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专题02 空间向量基本定理
题型一：空间向量基底的概念及其辨析
题型二：用基底表示向量
题型三：空间向量基本定理及其应用
题型四：空间向量的坐标表示
题型一：空间向量基底的概念及其辨析
1．若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】B
【分析】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项的向量是否共面即可.
【详解】对于A，有
，所以
，
，
共面；
对于B，假设
，
，
共面，则有
，
即
，由题意
不共面，所以
，无解，
故假设不成立，所以
，
，
共面，不共面；
对于C，有
，所以
，
，
共面；
对于D，
，所以
，
，
共面.
故选：B
2．已知
、
，下列可使非零向量
，
，组成的集合
成为空间的一组基底的条件是（ ）
A．
B．
，
，两两垂直
C．
D．
【答案】B
【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D 得解.
【详解】由基底定义可知只有非零向量
，
，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，
，则
共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以
与
共面，故A 错
误；
对于B，因为非零向量
，
，两两垂直，所以非零向量
，
，不共面，可构成空间的一组基底，故B
正确；
对于C，由共面定理可知非零向量
，
，共面，故C 错误；
对于D，
，即
，故由共面定理可知非零向量
，
，共面，故D 错误.
故选：B.
3．已知
是空间的一组基，若
是空间的另一组基，则
不可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量基底的定义直接判断.
【详解】由
可作为空间的一组基底，
则
，
，
不共面，
当
时，假设存在
使
，则
，无解，
即
，
，
不共面成立，A 选项错误；
当
时，由A 分析同理可知不存在
使
，即
，
，
不共面成
立，B 选项错误；
当
时，
，即
，
，
共面，不可作为基底，C 选项正确；
当
时，假设存在
使
，则
，无解，
即
，
，
不共面成立，D 选项错误；
故选：C.
4．已知
是空间的一个基底，向量
，
，
，若
能
作为基底，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可.
【详解】若
共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得
，
即
．
因为
，
，
不共面，所以
，
，
，
解得
，
，
，即当
时，
，
此时
不能作为基底，所以若
能作为基底，
则实数
满足的条件是
．
故选：B.
5．（多选）若
为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A：因为
，共面，不能构成基底；
对于B：设
，所以
，无解，
所以
是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B 正确；
对于C：设
，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C 正确；
对于D：设
，则
，
所以
，无解，
所以
是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D 正确；
故选：BCD
6．若
是空间的一个基底，且向量
，
，
不能构成空间的一个基底，
则实数
．
【答案】
【分析】根据题意，可知存在
，使得
，结合空间向量基本定理运算求解.
【详解】由
不能构成空间的一个基底，则存在
，使得
，
即
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
题型二：用基底表示向量
7．如图，在四面体
中，
．点
在
上，且
为
中点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】连接
，利用空间向量基本定理可得答案.
【分析】连接
．
故选：B.
8．在三棱柱
中，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量运算法则求解即可.
【详解】因为
，
所以
.
故选：C
9．已知空间四边形
，
，
分别是边
，
的中点，点
在线段
上，且使
，用
向量
，
，
表示向量
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可.
【详解】如图
，
故选：C.
10．如图，在三棱锥
中，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：C.
11．如图，在四面体OABC 中，
，
，
．点M 在OA 上，且
，N 为BC 中
点，则
等于 .
【答案】
【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出
.
【详解】依题意，
.
故答案为：
题型三：空间向量基本定理及其应用
12．设
，
，
不共面，已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则
（ ）
A．6
B．12
C．
D．
【答案】C
【分析】首先表示出
，由
，
，
三点共线，可得
，则则存在实数使得
，根据
空间向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
又
，
，
三点共线，所以
，
则存在实数使得
，即
，
又
，
，
不共面，
所以
，解得
，所以
.
故选：C
13．如图，在三棱锥
中，点
为底面
的重心，点
是线段
的中点，过点
的平面分别
交
，
，
于点
，
，
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理，用
表示
，由
，
，
，
四点共面，可得存在实数
，使
，再转化为
，由空间向量分解的唯一性，列方
程求其解可得结论.
【详解】由题意可知，
因为
，
，
，
四点共面，
所以存在实数
，使
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
．
故选：B.
14．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）
中，
，
分别为
，
的中点，
且
在
方向上的投影向量为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义表示出
在
方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平
面向量基本定理即可求解.
【详解】由题知，
在
方向上的投影向量为
，
又
，
且
，
所以
，所以
.
故选：A
15．平行六面体
，其中
，
，
，
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用空间向量基本定理表示出
，然后平方后转化为数量积的运算求得．
【详解】解：如图，
可得
，
故
．
．
故选：A
16．四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若
，则
等于（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解.
【详解】
在四棱锥P-ABCD 中，有
，
再由点E 为棱PC 的中点，
，所以
，
，
由底面ABCD 是平行四边形，得
，
所以
，
又因为
，所以
，即
，
故选：A.
17．平行六面体
中，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算法则利用
表示
，结合空间向量基本定理求
可得结论.
【详解】由平行六面体
可得
，
又
，所以
，
则
．
故选：B．
18．在平行六面体
中，点
，
分别在棱
，
上，且
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得.
【详解】在平行六面体
中，
，
，
则
，
而
，因此
，
所以
.
故选：B
题型四：空间向量的坐标表示
19．在标准正交基
下，已知向量
，
，
，则向量
在
上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简得到
，即可得到
在
上的投影.
【详解】因为向量
，
，
，
则
，
所以
在
上的投影为
．
故选：A．
20．在长方体
中，若向量
在单位正交基底
下的坐标为
，则向量
在单位正交基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解
【详解】因为
，
所以向量
在单位正交基底
下的坐标为
，
故选：B
21．设
是空间中的一个单位正交基底，已知向量
，其中
，
，
，则向量
在基底
下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意化简可得
，即得解.
【详解】解： 因为
，
又
，
，
，
，14，
，
故选：A．
22．若向量
在空间的一组基底
下的坐标是
，则
在基底
下的坐标是
．
【答案】
【分析】根据同一基底下的向量表示唯一，即可求解.
【详解】因为
在基底
下的坐标是
，所以
，
设
在基底
下的坐标为
，
则
，
因此
，所以
，
即
，
即向量
在基底
下的坐标为
．
故答案为：
23．在平行六面体
中，设
，
，
，
，
分别是
，
的中点．
(1)用向量
，
，表示
，
；
(2)若
，求
在基
下的坐标．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）利用给定的基底表示
，再利用空间向量基本定理求出坐标.
【详解】（1）在平行六面体
中，连接
，
，
，
，如图，
，
．
（2）
，
因此
，
，
，
所以
在基
下的坐标为
．
