文档文本内容
专题02 直线与方程
考点01 直线的倾斜角和斜率
考点02 直线的方程
考点03 直线交点坐标和距离公式
考点04 直线方程的应用
考点01 直线的倾斜角和斜率
1．已知直线的方向向量是
，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系来求解即可．
【详解】直线方向向量为
，则斜率
，设倾斜角为
，由
，得
．
故选：C．
2．已知点
，若直线
与线段
相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点后，再分别计算出直线过点
、点
时的斜率即可得.
【详解】
，令
，解得
，
故直线
过定点
，
则
，
，
故该直线斜率的取值范围
.
故选：B.
3．已知直线：
与
：
平行，则m 的值是（ ）
A．
B．2 或
C．6
D．
或6
【答案】D
【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解.
【详解】由直线
，得
,解得
或
，
当
时，直线：
与直线
：
平行，
当
时，直线：
与直线
：
平行，
所以m 的值是
或6.
故选：D
4．直线的方向向量坐标为
，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.
【详解】直线的方向向量坐标为
，故直线的斜率为
，
所以直线的倾斜角为
.
故选：A
5．已知直线
，若直线与连接
、
两点的线段总有公共点，则
直线的倾斜角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出直线所过定点
的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾
斜角的取值范围．
【详解】直线的方程可化为
，
令
，可得
，所以直线过定点
，
设直线的斜率为
，直线的倾斜角为
，则
，
因为直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
因为直线经过点
，且与线段
总有公共点，
将
代入方程：
可得：
不成立，
不在直线上，
所以
，即
，
因为
所以
或
，
故直线的倾斜角的取值范围是
．
故选：D．
6．直线
的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可知斜率
，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.
【详解】设直线
的倾斜角为
，
直线
的斜率
，
即
，且
，可得
，
所以直线
的倾斜角的取值范围为
.
故选：C.
7．已知点A
B
斜率为k 的直线l 过点P
则满足下列条件的直线l 与线段AB 相交的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合求解即可.
【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出
点，如图，
当直线与线段
相交时，
，
，
所以，斜率
取值范围是
或
.
故选：D
8．“直线
与直线
平行”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据直线与直线平行可得
或
，再根据充分条件和必要条件定义进而可判断.
【详解】因为直线
与直线
平行，
所以
，即
，解得
或
．
当
时，两直线分别为
，
，不重合满足题意；
当
时，两直线分别为
，
，不重合满足题意，
故由直线
与直线
平行可得
或
，
所以“直线
与直线
平行”不能推出“
”，反之可以.
故“直线
与直线
平行”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
9．已知直线
绕点
逆时针旋转
，得到直线
，则
不过（ ）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
【答案】A
【分析】根据已知得直线
的倾斜角为
，设
且
，利用对称性和点线距离公式
得
，从而确定直线所过象限，即可得.
【详解】对于直线
，斜率为
，则其倾斜角为
，逆时针旋转
，
所以
，则直线
的倾斜角为
，设
，
由过
，显然在
下方，则旋转后
与
轴交点在
上方，所以
，
由
到的距离
，
由
到
的距离
，
所以
，可得
（
舍），
所以
中
，
，
所以
过第一、二、三象限，不过第四象限.
故选：A
10．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线
必过定点
B．直线
在y 轴上的截距为1
C．直线
的倾斜角为
D．经过任意两个不同点
的直线都可用方程
表示
【答案】AD
【分析】对于A，将直线方程整理成以
为未知数的方程即可求得定点；对于B，根据截距的定义求解；对
于C，将方程化成斜截式方程，求得直线斜率，即可求出其倾斜角；对于D，将经过两点的直线分成三种
情况，分别考虑即得结论.
【详解】对于A，因
，故该直线经过定点
，故A 正确；
对于B，在直线方程
中，令
，可得
，即该直线在y 轴上的截距为
，故B 错误；
对于C，由
化成斜截式为
，可知直线的斜率为
，
则直线的倾斜角
满足
，因
，故得
，故C 错误；
对于D，对于经过任意两个不同点
的直线，
若
，则直线的斜率不存在，直线方程为
，满足
；
若
，则直线的斜率为0，直线方程为
，满足
；
若
且
，则该直线方程为
，
去分母后即得方程
.综上可知，D 正确.
故选：AD.
11．已知直线
与直线
垂直，则实数
的值为 ．
【答案】2 或0
【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a 的方程即可求解.
【详解】由于直线
与直线
垂直，
故
，解得
或0．
故答案为：2 或0．
12．若直线m 被两平行直线
与
所截得的线段长为
，则直线m 的
倾斜角大小为 .
【答案】
或
【分析】设直线m 与两平行直线所夹的锐角或直角为
，求出两平行直线的距离，得到
，所以
，求出直线倾斜角为30°，从而求出直线m 的倾斜角.
【详解】设直线m 与两平行直线所夹的锐角或直角为
，
两平行直线
与
间的距离
，
因为直线m 被两平行直线与
所截得的线段长为
，所以
，
所以
，因为直线的斜率为
，所以其倾斜角为30°，
所以直线m 的倾斜角可以是
或
.
故答案为：
或
考点02 直线的方程
1．过点
且斜率小于0 的直线与
轴，
轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】设直线为
，代入
得
，表示出所围成封闭图形面积为
，
进而结合基本不等式求解即可.
【详解】设直线为
，代入
得
，
即
，
，
设直线与x 轴交点
，与y 轴交点
，
则所围成封闭图形面积为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以所围成封闭图形面积的最小值为4.
故选：C.
2．已知集合
，直线
中的
，
，
是取自集合
的三个不同元素，并且该
直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（ ）
A．40
B．32
C．24
D．23
【答案】D
【分析】根据题意按照顺序分别将的选法种类逐一确定，结合组合计算，再除去不合题意的即可.
【详解】可得
，
从集合
中任取三个不同元素，且
，
异号，
若
，共有
条，若
，共有
条，总共
种.
又因为当
，
，
和
，
，
时，都表示直线
，
所以符合条件的直线的条数为
种.
故选：D.
3．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线
在
轴上的截距为
B．直线
与直线
平行，则平行线间的距离是
C．经过定点
的直线都可以用方程
表示
D．点
关于直线
的对称点是
【答案】BD
【分析】根据直线在
轴上截距的定义知A 错误；由平行关系可求得
，结合平行直线间距离公式可求得
B 正确；当直线斜率不存在时，无法用方程
表示，知C 错误；采用待定系数法，根据点关于直线
对称点的求法可构造方程组求得D 正确.
【详解】对于A，直线
过点
，则其在
轴上的截距为
，A 错误；
对于B，由两直线平行可得：
，解得：
，
则直线
的方程可化为：
，
两直线间的距离
，B 正确；
对于C，当经过
的直线斜率不存在时，即方程为
时，无法用方程
来表示，C 错误；
对于D，设
关于直线
的对称点为
，
则
，解得：
，即
关于直线
的对称点为
，D 正确.
故选：BD.
4．已知点
，
，若直线过点
，且
、
到直线的距离相等，则直线的一般式
方程为 .
【答案】
或
【分析】结合图形分析两点到直线距离相等的情况，根据直线方程的求法，求出结果即可.
【详解】
如图所示，当
、
到直线的距离相等时有两种情况，
情况一，直线经过
中点
，由点
，
可知点
,
则直线
为
，化简得
；
情况二，直线和直线
平行，由点
，
可知
，
则直线为
，化简得
；
故答案为：
或
5．已知点
和点
到直线的距离相等，且过点
，则直线的方程为 .
【答案】
或
【分析】根据题意，分
和直线过线段
的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】因为点
和点
到直线的距离相等，且过点
，
当直线
时，可得
，
可得直线的方程为
，即
；
当直线过线段
的中点
，由
，即
，
则
，所以直线的方程为
，即
，
综上可得，直线的方程为
或
.
6．已知
的三个顶点
，
，
，则
边上的垂直平分线所在直线的方程为
．
【答案】
【分析】求出
两点的中点坐标，及
边上的垂直平分线所在直线的斜率，再由直线的点斜式方程可
得答案.
【详解】
两点的中点为
，即
，
边所在直线的斜率为
，
则
边上的垂直平分线所在直线的斜率为
，
则
边上的垂直平分线所在直线的方程为
，
即
.
故答案为：
.
7．在平面直角坐标系中，已知三点
.
(1)若直线过点C 且与直线AB 垂直，求直线的方程；
(2)若直线
经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线
的方程.
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）求出直线
的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程.
（2）按截距是否为0 分类，再结合直线的截距式方程求解.
【详解】（1）由
，得直线
的斜率为
，
由
，得直线的斜率为，
所以直线的方程为
，即
（2）设直线
在
上的截距为
，
当
时，直线
过原点及点
，方程为
，即
；
当
时，直线
的方程为
，而直线
过点
，则
，直线
的方程为
，
所以直线
的方程为
或
.
8．求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）.
(1)直线过点
，且斜率为
；
(2)斜率为
，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点
，且横截距为纵截距的两倍.
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）代入点斜式方程，可得直线方程，整理即可得答案.
（2）直线方程为
，分别令
和
，结合面积公式，求得b 值，整理即可得答案.
（3）分别讨论截距为0 和不为0 两种情况，求出直线方程，整理即可得答案.
【详解】（1）代入点斜式方程可得
，整理得
（2）设直线方程为
，令
，解得
，
令
，解得
，
所以
，解得
，
所以直线方程为
，整理得
（3）当截距为0 时，设直线方程为
，代入点
，解得
，
所以方程为
，整理得
；
当截距不为0 时，设直线方程为
，代入点
，解得
，
所以方程为
，整理得
，
综上，直线方程为
或
9．（1）若直线沿
轴向右平移3 个单位长度，再沿
轴向下平移4 个单位长度后回到原来的位置，求
的斜率；
（2）若一条光线从点
射出，与
轴相交于点
，经
轴反射，求入射光线和反射光线所在
直线的方程；
（3）若直线经过点
，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程.
【答案】（1）
；（2）入射光线：
，反射光线：
；（3）
或
或
.
【分析】（1）设直线的方程为
，根据直线平移规律得到平移后的直线方程，再结合平移后回到
原来位置构造方程解出
；
（2）先根据两点式求出入射光线所在直线方程，再利用光的反射原理求出反射光线所在直线方程；
（3）分直线在两坐标轴上的截距都为0 和不为0 两种情况讨论求解．
【详解】（1）设直线的方程为
，
经过平移后的直线的方程为
，
平移前后两直线重合，
，解得
．
（2）设入射光线为，反射光线为
，
光线从点
射出，与
轴相交于点
，
入射光线的方程为
，整理得
入射光线的斜率
，
反射光线
的斜率
，
又
反射光线要经过点
，
反射光线
的方程为
，即
（3）当直线的截距为0 时，直线的方程为
，即
当直线的截距不为0 时，设直线的方程为
，
则
，解得
或
．
若
，则直线的方程为
，即
；
若
，则直线的方程为
，即
综上所述，直线的方程为：
或
或
．
10．已知直线
，直线
.
(1)求证：直线
过定点；
(2)当
时，直线过
与
的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
或
.
【分析】（1）变形得到
，得到方程组，求出所过定点坐标；
（2）求出
与
的交点为
，分截距为0 和不为0 两种情况，利用待定系数法进行求解.
【详解】（1）
变形得到
，
令
，解得
，
故直线
过定点
；
（2）当
时，
，
联立
，解得
，
故
与
的交点为
，
当截距均为0 时，设直线的方程为
，则
，
解得
，故直线的方程为
，即
；
当截距不为0 时，设直线的方程为
，
将
代入得
，解得
，
故直线方程为
，即
；
综上，直线方程为
或
.
11．如图所示，将一块直角三角形板
置于平面直角坐标系中，已知
，
，点
是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点
的任一直
线
将三角形
锯成三角形
，设直线
的斜率为
．
(1)求直线
的方程（用
表示）；
(2)求锯成的
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线
的方程；（2）先由题意确定
的范围，再联立直线方程组
即可求得M、N 的坐标，再利用（1）结论可得到
与M 到直线
的距离，由此得到
的面积关
于
的关系式，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设直线
，
因为直线
过点
，所以
，即
，
所以
，
（2）又因为
，
，易得直线
，直线
，
联立
，解得
；联立
，解得
，
故
，
.
因为
，
，所以
，所以
，
因为
，
设M 到直线
的距离为d，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以S 的最小值为
.
考点03 直线交点坐标和距离公式
1．已知
，直线：
，当
变化时，点
到直线的距离的最大值为，则
（ ）
A．3 或7
B．3 或8
C．2 或7
D．2 或8
【答案】D
【分析】根据题意，直线恒过点
，所以点
到直线的距离的最大值可转化为点
到定点
的距
离，根据两点间的距离公式，求解即可.
【详解】当
变化时，直线恒过定点
，所以点
到直线的距离的最大值为
，
即
，解得
或
.
故选：D．
2．已知直线
分别与
轴交于点
，若直线
上存在一点
，使
最小，
则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出点
坐标、
关于直线
的对称点为
坐标，转化为求
最小，当
三点共线时
最小，即
最小，再求出直线
的方程与
联立可得答
案.
【详解】令
得
，令
得
，所以
，
如图，点
在直线
的同侧，
设
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，即
，
所以
，若
最小，即
最小，
当
三点共线时
最小，即
最小，
此时，
，直线
的方程为
，
由
得
，即
.
故选：D.
3．已知两条平行直线
，
，当
之间的
距离最大时，
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】求出直线
所过定点确定最大距离，进而求出
值.
【详解】直线
，
由
，得
，则直线过定点
，
直线
，
由
，得
，则直线
过定点
，
因此直线
之间的距离最大为
，
此时
，而直线
斜率
，
则
，所以
.
故选：C
4．（多选）已知圆
：
，则（ ）
A．圆
与直线
必有两个交点
B．圆
上存在3 个点到直线：
的距离都等于
C．若圆
与圆
恰有三条公切线，则
D．已知动点
在直线
上，过点
向圆
引两条切线，
，
为切点，则
的最小值
为
【答案】ACD
【分析】对A：求出该直线所过定点可得该直线与圆相交，即可得解；对B：求出圆心到直线的距离后计
算圆心加减半径与
的大小关系即可得；对C：由公切线条数可得两圆位置关系，利用两圆位置关系即可
得解；对D：计算可得
，则只需计算
的最小值即可得解.
【详解】对A：
，则该直线必过点
，
又
，故点
在圆
内部，
故直线
与圆
相交，
故圆
与直线
必有两个交点，故A 正确；
对B：圆心
到直线
的距离为
，
由
，
故圆
上存在
个点到直线的距离都等于
，故B 错误；
对C：若圆
与圆
恰有三条公切线，则两圆相外切，
将
化简可得
，
则该圆圆心为
，半径为
，
则有
，解得
，故C 正确；
对D：由切线性质及切线长定理可得
、
，
，
四边形
的面积
，
又
，故
取最小时，
最小，
又
，则
，
故
，故D 正确.
故选：ACD.
5．（多选）已知直线：
，直线
：
，则（ ）
A．当
时，两直线的交点为
B．直线恒过点
C．若
，则
D．若
，则
或
【答案】AC
【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，
即可判断CD.
【详解】对于A：当
时直线：
，直线
：
，由
，
解得
，所以两直线的交点为
，故A 正确；
对于B：直线：
，令
，解得
，即直线恒过点
，故B 错误；
对于C：若
，则
，解得
，故C 正确；
对于D：若
，则
，解得
或
，
当
时直线：
，直线
：
两直线重合，故舍去，
当
时直线：
，直线
：
，两直线平行，
所以
，故D 错误；
故选：AC
6．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线：
，
：
的距离为
B．直线过点
，且在
轴、
轴上截距相等，则直线的方程为
C．“直线
与
垂直”是“
”的必要不充分条件
D．直线
与
互相平行，则
的值是
或
【答案】AC
【分析】对于A 利用两平行线的距离公式即可判断A，对于B 分直线不过原点和过原点讨论即可判断，
对于C 利用两直线垂直求出
即可判断，对于D 利用两直线平行求出
即可判断.
【详解】对于A：直线：
，
：
的距离为
，故A 正
确；
对于B：当直线不过原点时设直线的方程为
，又直线过点
，所以
，解得
，
即
，当直线过原点时，设方程为
，又直线过点
，所以
，
所以
，故B 错误；
对于C：直线
与
垂直时，
所以
或
，
所以“直线
与
垂直”是“
”的必要不充分条件，故C 正确；
对于D：直线
与
互相平行，所以
，故D 错
误,
故选：AC.
7．已知两条直线
平行，则直线
之间的距离为 .
【答案】
【分析】根据两直线平行充要条件求出参数，再结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】由直线
因为与
平行，可得
，
即
，解得
，
当
时，直线
，
，
此时两平行直线之间的距离为
.
故答案为：
.
8．已知
的一条内角平分线
的方程为
，一个顶点为
，
边上的中线
所在直
线的方程为
.
(1)求顶点
的坐标；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）设
，则线段
的中点坐标为
，因为线段
的中点在直线
上，代入
计算即可求解；
（2）设点
关于直线
的对称点为
，由角平分线性质可知
在直线
上，求出
坐标后即可确定直
线
的方程，再联立直线
的方程求出点
的坐标，最后利用面积公式求解.
【详解】（1）因为直线CD 的方程为
，
设
，又
，线段
的中点坐标为
，
因为线段
的中点在直线
上，
所以
，整理得
，即
，所以
；
（2）因为
是
的一条角平分线，
所以点
关于直线
的对称点
在直线
上，
设
，则
，解得
，
故
，所以
，
所以直线
的方程为
，整理得
，
联立直线
与直线
的方程，
，解得
，即
，
所以
，
点
到直线
的距离
，
所以
.
9．（1）已知直线
，
．若
，求
的值；
（2）已知直线
，点
，求点
关于直线的对称点
的坐标；
（3）已知直线
，是否存在实数
，使得直线与
轴和
轴的正半轴都相交？若存在，
求出
的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
或
；（2）
；（3）存在，
，三角形面积的最小值为8
【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解；
（2）设
，结合对称性质列方程组求解即可；
（3）先求出直线恒过定点
，直线与
轴和
轴的交点分别为
，结合
题意即可求得
的范围，再表示出
，进而结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
，得
，解得
或
；
（2）设
，则
，
解得
，即
.
（3）存在，由
，得
．
由
，得
时，则直线恒过定点
，如图，
直线与
轴和
轴的交点分别为
，
由题意，
，所以
，此时直线与
轴和
轴的正半轴都相交.
而
，
当且仅当
，即
时，
的面积取得最小值8．
10．已知直线
.
(1)求经过点
且与直线
垂直的直线方程；
(2)求经过直线与
的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据直线
的斜率可设所求直线方程为
，代入点
即可求解，
（2）联立直线
与
的方程，可得交点坐标，分截距为0 和截距不为0 两种情
况分别求解．
【详解】（1）由直线
可得斜率为
所以根据垂直关系可设所求直线方程为
，
则依题意有
，解得
所以所求直线方程为
，整理得
；
（2）联立
，解得
，
即直线与的交点为
，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为
，
代入
得
，此时
；
当直线的截距都不为0 时，设直线方程为
，
依题意
，解得
，
此时直线方程为
，
综上所述：所求直线方程为
或
．
11．（1）已知两直线
.求过两直线的交点，且垂直于直线
的直线
方程；
（2）已知直线的方程为
．直线交坐标轴正半轴于
两点，当
的面
积最小时，求直线方程的一般式和
的周长．
【答案】（1）
；（2）
，周长
【分析】（1）先求两直线
的交点，再根据垂直关系求所求直线斜率，进而得直线方程；
（2）先确定直线过定点，再求出与坐标轴正半轴交点
的坐标表达式，结合面积最小利用基本不等
式计算即可求周长.
【详解】（1）联立方程
，解得
；
因为所求直线垂直于直线
，所以所求直线的斜率为
，
故所求直线方程为
，即
.
（2）由
可得，
，
令
，解得
，所以直线过定点
．
由题意可设直线的方程为
，直线与
轴、
轴正半轴的交点分别为
，
令
，得
；令
，得
．
所以
的面积
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
面积最小.
此时直线：
，化成一般式为：
.
且
，
，
的周长为
．
所以当
面积最小时，直线的一般式方程为：
，
的周长为
．
考点04 直线方程的应用
1．（多选）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意
三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知
的顶点
，其欧拉线方程为
，则顶点C 的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可.
【详解】设顶点C 的坐标为
，所以重心坐标为
，
因为欧拉线方程为
，所以
.
A：当顶点C 的坐标为
时，显然不满足
；
B：当顶点C 的坐标为
时，显然满足
；
C：当顶点C 的坐标为
时，显然满足
；
D：当顶点C 的坐标为
时，显然不满足
，
故选：BC
【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
2．若
､
､
是三个雷达观察哨，
在
的正东，两地相距
，
在
的北偏东30°，两地相距
，
在某一时刻，
观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为
，
后
､
两个观察哨同时发现
该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点
的坐标 .
【答案】
【分析】转化条件为点
在线段
的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点
在以
､
为焦点的双
曲线的左支上，联立方程即可得解.
【详解】由题意，点
，
，
即
，
则线段
的中点为
，直线
的斜率
，
所以线段
的垂直平分线的斜率
，
所以线段
的垂直平分线的方程为
即
，
设
，由
可得点
在线段
的垂直平分线上，
又
，所以点
在以
､
为焦点的双曲线的左支上，
该双曲线的方程为
，
所以
，解得
.
所以点
的坐标为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P 为线段
的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即
可得解.
3．在等腰直角三角形
中，
，点
是边
上异于
、
的一点，光线从点
出发，经
、
反射后又回到原点
，光线
经过
的重心.（若
、
、
、
分别是三角形的重心和三
个顶点，且分别为
、
、
、
，则有
.
(1)建立适当的坐标系，请求
的重心
的坐标；
(2)求点
的坐标；
(3)求
的周长.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，写出
三
个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标；
（2）设
，求出点
直线
、
的对称点
、
的坐标，根据
、
、
、
共线且光线
经
过
的重心，结合斜率公式可得出关于
的等式，结合
求出
的值，即可得出点
的坐标；
（3）由对称性可知
，
，可得出
的周长为
，结合两点间的距离公式求解即
可.
【详解】（1）在等腰直角三角形
中，
，则
，
以
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，
则
、
、
，
故
的重心
的坐标为
，即
；
（2）设
，
关于直线
、
的对称点分别设为
、
，则
，
设
，直线
的方程为
，
则
，解得
，即
，
由光的反射原理可知
、
、
、
共线，且光线
经过
的重心，
故
，解得
或
（舍去），故
.
（3）由（2）可得
、
，由题意可知
，
，
故
的周长
.
4．如图，已知直线过点
，且与直线
垂直，与
轴、
轴的正半轴分别交于
两点，
点
为线段
上一动点，且
，
交
于点
．
(1)求线段
的垂直平分线方程；
(2)若
的面积
与四边形
的面积
满足
，请你确定点
在
上的位置，
并求出线段
的长；
(3)判断在
轴上是否存在点
，使
为等腰直角三角形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)点
为线段
的中点，
(3)存在，
或
或
【分析】1）由题意求出直线的方程，即可求得
的坐标，从而得中点坐标，利用点斜式即可得
的
垂直平分线方程，再化成一般式即可；
（2）由
，可得
，由
，得
与
相似，从而得
，即可得答案；
（3）假定在
轴上存在满足题意的点
，分
、
和
分别求解即可.
【详解】（1）因为直线与直线
垂直，
所以直线的斜率
，
又直线过点
，
所以直线的方程为
，
即
．
令
，得
，即
；
令
，得
，即
．
则线段
的中点坐标为
，
又直线的斜率
，
所以线段
的垂直平分线方程为
，
即
；
（2）由（1）知直线的方程为
，
，
因为
，
所以
，
又
，
则
与
相似，
于是有
，
即
，得
，
此时点
为线段
的中点，
所以
时，点
为线段
的中点，且
；
（3）假定在
轴上存在点
，使
为等腰直角三角形，
由（1）知直线的方程为
，
如图1，当
时，而点
在
轴上，点
在
轴的正半轴上，则点
必与原点O 重合，
设
，因为
，
所以
，
于是有
，
解得
，此时
满足题意；
如图2，当
时，
由
，
，
知四边形
为正方形，
设
，
则
，
，
于是有
，
解得
，此时
满足题意；
如图3，当
时，
由
，
,
得
，即
，
设
，
则
，
，
显然直线QM 斜率为
，则直线PM 斜率必为1，
即
，
解得
，此时
满足题意．
综上，y 轴上存在点
或
或
，使
为等腰直角三角形．
5．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点
处立有一根高为灯柱
，灯杆
长1m，且与灯
柱
成
．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点
处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，
灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中
）
【答案】10.12m
【分析】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点
即可求出；
【详解】如图，记路面宽
，以灯柱底端
为原点，
，
分别为
，
轴建立平面直角坐
标系，
则点
的坐标为
，
的中点
的坐标为
．
因为
，所以直线
的倾斜角为
，
由
，得点
的坐标为
，即
．
又因为
，所以
，
所以直线
的方程为
．
又直线
过点
，所以
，解得
．
故灯柱高约为10.12m．
6．城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦
亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正
徐徐展开．某市规划四边形空地OABC 建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC 与ABC 关于中心道路AC 对
称，在AC 的中点P 处规划建一公共厕所．测得
且
，点C 到OA 的距离为20 米，
米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O 为坐标原点，以直线OA 为x 轴建立如图所示平面直角
坐标系xOy．
(1)求点P 到OC 的距离；
(2)求出BC 所在直线方程及该口袋公园的总面积．
【答案】(1)
(2)
，200 平方米
【分析】（1）先求
点的坐标与直线
的方程，再由点到直线的距离公式可得；
（2）由对称性解得点
坐标，可得
所在直线方程，再由对称性将四边形面积转化为求三角形面积求解
即可.
【详解】（1）过
作
轴，垂足为
，
由
可知，直线OC 的斜率
，
直线OC 的方程为
，
因为点C 到OA 的距离为20 米，设
，故
，可得
，
因为
，则
为
的中点，
，
则
，所以
，
所以点P 到OC 的距离
；
（2）因为
，
，得AC 所在直线方程为
，
设
，因为点O 与点B 关于AC 对称，故可得
得
，
，即
，
所以
所在直线方程为
，
，
所以该口袋公园的总面积200 平方米．
7．公路AM，AN 围成的是一块顶角为
的角形耕地，其中
在该块土地中P 处有一小型建筑，经
测量，它到公路AM，AN 的距离分别为3km、
现要过点P 修建一条直线型公路BC，将三条公路围成
的区域ABC 建成一个工业园，如图．
（1）记
，并设
，试确定k 的取值范围；
（2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S 表示成k 的函数
；
（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B 的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
【答案】（1）
；（2）
；（3）当点B 距离点A5km 时，该工业园区
的面积最小，最小面积为
．
【分析】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围；
（2）以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN 的方程是
，
设点
，根据点P 到直线的距离公式得到P 点坐标，显然直线BC 的斜率存在，
设直线BC 的方程为
，求出B 点坐标，由直线
联立，得到C 点坐标，表示出
的面积为S，建立关于k 的函数关系式．
（3）由（2）得
由
解得S 的范围，得出结果．
【详解】（1）由题意得
，所以
，
即
．
（2）以点A 为原点，AM 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则由已知得AN 所在直线的方程为
，即
．
根据已知设P 点坐标为
，由点P 到公路AN 的距离为
得
．
解得
或
当
时，点P 不在指定区域，故舍去，所以
．
所以公路BC 所在直线的方程为
．
令
，得
，即
．
将
代入
得
，
，
即
所以
．
（3）由（2）得
．
有
解得
舍或
．
当
时，
，满足条件．
故面积的最小值为15，此时
．
综上所述，当点B 距离点A5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为
．
8．为了绿化城市，准备在如图所示的区域
内修建一个矩形
的草坪，其中
，点Q 在
上，且
，
，经测量
，
，
，
．
（1）如图建立直角坐标系，求线段
所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q 的坐标并求出此最大面积
（精确到
）
【答案】（1）
；（2）当
时，
，此时
．
【解析】（1）根据题意可得
，根据直线的截距式方程即可求解.
（2）设
，可得
，展开配方即可求解.
【详解】（1）由题意得
，
所以线段
所在直线的方程为
，即
；
（2）设
，则草坪的占地面积
故当
时，
，此时
．
9．如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC=210 m，CD=240 m，DE=300 m，EA=180 m，AE∥CD，
BC∥DE，∠C=90°，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面
积最大?最大开发面积是多少?
【答案】点P 距AE15m，距BC50 m 时所开发的面积最大，54150m2.
【分析】思路分析将问题转化为在线段AB 上求一点P，使矩形面积最大，根据图形特征，可建立坐标系，
求出AB 的方程，设点P 的坐标,写出面积的函数，求最大值即可.
【详解】
以BC 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可得A(0，60)，B(90，0)，
∴AB 所在直线的方程为
=1，即y=60(1-
).
∴y=60-
x.从而可设P(x，60-
x)，其中0≤x≤90，
∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).
故S=(300-x)(240-60+
x)=-
x2+20x+54 000(0≤x≤90)，
∴当x=-
=15，且y=60-
×15=50 时，
S 取最大值为-
×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点P 距AE15m，距BC50 m 时所开发的面积最大，
最大面积为54 150 m2.
【点睛】本题考查了直线方程的实际应用题，考查了运算求解能力和解决问题能力，属于一般题目.
