
2)
3
15
5
5
P X
P X
P X
P X
．
故选：A．
9.（多选）已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
4
6
P
0.2
m
n
0.1
则下列选项正确的是（
）
A．
0.7
m
n
B．若
0.3
m
，则
(
3)
0.5
P X
C．若
0.9
m
，则
0.2
n
D．
(
1)
2 (
6)
P X
P X
【答案】ABD
【分析】
根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A 中，由分布列的性质，可得0.2
0.1 1
m
n
，解得
0.7
m
n
，所以A 正确；
对于B 中，若
0.3
m
，可得
0.4
n
，则
(
3)
(
4)
(
6)
0.5
P X
P X
P X
，故B 正确；
对于C 中，由概率的定义知
0,
0
m
n
，所以C 不正确；
对于D 中，由
(
1)
0.2
P X
，(
6)
0.1
P X
，则
(
1)
2 (
6)
P X
P X
，所以D 正确．
故选：ABD.
10.（多选）已知随机变量X 的分布列为
(
)
(
1)(
2)
a
P X
n
n
n
（
0,1,2
n
），其中a 是常数，则（
）
A．
(
0)
(
1)
(
2)
1
P X
P X
P X
B．
4
3
a
C．
8
(0
2)
9
P
X
D．以上均不正确
【答案】ABC
【分析】
根据分布列的性质，列出方程求得
4
3
a
，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据题意，随机变量X 的分布列为
(
)
(
1)(
2)
a
P X
n
n
n
，
则
(
0)
(
1)
(
2)
1
2
6
12
a
a
a
P X
P X
P X
，解得
4
3
a
，
则
2
2
8
(0
2)
(
0)
(
1)
3
9
9
P
X
P X
P X
.
故选：ABC.
11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 的所有可能取值为1,2,
,n
，且
0
1,2,
,
i
P X
i
p
i
n
，
1
1
n
i
i
p
，定义X 的信息熵
3
1
log
n
i
i
i
H X
p
p
，则下列说法中正确的
是（
）
A．当
1
n 时，
0
H X
B．当
3
n
且
1
1,2,3
3
ip
i
时，
1
H X
C．若
1
1,2,
,
ip
i
n
n
，则
H X 随着n 的减小而减小
D．当
2
n
时，
H X 随着
1p 的增大而减小
【答案】ABC
【分析】根据给定的定义，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，当
1
n 时，
1
1,
1
i
p
,
3
(
)
(1 log 1)
0
H X
，A 正确；
对于B，当
3
n
时，
1
1,2,3
3
ip
i
，
3
1
1
(
)
3( log
)
1
3
3
H X
，B 正确；
对于C，
1
1,2,
,
ip
i
n
n
，
3
3
1
1
(
)
(
log
)
log
H X
n
n
n
n
，则
H X 随着n 的减小而减小，C 正确；
对于D，当
2
n
时，
1
3
1
1
3
1
(
)
[
log
(1
)log (1
)]
H X
p
p
p
p
，当
1
1
4
p
时，
3
3
1
1
3
3
(
)
(
log
log
)
4
4
4
4
H X
，当
1
3
p
4
时，
3
3
3
3
1
1
(
)
(
log
log
)
4
4
4
4
H X
，两者相等，D 错误.
故选：ABC
12.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次
围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假
设每局比赛甲胜乙的概率都为
(0
1)
p
p
，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（
）
A．乙连胜三场的概率是
3
(1
)
p
B．
3
3
(
4)
3
(1
)
3 (1
)
P X
p
p
p
p
C．
2
2
(
5)
12
(1
)
P X
p
p
D．
(
5)
P X
的最大值是
3
8
【答案】BD
【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X 的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.
【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3 时，乙连胜三场的概率是
3
(1
)
p
；若比赛
局数为4 时，乙连胜三场的概率是
3
(1
)
p
p
；若比赛局数为5 时，乙连胜三场的概率是
2
3
(1
)
p
p
；故选项
A 错误；
由题意可知，决赛中的比赛局数X 的可能取值为3,4,5，
则
3
3
2
(
3)
(1
)
1 3
3
P X
p
p
p
p
；
3
3
3
4
2
(
4)
3(1
)
3 (1
)
12
6
9
3
P X
p p
p
p
p
p
p
p
；故选项
B 正确；
4
3
2
(
5)
1
(
3)
(
4)
6
12
6
P X
P X
P X
p
p
p
;故选项C 错误；
令
4
3
2
( )
6
12
6
f p
p
p
p
，则
3
2
( )
24
36
12
12 (2
1)(
1)
f
p
p
p
p
p
p
p
，
因为0
1
p
，所以当
1
0
2
p
时，
( )
0
f
p
，当1
1
2
p
时，
( )
0
f
p
；
当函数
( )
f p 在
1
[0,
)
2 上单调递增，在1
( ,1)
2
上单调递减，
则当
1
2
p
时，函数
( )
f p 取最大值3
8 ，所以
(
5)
P X
的最大值是
3
8 ，故选项D 正确；
故选：BD.
13.（多选）已知为随机变量，从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，
0
；当
两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
1
．则下列结论正确的是（
）
A．共有24 对相交棱
B．
6
0
11
P
C．
1
2
11
P
D．
5
1
11
P
【答案】AC
【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、
ξ＝
2 的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.
【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8 个顶点中的1 个，过任意1 个顶点恰有3 条棱，所以共有
1
2
8
3
C C
24
对相交棱，因此
2
12
24
24
4
0
66
11
P
C
，故A 正确，B 错误；
若两条棱平行，则它们的距离为1 或
2 ，其中距离为
2 的共有6 对，故
2
12
6
1
2
11
P
C
，于是
1
1
0
P
P
4
1
6
2
1 11
11
11
P
，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
14.已知X 服从参数为0.6 的两点分布，则
0
P X
.
【答案】0.4 / 2
5
【分析】根据两点分布的基本性质即可求解
【详解】
0
1 0.6
0.4
P X
.
故答案为：0.4
15.设随机变量X 的分布列为
1,2,
,8
P X
i
ai i
L
，则常数
a
.
【答案】1
36
【分析】
根据随机变量分布列的性质可得结果.
【详解】
1,2,
,8 ,
1
2
3
8
36
1
P X
i
ai i
a
a
，
解得
1
36
a
，
故答案为：1
36 .
16.离散型随机变量X 的概率分布规律为
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，其中a 是常数，则
1
5
2
2
P
n
.
【答案】5
6
【分析】
利用概率和为1可构造方程求得a 的值，由
1
5
1
2
2
2
P
n
P X
P X
可求得结果.
【详解】
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，
1
2
6
12
20
a
a
a
a
，解得：
5
4
a
，
1
5
5
1
5
1
5
1
2
2
2
4
2
4
6
6
P
n
P X
P X
.
故答案为：5
6 .
17.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n，且
0
1,2,
,
i
P X
i
p
i
n
，
1
1
n
i
i
p
，定义
1
1
n
i
n
i
i
M X
p p
．若
1
2
1
n
p p
n
，则当
3
n
时，
M X 的最大值为
．
【答案】1
3
【分析】根据题意可求得当
3
n
时，
M X 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】当
3
n
时，
1
3
1
9
p p
，
则
3
2
2
4
1
3
2
2
3
1
1
3
2
1
3
1
2
2
1
9
i
i
i
M X
p p
p p
p p
p p
p p
p
p
p
∵
1
0
p
，
3
0
p
，
1
3
1
9
p p
，∴
1
3
1
3
2
2
3
p
p
p p
，当且仅当
1
3
1
3
p
p
时，等号成立．
所以，
1
3
2
1
3
p
p
，
1
3
1
0
1
3
p
p
，
∴
2
2
1
1
9
3
3
M X
，即
M X 的最大值为1
3 ．
答案：1
3
18.已知病毒A 在某溶液中的存活个数
k 的概率满足
3
3 e
01 2
!
k
P X
k
k
k
，，，
，已知只要该溶液中存
在一个A 病毒，就可以导致生物C 死亡，则该溶液能够导致生物C 死亡的概率为
．
【答案】
3
1
1
e
【分析】根据题意，由X 的分布列可得
0
P X
的值，又由溶液能够导致生物C 死亡的概率
(
0)
1
0
P X
P X
，计算可得答案．
【详解】根据题意，病毒A 在某溶液中的存活个数k 的概率满足
3
3 e
01 2
!
k
P X
k
k
k
，，，
，
则
0
3
3
3
1
0
e
0!
e
P X
，
若该溶液中存在一个A 病毒，就可以导致生物C 死亡，
则该溶液能够导致生物C 死亡的概率
3
1
(
0)
1
0
1
e
P X
P X
．
故答案为：
3
1
1
e
．
19.已知新高考数学共4 道多选题，评分标准是每题满分5 分，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选
或不选的得0 分．每道多选题共有4 个选项，正确答案往往为2 项或3 项. 为了研究多选题的答题规律，
某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为1
2 ，正确答案是“选三项”的概率为1
2 .现有
学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0 分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布
列.
【答案】(1) 2
3 ；
(2)答案见解析.
【分析】
（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）甲得分的可能取值为0，2；乙得分的可能取值为0，2，5，分别计算概率，列出分布列.
【详解】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0 分的情况有两种：
①只选一个选项得2 分的概率为：
1
2
1
1
4
C
1
C
2
P
;
②选两个选项，得5 分的概率为：
2
2
1
2
4
C
1
C
6
P
;
所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0 分的概率为：
1
2
1
1
2
2
6
3
P
P
P
;
（2）结合题意：设学生甲得分为X ,则X 的可能取值为0,2 ，
1
1
1
1
3
0
2
2
2
4
8
P X
;
1
1
1
3
5
2
2
2
2
4
8
P X
;
学生甲得分的分布列为:
X
0
2
P
3
8
5
8
设学生乙得分为Y ,则Y 的可能取值为0,2,5 ，
2
3
2
4
C
1
1
2
2
C
4
P Y
;
2
2
2
4
C
1
1
5
2
C
12
P Y
;
1
1
2
0
1
4
12
3
P Y
;
学生乙得分的分布列为:
Y
0
2
5
P
2
3
1
4
1
12
20.某县教育局从县直学校推荐的6 名教师中任选3 人去参加进修活动，这6 名教师中，语文、数学、英语
教师各2 人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X 表示选出的3 人中数学教师的人数，求X 的分布列．
【答案】(1) 3
10
(2)分布列见解析
【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件
数，利用古典概型计算公式可求得结果.
（2）根据题意，列出X 的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】（1）从6 名老师中选3 人的方法种数有：
3
6
6 5 4
20
3 2
C
1
.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1 名数学，2 名英语的选法：
1
2
2
2
C C
2
种；
②2 名数学的选法有：
2
1
2
4
C C
4
种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：2
4
6
种.
故数学老师多于语文老师的概率为：
6
3
20
10
P
.
（2）由题意，X 的可能取值为：0，1，2.
3
4
C
0
0.2
20
P X
，
1
2
2
4
C C
1
0.6
20
P X
，
2
1
2
4
C C
2
0.2
20
P X
.
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
0.2
0.6
0.2
21.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3 需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，
各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2 中至少有1 个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X 的分布列．
【答案】(1)0.28
(2)分布列见解析
【分析】
（1）根据概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据概率的乘法公式，通过计算列出分布列即可.
【详解】（1）部件1，2 都不需要调整的概率为
1 0.1 1 0.2
0.72
，
则部件1，2 中至少有1 个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28；
（2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且
0
0.9 0.8 0.8
0.576
P X
，
1
0.1 0.8 0.8
0.9 0.2 0.8
0.9 0.8 0.2
0.352
P X
，
2
0.1 0.2 0.8
0.1 0.8 0.2
0.9 0.2 0.2
0.068
P X
，
3
0.1 0.2 0.2
0.004
P X
，
X
0
1
2
3
P
0.576
0.352
0.068
0.004
22.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1 丙、丁
四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为1
3 ；当乙接到毽子时，乙
传给甲、丙、丁的概率分别为1
3 ，
1
2 ，1
6 ；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为1
3 ，
1
2 ，1
6 ；
当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为1
3 ，1
6 ，
1
2 .假设毽子一直没有掉地上，经过n 次传毽子
后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为
na ，
nb ，
nc ，
n
d ，已知
1
0
a
.
(1)记丁在前2 次传毽子中，接到毽子的次数为X ，求X 的分布列；
(2)证明
1
4
na
为等比数列，并判断经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率与1
4 的大小.
【答案】(1)分布列见解析
(2)证明见解析，经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率大于1
4
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算求得X 的分布列.
（2）利用凑配法证得
1
4
na
是等比数列，从而求得
na ，进而判断出
150
1
4
a
【详解】（1）X 的所有可能取值为0，1，
1
1
1
1
5
0
2
3
3
3
2
9
P X
，
1
1
1
4
1
2
3
3
6
9
P X
，
所以X 的分布列为
X
0
1
P
5
9
4
9
（2）当
2
n
时，
1
1
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
a
b
c
d
.
当
2
n
时，
1
1
1
1
1
1
3
2
6
n
n
n
n
b
a
c
d
，
1
1
1
1
1
1
3
2
2
n
n
n
n
c
a
b
d
，
1
1
1
1
1
1
3
6
6
n
n
n
n
d
a
b
c
，
所以
1
1
1
1
1
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
c
d
a
b
c
d
a
a
，
因为
1
1
1
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
a
b
c
d
，所以
1
3 n
n
n
n
a
b
c
d
，
所以
1
1
3
2
n
n
n
a
a
a
，所以
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
，
因为
1
0
a
，
2
1
3
a
，所以
1
3
1
n
n
a
a
，所以
1
1
1
4
1
3
4
n
n
a
a
.
所以
1
4
na
是首项为
1
4
，公比
1
3
q
的等比数列，
所以
1
1
1
1
4
4
3
n
na
，即
1
1
1
1
4
3
4
n
na
，
所以
149
149
150
1
1
1
1
1
1
1
4
3
4
4
3
4
4
a
，
故经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率大于1
4 .
23.在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学
的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为
1
2 ，
1
2 ，p，
复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为1
12 ．
(1)求p 的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X 的分布列．
【答案】(1)
2
3
p
(2)答案见解析
【分析】
（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.
（2）确定随机变量X 的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.
【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为1
12 ，
所以
1
1
1
1
1
1
2
2
12
p
，则
2
3
p
．
（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．
1
0
12
P X
，
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2
2
3
2
P X
1
2
1
1
2
3
3
，
1
1
2
1
3
2
2
3
6
P X
，
1
1
1
5
2
1 12
3
6
12
P X
．
所以随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
12
1
3
5
12
1
6
24.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖
若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500 名参加活动的高一学生，获奖情况统计
结果如下：
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200 名男生和300 名女生中各随机抽取1 名，求抽到的2 名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1 名，从该地区高一女生中随机抽取1 名，以X 表示这
2 名学生中获奖的人数，求X 的分布列
【答案】(1) 1
240
(2)分布列见解析
【分析】
（1）根据组合数的计算以及古典概型概率计算公式求得抽到的2 名学生都获一等奖的概率.
（2）根据相互独立事件概率计算公式求得X 的分布列.
【详解】（1）设事件A 为“分别从上述200 名男生和300 名女生中各随机抽取1 名，抽到的2 名学生都获
一等奖”，
则
1
1
10
25
1
1
200
300
C C
1
( )
C
C
240
P A
.
（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.
记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1 名，该学生获奖”，
事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1 名，该学生获奖”.
由题设知，事件B ，C 相互独立，且
( )
P B 估计为10 15 15
1 , ( )
200
5 P C
估计为25
25
40
3
300
10
.
所以
1
3
28
(
0)
(
)
( ) ( )
1
1
5
10
50
P X
P BC
P B P C
，
1
3
1
3
19
(
1)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1
1
5
10
5
10
50
P X
P BC
BC
P B P C
P B P C
，
1
3
3
(
2)
(
)
( ) ( )
5 10
50
P X
P BC
P B P C
.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
28
50
19
50
3
50
