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专题 16 数列放缩证明不等式必刷 100 题
任务一:邪恶模式(困难)1-100题
提示:几种常见的数列放缩方法：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9）
；
（10）；
（11） ；
（12） .
一、单选题
1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引
起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列 的各项的和
，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．已知数列 满足 ， ，且 ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列 满足 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．4．已知数列 满足 ， ，若 ，对任意的 ， 恒成立，
则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．3
5．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，则 B．当 时，则
C．当 时，则 D．当 时，则
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．已知数列 满足 ， .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设 ，证明： .7．已知数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，点 都在函数 的图象上，且
在点 处的切线的斜率为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求证： .
8．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，又 ．
求数列 的通项公式；
若数列 满足 ，求证：数列 的前n项和 ．
【答案】（1） （2）证明见解析
9．已知等差数列 满足 ， ， 的前n项和为 ．
（1）求 及 ；
（2）记 ，求证： ．10．公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ， 成等比．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，证明对任意的 ， 恒成立．
11．已知数列{a}的前n项和为 S （n N*），且a＝2．数列{b}满足b＝0，b＝2，
n n 1 n 1 2
∈
，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {a} 的通项公式；
n
（Ⅱ）求数列 {b} 的通项公式；
n
（Ⅲ）证明：对于 n N*， ．
∈
12．已知函数 的导函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函
数 的图象上．若（1）当 时，试比较 与 的大小；
（2）记 试证 .
13．已知数列 满足 ．
⑴求 ;
⑵求数列 的通项公式；
⑶证明：
14．数列 满足： ；数列 满足： ，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，证明： ；
（3）设 ，证明： .15．在下列条件：①数列 的任意相邻两项均不相等，且数列 为常数列，②
，③ 中，任选一个，补充在横线上，并回答下
面问题.
已知数列 的前n项和为 ，___________.
（1）求数列 的通项公式 和前n项和 ；
（2）设 ，数列 的前n项和记为 ，证明： .
16．已知各项均为正数的数列 的前 项和满足 ，且 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，并记 为 的前 项和，求证： ， .
17．已知数列 中， ，
（1）求 的通项公式；
（2）设 ， ，求证：18．数列 满足 ， 是 的前n项的和， ．
（1）求 ；
（2）证明： ．
19．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ，
（1）求证： ；
（2）求证： ．
20．已知数列 的首项 ， ， 、 、 ．
（1）证明：对任意的 ， ， 、 、 ；
（2）证明： .21．已知数列 满足 ， .
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）令 ，证明： .
22．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，证明：当 时， .
23．已知数列 的前n项和为 ，若 .
（1）求 通项公式；（2）若 ， 为数列 的前n项和，求证： .
24．已知数列 满足 ， ， .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ， .
25．已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．
26．已知数列 的前n项和为 ， ， ．（1）求证 为等比数列；
（2）求证： ．
27．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 是公差为 的等差数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求证：对于任意的 ， .
28．已知数列 满足 ， ， ， .
（1）（i）证明：数列 是等差数列；
（ii）求数列 的通项公式；
（2）记 ， ， ，证明：当 时， .
29．已知数列 满足 ， ，数列 是公比为正数的等比数列， ，且
， ，8成等差数列.
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
（3）若数列 满足 ，求证： .
30．已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，，其中 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ．
31．已知数列 满足 ， 的前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，证明： .
32．已知数列 ， 满足 ，（1）若 ，求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式：
（2）若 ，
（i）求证： ；
（ii）
33．已知数列 满足 ， ，
（1）求 ;
（2）若数列 满足 ， ，求证： ．
34．设等差数列 的前 项和为 ， .
（1）求 与 ；
（2）设 ，证明： .35．已知数列 满足： ， ， .
（1）求证 是等差数列并求 ；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）求证： .
36．已知数列 满足 ，
（1）求证： 是等比数列；并写出 的通项公式
（2）求证：对任意 ，有
37．已知 是正项等比数列 的前n项和，且 ， 是 ， 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．38．已知数列 满足 ，前 项和 满足 是正项等比数列，且 是 和 的等
比中项.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求证： .
39．已知各项均为正数的数列 满足： ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求 ；
（3）若数列 满足 ， ，求证： .
40．已知数列 的前 项和为 ，且 ．（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
41．已知各项为正数的数列 满足： 且 ．
（1）证明：数列 为等差数列．
（2）若 ，证明：对一切正整数n，都有
42．已知数列 满足： ， .
（I）求证：数列 是等比数列；
（II）设 的前 项和为 ，求证 .43．记 为等差数列 的前 项和，若 ， .
（1）求 和 ；
（2）当 时，证明： .
44．已知正项数列 满足 ， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）证明： .
45．已知数列 的前n项和记为 ，且满足n、 、 成等差数列．
Ⅰ 求 ， 的值，并证明：数列 是等比数列；
Ⅱ 证明： ．46．给定数列 ，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称数列
为“指数型数列”．
1 已知数列 的通项公式 ，证明： 为“指数型数列”；
2 若数列 满足： ， ；
①判断数列 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
②若数列 的前 项和为 ，证明： .
47．已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且当 时，满足 ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）证明： ．
48．已知函数 ，数列 中，若 ，且 .
（1）求证：数列 是等比数列；（2）设数列 的前 项和为 ，求证： .
49．设 为数列 的前 项和， ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求证： ．
50．已知数列 中， ，其前 项和 满足： ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，数列 的前 项和为 ，证明：对于任意的 ，都有 ．
51．已知数列 的各项均不为零．设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，且
， ．（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
（Ⅲ）证明： .
52．数列 前 项和为 ，已知
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 ．
53．已知数列 满足 ， .
(1)若 为不恒カ0的等差数列，求 ；
(2)若 ，证明： .
54．数列 的前 项和为 ，且满足 ，
nⅠ 求通项公式 ；
Ⅱ 记 ，求证： ．
55．已知正项数列 满足 .
（1）求证: ，且当 时， ；
（2）求证: .
56．已知数列{a}是等差数列，数列{b}是等比数列，S是数列{a}的前n项和，a＝b＝1，S＝ .
n n n n 1 1 2
(1)若b是a，a的等差中项，求数列{a}与{b}的通项公式；
2 1 3 n n
(2)若a∈N ，数列{ }是公比为9的等比数列，求证： ＋ ＋ ＋…＋ ＜ .
n ＋
57．已知数列 ， ，二次函数 的对称轴为 .(1) 证明：数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）设 ，求证： .
58．已知数列 的前 项和 满足： .
（1）数列 的通项公式；
（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .
59．已知数列 满足 ， ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求证： ．60．数列 满足 ， .
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，求证： .
61．设数列 的前 项和为 .已知 , , .
(Ⅰ) 求 的值；
(Ⅱ) 求数列 的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 ,有 .
62．已知函数 ，数列 满足 ， ， .
（1）求证： ；
（2）求证： .63．已知数列{a}满足 .
n
(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求a =f(a)的不动点的值；
n+1 n
(Ⅱ)若 ,求证：数列{lnb}是等比数列，并求数列{b}的通项．
n n
(Ⅲ)当任意 时，求证： .
64．数列 满足 , ．
{a } a =1a =3a +2n
n 1 n+1 n
（1）求证数列 是等比数列；
{a +2n }
n
1 1 1 3
（2）证明：对一切正整数n，有 + +…+ < ．
a a a 2
1 2 n
65．已知数列 满足条件： ,
（1）判断数列 是否为等比数列；（2）若 ，令 ,
证明
66．已知数列 中， ，
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）证明： ．
67．已知数列 满足： 是公差为1的等差数列，且
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求证：68．已知正项数列 满足： ﹣ ＝1，（n∈N+，n≥2），且a＝4．
1
（1）求 的通项公式；
（2）求证 ＜1（n∈N+）
69．已知等差数列 的各项均为正数， ＝3，前n项和为S， 是等比数列， ＝1，且bS＝64，
n 2 2
bS＝960．
3 3
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求证： 对一切 都成立．
70．已知正项数列 的前 项和为 ，满足 ．
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）记 ，证明： ．71．已知数列 满足 ，且点 在函数 的图象上．
（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式：
（2）若 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
72．已知数列 满足 ，且当 时， ．
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ， ，证明：当 时， ．
73．已知数列 满足 ， ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；（2）求证： ．
74．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ， ，求证： ．
75．数列 满足 ， ， ， .
（1）求 ， 及 (用 表示)；
（2）设 ，求证： ；
（3）求证： .76．已知 是公比 的等比数列，且满足 ， ，数列 满足：
.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令 ，求证： .
77．设数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）求 （用 表示）；
（2）求证：当 时，不等式 成立.
78．已知函数 ，满足：①对任意 ，都有 ；
②对任意 都有 ．
（1）试证明： 为 上的单调增函数；
（2）求 ；
（3）令 ，试证明：79．已知正项数列 满足 ， .
（1）试比较 与 的大小，并说明理由；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明：当 时， .
80．已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项；
（2）设 ，若 ，求证： ．
81．已知数列 和 满足 ，且对任意的 ， ， .
（1）求 ， 及数列 的通项公式；
（2）记 ， ， 求证： ， .82．已知数列 的前n项和为 ，已知 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ．
83．正项数列 的前 项和为 ，满足对每个 ， 成等差数列，且 成
等比数列.
（1）求 的值；
（2）求 的通项公式；
（3）求证：84．数列 ， ，
（1）是否存在常数 ， ，使得数列 是等比数列，若存在，求出 ， 的值，若不存在，
说明理由.
（2）设 ， ，证明：当 时， .
85．已知数列 满足 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明 ；
（Ⅲ）证明： .
86．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ， ， ．
（1）求 、 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 ．87．已知数列 满足 ，且 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
88．已知数列 、 满足 ， ， ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）设数列 的前 项和为 ，求证：当 时， ．
89．已知数列 满足 ， ， ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ；（Ⅲ）若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
90．在数列 中，已知 ，其中 .
（1）求 的值，并证明： ；
（2）证明： ；
（3）设 ，求证： .
91．已知数列 满足： ， ， 前 项和为 的数列 满足： ，
，又 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .92．已知数列 ， .
(1)记 ，证明: 是等比数列；
(2)当 是奇数时，证明: ；
(3)证明: .
93．已知数列 满足 , , , .
(1)证明:数列 是等比数列;
(2)求数列 的通项公式;
(3)证明: .
94．已知数列 的首项 ，其前 和为 ，且满足 .
（1）用 表示 的值；
（2）求数列 的通项公式；（3）当 时，证明：对任意 ，都有 .
95．已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ， ，
．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求证： ．
96．已知数列 ， ， 的前n项和为 ．
（1）若 ， ，求证： ，其中 ， ；
（2）若对任意 均有 ，求 的通项公式；
（3）若对任意 均有 ，求证： ．97．已知数列 ， ， ，设 ，其中 表示不大于 的最大整数．
设 ，数列 的前 项和为 ．求证：
（1）判断 与 的大小，并说明理由；
（2）证明： ；
（3）证明：当 时， ．
98．已知数列 中， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）当 是奇数时，证明： ；
（3）证明： .
99．已知数列 满足： ．
（1）证明：当 时， ；
（2）证明： ．100．已知数列 满足 ， ， ，记 ， 分别是数列 ， 的前 项和，证明：
当 时，（1） ；（2） ；（3） .
