文档文本内容
专题03 抽象函数问题
题型一：赋值求值
题型二：“一次函数”模型
题型三：“指数函数”模型
题型四：“对数函数”模型
题型五：“幂函数”模型
题型六：“二次函数”模型
题型七：抽象函数的综合
题型一：赋值求值
1．
满足对任意的实数a，b 都有
，且
，则
（ ）
A．2016
B．2020
C．2013
D．1008
【答案】A
【详解】由
，
，
令
可得：
，
所以：
故选：A.
【点睛】本题考查了抽象函的运算，考查了赋值法求值和一定的计算能力，属于简单题.
2．若函数
满足对任意
，都有
，且
，则
（ ）
A．4032
B．4036
C．4039
D．4042
【答案】C
【分析】
【详解】令
，则
，
令
，则
，
根据
的任意性可得
，
不妨令
，
，得
，
所以
，
故选：C．
3．已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
【答案】C
【详解】解法一：由题意取
，可得
即知
则
.
解法二：令
，则
，
所以
，
即
，所以
，则
.
解法三：由
可构造满足条件的函数
，
可以快速得到
.
故选：C.
4．已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
【答案】D
【详解】令
可得
，所以
，
再令
可得
，
即
①，
将上式中的
全部换成
可得
②，
联立①②可得
,
所以
，
故选：D
5．已知定义在R 上的函数
满足对任意实数x，都有
，且
，则
．
【答案】2021
【详解】由题意，函数
满足对任意实数x，都有
，且
，
当
且
时，可得
，
则
，
所以
．
故答案为：
.
6．已知函数
的定义域为
，且
，则
，
.
【答案】
【详解】令
，得
，则
；
令
，得
，得
，
令
，得
，
即
，所以
，
所以
，
故答案为：
；
.
7．定义在R 上的函数
满足对于任意实数
均有
，且
，则
.
【答案】4050
【详解】令
，则
可变形为
，则
，
又
，解得
，
于是
.
故答案为：4050.
题型二：“一次函数”模型
8．（多选）已知函数
对任意
恒有
，且当
时，
，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
的图象关于
轴对称
B．
在
上单调递增
C．
的解集为
D．若
对
恒成立，则实数
的取值范围为
【答案】BC
【详解】对于
，令
，得
，所以
，令
，则
，即
，则
，
所以
是定义在
上的奇函数，其图象关于原点对称，故A 错误；
对于
，设
，则
，又当
时，
，则有
，
即
，则
，故
在
上单调递增，故B 正确；
对于
，根据选项
可知，函数
在
上单调递增，又因为
是定义在
上的奇函数，
，所以
，则
的解集为
，故C 正确；
对于
，因为
在
上单调递增，所以当
时，
，
又
对
恒成立，所以
，即
在
上恒成立，
将
看成关于
的一次函数
，则需
,
由① 可得
或
，由② 可得
或
，故
的范围为
或
，故D 错误．
故选：BC．
9．（多选）已知图象连续不断的函数
，对任意实数
恒有
，当
时，
，且
，则以下说法正确的是（ ）
A．
是
上的偶函数
B．
C．
在
上的最大值是6
D．不等式
的解集为
【答案】BC
【详解】对于B，因为函数
对任意实数
恒有
，
令
，可得
，故B 正确；
对于A，易知
的定义域为
，
令
，可得
，所以
，
所以
是奇函数；故A 错误；
对于C，令
，则
，
因为当
时，
，所以
，即
，即
，
所以
在
上单调递减，
因为
，
，
令
，可得
，则
，
；
所以
，
故
在
上的最大值是6，故C 正确；
对于D，由不等式
，
可得
，即
，
又
，所以
，则
，
所以
，解得：
或
，故D 错误.
故选：BC．
10．（多选）已知连续函数
满足：①
，都
有；②当
时，
恒有
；③
.则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上的最大值为10
D．不等式
的解集为
【答案】ABD
【详解】对于A，
，都有
，
令
，可得
，故A 选项正确；
对于B，再令
，可得
，
再令
，可得
，
同理可得
，
，故B 选项正确；
对于C，设
，则
，
，
在R 上单调递减，
在区间
上的最大值为
，
对
中，
令
，可得
，
，又
，
，
在区间
上的最大值为
，故C 选项错误；
对于D，
，
，
，又
在R 上单调递减，
，解得
故D 选项正确；
故选：ABD.
11．已知函数
对任意
，都有
成立．有以下结论：
①
；②
是
上的偶函数；③若
，则
；
④当
时，恒有
，则函数
在
上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是
【答案】①③
【分析】
【详解】对于①令
，则
，解得
，①正确；
对于②令
，则
，∴
，∴
是
上的奇函数，②错误；
对于③令
，则
，∴
，③正确；
对于④设
，则
，∴
，
则
，∴
在
上单调递减，④错误．
故答案为：①③．
12．已知函数
对任意实数
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明你的结论；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
为奇函数；
(2)
在
上的单调递减，证明见解析；
(3)
.
【分析】
【详解】（1）结合题意：由函数
的定义域为
,且
，
取
，则
，即
，
取
，则
，所以
，
所以
为奇函数.
（2）
在R 上的单调递减，证明如下：
任取
，且
，则
，
令
，则
，
因为
为奇函数，所以
，
因为当
时，
，所以
，
即
，所以
在
上的单调递减.
（3）由
，得
，
因为
，所以
，
因为
在
上的单调递减，所以
，
即
时，
恒成立，
等价于对任意
时，
恒成立，
令
，则
，
所以
，
所以
，
故实数
的取值范围为
.
【点睛】关键点睛：解题关键是利用
进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性
问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题.
13．（多选）已知函数
的定义域为
，
，且对任意实数m，n，有
，
当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是
上的单调递减函数
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】AD
【详解】选项A：
函数
的定义域为
，对任意实数
满足
，
令
，得
，
，又
，
令
，得
，
，解得
，故A 正确；
选项B：当
时，
，
设
，则
，则
，
，
，即
，
，则
在
上单调递增，故B 错误；
选项C：若
为偶函数，则
，与
，
矛盾，故C 错误；
选项D：令
，则
，即
，
，即函数
为奇函数，故D 正确．
故选：
．
题型三：“指数函数”模型
14．已知定义在区间(0，+∞)上的函数
满足
，而且当
时，
.
（1）求
的值.
（2）判断
的单调性.
（3）若
，求
在区间
上的最小值.
【答案】（1）
；（2）函数在
上是减函数；（3）最小值为-2.
【分析】
【详解】解：（1）令
，代入条件得
，故
（2）任取
，且
，则
，
因为当
时，
，所以
；
即
因此
，所以函数在
上是减函数；
（3）因为函数
为减函数，所以函数在
上的最小值为
，
又
，所以
，
所以最小值为-2.
15．如果
且
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．8
【答案】C
【详解】根据条件令
，
，得到
，即
，
所以
，
故选：C
16．（多选）已知函数
满足当
时，
，且对任意实数
满足
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．
或1
C．函数
为非奇非偶函数
D．对任意实数
满足
【答案】ACD
【分析】
【详解】对于B，令
，
，得
，
由题意知
，所以
，故B 错误；
对于A，当
时，
，则
，
又
，则当
时，
，即对任意
，
.
取任意
且
，则
，得
，
则
即
，所以
是
上的增函数，故A 正确；
对于C，由
是
上的增函数且
，可知
为非奇非偶函数，故C 正确；
对于D，注意到
，
同理
，则
，
又
，且
，则
，即
，
故D 正确.
故选：ACD.
17．（多选）已知函数
的定义域为
，对于任意的实数
，都有
.且当
时，
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．对于任意的
，有
C．函数
在
上单调递增
D．若
，则不等式
的解集为
【答案】ABD
【详解】对于A，令
，
，则
；
由
时，
得：
，
，A 正确；
对于B，令
，则
；
当
时，
，
，
，
对于任意
，
，B 正确；
对于C，设
，
；
，
，即
，又
，
，
在
上单调递减，C 错误；
对于D，
，
，
则
可化为：
，
又
在
上单调递减，
，即
，
解得：
，即不等式的解集为
，D 正确.
故选：ABD.
18．已知函数
在定义域
上恒为正，
，对任意的
，都有
，当
时，
.
(1)求
，
的值；
(2)用定义证明：
为
上的减函数；
(3)求不等式
的解集.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）令
，则
，又
，所以
.
因为
，所以
.
（2）
在
上单调递减.证明如下：
设
，则
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
为
上的减函数.
（3）由（1）知
，则
即
，
又
在
上单调递减，所以
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
19．已知函数
的定义域为
，对于任意的
都有
，设
时，
.
(1)求
；
(2)证明：对于任意的
，
；
(3)当
时，若不等式
在
上恒定成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
;
(2)详见解析;
(3)
.
【分析】
【详解】（1）令
，
得
，因为当
时，
，所以
.
（2）由题意当
时，
由（1）知，当
，
所以下证，当
时，
，
由
得
，令
，
，
因为
，所以
，即对于任意的
，
.
（3）令
，
，所以
，假设
，即
所以
，即
，由（2）得对于任意的
，
，所以
，
故函数
在
单调递减，
又因为
，
所以在
上
恒成立，
所以
化简得：
对
恒成立，
即
，所以
.
题型四：“对数函数”模型
20．已知函数
的定义域为
，且对任意非零实数
，
都满足
，则
（ ）
A．
（1）
且
为偶函数
B．
且
为奇函数
C．
为增函数且为奇函数
D．
为增函数且为偶函数
【答案】A
【详解】函数
的定义域为
，且对任意非零实数
，
都满足
，
当
时，
可得
（1）
（1）
（1），
．
令
，可得
（1）
，
令
，
换
，
可得
．
函数是偶函数．
故选：A．
21．（多选）定义域为
的函数
对任意的非零实数
，
都满足
.当
时，
.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
满足
C．
D．
在
上单调递增
【答案】BC
【详解】由
，易知
定义域为
，满足
且
时
，
必要性成立，
但满足题设要求的函数不一定是
，A 错；
由
，则
，B 对；
令
，则
，
令
，则
，C 对，
令
，则
，定义域为
，即为偶函数，
令
，则
，
由
，则
，即
在
上递增，故
上递减，D 错；
故选：BC
22．定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求证：
在
上是增函数；
(3)解不等式：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】
【详解】（1）将
代入
可得
，解得
（2）设
，则
，则
，
，即
，
则
在
为增函数；
（3）由
可得
，
因为
在
上是增函数，所以
，解得
，
故不等式的解集为
23．定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
.
(1)求证：
；
(2)若
，解不等式
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）
，即
（2）任取
，
，且
，则
.
由（1）得
，
即
.∴
在
上是增函数
∵
，∴
，
又
在
上为增函数，∴
，解得
故不等式
的解集为
.
24．已知函数
是定义在
上的增函数，对于任意实数
都满足
，若
且
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
函数
是定义在
上的增函数，
，
解得：
.
故选D
【点睛】本题考查解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，抽象函数求值时一般需赋值，解不等
式时注意函数的定义域.
25．已知定义在
上的函数
满足对任意的
，
恒成立.当
时，
，且
.
(1)判断
的单调性并证明，
(2)求不等式
的解集.
【答案】(1)
在
上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）
在
上单调递增.
证明如下：
设
，则
.
因为当
时，
，所以
.
因为
，所以
，
则
，即
，
故
在
上单调递增；
（2）因为
，所以
，即
.
因为
，所以
，则
等价于
，即
，
即
，
由（1）可知
在
上单调递增，则
，
解得
，即不等式
的解集是
.
题型五：“幂函数”模型
26．已知函数
的定义域为
，对任意的
都有
，且
时,
,
时,
.
(1)求
的值并判断函数
的奇偶性；
(2)讨论
的单调性并证明；
(3)若
对任意的
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，奇函数
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）因对任意的
都有
.
当
时,令
,则
，因
，则
；
再令
,则
，即
，因
，则
.
令
,则
,故
是奇函数.
（2）
在
上是增函数.以下提供证明:
当
时,
则
，由
，可得
，
又
，且
时,
，故
时,
.
又因
是定义在
上的奇函数,所以
.
任取
,则
,从而
在
上单调递增,
又因
是
上的奇函数,则
在
上单调递增,且
，
故
在
上是增函数;
（3）在
中，令
，可得
，因
，则
，
由
可得
，
即
因
在
上是增函数，即得
对任意的
成立，
设
，
则
解得
或
即实数
的取值范围为
.
27．若函数
对任意实数x､y 都有
，则称其为“保积函数”.
（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；
（2）若“保积函数”
满足
，判断其奇偶性并证明；
（3）对于（2）中的“保积函数”，若
时，
，且
，试求不等式
的
解集.
【答案】（1）
，
(答案不唯一)﹔（2）偶函数，证明见解析；（3）
.
【解析】（1）根据“保积函数”的定义写出两个函数即可；
（2）利用赋值法令
，代入
即可证明；
（3）先证明当
时
，利用“保积函数”的定义可得
，再证明
在
是单调递增函数且是偶函数，即可脱掉
得
即可求解.
【详解】（1）若
，则
，
，可得
符合
“保积函数”的定义，
若
，则
，
，可得
符合
“保积函数”的定义，
所以两个“保积函数”的函数解析式可以是
，
(答案不唯一)﹔
（2）函数
是偶函数，
令
，则
对任意实数x､y 都成立，
所以“保积函数”
满足
，则
是偶函数；
（3）
，
因为
所以
，
设任意的
，则
，
所以
，
所以
，
所以
在
是单调递增函数且是偶函数，
所以不等式
等价于
，
可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数在证明奇偶性和求函数值是通常采用赋值法，证明单调性通常需要利
用单调性的定义结合奇偶性构造出
与
可以比较大小的形式.
28．已知
时，函数
，对任意实数
都有
，且
，当
时，
（1）判断
的奇偶性；
（2）判断
在
上的单调性，并给出证明；
（3）若
且
，求
的取值范围.
【答案】（1）
为偶函数；（2）证明见解析；（3）
.
【详解】试题分析：（1）利用赋值法，先求出
，令
，代入抽象函数表达式即可证明函数
的奇偶性；（2）设
，
，
∵
时，
，∴
，∴
，故
在
上是增函数.；（3）先利
用赋值法求得
再利用函数的单调性解不等式即可.
试题解析：（1）令
，则
，
，
为偶函数.
（2）设
，
，
∵
时，
，∴
，∴
，故
在
上是增函数.
（3）∵
,又
∴
∵
，∴
，即
，又
故
.
29．已知定义在
上的函数
，满足
，对于任意正实数
、
都有
，
当
时，
，且
.
(1)求证：
；
(2)证明：
在
上为减函数；
(3)若
，求实数
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）证明：在等式
中，令
，
，可得
，
所以，
，
对任意的
，在等式
中，令
，可得
.
（2）证明：由题意可知，当
时，
，且对任意的
，
，
任取
、
且
，则
，
所以，
，所以，
，
所以，函数
在
上为减函数.
（3）解：因为
，则
，
因为函数
在
上为减函数，则
，解得
.
题型六：“二次函数”模型
30．设
是定义在
上的函数，满足
，且对任意的正整数
，
都有
，
求
的解析式．
【答案】
，
．
【详解】由
，
，
，
不妨令
，
，则有
，
又
，故
①．
分别令①式中的
，
，…，
，
得
，
，…，
，
将上述各式相加得
，
则
，
所以
，
．
31．已知定义在
上的函数
满足
（其中
，
），请写出满足条件
的一个函数
表达式 ．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】由
，取
，得
，
令
，此时
，
且
，
，符合题意，
所以满足条件的一个函数
表达式为
.
故答案为：
32．（多选）已知函数
的定义域为R，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于
：令
，则
，即
，因为
，
所以
，所以
，故
错误；
对于
：令
，则
，
即
，因为
，所以
，故
正确；
对于
：
，
，
所以
，故
正确；
对于
：令
，则
，由
可得
，即
，
所以
为增函数，
，
因为
，所以
，即
，
所以
，故
正确.
故选：
.
33．（多选）已知函数
对任意
，恒有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】令
，得
，则
.故A 错误，C 正确；
令
，得
.故B 错误，D 正确.
故选：CD.
34．（多选）已知函数
对任意
恒有
，且
，则（ ）
A．
B．
可能是偶函数
C．
D．
可能是奇函数
【答案】AB
【详解】对于选项A，令
，得
，则
，所以选项A 正确；
令
，得
，则
，
对于选项B，若
是偶函数，则
，所以选项B 正确；
对于选项D，若
是奇函数，则
，所以
不可能是奇函数，所以选项D 错误；
对于选项C，令
，得
，所以选项C 错误；
故选：AB.
题型七：抽象函数的综合
35．已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
有零点
D．
【答案】D
【详解】对于A，因为
，令
，可得
，
因为
，所以
，所以A 不正确；
对于B，由函数
的定义域为
，且
，显然函数
的图象不过坐标原点，所以函数
不是奇函数，所以B 不正确；
对于C，令
，得
，即
，
解得
或
，显然函数
没有零点，所以C 不正确；
对于D，令
，可得
，即
，
所以
，所以D 正确.
故选：D.
36．已知函数
的定义域为
，则说法错误的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．若
，则
D．若当
时，
单调递减，则当
时，不等式
的解集为
【答案】A
【详解】对于A，令
，可得
，所以
，故A 错误；
对于B，令
，
，所以
，
令
，
时，可得
，
所以
为奇函数，故B 正确；
对于C，令
，则
，又
，
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
是奇函数，
，所以由
得
，
则
，又
，所以
，
又
在
上单调递减，则不等式等价于
，解得
，故D 正确.
故选：A
37．（多选）设
为定义在整数集上的函数，
，对任意的整数
均有
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
关于直线
对称
D．
关于点
对称
【答案】AC
【详解】令
，则
，
可得
，
对于
：令
，则
，
即
，所以
关于直线
对称，故
正确，
错误；
对于
：令
，则
，
即
，
所以
，
因为
不恒为0，所以
，
即
，所以
是奇函数，故
正确，
错误.
故选：AC.
38．（多选）若定义在
上不恒为0 的
，对于
都满足
，且
当
时，
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
在
上单调递减
【答案】ABD
【详解】对于A：令
，则
，所以
，故正确；
对于B：令
，则
，所以
，
且定义域为
关于原点对称，所以
为奇函数，故正确；
对于CD：
，则
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
因为
，
且
，
所以
，所以
，即
，
因为
时，
，所以
，
所以
，所以
在
上单调递减，故D 正确；
又因为
，且
，所以
，故C 错误；
故选：ABD．
39．（多选）已知函数
满足：对任意实数
都有
，且
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，令
，可得
，又
，则
，故A 错误；
对于B，令
，得
，即
，所以
为偶函数，故B 正确；
对于C，令
，得
，故
，
令
，得
，即
，故C 正确；
对于D，因为
为偶函数，所以
，又由C 选项得
，得
，即
，
所以
，可得
，故函数
的周期为2，
因为
，所以
，
，
所以
，故D 正确．
故选：BCD．
40．（多选）已知函数
的定义域为
，则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．若对于任意的
，有
，则
在
上单调递增
【答案】ABC
【详解】A：令
，对；
B：令
，则
，对；
C：令
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，对；
D：令
，则
，所以
，
又对于任意的
，有
，则
所以
，
所以
在
上不可能单调递增，错.
故选：ABC
41．已知函数
的定义域关于原点对称，
，且
．求证：
是奇函
数．
【答案】证明见解析
【详解】若函数
的定义域包含0，不妨令
，则
，
即
对定义域内
任意恒成立，
记
，则
为常数，则函数
为常数函数，
有
，即
，显然无解，
故函数
的定义域关于原点对称且不包含0，
令
得
，
同理，令
得
，
故得到
，所以
是奇函数．
