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专题04 等差数列的前n 项和
教学目标
1．掌握等差数列前n 项和的两个核心公式，能根据已知量选择合适公式进行计算。
2．理解并运用等差数列前n 项和的相关性质，解决数列相关推导与计算问题。
3．掌握判断等差数列前n 项和最值的方法，能准确求解其最大值与最小值。
教学重难点
重点：掌握等差数列前n 项和公式及性质，能熟练进行计算与应用。
难点：灵活运用前n 项和性质解题，结合数列特征分析并求解前n 项和最值。
知识点01 等差数列的前n 项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
公式
_______
_______
等差数列前n 项和的函数特点：
对于等差数列
,如果
是确定的,前
项和
.
若取
,上式可写成
.
当
(即
)时,
是关于
的_______函数式(常数项为0).数列
的图象是抛物线
上的一群_______的点.
【即学即练】
1．记
为等差数列
的前
项和.若
，则
2．如果等差数列
的前n 和项
满足：
，
，那么
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
知识点02 等差数列前n 项和的性质
（1）等差数列
中,其前
项和为
,则
中连续的
项和构成的数列
构成_______数列.
（2）数列
是等差数列
(
为常数)即不含_______的二次函数式
（3）等差数列奇偶项和的性质：
①若项数为
, 则
_______
②
【即学即练】
3．已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
．
4．已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．16
B．18
C．24
D．26
知识点03 等差数列前n 项和
的最值
（1）若
_______
_______
,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得
的最
_______值.
（2）若
_______
_______
,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得
的最
_______值.
【即学即练】
5．已知等差数列
的前n 项和为
，则
取得最小值时，n 的值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
6．等差数列
的前
项和为
，
，则
取最大值时的
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 求等差数列的前n 项和
【例1】已知正项等差数列
中，
，
，若
，则
（ ）
A．10
B．13
C．15
D．17
【例2】已知等差数列
的公差为
，
，则
的前
项和
．
【变式1-1】等差数列
前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．52
D．104
【变式1-2】已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．11
C．15
D．20
【变式1-3】记等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
．
题型02 等差数列前n 项和的基本量计算
【例3】已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．0
C．
D．6
【例4】已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．16
【变式2-1】记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】记
为等差数列
的前
项和，若
，则
的值为 .
【变式2-3】等差数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
可由
与
构造关于
的方程组即可求解
题型03 等差数列片段和性质
【例5】已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
.
【例6】已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】设
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．8
B．10
C．14
D．18
【变式3-2】已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
【变式3-3】已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
，
.
等差数列
中,其前
项和为
,则
中连续的
项和构成的数列
构成等差数列.
题型04 等差数列的奇数项和和偶数项和
【例7】在等差数列
中，已知
，公差
，那么这个数列前100 项的和等于
（ ）
A．51
B．100
C．150
D．200
【例8】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的
项数为（ ）
A．15
B．17
C．19
D．21
【变式4-1】已知等差数列
的项数为
其中奇数项之和为
偶数项之和为
则
( )
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和30，且末项比首项大10.5，
则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
【变式4-3】若
成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（ ）
A．4
B．5
C．9
D．11
等差数列奇偶项和的性质：
①若项数为
,则
②
题型05 等差数列的前n 项和的比值（含同下标和不同下标）
【例9】两个等差数列
和
的前
项和分别为
、
，且
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知等差数列
与
的前
项和分别为
，
，且
，则
的值为 .
【变式5-2】若两个等差数列
和
的前
项和分别是
和
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】等差数列
，
的前
项和分别记为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 等差数列前n 项和的最值问题
【例11】已知等差数列
的公差
，前
项和为
，且
，则（ ）
A．
，
或
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例12】在数列
中，
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
的最大值．
【变式6-1】设
是等差数列
的前n 项和，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
取得最小值时
的值为
．
【变式6-3】已知数列
是公差为d 的等差数列，其前n 项和为
且
，若
对任意的
恒成立，则公差d 的取值范围为 ．
求等差数列的前
项和
的最值通常有两种思路
（1）将
配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来
解决;
(2)邻项变号法：当
时,满足
的项数
使
取最大值.
当
时,满足
的项数
使
取最小值.
题型07 等差数列前n 项和的二次函数特征
【例13】（多选）等差数列
的前
项和为
，若
，则（ ）
A．
的公差为2
B．
C．
的最大值为32
D．使得
的
的最大值为11
【例14】设等差数列
的前n 项和为
，若
> 0，
，则
时，n 的最大值为（ ）
A．14
B．13
C．11
D．7
【变式7-1】（多选）已知
是等差数列
的前
项和，则下列选项中可能是
所对应的图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】在等差数列
中，
，且
，
是其前
项和，则（ ）.
A．
都小于0，
都大于0
B．
都小于0，
都大于0
C．
都小于0，
都大于0
D．
都小于0，
都大于0
【变式7-3】（多选）已知等差数列
的前n 项和为
,公差
,若存在正整数m,k（
）,使得
,则（ ）
A．
B．当
时,
C．
存在最小值
D．当
为偶数时,
题型08 求数列{|an|}的前n 项和
【例15】在等差数列
中，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例16】在等差数列
中，
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
.
【变式8-1】（多选）已知数列
的前
项和
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
取得最大值时，
C．
D．
【变式8-2】在数列
中，已知
，则
.
【变式8-3】已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
若
为等差数列,求数列
的前
项和
的方法:
（1）首先由通项公式
求出数列正项和负项的临界项数
;
（2）①若
,则数列
的前
项和
②若
,则数列
的前
项和
题型09 等差数列前n 项和的实际应用
【例17】已知某砖塔有15 层．该塔底层（第一层）的底面面积为
，所有层的底面面积之和为
，
且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6 层的底面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例18】甲、乙两物体分别从相距
的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动
，以后每分钟比前
一分钟多运动
，乙每分钟运动
.甲、乙开始运动后 分钟相遇？
【变式9-1】据有关文献记载：我国古代一座9 层塔共挂了126 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层
灯数都多3 盏，则塔的底层共有灯 盏．
【变式9-2】现有十个盒子，总质量为35 千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差
数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒
子最少是（ ）
A．2 千克
B．3 千克
C．5 千克
D．7 千克
【变式9-3】某村超体育场观众席位初始设有座位3006 个，共计9 排. 自第二排起，每一排的座位数均比
前一排多3 个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的
座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加
个座位；②在原有9 排基础上， 从最后一排向外扩充3 排 (即改造后共12 排)， 且扩充的每一排座位数
仍保持比前一排多3 个的规律.
(1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？
(2)若要求改造后的总座位数不少于4200 个，求
的最小值.
一、单选题
1．已知等差数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．2
B．14
C．20
D．28
2．等差数列
的前n 项和为
，已知
，
，当
时，则n=（ ）
A．13
B．12
C．24
D．25
3．已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．13
B．15
C．17
D．19
4．设等差数列
的前
项和分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．等差数列
的前
项和为
，若
，则使得
的最小的
为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
6．已知
为等差数列
的前
项和，
为其公差，且
，给出以下命题：①
；②
；③满足
成立的最小的
值为18；④使得
取得最大值时的
为9.其中正确命题的序号为
（ ）
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
7．已知等差数列
满足
，在
和
之间插入k 个1，得到新数列
，则
的前90 项和
为（ ）
A．168
B．188
C．212
D．222
二、多选题
8．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列一定为负数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设等差数列
的前
项和为
，公差为
，
，
，
，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
的最大值为
C．当
时，
的最大值为12
D．数列
前
项和为
，
最大
10．记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为d 的等差数列，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
是等差数列
D．“
”是“
”的充要条件
三、填空题
11．春节贴春联是中华传统习俗，某手工春联作坊从腊月廿一开始每日量产春联，每日比前一日多产出5
副，腊月廿一至腊月廿九不间断生产，累计产出春联360 副，则腊月廿七产出的春联为 副．
12．已知数列
满足
，则
.
13．已知等差数列
的首项为
为其前
项和，若
也是等差数列，则
.
四、解答题
14．记
为等差数列
的前
项和，已知
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
15．记
是公差不为
的等差数列
的前
项和，若
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求使
成立的
的可能取值有哪些？
16．已知数列
的前
项和
，且
.
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
