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专题05 正态分布
题型一：正态密度函数
题型二：正态密度曲线的性质
题型三：求区间上的概率
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
题型五：正态分布与函数的结合
题型六：正态分布的实际应用
题型七：3σ 原则的应用
题型一：正态密度函数
1．设随机变量
，则X 的密度函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，即
，
所以X 的密度函数为A.
故选：A
2．关于标准正态分布
的概率密度函数
的说法中：
①
为偶函数；②
的最大值是
；
③
在
时是单调递减函数，在
时是单调递增函数；
④
关于
对称．
正确说法的编号有 ．
【答案】①②③
【详解】由正态分布密度函数
，可得
的图象关于
对称，
所以
为偶函数，所以①正确，④不正确；
根据正态分布曲线的性质得，当
时，函数
取得最大值
，所以②正确；
根据正态分布曲线的性质，可得
在
上单调递增，在
单调递减，所以③正确.
故答案为：①②③
3．在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数
，x∈R，则
下列结论中正确的是 ．（写出所有满足要求的结论序号）
①这次测试的数学平均成绩为100；
②分数在120 分以上的人数与分数在90 分以下的人数相同；
③分数在130 分以上的人数与分数在70 分以下的人数大致相同；
④这次测试的数学成绩的方差为10．
【答案】①③
【详解】由题意可得：
，其中
，即正态分布的对称轴为
，
对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确；
对②：分数在120 分以上的人数与分数在80 分以下的人数相同，②错误；
对③：分数在130 分以上的人数与分数在70 分以下的人数大致相同，③正确；
对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误．
故答案为：①③.
4．若随机变量
的概率分布密度函数
是偶函数，且该函数的最大值为
．
求函数
的解析式．
【答案】
【详解】因为
是偶函数，所以其图像关于
轴对称，即
．
由
，得
．故
．
题型二：正态密度曲线的性质
5．如图是三个正态分布
，
，
的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z
对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③
B．③②①
C．②③①
D．①③②
【答案】A
【详解】由题意，得
，
，
，
因为当
较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且
，
所以三个随机变量X，Y，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.
6．设两个正态分布
和
曲线如图所示，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然
，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，
越小，则
，所以A 正确.
故选：A.
7．已知随机变量
，
，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的取值比
的取值更集中于平均值左右
D．两支密度曲线与
轴之间的面积均为
【答案】B
【详解】
,所以A 正确；
由图可得
，所以B 错误；
由图可得曲线
在均值
附近图象比曲线
在均值
附近图象更陡，所以
的取值比
的取值更集中于
平均值左右，即C 正确；
两支密度曲线与
轴之间的面积都等于所有概率和，即均为，所以D 正确；
故选：B
【点睛】本题考查正态分布曲线相关概念与性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
8．如图是正态分布
的正态曲线图，下面个式子中：①
；②
；③
；等于
图中阴影部分面积的个数为（ ）注：
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】
图中阴影部分的面积为
根据对称性可知阴影部分的面积为
①③正确，
故选：C.
【点睛】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键，考查了分析能力和计算能力，
属于基础题.
9．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分
析得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，
．X 和Y 的
分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A 中，随机变量
服从正态分布，且
，
可得随机变量
的方差为
，即
，所以A 错误；
对于B 中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量
，
所以
，所以B 错误；
对于C 中，根据正态分布密度曲线图像，可得
时，随机变量
对应的曲线与
围成的面积小于
时随机变量
对应的曲线与
围成的面积，
所以
，所以C 正确；
对于D 中，根据正态分布密度曲线图像，可得
，
，
即
，所以D 错误.
故选：C.
10．设
，
，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，两曲线分别关于
对称，
所以由图可知，
，所以A 错误，
因为
的分布曲线“高瘦”，
的分布曲线“矮胖”，
所以
，所以B 错误，
所以
，
，
所以C 错误，D 正确，
故选：D
题型三：求区间上的概率
11．已知随机变量
，
，则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.5
【答案】C
【详解】因为随机变量
，所以正态曲线关于直线
对称，
所以
，且
，
所以
，
故选：C.
12．已知
0.9973.某
体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量
（单位：克）服从正态分布
，从这一批篮球中随机
抽检300 个，则被抽检的篮球的质量不小于596 克的个数约为（ ）
A．286
B．293
C．252
D．246
【答案】B
【详解】由题意得
，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596 克的个数约为293.
故选：B.
13．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测
量一位体温为
的人时，显示体温X 服从正态分布
，若
的值在
内的概率约
为
，则n 的值约为（ ）
（参考数据：若
，则
）.
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【详解】因为体温X 服从正态分布
，
所以
，
因为
的值在
内的概率约为
，且
，
则
，
所以
，
则
，解得
，
所以
，解得
，
故选：D.
14．小明所在的公司上午9：00 上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，
则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布
若小明选择地铁，则从家里到达公司
所用的时间(单位：分钟)服从正态分布
；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：
分钟)服从正态分布
.若小明上午8：12 从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填
“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若
则
，
，
【答案】公交
【详解】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48 分钟，小明就不会迟到；
若选择自驾，则
；
若选择地铁，则
；
若选择公交，则
，
而
，
故选择公交上班迟到的可能性最小，
故答案为：公交
15．在某次大型人才招聘活动中，共有2000 人参加笔试，笔试成绩位于区间
，
，
的人数分别为683，272，45，已知此次笔试满分为100 分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准
差约为 （参考数据：若
，则
）
【答案】10
【详解】由题意知，设笔试成绩
，
由70 分及以上的人数为
，得
，
故
的值可估计为70，
由参考数据知
，
而
，故
的值可估计为90，
故
约为
，
故答案为：10
16．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布
，规定：分数高于93 分为优秀．
(1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有60000 名高二年级考生，估计全市数学成绩在
内的学生人数．
参考数据：
若
，则
，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩
近似服从正态分布
，
可得
，则
，
所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例
,
所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为
.
（2）解：由
，
则
,
因为全市有60000 名考生，所以该区间内的人数
人，
所以成绩在
内的学生人数大约为
人.
17．为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100
分.随机抽取的8 人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数
和样本方差
；
(2)若这次环保知识竞赛的得分X 服从正态分布
，其中
和
的估计值分别为样本平均数
和样
本方差
，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为
参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据
）
附：若随机变量X 服从正态分布
，则
，
，
.
【答案】(1)
；
(2)分数小于80.54 的为参与奖，分数大于或等于80.54 且小于87.46 的为二等奖，分数大于或等于87.46 且
小于90.92 的为一等奖，分数大于或等于90.92 的为特等奖.
【分析】
【详解】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：
数据的平均数为
，
数据的方差为
.
（2）该市所有参赛者的成绩
近似服从正态分布
，
设竞赛成绩达到
及以上为特等奖，成绩达到
但小于
为一等奖，
成绩达到但小于
为二等奖，成绩未达到为参与奖，
则
，
，
，
.
因为
，所以
.
因为
，
所以
，
因为
，所以
.
综上可得，分数小于80.54 的为参与奖，分数大于或等于80.54 且小于87.46 的为二等奖，分数大于或等于
87.46 且小于90.92 的为一等奖，分数大于或等于90.92 的为特等奖.
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
18．某校期末考试的数学成绩
服从
，若
，则
（ ）
A．90
B．85
C．80
D．75
【答案】C
【详解】因为
，
，
所以
，
即
.
故选：C.
19．已知随机变量
，正实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【详解】由
，得正态曲线关于
对称.
因为
，
所以
，得
.
又
，
当且仅当
，即
，
时取等号.
故
的最小值为6.
故选：D
20．已知随机变量
服从正态分布
，若
，则实数
（ ）
A．－2
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】因为
，
故
，故
，
故选：D.
21．设随机变量
服从正态分布
，且
，若
，则
＝ ．
【答案】0.5/
【详解】因为随机变量
服从正态分布
，且
，
所以
.
根据正态分布的对称性，
，所以
.
故答案为：
.
22．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高
（单位：cm）进行了测量，发现株高
近似服从正
态分布．已知测量的向日葵平均株高为
，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：
过矮（后
）、正常偏矮
、正常偏高
、过高（前
）．若
，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，
可得
，解得
，
即“过高”等级中的株高
，结合选项可知D 正确，ABC 错误.
故选：D.
题型五：正态分布与函数的结合
23．已知随机变量
，设函数
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】随机变量
，
，
因为
，
因为
，所以根据对称性可知
，
所以函数
的图象关于
对称，故排除AC；
当
时，
，所以排除D．
故选：B
24．已知连续型随机变量
服从正态分布
，记函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于点
成中心对称
D．关于点
成中心对称
【答案】C
【详解】
服从正态分布
，故
由对称性可知
，
又
，
，
故
，
关于点
成中心对称，C 正确，AD 错误；
又
， 故
，
不关于直线
对称，B 错误.
故选：C
25．（多选）已知连续型随机变量
，设函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
是在定义域
上的增函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象位于两条直线
，
之间
【答案】ACD
【详解】已知
，随着
的增大，
这个事件发生的概率是增大的，即
是
在定义域
上的增函数，所以A 选项正确；
若函数
的图象关于直线
对称，则
；
，
，
由正态分布的性质可知
，
所以
的图象不关于直线
对称，B 选项错误；
因为正态分布曲线关于
对称，
所以
，且
，即
，
所以
的图象关于点
对称，C 选项正确；
由于概率
的取值范围是
，所以
的图象位于两条直线
，
之间，D 选项
正确；
故选：ACD.
26．已知随机布变量ξ 服从正态分
，记函数.
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，则
是增函数，ABC 均错；
，
，即
，D 正确.
故选：D.
27．随机变量
服从正态分布
，若函数
为偶函数，则
.
【答案】
【详解】因为函数
为偶函数，
所以
，
即
所以
，
故答案为：.
题型六：正态分布的实际应用
28．某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1 正常工作，且元件2 或元件3 正常工作时，该电
器正常工作．现有
台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过
小时的台数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
，
所以元件1、元件2、元件3 使用寿命超过
小时的概率均为
，
一台这样的电器使用寿命超过
小时，是元件1 使用寿命超过
小时，并且元件2、元件3 至少有一
个使用寿命超过
小时，
因此一台这样的电器使用寿命超过
小时的概率为
，
显然
台这样的电器，使用寿命超过
小时的台数
，
所以
台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过
小时的台数为
．
故选：B．
29．（多选）工厂生产了20000 件零件，其尺寸X 服从正态分布
.已知随机变量X 服从正态分布
，则
.下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．尺寸在区间
的零件约有13654 件
D．若
，则
【答案】ABC
【详解】对于选项A,若
,所以
.所以
.因为对于正态分布
其图像关于直线
对称.
当
时,
.而
,则
,所以
.
故A 正确.
对于选项B,因为
,所以对称轴为
.所以
.
又因为
,且
,所以
.
即
.故B 正确.
对于选项C,
则
,
.所以
所以尺寸在
的零件约有
件.故C 正确.
对于选项D,因为
,所以对称轴为
.若
根据正态分布对称性可
知
,即
.故D 错误.
故选:ABC.
30．（多选）（多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布
，则下列结论正确的是（ ）
附：若随机变量
，则
．
A．约有95%的用户每日步数在3600 到10800 之间
B．每日步数多于5400 和多于9000 的用户比例大致相等
C．若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户
D．随机抽取100 名用户，他们每日步数的方差接近1800
【答案】AC
【详解】设用户每日步数为
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，二者显然不相等，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，正态分布的参数
表示随机变量的方差，如果随机抽取部分样本进行统计，与1800 接近的是标
准差，而不是方差，故D 错误.
故选：AC
31．（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩
收入的样本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布
，假
设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布
，则（ ）（若随机变量
服从正态分布
，则
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】依题意知
，
，
对于A，因为
，
则
，所以A 错误，
对于B，因为
，所以B 对，
对于C，因为
，则
，所以C 对，
对于D，因为
，所以D 错．
故选：BC.
32．某企业生产一种零部件，其质量指标介于
的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部
件质量指标服从正态分布
；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布
．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
（
），各个元件能否正常
工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系
统的可靠性．
附：若
，则
，
．
(1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；
(2)若控制系统原有3 个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？
【答案】(1)
(2)可靠性为
,变差了
【分析】
【详解】（1）由条件可知，技术改造前
，
，优品率为
，
技术改造后
，
，优品率为
，
，
所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为
.
（2）设
为原有3 个元件正常工作的个数，
，则系统正常工作的概率
，
所以该系统的可靠性为
为增加一个元件后，元件正常工作的个数，
，则系统正常工作的概率
，
则
，
所以该系统增加一个元件，可靠性变差了.
33．现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径
（单位：mm）服从正态分布
，乙
生产出的零件内径
（单位：mm）服从正态分布
．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的
机器台数为
，求
的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2 元；若内径大于10mm，则每件亏损8 元；其余尺寸的零
件，则每件获利20 元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平
均利润更大．
参考数据：若
，则
．
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大
【分析】
【详解】（1）
表示一天内发生故障的机器台数，
的可能取值为
，，
.
：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概
率公式，可得
.
：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得
.
：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得
.
所以
的分布列为：
0.72
0.26
0.02
（2）甲机器：已知甲生产出的零件内径
，则
，
.
；
；
.
每台机器每天生产1000 件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
乙机器：已知乙生产出的零件内径
，则
，
.
；
；
.
则乙机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
因为
，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.
34．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022 年报考该试点高校的学生的笔试成绩
近
似服从正态分布
.其中，
近似为样本平均数，
近似为样本方差
.已知
的近似值为76.5，s
的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)若笔试成绩高于76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10 人，设其中进入面试学生数
为
，求随机变量
的期望.
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为
.设这4 名学生中通
过面试的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望.
参考数据：若
，则：
；
；
.
【答案】(1)5
(2)分布列见解析；
【分析】
【详解】（1）由
，可得
，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1 人，该学生笔试成绩高于76.5 的概率为
所以随机变量
服从二项分布
，故
.
（2）X 的可能取值为
，
，
，
，
，
，所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以
.
题型七：3σ 原则的应用
35．某厂生产的零件外径（单位：cm）
，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，
测得其外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（ ）
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
【答案】A
【详解】解：因为零件外径
，
，
，所以根据
原则，外径在
（
）与
（
）之外时为异常．
从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为
和
，所以可认为上午生产情况正
常，下午生产情况异常．
故选：A.
36．某厂新开设了一条生产线，生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10 件产品，监测
各件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
9.7
10.1
9.8
10.2
9.7
9.9
10.2
10.2
10.0
10.2
(1)求上表数据的平均数
和方差
；
(2)若认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布
．如果出现了
之外
的零件，就认为生产过程出现了异常，需停止生产并检查设备．
①下面是另一天抽检的核心指标数据：
10.1
10.3
9.7
9.8
10.0
9.8
10.3
10.0
10.7
9.8
用（1）中的平均数
和标准差s 作为
和
的估计值
和
，利用
和
判断这天是否需停止生产并检查
设备；
②假设生产线状态正常，记X 表示一天内抽取的10 个零件中其尺寸在
之外的零件数，求
及X 的数学期望．
附：若随机变量X 服从正态分布
，则
，
，
．
【答案】(1)
，
(2)①这天需停止生产并检查设备 ；②
； X 的数学期望为
【分析】
【详解】（1）由数据表，得
，
．
（2）①由（1）可知
，
，
所以
，
，
表中第9 个数据
，故这天需停止生产并检查设备.
②抽取一个零件尺寸在
之内的概率为0.9974，
所以抽取一个零件其尺寸在
之外的概率为
，
故
，
所以
，
X 的数学期望为
.
37．
企业
的产品
正常生产时，产品
尺寸服从正态分布
，从当前生产线上随机抽取400
件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：
产品尺寸
件数
8
54
54
160
72
40
12
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在
以外视为小概率事件.一旦小概率事件
发生视为生产线出现异常，产品尺寸在
以内为正品，以外为次品.
.
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3 件产品复检，正品检测费20 元/件，次品检测费30 元/件，记
这3 件产品检测费为随机变量
，求
的数学期望及方差.
【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析
(2)期望是
（元）；方差是
.
【分析】
【详解】（1）
产品
尺寸服从正态分布
，
，且正常产品尺寸范围为
.
生产线正常工作，次品不能多于
（件），
而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作；
（2）尺寸在
以外的就是次品，故次品率为
.
记这3 件产品中次品件数为
，则
服从二项分布
，
，
则
，
所以
的数学期望是
（元），
方差是
.
38．已知在生产设备正常的情况下，某零件生产线生产的零件尺寸
（单位：
）服从正态分布
，当零件尺寸
满足
时合格，当
或
时不合格.
（1）已知当零件合格时，每个零件利润为
元；当零件不合格时，每个零件亏损
元.假设这条生产线
每天生产
个这样的零件，则在生产正常的情况下，求该生产线每天利润的期望；
（2）为了了解生产线的生产是否正常，需要对零件进行检测.该生产线每天自动检测
个零件，设零件不
合数为
，
，
时我们认为该生产线正常生产的概率为
，当生产线生
产的概率低于
时我们判定生产线异常.
某天该生产线检测的零件尺寸如下：
尺寸
合计
件数
根据以上检测数据判断该生产线是否异常.
（附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
，
，
，
）
【答案】（1）
元；（2）生产线异常.
【分析】
【详解】（1）设一个零件盈利
元，则
的分布列为
概率
，所以
，
则生产正常的情况下，该生产线每天利润的期望是
元.
（2）因为
,
，所以
时，零件合格，
所以自动检测的
个零件中不合格的有
个，即
，此时生产线正常生产的概率
因为
，所以可以判定生产线异常.
【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望，考查正态分布，考查独立重复试验概率计算，属于
中档题.
39．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周
期中的100 件产品的关键指标（单位：
），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数
和方差
．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布
，用直方图的平均数估计值
作为
的估计值
，用直方图的标准差估计值作为
估计值
．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10 个零件的关键指标，如果关键指标出
现了
之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个
生产周期中抽测的10 个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用
和
判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记
表示一个生产周期内抽取的10 个零件关键指标在
之外的零件
个数，求
及
的数学期望．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
【答案】(1)
(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）
，
【分析】
【详解】（1）由频率分布直方图，得
．
．
（2）（i）由（1）可知
，
，
所以
，
，
显然抽查中的零件指标
，故需停止生产并检查设备．
（ii）抽测一个零件关键指标在
之内的概率为
，
所以抽测一个零件关键指标在
之外的概率为
，
故
，所以
，
X 的数学期望
．
