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教材习题答案
第一章 数列 续表
５１；（６）－３８，－３６０；（７）－４５，４５；
． ．
题号 ａ ｄ ｎ ａ ｎ （８）４５，１０
１ ｎ ａ ａ
§1 数列的概念及其函数特性 ８．解析 Ｓ （ １＋ ５２） Ｓ
３ ３ ５２ ＝ ＝２ ８６０， ５０ ＝
（３） －６ ３０ １５ ２
１．１ 数列的概念 ４ ４ ．
２８６０－１０－１００＝２７５０
９．解析 由ａ ａ ｎ ｄ可得ｎ
练习 （４） ３ ２ １０ ２１ ｎ＝ １＋（ －１） ＝１２０，
ｎ ｎ ｄ
２．解析 ． Ｓ ｎａ （ －１） 代入数据可得Ｓ
１．解析 ２ （１）１４０；（２）２ ｎ＝ １＋ ， １２０＝
（１）１，３，５，７，９；（２）２，２， ， ３．解析 ｘ ° 提示 设中间项为ｘ 则 ２
３ ＝６０ （ ： ， 支．
另 项分别为ｘ ｄ ｘ ｄ ． ７２６０
２ ． ２ － ， ＋ ） １０．解析 ． ．
１， ４．解析 ａ ｄ 提示 ａ ｎ （１）１２２５ ｍ；（２）２０ ｓ
５ （１） １＝５； ＝－２（ ： ｎ＝－２ １１．解析 设ｎ 分相遇 每分甲所走路程
２．Ｃ 因为 ｎ 是偶数 所以 ｎ 应为 ｎ 略 ，
２ ， ２５－２ ＋７＝５＋（ －１）×（－２））；（２） ； 依次成公差为 的等差数列 共ｎ项．
奇数 故选 ． 递减． １ ，
， Ｃ （３） ａ ｄ ．
３．Ｂ． ５．解析 ａ ａ ａ ． １＝２（ｍ）， ＝１
ｎ －１ 提示 设 ２＝ 下 ３ 降 ℃， 一 ４ 固 ＝－ 定 ９ 数 ℃ 值 ， 为 ８＝－ ｄ ３３ ａ ℃ 所以 ｎ ｎａ ｎ （ ｎ －１） ｄ 代入数据
４．解析 （１） ａ ｎ＝２ ｎ ；（２） ａ ｎ＝ （－１ ｎ ） ． （ ａ ： ｎ 则根据ａ ， ａ １ ＝ ７０＝５ ＋ １＋ ２ ，
１．２ 数列的函数特性 （
９
ｎ
℃
－１
，
） ｄ
５＝
可
－
求
１５
得
℃
ｄ
，
＝－
＝
６
５，
℃）
ｎ＝ １＋
Ｂ组
解得ｎ
＝７（
分
）
．
练习 ２．２ 等差数列的前ｎ项和 １．解析 前 排离地高度成等差数列
１６ ，
１．解析 略． 练习（第 页） ａ １＝１７ ｃｍ， 公差ｄ ＝８ ｃｍ， ｎ ＝１６， 由ａ ｎ＝
２．解析
（１）
图略
，
递减数列
；（２）
图略
， １．解析
１７
个．
ａ
１＋（
ｎ
－１）
ｄ得ａ
１６＝１３７ ｃｍ；
递增数列．
２．解析
１
Ｓ
１４
ｎ
０
ｎ ．
后
１０
排
（
包括第
１６
排
）
也成等差数列
，
习题１－１ ｎ＝ （ ＋１） ｂ ａ ｄ′ 得ｂ
３．解析 ａ ｄ ａ Ｓ １＝ １６＝１３７ ｃｍ， ＝１０ ｃｍ， １０＝１３７
Ａ组 ． （１） １＝－８， ＝４；（２） ８＝１６， ８ ＋９×１０＝２２７（ｃｍ） ．
１．解析 （１）１０，１３， ａ ｎ ＝３ ｎ －２；（２）２４， 练 ＝ 习 ４ （ ４ 第 １９ 页） ２．解 所 析 以最 由 后一 ａ 排 ａ 离地高 ｎ 度为 ｄ ２ 代 ２７ 入 ｃｍ ａ ．
３５， ａ ｎ＝ ｎ （ ｎ ＋２） ． １．解析 ．理由略． ｎ＝ １＋（ －１） １＝３，
２．答案 ２；６；１１０；２０ ． ２．解析 Ｂ Ｓ ． ａ ｎ＝３３３３３， ｄ ＝５ 可得ｎ ＝６ ６６７， 每页所
３
４
．
．
解
解
析
析 ３ （ ６ １
．
） ａ ｎ＝５ ｎ －３；（２） ａ ｎ＝５×１０ ｎ －１．
３．
解
答
析
案
８ ｎ
１７＝３
或
４０
ｎ 不合题意 舍去
抄字数为
２１×１３＝２７３，
６
２
６
７
６
３
７
＝２４
１
２
１
７
５
３ ，
５ ６ ． ． 解 解 析 析 图 图 略 略 ， 第 ａ ２ 项． ． ｎ ＝ ９ 时 ＝ ， ８ 最大角 ＝９（ ａ ９ ＝ １００ ° ＋ ， ８×１ ） ０ ， ° 所以在第 ２５ 页 ， １ １ １ ３ ５ ＝ ８ １ １ １ ３ ， 故在第
Ｂ组 ， ４＝－２５ ＝１８０ °． ９ 行．
４．解析 个 个．
ｎ ｎ ｄ
１．解析 ａ ｎｎ １５ ；２７０ ３．解析 Ｓ ｎａ （ －１） ｎ ａ
（１） ｎ＝（－１） ； 习题１－２ （１） ｎ＝ １＋ ， ＝９， １
ａ （－１）
ｎ ＋１ｎ２
． Ａ组 可得ｄ 粒
２
（２） ｎ＝ ｎ２
＋１ １． ．
＝１１ ＝
ｎ
７
ｎ
；
ｄ
２． ． Ｃ Ｓ ｎａ （ －１） ａ ａ ｄ代入
Ｂ ２． 提示 根号内的数成等差数列 （２） ｎ＝ １＋ ， ３＝ １＋２
Ｂ．（ ： ） ２
３． ． 上式可得ｄ 粒．
§2 等差数列 Ｃ ＝８
４． ． 提示 从山顶到山脚每降低 ４．解析 如图．
Ｃ （ ： １００ ｍ，
依次所得气温可构成以 ． 为公差的
２．１ 等差数列的概念及通项公式 ０ ６
等差数列
练习（第 页） ）
１３ ５．解析 ａ ｄ 由ａ ａ ｎ
１．解析 （１） １＝８， ＝－３， ｎ＝ １＋（ －
２３５，２４０，２４５，２５０，２５５，２６０， ｄ代入数据得 ａ
． １） ， ２０＝８－３×１９＝－４９；
２６５，２７０，２７５，２８０，２８５，２９０，２９５，３００ 是 ｎ 即第 项．
２．解析 ａ ａ ｎ ｄ ｎ （２） ， ＝１００ １００
（１） ｎ＝ １＋（ －１） ＝３ －１； ６．解析 噪声的平均值是一个递减的等
ａ ｎ ａ ２ ｎ ５ ． 差数列 公差为 ． 年噪声的平 ５．解析 ａ ｎ 图略
（２） ｎ＝－４ ＋１７；（３） ｎ＝－ ＋ ， －０ ６，２０１７ （１） ｎ＝－８ ＋３９（ ）；
３ ３ 均值为 ａ 设经过 ｎ 年噪声会小于 第 项
３．解析
３８
块
，
ａ
ｎ＝（４
ｎ
＋２）
块．
ａ
１，
ｎ ． ｎ
（２）
由
５
ａ ａ
；
ｎ ｄ 代入数据可
练习（第 页） ４２ ｄＢ， ｎ ＋１ ＝５６＋ ·（－０ ６）＜４２， ＞ （３） ｎ＝ １＋（ －１） ≥０，
１５ 得 ｎ 时和最大 再由 Ｓ ｎａ
１． １ 所以至少经过 年即 年 ＝ ４ ， ｎ ＝ １ ＋
２３ ， ２４ ２０４１ ｎ ｎ ｄ
３ （ －１） 可得Ｓ ．
题号 ａ ｄ ｎ ａ ｎ 噪声将小于 ． ４＝７６
１ ４２ ｄＢ ２
７．答案 ． ６．解析 不是等差数
（１） ８ －３ ２０ －４９ （１）２２，５８４８；（２）２２，９９； （１）２ { ，３， ｎ ５，７，９；（２）
１ ． 列 ａ ２， ＝１，
（２） ２ ２ ９ １８ （３）３４，－１０ ；（４）４，１ ４３０；（５）０ １， ；（３） ｎ＝ ｎ ｎ
６ ２ －１， ＝２，３，４，…
１
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等§3 等比数列 ( ) ３ ] [ ( ) ４ ( ) ４ ] ３．Ｃ 由于
２ ａ ２ ａ ２ ａ
＋ ＋ ＝ ａ ａ ａ ａ ａ３０ｑ（１＋２＋…＋２９） ａ１０ｑ１４５ ３
３ ３ ３ １ ２ ３… ３０＝ １ ＝（ １ ） ，
３．１ 等比数列的概念及通项公式
３４１ａ．
ａ
３
ａ
６…
ａ
３０＝
ａ１
１
０ｑ（２＋５＋…＋２９）
＝
ａ１
１
０ｑ１５５
，
练习（第 页） ８１ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ １ ３ ｑ１０ ｑ
２３ 习题１－３ ３ ６… ３０ ＝（ １ ２ ３… ３０） ， ＝２，
ａ ａ ａ ２０．
１．答案 １ 或 Ａ组 ３ ６… ３０＝２
（１）４８；（２） ；（３）４；（４）２ 故选 ．
２ １． ． ２． ． Ｃ
２．解 －２ 析 ；（ ５） 公 ４ ． 比ｑ为
０
没有意义
，
也不能有 ３． Ａ Ｃ ． （ 提示 Ｃ ： ａ ｎ＝ ａ ｎ ＋１＋ ａ ｎ ＋２＝ ａ ｎ ｑ ＋ ａ ｎ ｑ２ ，⇒ ｑ２ ４．解
量
析
是 以
由
１８
表 ．
３４
可知
．
， 碘 －
为
１３
公
１
比
每
的
天
等
的
比
剩
数
余
３．解 某 析 一项 为 （１） ０ ａ ． １＝３， ｑ ＝
２
１ ． ４ ５ ． ． Ｃ 解 ＋ ｑ ． 析 －１ ＝０ 第 ） 六次摆动的弧长为 ａ
６＝３６×
１
列
０
． ．
９
所
０５
以
＞１
７ ２
０
０
，
天 ＝ 后 ０ 还 ９１ 有 ７ ２０ ． ００×０ ． ９１７ ７ ≈
图略． ． ６－１ ． 所以 天后还 可用于治疗．
（２） ０９ ≈２１（ｃｍ） ７ １０ ｇ
数列 ａ 是递减数列．证明略． ６．解析 ５ 粒 ．
（３） ｛ ｎ｝ １２０ ＝２４８８３２０００００（ ）
练习（第 页） ７．答案 §4 数列在日常经济
２５
１． ． ２． ． 题号 ａ ｑ ｎ ａ Ｓ 生活中的应用
Ｄ Ｂ ｎ ｎ
１
３．解析
（１）±６０；（２）±２；（３）±｜
ａ２
－
ｂ２
｜
．
练习（第 页）
（１） ３ ２ ６ ９６ １８９ ３４
３．２ 等比数列的前ｎ项和 １． ．
Ｂ
１ １ １２７ ２．解析 年本利和为 ．
练习（第 页） （２） ８ ７ ２０２０ １（１＋００１７５），
２８ ２ ８ ８ 年本利和为 ． ２
１．解析 Ｓ
ａ
１（１－
ｑ１０
） １（１－３ １０ ） （３） ５ ２ ３ ２０ ３５
２０２１ １（１＋００１７５） ，
（１） １０＝ ｑ ＝ ＝ …
１－ １－３ 年本利和为 ． ４
（４） ２ ３ ４ ５４ ８０ ２０２３ １（１＋０ ０１７ ５） ≈
１ １０ ． ．
（３ －１）； １０７１８５９
２ （５） １ ２ ３ ４ ７ 所以到 年得到的本利和约为
[ ( ) ６ ] ２０２３
１ １ ． 万元．
ａ ｑ６ １－ － １ １ ３１ １０７１８５９
（２） Ｓ ６＝ １（１－ ｑ ） ＝ ２ ( ３ ) （６） ２ ２ ５ ８ ８ 练习（第 ３５ 页）
１－ １－ － １ １．解析 设小杨每年年底还银行贷款
３ ２
( ) （７） ２７ ４ ８ ６５ ｘ万元 第 ｋ 年年底还款后欠款为
３ ，
３ １
＝ １－ ６ ； Ａ ｋ 万元．
８ ３ （８） ３ ２ ６ ９６ １８９
（３） Ｓ ｎ＝ ａ １（ １ １ － － ｑ ｑｎ ） ＝ ａ １ １ － － ａ ｑ １ ｑｎ ＝ ａ １ １ － － ａ ｑ ｎ ｑ ＝ ８．Ｃ Ｓ ｎ ， Ｓ 设 ｎ＝ 第 １＋ ｎ ２＋ 小 ２ ２ 时 ＋… 知 ＋ 道 ２ ｎ 喜 ＝２ 讯 ｎ ＋ 的 １ － 总 １＝ 人 ２ 数 ０４７ 为 ， 则 Ａ ２＝ Ａ ［ １ ２ ＝ ０ ２ （ ０ １ （ ． ＋ １ ０ ＋ ． ０ ０ ． ４ ２ ０ ９ ４ ） ｘ ９ － ） ｘ － ］ ｘ （ ； ． １＋０ ． ０４９ ｘ ）－ ｘ
１ １ １ ｎ 故选 ． ＝２０（１＋００４９） － （１＋００４９）－ ；
－ × ( ) ＝１０， Ｃ
３ ６５６１ ３ １ １ ９．解析 每年的产值构成等比数列 ａ …
＝ １ － ｛ ｎ｝， Ａ ． １０ ｘ ． ９
１ ２ ６５６１ ａ ｑ ％ ． 则 ａ １０＝２０（１＋００４９） － （１＋００４９） －…－
１－ １＝２００， ＝１＋２０ ＝１ ２， ｎ＝２００× ｘ ． ｘ
＝ ３２８０ ；
３ １ ． ２
．
ｎ －１ ＞
ｎ
１ ２００
．
， ｎ ＞１＋ｌｏｇ１ ． ２６≈１＋９ ． ８４＝
＝
（
２
１
０
＋
（
０
１＋
０４
０
９
． ０
）
４
－
９） １０ － ｘ１－（１＋０
．
０ ． ４９）
１０
．
６５６１ １０８４， ≥１１ １－（１＋００４９）
（４） Ｓ ｎ＝ ａ １（１－ ｑ ｑｎ ） ＝ ａ １－ ａ ｑ １ ｑｎ ＝ ａ １－ ａ ｑ ｎ ｑ ＝ 即 万 从 元． ２０１６ 年开始年产值可超过 １ ２００ 由题意知 １０ 年后年底还清 ， 可知 Ａ １０
６－１９２×２ １－ ． １－ １－ １０． 解 析 Ｓ ｎ ＝ ５［１－（１＋１０ ％ ％ ） ｎ ］ ＝ 可 ＝０， 得 ２０ （ １ ＋ ０ ． ０４９ ） １０ ＝
＝３７８ １－（１＋１０ ） ． １０
２．Ｄ ＝ （ １ １ － Ｓ ＋ ２ １０ １０ ＝ ％ ａ １ ） （ ａ １ １ ［ － － １ ｑ ｑ － １０ （ ） １ ％ ＋１０ ％ ） １０ ］ １ Ｂ ．解 组 约 ５ 析 ０（ ５ １ 年 纸 ． １ ｎ 内 对 －１ ． 折 ）≥ 后 ３ 的 ０， 厚 １ ． 度 １ ｎ 成 ≥ 等 １ ． ６ 比 ， ｎ 数 ≥ 列 ５， 设 故 综 年 得 ｘ（ 上 后 ｘ １ ≈ ＋ 可 ： ０ 每 ２ ０ 还 ． ０ ． ５ ０ 年 ４ ７ 清 ４ ９ ７ ９ 还 ） ． ５ 款 （ － 万 １ 约 ， 元 为 ） ． ２ ． ５７７ ５ 万元 ，１０
１－（１＋１０ ） ，
＝１１（１ ． １ １０ －１） ａ ， 故选 Ｄ ． 为 ｛ ａ ｎ｝， ｑ ＝２ ． 习题１－４
１
练
．解
习
析
（第 ３
由
０
题
页
意
）
可设此等比数列为 ａ
ａ １＝１×
１０
１
０
×１０ －２ ×２＝２×１０ －４ ， １．解
则
析
第 一
（
次
１） 设
付
每
款
次
后
付
还
款
剩
ｘ元 ，
前ｎ 项和为Ｓ 则ａ ｑ Ｓ ｛ Ｓ ｎ｝， ａ ｎ＝２×１０ －４ ×２ ｎ －１ ＝１０ －４ ×２ ｎ ， ． ％ ２ ｘ ：１０ ０００（１＋
ｎ， １＝１， ＝２， ＝ １０－
理论上对折 次后 ａ －４ ３０ 第
０６
二
）
次
－
付
，
款后还剩
Ｓ ４＝ １ １ － － ２ ２ １０ － １ １ － － ２ ２ ４ ＝２ １０ －２ ４ ＝１００８ ． １０ －４ （１０２４） ３ ３ ＝ ０ １０７３７４ ， ． １ ３ ８ ０ ２ ＝ ４ １ ＞ ０ ８８ × ４４ ２ ． ８６ ＝ ． ０ ． ６ ％ ） ２ － ｘ ］（１＋０ ． ６ ％ ） ２ ： － ｘ ［１０ ０００（１ ＋
２．解析 设第ｎ次着地时 ， 共经过的路程 所以这张报纸并非吹牛 ， 理论上对折 ＝１００００（１＋０ ． ６ ％ ） ２×２ － ｘ （１＋０ ． ６ ％ ） ２ － ｘ ，
( ) 次后其厚度会大大高于珠穆朗玛峰
为Ｓ 则 Ｓ ａ ２ ａ ２ ａ ３０ …
ｎ ｍ， ５ ＝ ＋ ＋ ＝ 的高度． 第六次付款后 ． ％ ２×６
３ ３ ：１０ ０００（１＋０ ６ ） －
[ ( ２ ) ２ ａ ( ２ ) ２ ａ ] [ ( ２ ) ３ ａ ２．Ｄ 由题意知 （ Ｓ ２ ｎ－ Ｓ ｎ） ２ ＝ Ｓ ｎ（ Ｓ ３ ｎ－ Ｓ ２ ｎ） ｘ （１＋０ ． ６ ％ ） ２×５ － ｘ （１＋０ ． ６ ％ ） ２×４ －…－ ｘ （１
３ ＋ ３ ＋ ３ ＋ ⇒ Ｓ ３ ｎ＝６３， 故选 Ｄ ． ＋０ ． ６ ％ ） ２ － ｘ ＝０，
２
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ｘ ． ２ ６ 当ｎ ｋ 时 由假设可得 (
即 ［１－（１００６ ） ］ ＝ ＋１ ， ： ７． 提示 奇数项也成等差数列 利用ａ
． ２ ＝ １０ ０００ （ １ ＋ Ｃ ： ， １
１－（１００６ ） １ １ １ １ １ １
０ ． ６ ％ ） ２×６ ， ２ ＋ ４ ＋…＋ ２ ｋ ＋ ２ ｋ ＋１ ＝１－ ２ ｋ ＋ ２ ｋ ＋１ ＝１ ａ ａ ５０（ ａ １＋ ａ ９９） Ｓ
ｘ ． ＋ ３＋…＋ ９９ ＝ ＝６０， １００ ＝
≈１７３７５７； １ ２
（２）
设每次付款ｘ元
，
类似
（１）
可得 －
２
ｋ ＋１，
１００（
ａ
１＋
ａ
１００） ａ ａ ｄ
)
．
ｘ ＋ ｘ （１＋０ ． ６ ％ ）＋ ｘ （１＋０ ． ６ ％ ） ２ ＋…＋ ｘ （１＋ 即当ｎ ＝ ｋ ＋１ 时 ， 等式也成立． ( ２ ， １００＝ ９９＋
即 ０ ． ６ ｘ ％ （１ ） － １１ １ ＝ ． ０ １ ０ ０ ６ １ ０ ２ ０ ） ０（１＋０ ． ６ ％ ） １２ ， ． ％ １２ ２． 由 证明 （１ ）（ （ ２ １ ） ） 知 当 对 ｎ 于 ＝２ ｎ 时 ∈ ， Ｎ 两 ＋ 等 条 式 直 成 线 立 有 ． 一个 ８． Ｄ 提示 ： 由ａ ｎ＝２·３ ｎ －１得偶数项的前
１－１ ． ００６ ＝１００００（１＋０６ ） ， 交点． ｎ项和 ， Ｓ ＝２（３ １ ＋３ ３ ＋３ ５ ＋…＋３ ２ ｎ －１ ）＝ ３ ·
ｘ ． 而ｆ 命题成立． ４
≈８６６１９； （２）＝１， )
设每次付款ｘ元 同理 假设当ｎ ｋ ｋ 时 命题成立 ｎ ．
（３） ， ： （２） ＝ （ ≥２） ， ， （９ －１）
ｘ ＋ ｘ （１＋０ ． ６ ％ ） ４ ＋ ｘ （１＋０ ． ６ ％ ） ８ ＝１０ ０００× 即ｆ ｋ ｋ （ ｋ －１）． (
（１＋０ ． ６ ％ ） ４×３ ， （ ）＝ ２ ９． Ｄ 提示 ： 由ａ １＝５， Ｓ ３０＝３０ ａ １＋ ３０×２９ｄ ＝
即 ｘ （ １ １ － － １ １ ． ． ０ ０ ０ ０ ６ ６ ４ １２ ） ＝１００００（１＋０ ． ６ ％ ） １２ ， 当 直线 ｎ ＝ 均 ｋ 有 ＋１ 一 时 个 ， 交 第 点 ｋ ＋ ， 即 １ 条 新 直 增 线 ｋ个 与 交 前 点 ｋ ． 条 ３９０ 求得ｄ ) ． ２
２．解 ｘ ≈ 析 ３４９ 设 ６ ． 小 ０７ 王 ． 每年付款ｘ万元 则 所以ｆ （ ｋ ＋１）＝ ｆ （ ｋ ）＋ ｋ ＝ ｋ （ ｋ ２ －１） ＋ ｋ ＝ １０．解 盖 析 率成 等 由 差 题 数 意 列 可 ． 得 ： 该城市的绿化覆
，
ｘ ｘ ． ％ ｘ ． ％ ２ ｘ
ｋ２
＋
ｋ
（
ｋ
＋１）［（
ｋ
＋１）－１］ ａ ． ％ ｄ ． ％
＋ （１＋４９ ）＋ （１＋４ ９ ） ＋…＋ （１＋ ＝ ， １＝１７０ ， ＝０８ ，
． ％ １９ ． ％ ２０ ２ ２ ａ ａ ｎ ｄ ． ％
４９ ） ＝５０（１＋４９ ） ， 即当ｎ ｋ 时 命题成立． ｎ＝ １＋（ －１） ＞２３４ ，
ｘ ． ２０ ＝ ＋１ ， ｎ ．
即 （１－１０４９ ） ． ％ ２０ 由 知对于ｎ 原命题成立． ＞９
． ＝５０（１＋０４９ ） ， （１）（２） ≥２ 从 年开始绿化面积将超过
１－１０４９ ３．证明 当ｎ 时 左边 右边 ２０２４
ｘ ． ． （１） ＝１ ， ＝１， ＝ ． ％．
≈３９７８１８１ ２３４
故小王每年付款约为 ． 万元 １×２×３ 左边 右边 等式成立． １１．解析 ａ ． ．
３ ９７８ １８１ ， ＝１， ＝ ， ５＝１４６４１
购买此房共需付款约为 ． ６ １２．解析 是 公差为 ｄ ｄ ｄ
４０＋３９７８ １８１× 假设当ｎ ｋ时等式成立 即 （１） ， ２ ， １＋２ ２；
． 万元 ． （２） ＝ ， 相等．
２０＝１１９５６３６２０（ ） ｋ ｋ ｋ （２）
２ ２ ｋ２ （ ＋１）（２ ＋１）． １３．解析 是．
１ ＋２ ＋…＋ ＝ （１）
*§5 数学归纳法 ６ 证明 设 ａ ｂ 的公比分别为
则当ｎ ｋ 时 由假设 ： ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝
＝ ＋１ ， ｑ ｐ
练习 ２ ２ ｋ２ ｋ ２ ， ，
１ ＋２ ＋…＋ ＋（ ＋１） 从 ａ 任取一项 ａ 其前一项
１． 故 （ 证 － ２ ｙ 明 ） ） ｘ ． 设 ２ － ｙ ｎ （ ２ １ ＝ 能 ） ｋ 当 被 （ ｋ ｎ ≥ ｘ ＋ ＝ １ ｙ １ ） 整 时 时 除 ， ， ｘ ｘ ， ２ ２ 命 ｋ － － ｙ 题 ｙ ２ ２ ＝ ｋ 成 能 （ 立 ｘ 被 ＋ ． ｙ ） ｘ ＋ （ ｙ ｘ ＝ ＝ ｋ ２ （ ｋ３ ｋ ＋ ＋ ９ １ ｋ ） ６ ２ ６ （ ＋ ２ １ ｋ ３ ＋ ｋ １ ＋ ） ６ ＋（ ｋ ＋１） ２ 因 为 ａ ２ ａ （ 此 ｎ ｛ ２ ａ － ｎ １ ２ ） （ ｎ ２ ＝ － ｎ １ ａ ｝ ） ａ ． １ ａ ｑ １ ２ ｑ 是 （ ｎ ２ － ｎ 等 － １） １ －１ 比 ＝ 数 ｑ２ 列 为 ２ 一 ｎ， 常数 ，
整 即 除 ｘ２ ， ｋ － ｙ２ ｋ ＝（ ｘｋ ＋ ｙｋ ）（ ｘｋ － ｙｋ ） 能被 ｘ ＋ ｙ ＝ ２ ｋ３ ＋３ ｋ２ ＋６ ６ ｋ２ ＋１３ ｋ ＋６ 从 ｛ ａ ， ｎ ｛ · ｂ ２ ｎ ｎ ｝ ｝ 中任取一项 ； ａ ｎ ａ · ｂ ｎ ｂ ， 其前
整
当
除
ｎ
．
ｋ 时
＝ （ ｋ２ ＋３ ｋ ＋２
６
）（２ ｋ ＋３） 一 项 为 ａ ｎ －１ · ｂ ｎ －１， ａ
ｎ －１
ｎ·
·
ｂ
ｎ
ｎ
－１
＝
ｘ 由 ２ ｋ 假 ＋２ － ＝ 设 ｙ２ 知 ＋ ｋ ＋ １ ２ ＝ ｘ２ ｘ ｋ ２ ， ＝ ｘ２ （ ｋ ｘ － ｋ ｙ ＋ ２ｙ ｙ ２ ｋ ｋ ） ， （ ① ｘｋ － ｙｋ ）＋ ｙ２ ｋ ， 代 ＝ （ ｋ ｋ ＋１）（ ｋ ＋ ｋ ６ ２）（２ ｋ ＋３） ｋ 因 ａ ａ １ １ ｑ ｑ 此 ｎ ｎ － － ２ １ · · ａ ｂ ｂ １ １ ｐ ｐ ｎ ｎ ｂ － － ２ １ ＝ 是 ｐｑ 等 为 比 一 数 常 列 数 ． ，
入 得 （ ＋１）［（ ＋１）＋１］［２（ ＋１）＋１］ ，｛ ｎ· ｎ｝
① ＝ ， ａ ａ ａ ａ ．
ｘ２ ｋ ＋２ ｙ２ ｋ ＋２ ｘ２ ｘｋ ｙｋ ｘｋ ｙｋ ｘ２ｙ２ ｋ ６ （２） ｍ· ｎ＝ ｐ· ｑ
－ ＝ （ ＋ ）（ － ）＋ 即当ｎ ｋ 时 等式成立． １４．解析 由数阵可以发现第 行最右
ｙ２ｙ２ ｋ ＝ ＋１ ， ２０
－ ｘ２ ｘ２ ｋ ｙ２ ｋ ｙ２ ｋ ｘ２ ｙ２ 由 （１）（２） 知对于ｎ ∈ Ｎ ＋ 等式成立． 边的数是ａ ｎ＝２０ ２ ＝４００，
＝ （ － ）＋ （ － ）， 复习题一 第 行的数成等差数列 ｄ ｎ
ｘ２ ｋ ｙ２ ｋ能被 ｘ ｙ 整除 ｘ２ ｙ２ 能被 ｘ ｙ ２０ ， ＝１， ＝２０
－ ＋ ， － ＋ Ａ组 ．
整除 故ｘ２ ｘ２ ｋ ｙ２ ｋ ｙ２ ｋ ｘ２ ｙ２ 能被ｘ ×２－１＝３９
， （ － ）＋ （ － ） 由 ａ 解得ａ
ｙ整除． １．解析 ａ ａ １ ａ １ ａ ４００＝ １＋（３９－１）×１， １＝３６２，
＋ １ ＝１， ２ ＝－ ， ３ ＝ ， ４ ＝ ｎ ｎ ｄ
所以当ｎ ｋ 时 命题成立． ２ ５ Ｓ ｎａ （ －１） ．
＝ ＋１ ， ３９＝ １＋ ＝１４８５９
综上 对于ｎ Ｎ 原命题成立． １ ａ １ ． ２
习题１ ， －５ ∈ ＋， ２． － ． ８ ， ３． ５＝ ． ９ １５．解析 （１） Ｓ ｎ＝ ｎ （ ｎ ＋１） ＋１－ １ ｎ；
Ｃ Ｂ ２ ２
(
１．证明 当ｎ 时 左边 １ 右边 ４． 提示 由 ａ １ ａ ａ 得 ｄ ５０ ｎ ５ ｎ．
（１） ＝１ ， ＝ ２ ， Ｃ ： １＝ ３ ， ２＋ ５ ＝４ ＝ （２） ８１ （１０ －１）－ ９
∗１６．证明 当ｎ 时 左边 右边
１ １ 左边 右边 等式成立． ２ 再由 ａ ｎ ２ 得 ｎ （１） ＝１ ， ＝１，
＝１－
２
＝
２
， ＝ ，
３
， １＋（ －１）·
３
＝３３，
＝１，
左边
＝
右边
，
等式成立．
假设当ｎ ｋ时等式成立 即 ) 假设当ｎ ｋ ｋ 时等式成立
（２） ＝ ， ． （２） ＝ （ ≥１） ，
１ ＋ １ ＋…＋ １ ｋ ＝１－ １ ｋ（ ｎ是正整数 ） ． ５． ＝ ． ５０ ６． ． 即 １ ３ ＋２ ３ ＋３ ３ ＋…＋ ｋ３ ＝ ｋ２ （ ｋ ＋１） ２ ＝（１＋
２ ４ ２ ２ Ｂ Ｃ ４
３
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等２＋３＋ ＋ｋ ２． 即当ｎ ｋ 时 命题成立． ． １０
… ） ＝ ＋１ ， Ｓ′ ２０００（１－１０５ ）
当ｎ ｋ 时 ３ ２ ３ ｋ３ ｋ ３ 由 知对ｎ ｎ Ｎ 命题 １２ １０＝１２× ．
＝ ＋１ ，１ ＋２ ＋３ ＋…＋ ＋（ ＋１） （１）（２） ≥４（ ∈ ＋）， １－１０５
ｋ２ ｋ ２ 成立． ． Ｓ ．
（ ＋１） ｋ ３ ≈３０１８６９４２＜１２ １０
＝
４
＋（ ＋１） ∗１９．证明
（１）
设ｆ
（
ｎ
）＝（
ｎ
－２）π，
当ｎ
＝
所以在甲公司获得的报酬比较多．
＝ ｋ２ （ ｋ ＋１） ２ ＋４（ ｋ ＋１） ３ ３ 时 ， 三角形的内角和为 π， 而 （３－ ∗８．证明 （１） 当ｎ ＝１ 时 ，１＜２ １＝２ ．不等
４ ２）π＝π， 即命题成立． 式成立．
＝
ｋ４ ＋６ ｋ３ ＋１３ ｋ２ ＋１２ ｋ ＋４
（２）
假设ｎ
＝
ｋ
（
ｋ
≥３，
ｎ
∈
Ｎ
＋）
时
，
命
（２）
假设当ｎ
＝
ｋ时
４ 题成立 即ｆ ｋ ｋ ．
（ ｋ ＋１） ２ （ ｋ ＋２） ２ 当ｎ ｋ ， 时 （ 即 ）＝ 多 （ 一 － 个 ２） 顶 π 点时 凸ｎ １＋ １ ＋ １ ＋…＋ １ ｋ ＜２ ｋ ，
＝ ＝ ＋１ ， ， ２ ３
４ 边形的内角和多了 ． 则当ｎ ｋ 时
ｋ ｋ ２． π ＝ ＋１
＝［１＋２＋３＋…＋ ＋（ ＋１）］ ｆ ｋ ｆ ｋ ｋ ｋ
即当ｎ ｋ 时 等式成立． （ ＋１）＝ （ ）＋π＝（ －２）π＋π＝（ － １ １ １ １ ｋ
由 ＝ ＋ 知 １ 对于 ， ｎ Ｎ 等式成立． １）π＝［（ ｋ ＋１）－２］π ． １＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ ｋ ＋ ｋ ＋１ ＜２
（１）（２） ∈ ＋ 即当ｎ ｋ 时 命题成立．
∗１７．证明 当ｎ 时 左边 １ ＝ ＋１ ， １ ．
×（２－ １）
（
＝
１）
－１，
右 ＝ 边 １
＝（
，
－１）
１
×
＝
１
（
＝
－
－
１
１
） ． 由
题成
（１
立
）（
．
２） 知对于ｎ ≥３（ ｎ ∈ Ｎ ＋）， 命 ＋ ｋ ＋１
左边 假 ＝ 右 设 边 当 ， 等 ｎ 式 ｋ 成立 ｋ ． 时 等式 Ｂ组 又 ２ ｋ ＋ ｋ １ －２ ｋ ＋１
（２） ＝ （ ≥１） ， １． ． ２． ． ３． ． ＋１
成立 Ｂ Ｃ Ｂ ｋ ｋ ｋ
， ４．解析 １２只． 提示 每一对雌雄老 ２ （ ＋１）＋１－２（ ＋１）
即 ｋ ｋ ２×７ （ ： ＝ ｋ
－１＋３－５＋…＋（－１） （２ －１）＝ 鼠生子一次就变成 对 ＋１
ｋｋ． ７ ） ( )
（－１） ５．解析 设该过程第 ｎ 个正方形的 ２
当 －１＋ ｎ ３ ＝ － ｋ ５ ＋ ＋ １ … 时 ＋（ ， －１） ｋ （２ ｋ －１）＋（－１） ｋ ＋１ · 边长为 （ ａ ， １ 面 ） 积ａ ｎ＝ ａ２ ， ＜ ２ ｋ ＋ ２ ｋ １ －２ ｋ －１
＋１
ｋ 则第ｎ 个正方形的边长为 ２ａ 面积 ( )
＝ （２ （－ ＋ １ １ ） ） ｋｋ ＋（－１） ｋ ＋１ （２ ｋ ＋１） ＋１ ２ ， ２ ｋ ＋ １ －２ ｋ －１
＝（－１） ｋ ｋ ＋ ＋ １ １ （２ ｋ ｋ ＋１－ ． ｋ ） ａ ｎ ＋１＝ ２ １ ａ２ ， ＝ ２ ｋ ＋１ ＝０，
＝ 即 （ 当 －１ ｎ ） ＝ ｋ ＋ （ １ ＋ 时 １） 等式成立． 而 ａ ａ ｎ ＋１ ＝ １ ， 即 ２ ｋ ＋ ｋ １ ＜２ ｋ ＋１ ．
由 知对于ｎ Ｎ 等式成立． ｎ ２ ＋１
（１）（２） ∈ ＋，
∗１８．证明 证法
１：
凸ｎ边形的每个顶点 此数列是首项为
１，
公比为 １ 的等比
１＋
１
＋…＋
１
ｋ ＋ ｋ
１
＜２
ｋ
＋１
．
与不和它相邻的ｎ 个顶点的连线 ２ ２ ＋１
－３ 数列 所以当ｎ ｋ 时结论成立．
都是对角线 因此由每个顶点出发 ； ＝ ＋１
， 当ｎ 时 ａ ． 由 知不等式成立．
有ｎ 条对角线 这样数遍每个顶 （２） ＝１ ， １＝１ （１）（２）
－３ ， [ ( ) ] Ｃ组
１０
点 得到ｎ ｎ 条对角线 但是这 １
， （ －３） ， １ １－ １．解析 当 ａ 时 ａ ｎ ｂ
样计算每条对角线被数了 次 所 Ｓ ２ １ （１） １ ＝１ ， ｎ ＝２ －１， ｎ
ｎ ｎ ２ ， １０＝ １ ＝２－ ２ ９； ＝２ ｎ －１ ，
以最后对角线条数为 （ －３） 即 １－
ｎ ｎ ２ ， [ ２ ( １ )ｎ ] 当 ａ １ ＝ ９ 时 ， ａ ｎ ＝ ９ ２ ｎ ＋ ７ ９ ９ ， ｂ ｎ ＝ ９×
ｆ （ ｎ ）＝ （ ２ －３）． （３） Ｓ ｎ＝ １ １－ ２ ＝２－ ｎ １ －１， 当 ｎ ( ２ )ｎ －１ ．
证法 数学归纳法 １ ２ ９
当 ２（ ｎ 时 四边 ）： 形对角线条数
１－
２ （２） 当ｄ ＞１ 时 ， ａ ｎ＝２ ｎ －１，
而 为 （１） ２ ｆ （ ． ４）＝ ＝ ４ ４ ×（４ ２ － ， ３） ＝２ ．命题成立． ６ ７ ． ．解 ａ 趋 方 ｎ 析 ＝ 近 形 － 于 的 ２ ｎ 由 无 面 ＋ 题 １ 积 穷 ； 意 ｂ 和 时 ｎ＝ 得 “ ， 最 ２ Ｓ ｎ ｎ 甲 （ 终 趋 答 公 ” 近 案 会 司 于 不 达 各 唯 到 ２ 年 ， 一 故 ２ 的 ． ） 全 月 部 工资 正 ｃ Ｔ ｎ ｎ ＝ ＝ ａ ｂ ２ ｎ ｎ １－ ＝ ｎ （ ２ － ２ ｎ ｎ ２ － － ｎ １ １ ＋ ， ３×２ ｎ －３） ．
假设ｎ ｋ ｋ ｎ Ｎ 时 命 ： ２．解析 当ｎ 时
（２） ＝ （ ≥４
ｋ
，
ｋ
∈ ＋） ， 成以
１５００
为首项
，
以
２３０
为公差的等
ａ
（１） ≥１ ，
题也成立 ， 即ｆ （ ｋ ）＝ （ －３）． 差数列 ， ａ ｎ ＋１＝ ［（ ｎ ＋１） ２ －（ ｎ ＋１）＋２－ ｎ２ ＋ ｎ －２］
２ ａ ａ ｎ ｄ ｎ ２
多 ｆ 当 ＝ （ ｋ ｋ 边 ｎ （ ＋ ｋ ＝ １ 形 － ） ｋ ３ 的 ＋ ＝ ） １ ｆ 对 ＋ （ 时 ｋ ｋ 角 － ） ， １ ＋ 即 线 ｋ 增 － 增 １ 加 加 一 ｋ － 个 １ 顶 条 点 ． 时 ， 凸 而 Ｓ １２ １ ｎ ０ ＝ ａ １ ＝ １ ０ ０ ｎ １ ＝ ａ 年 ＋ １ １ （ ＋ ２ 的 ｎ Ｓ － （ １ 总 ０ １ ｎ ， ２ ） － 工 １ ＝ ） 资 ｄ １ ＝ 为 ５０ １ ０ １ ５ ＋ ２ ０ （ ａ ０ １ × － ＋ １ １ １ ０ ） ２ ＋ ２ ａ ４ ３ ２ ５ ０ ＋ × ， … ２３ ＋ ０ 当 所 ＝ ｎ 以 ｎ ａ． ＝ ａ [ １ ｎ＝ 时 { ， （ ａ ａ ， ｎ １ ｎ － ＝ ＝ １ １ ） １ × ａ ， ａ ， ( ｎ 不 ≥ 满 ２ ) ． 足 ｎ －１ 此 ] 式 ， [
＝
ｋ２
－
２
２
ｋ
－２
１ 乙
＝
２
２
Ｓ
公
５
１０ 司
３
＝
５
３ 各
０
０
．
４ 年 ２ 的 ００ 月
．
工资成以 为首
ｂ
(
ｎ＝
２
ａ
)ｎ
１＋
]
．
３
２ ＋…＋
３
２ ＝３ ａ １－
＝ （ ｋ ＋１）（ ｋ －２） 项 以 ． 为公比的等比数列 ２ ０００ 甲超 ３ 市第 ｎ 年销售额的表达式
（ ｋ ＋１） ２ ［（ ｋ ＋１）－３］． ｂ ｎ＝ 、 ｂ １ ｑ １ ｎ － ０ １ ５ ＝２０００×１ ． ０５ ｎ －１ ， ， 为 {ａ ， ｎ ＝１，
＝ 同样的 年的总工资为 Ｓ′ ： ａ ｎ ｎ ．
２ １０ １２ １０， （ －１）， ≥２
４
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乙超市第ｎ年销售额的表达式为 估计当ｔ 时 瞬时速度为
： １．２ 瞬时变化率 ０＝０ ， ０；
[ ( )ｎ ] ｓ
ａ ２ ． ｔ 时 取 ｔ ． Δ
３ １－ 练习 （２） ０ ＝ ２ ， Δ ＝ ０ ００１， ｔ ＝ ４＋
３ Δ
１．解析 将时间间隔每次缩短为上次的 ． 估计当ｔ 时 瞬时速度为
当ｎ 时 ａ ａ ｂ ５ ａ 有 ａ ０００１， ０＝２ ， ４；
（３） ＝２ ， ２＝ ， ２＝
３
， ２＞
１ 计算出相应的平均速度 得到下表 ｔ 时 取 ｔ ． Δ
ｓ
， ， （３） ０ ＝ ４ ， Δ ＝ ０ ００１， ｔ ＝ ８＋
１ ｂ ｂ １ ａ １０ Δ
２
２， ２＞
２
２；
（
ｇ
＝９
．
８ ｍ／ｓ
２
）
．
０
．
００１，
估计当ｔ
０＝４
时
，
瞬时速度为
８
．
ｈ ｙ
当ｎ
＝３
时
，
ａ
３ ＝２
ａ
，
ｂ
３ ＝
１
９
９ａ
，
有 ａ
３＞
ｔ
０
／
ｓ
ｔ
１
／
ｓ Δ
ｔ／
ｓ Δ
ｈ／
ｍ
Δ
Δ ｔ
／
（ｍ／ｓ）
４．解析 函数ｙ
＝２
ｘ２ 的平均变化率为Δ
Δ ｘ
１ ｂ ｂ １ ａ ２ ２ ． １ ０ ． １ ２ ． ００９ ２０ ． ０９ ２（ ｘ ０＋Δ ｘ ） ２ －２ ｘ２ ０ ｘ ｘ．
３， ３＞ ３； ２ ２ ． ０１ ０ ． ０１ ０ ． １９６４９ １９ ． ６４９ ＝ ｘ ＝４ ０＋２Δ
２ ２ Δ
当ｎ 时 ａ ａ 而ｂ ａ 故乙超市 ２ ２ ． ００１ ０ ． ００１ ０ ． ０１９６０４９ １９ ． ６０４９ ｙ
≥４ ， ｎ≥３ ， ｎ＜３ ， 当ｘ 时 取 ｘ ． Δ
有可能被收购． … … … … … （１） ０＝１ ， Δ ＝０ ００１， ｘ＝４＋
Δ
由表中数值的变化趋势 估计ｔ 时 ． ． 估计ｘ 时的瞬时变化
当ｎ 时 令 １ ａ ｂ 则 １ ｎ ａ ， ＝２ ｓ ０００２＝４００２， ０＝１
≥４ ， ｎ＞ ｎ， （ －１） ＞ 的瞬时速度为 ． ． 率为
２ ２ １９６ ｍ／ｓ ４；
[ ( )ｎ ] ２．解析 自变量ｘ从 变到 ． 时 函数 ｙ
２ －１ ａ １ １ １ ， 当ｘ 时 取 ｘ ． Δ
３－２· ， （２） ０＝－１ ， Δ ＝０００１， ｘ＝－４
３ １ Δ
( )ｎ ． －１ ． ． 估计ｘ 时的瞬时
有ｎ －１＞６－４· ２ －１ ， 即 ｎ ＞７－４· 值的平均变化率为１１ ． ≈－０ ． ９０９； 变 ＋０ 化 ００ 率 ２ 为 ＝－３９９８， ０＝－１
３ ０１ －４；
( )ｎ 自变量ｘ从 变到 ． 时 函数值的平 ｙ
２ －１ ． １ １０１ ， （３） 当ｘ ０＝０ 时 ， 取 Δ ｘ ＝０ ． ００１， Δ ｘ＝０＋
３ １ Δ
( )ｎ ． －１ ． ． 估计ｘ 时的瞬时变化
又当ｎ ≥７ 时 ，０＜４· ２ ３ －１ ＜１， 故当 均变化率为１ ０ ０ ． １ ０１ ≈－０ ． ９９０； 率 ００ 为 ０２ ０ ＝ ． ０００２， ０＝０
自变量ｘ从 变到 ． 时 函数值的
ｎ Ｎ 且ｎ 时 １ １ ００１ ， ５．解析 函数ｙ １ 的平均变化率为
∈ ＋ ≥７ ， ＝ ｘ ＋２
( )ｎ
－１ １
必有ｎ ２ ． ． －１
＞７－４· 平均变化率为１００１ ． ． １ １
３ ． ≈－０９９９ ｙ ｘ ｘ－ ｘ ｘ
即第 年乙超市的年销售额不足甲超 ０００１ Δ ＋Δ －Δ
７ 估计当 ｘ 时 函数值的瞬时变化率 ｘ ＝ ｘ ＝ ｘ ｘ ｘ ｘ
市的一半 乙超市可能被收购．至少出 ＝１ ， Δ Δ Δ （ ＋Δ ）
， 是 ．
现在第 年． －１ －１ ．
７ 习题２－１ ＝ ｘ ｘ ｘ
（ ＋Δ ）
第二章 导数及其应用 Ａ组 ｘ 时 取 ｘ ． Δ ｙ
（１） ＝ －１ ， Δ ＝ ０ ００１， ｘ ＝
１．解析 号运动员 共用时 Δ
（１）１ １ ５００ ｍ
． －１ －１ ．
§1 平均变化率与瞬时变化率 ３ ｍｉｎ３７７９ ｓ； ． ＝ ． ≈－１ ００１，
号运动员 共用时 ． （－１）×（－１＋０００１） ０９９９
２ １５００ｍ ３ｍｉｎ３７８１ｓ； 估计ｘ 时的瞬时变化率为
号运动员 共用时 ． ． ＝－１ －１；
１．１ 平均变化率 ３ １５００ｍ ３ｍｉｎ３７８６ｓ ｙ
可以看出 号运动员全程跑得最快． ｘ 时 取 ｘ ． Δ －１
１ （２） ＝１ ， Δ ＝０００１， ｘ＝ ．
练习 由于 号运动员在最后 用时 Δ １＋０００１
（２） ２ ３００ｍ
１．解析 内平均变化率为 最少 所以 号运动员最后 速度 －１ ． 估计 ｘ 时的瞬时
（１）３０ ｍｉｎ ， ２ ３００ ｍ ＝ ． ≈－０ ９９９， ＝１
． ． 最快 最后 的平均速度最快为 １００１
０９８－０８４ ． ， ３００ ｍ 变化率为
≈０００４６７； －１；
３０ ｍ ３０ ｉｎ 到 ４０ ｍｉｎ 内平均变化率为 ３ ３ ９ ０ ． ６ ０ ９ ≈７ ． ５５８６（ｍ／ｓ） ． （３） ｘ ＝ ２ 时 ， 取 Δ ｘ ＝ ０ ． ００１， Δ ｙ ｘ ＝
． ． ２．解析 设函数改变量为 ｙ 函数 ｙ 关 Δ
１００－０９８ ＝０ ． ００２； Δ ， －１ －１ ． 估计ｘ
４０－３０ ｙ ． ＝ ． ≈－０２５０， ＝
到 内平均变化率为 于ｘ的平均变化率为Δ ｘ ． ２×（２＋０００１） ４００２
８ ０ ０ ． ９ ６ ０ ３ ｍ － － ｉｎ ８ ０ ０ ． ７９ ＝ ９ － ０ ０ ． ０ ｍ １ ｉｎ ６ ． （１）Δ ｙ ＝－２， Δ Δ ｙ ｘ＝－２； Δ Ｂ ２ 组 时的瞬时变化率为 － ４ １ ．
ｃ ｙ
（２） 用平均变化率的绝对值 Δ Δ ｔ 的 （２）Δ ｙ ＝－４， Δ Δ ｘ＝－２； １．解析 （１） ｙ ＝ １０ ｘ ０ （ ｘ ≥１）；
大小刻画药物质量浓度变化的快慢．当 该函数的平均变化率为定值 ． ｘ从 变为 水面高度改变
（３） －２ （２） １ ｃｍ ２ ｃｍ，
Δ ｃ 时 血液中的药物质量浓度在增 该函数在ｘ ＝１， ｘ ＝３ 处的瞬时变化率都 ｙ 平均变化率Δ ｙ
ｔ＞０ ， 是 ． Δ ＝－５０ ｃｍ， ｘ＝－５０；
Δ －２ Δ
ｃ ｓ ｘ从 变为 水面高度改变 ｙ
加 当Δ 时 血液中的药物质量浓度 ３．解析 物体在ｔ 时的平均变化率为Δ ８ｃｍ １０ｃｍ， Δ
； Δ ｔ＜０ ， ０ Δ ｔ ． 平均变化率Δ ｙ ． ．
在减少． ｔ ｔ ２ ｔ２ ＝－２５ ｃｍ， ｘ＝－１２５
［（ ０＋Δ） －１］－（ ０－１） ｔ ｔ． Δ
在
（１）
的
３
段时间中
，８０ ｍｉｎ
到
９０ ｍｉｎ
＝
Δ
ｔ ＝２０＋Δ 由变化率的绝对值可知
，
活塞的位置ｘ
内血液中药物的质量浓度变化最快 血 ｓ 从 变为 时水面高度变化快．
（ ｔ 时 取 ｔ ． Δ ． １ ｃｍ ２ ｃｍ
液中药物质量浓度在快速减少 ． （１） ０＝０ ， Δ ＝０ ００１， ｔ＝０ ００１， 当ｘ 时 取 ｘ ． 则
） Δ （３） ＝１０ ， Δ ＝０００１，
５
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等． ｆ ｘ ｆ
１００ １００ ２ ｍ／ｓ ５．解析 （１＋Δ ）－（１）
ｙ ． － ｘ
Δ ｘ＝ １０＋０ ． ００１ １０ ＝ － ． １００ ＝ Ｖ ４ π（５＋Δ ｒ ） ３ － ４ π×５ ３ [ Δ ] ( )
Δ ０００１ （１０＋０００１）×１０ ２．解析 因为Δ ３ ３ １ ｘ １
ｒ＝ ｒ ｘ＋２（１＋Δ ） － ＋２×１
１００ 估计瞬时变化率为 ． Δ Δ １＋Δ １
－ ． ， －１ ＝ ｘ
２．解 １ 析 ００＋０ 圆 ０１ 的面积Ｓ随半径 ｒ 的平均变 １００πΔ ｒ ＋２０π（Δ ｒ ） ２ ＋ ４ π（Δ ｒ ） ３ ｘ Δ
３ －Δ ｘ
化率为 ＝ ｒ ｘ＋２Δ
Δ １＋Δ
化 的 Δ ２ Δ π Ｓ ｒ 率 面 ｒ ＝ ＋ 积 π π ２ （ π Δ 增 ｒ ｒ ｒ ＋ ， ， 大 Δ 由 随 Δ ｒ 加 ） ｒ Δ Δ 半 ２ 快 Ｓ ｒ － 径 ＝ π ． ２ ｒ 增 π ２ ＝ ｒ 大 ＋ ２ π 而 π Δ ｒ 增 Δ ｒ ｒ 可 ＋ 大 Δ π 知 ｒ ， （ 因 瞬 Δ ｒ 此 时 ） ２ 变 圆 ＝ 所 Ｖ 的 ５ ＝ ′ 时 １ （ 以 瞬 ０ ５ 的 ０ ） 当 时 π ＝ 瞬 变 ＋ Δ １ ２ 时 ０ ｒ 化 ０ → ０ π 变 π 率 ０ Δ 化 的 ｒ 时 计 ＋ 率 意 ， 算 ３ ４ Ｖ ， 义 ′ π 的 即 （ （ 是 ５ 话 如 Δ ） 球 ｒ ＝ 果 ） 半 １ ２ 的 按 ， ０ 径 ０ 体 照 π 每 ． 积 ｒ 增 ＝ 在 加 ５ ｒ 时 ＝ 斜 为 所 ＝ ＝ １ 率 以 ｙ ＋ － － Δ １ 为 当 ３ Δ ｘ ＝ ＋ ｘ Δ ｆ ｘ ２ ′ ｘ （ － ． → １ １ ） ， ０ ＝ 即 时 － ｘ ， １ － 在 ＋ ｙ ２ ＋ ｘ ＝ ２ ＝ １ ＝ １ ， ０ 切 处 ． 线 的切 ｌ的 线 方 ｌ 程 的
， １ Ｂ组
个单位 体积增加 个单位．
§2 导数的概念及其几何意义 ， １００π １．解析 根据导数的几何意义 函数 ｙ
ｆ ｘ ｆ ， ＝
３．解析 （－１＋Δ ）－（－１）
（１） ｘ ｘ２在ｘ 处的导数就是函数的图
２．１ 导数的概念 Δ ４－ ＝１
－２（－１＋Δ ｘ ） ２ －［－２×（－１） ２ ］ 象在 ｘ ＝１ 处的切线的斜率 ； 根据圆的
练习 ＝ ｘ 几何性质 圆上一点的切线与过该点的
Δ ，
１．解析 ｆ′ ．导数ｆ′ 表示当ｘ ｘ． 圆的直径垂直．过圆上的点 的圆
（４）＝３ （４） ＝ ＝４－２Δ （１， ３）
速 ４ 时 度 水 ．也 量 就 的 是 瞬 说 时 水 变 管 化 中 率 的 ， 即 水 水 保 流 持 的 以 瞬 ｘ 时 当 Δ ｘ ｆ → ′ ０ 时 ， 在 的 ｘ ＝ 几 －１ 何 处 意 的 义 导 是 数 函 为 数 ｆ′ （ ｆ － ｘ １） 的直径所在直线为ｙ ＝ ３ ｘ ， 可知切线倾
２． １ 解 ４ ｓ ｓ 析 ， 时 水 刻 管 ｆ 的 ′ 中 （ 瞬 １ 流 ００ 时 过 ）＝ 速 的 － 度 水 ０ ． 流 １ 量 表 为 动 示 的 ３ 河 ｍ 话 ３ 流 ， ． 每 从 经 源头 过 ＝ ＝ 在 （２ ４ ） ， ｘ ｆ ＝ （ － ０ （ ＋ １ － Δ １ 处 Δ ） ｘ ） ＝ 的 ｘ － ４ 切 ｆ （０ 线 ） 斜率． （ ） 斜 数 角 ｙ ＝ 为５ ６ π ４－ ， ｘ 切 ２在 线斜 ｘ ＝ 率 １ 为 处的 － 导 ３ ３ ， 数 也 为 就 － 是 ３ 函 ．
流到 处时 海拔高度瞬时下降 ３
０ １ ． １ ｋｍ ｋ ， １ ｍ 该 ０ ， ０ 河 如 ｋ 流 ｍ 果 的 保 海 持 拔 ， 这 高 一 度下 速 降 度 ， ０ ． 每 １ ｋ 经 ｍ ． 过 当 ＝ － Δ ２ ｘ （ → ０＋ ０ Δ 时 ｘ ） Δ ， ２ ｘ 在 －（ ｘ － ＝ ２× ０ ０ 处 ２ ） 的 ＝ 导 －２ 数 Δ ｘ 为 ． ｆ′ （０） ２．解析 Δ Δ ｙ ｘ＝ ２－（－１ １ ＋ Δ Δ ｘ ｘ ） － ３ １
２．２ 导数的几何意义 ｆ′ 的几何意义是函数ｆ ｘ ｘ
＝０， （０）＝０ （ ） Δ
在ｘ 处的切线斜率． ｘ
练习 ＝０ ３（３－Δ ） １ 所以当 ｘ
ｆ ｘ ｆ ＝ ｘ ＝ ｘ ， Δ →０
ｆ ｘ ｆ （２＋Δ ）－（２） Δ ３（３－Δ ）
１．解析 因为 （２＋Δ ）－（２） （３） ｘ
ｘ Δ 时 在ｘ 处的切线斜率为ｋ １ ．
Δ ｘ ２ ２ ， ＝－１ ＝
（２＋Δ ｘ ） ２ －２ ２ ４Δ ｘ ＋（Δ ｘ ） ２ ｘ ＝ －２（２＋Δ ） ｘ －（－２×２ ） ＝－８－２Δ ｘ． ( ９ )
＝ ｘ ＝ ｘ ＝４＋Δ ， Δ 当ｘ 时ｙ １ 曲线在点 １
Δ Δ 当 ｘ 时 在ｘ 处的导数为ｆ′ ＝－１ ＝ ， －１，
所以当 ｘ 时 ｆ′ 即在ｘ Δ →０ ， ＝２ （２） ３ ３
Δ →０ ， （２）＝ ４， ＝２ ｆ′ 的几何意义是函数
处的切线斜率为 ． ＝－８， （２）＝ －８ 处的切线方程为ｙ １ １ ｘ
４ ｆ ｘ 在ｘ 处的切线斜率． － ＝ ［ －（－１）］，
（ ） ＝２ ３ ９
２．解析 ｆ （２＋Δ ｘ ）－ ｆ （２） ２＋ １ Δ ｘ－ ２ １ ４．解析 （１） ｆ （－１＋Δ ｘ ） ｘ － ｆ （－１） 即ｘ －９ ｙ ＋４＝０ ．
Δ ｘ ＝ Δ ｘ Δ §3 导数的计算
ｘ
所
＝ ２
以
（２ －
当
Δ ＋ Δ ｘ Δ ｘ
ｘ
） ＝ ２（
时
２ － ＋ １ Δ
在
ｘ ）
ｘ
．
处的切线斜 当
＝ －１
ｘ
＋ ５ Δ Δ ｘ ｘ － －
时
５ １ ＝
在
－１（
ｘ
－ － １ ５ ＋Δ ｘ ）
处
．
的导数为
１ 练 ．解 习 析
（１）－
１ ｘ－２ ３
；（２）３
ｘ
ｌｎ３；
Δ →０ ， ＝２ Δ →０ ， ＝－１ ２
ｆ′ ．
率为ｆ′ １ ． （－１）＝－５ ６ ．
（２）＝－ （３） ２ｘ
４ ｆ ｘ ｆ ５ ｘ－ ５ ｃｏｓ ( )
所以在 ｘ 处的切线方程为 ｙ １ （１＋Δ ）－（１） １＋Δ １ ２．解析 ｈ′ ｈ′ ｔ １ ｇｔ２ ′ ｇｔ ｔ．
＝２ － ＝ （２） ｘ ＝ ｘ ＝ （ ）＝ ＝ ＝１０
２ Δ Δ ２
ｈ′ ．
１ ｘ 即ｘ ｙ ． －５ ． （３）＝１０×３＝３０（ｍ／ｓ）
－ （ －２）， ＋４ －４＝０ ＝ ｘ ｈ′ 的实际意义是自由下落的物体下
４ １（１＋Δ ） （３）
习题２－２ 当 ｘ 时 在ｘ 处的导数为ｆ′ 落后 在 ｔ 时刻的瞬时速度为
Δ →０ ， ＝１ （１） ， ＝ ３ ｓ
Ａ组 ． ．
＝－５ ３０ ｍ／ｓ
１．解析 函数ｓ ｔ 在ｔ处的改变量为 ｓ
( )′
（ ） Δ ５ ５ ３．解析 ｆ′ ｘ １００ －１００．所以
ｓ ｆ ｘ ｆ ｘ－ （ ）＝ ｘ ＝ ｘ２
ｔ ｔ ｔ ｔ 那么Δ （５＋Δ ）－（５） ５＋Δ ５
＝［２（ ＋Δ）＋１］－（２ ＋１）＝２Δ， ｔ （３） ｘ ＝ ｘ ｆ′ ｆ ′ ｆ ′
Δ Δ Δ （１）＝ －１００， （２）＝ －２５， （３）＝
当 ｔ 时 函数ｓ ｔ 在ｔ处的导
＝２， Δ→０ ， （ ） －５ ． １００．
数ｓ′ ｔ ． ＝ ｘ －
（ ）＝２ ５（５＋Δ ） ９
ｓ′ ｔ 表示在ｔ处的瞬时速度 即每 当 ｘ 时 在ｘ 处的导数为ｆ′ ４．解析 ｙ′ ｘ ′ ｘ．
（ ）＝ ２ ， Δ →０ ， ＝５ （５） ＝（ｃｏｓ ） ＝－ｓｉｎ
经过 物体走过的路程为 ．那么
１ ｓ， ２ ｍ ， １ ． ｘ π时 ｙ′ π ２．
当ｔ ｔ ｔ 时的瞬时速度均为 ＝－ ＝ ， ＝－ｓｉｎ ＝－
＝１， ＝２， ＝５ ５ ４ ４ ２
６
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习题２－３ 练习（第 页） ｙ′ ｘ ｘ．
６８ （４） ＝２ ｌｎ２＋ｓｉｎ
Ａ组 [ ｘ
１．解析 ｙ′ ｘ ｘ ｘ ｓｉｎ ３．解析 点 在曲线上 由ｙ′ １
１．解析 ｆ′ ｘ ｘ ｆ′ ｆ′ （１） ＝ｃｏｓ ＋ （－ｓｉｎ ）－ ｘ （１，０） ， ＝１＋ｘ２
（ ）＝６ ＋１； （２）＝１３， （－２）
]
ｆ′ ． 得曲线在点 处切线的斜率ｋ
＝－１１， （３）＝１９ ｘ ｘ （１，０） ＝２，
＋（ｌｎ ）ｃｏｓ
切线方程为ｙ ｘ 即 ｘ ｙ
２．解析 ｆ′ （ ｘ ）＝－ｘ １ ２； ｆ′ （１）＝－１， ｆ′ （－１）
ｘ ｘ ｘ
(
ｘ １
)
． ．
－０＝２（ －１）， ２ － －２
＝ｃｏｓ （１－ｌｎ ）－ｓｉｎ ＋ ｘ ＝０
ｆ′ １ ． ４．解析 ｙ′ ｘ２ ｘ ｘ３ ｘ
＝－１， （５）＝－ ｙ′ （１） ＝３ ｃｏｓ － ｓｉｎ ；
２５ （２） ＝ ｘ
３．解 ｆ′ 析 ｆ′ （ ． ｘ ）＝２； ｆ′ （０）＝２， ｆ′ （－１）＝２， ｘ２ ＋ ｘ １ － ｘ （２ ｘ ） （１－ｓｉｎ ｘ ）ｌｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ ｘ ＋ ｘ （２） ｙ′ ＝ｘ ｓｉ ｌ ｎ ｎ３ ＋（ｌｏｇ３ ｘ ）ｃｏｓ ｘ ；
（３）＝２ ２ ｘ
４．解析 ｆ′ （ ｘ ）＝－２； ｇ′ （ ｘ ）＝－２ ． （ ｘ２ ＋１） ２ ＋ （ｌｎ ｘ ） ２ （３） ｙ′ ＝ｔａｎ ｘ ＋ ２ｘ－ ２ ｘ ；
ｘ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｃｏｓ
１－３ ｘ （１－ｓｉｎ ）ｌｎ ｘ －（ｃｏｓ ＋ ） （４） ｙ ＝ ｘ３ －６ ｘ２ ＋１１ ｘ －６， ｙ′ ＝３ ｘ２ －１２ ｘ
２
＝ ｘ２ ２ ＋ ｘ ２ ＋１１；
（ ＋１） （ｌｎ ） ｘ
＝ ２ ｘ １ （ － ｘ ３ ２ ｘ ＋ ２ １） ２ ＋ ｘ （１－ｓｉｎ ｘ ｘ ） （ ｌ ｌ ｎ ｎ ｘ ｘ － ） （ ２ ｃｏｓ ｘ ＋ ｘ ）． （５） ｙ ＝ ｘ － １ ｘ， ｙ′ ＝ ２ １ ｘ＋ ２ １ ｘ３ ＝ ２ ＋ ｘ １ ３
ｘ ｘ
ｘ２ （ ＋１）
５．解析 设切点为 ｘ ｙ 则过该点切 ２ ｘ －（２ｌｎ ｘ ＋１）２ ｘ ＝ ｘ２ ；
（ ０， ０）， ２．解析 因为 ｙ′ ２
线斜率为ｆ′ （ ｘ ０）＝２ ｘ ０， ＝ （ ｘ２ ） ２ ＝ ｙ′ ２ ｘ （ ｘ ＋１）－ ｘ２ ｘ２ ＋２ ｘ
所以 ｘ 于是ｘ ｙ ｘ２ ． ｘ （６） ＝ ｘ ２ ＝ ｘ ２；
２ ０＝２， ０＝１， ０＝ ０＝１ －４ｌｎ 又点 在曲线上 所以过点 （ ＋１） （ ＋１）
所以切点为
（１，１），
斜率 ｋ
＝２，
切线方 ｘ３ ， （１，１） ，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ １
程为ｙ ｘ （ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ）ｌｎ －（ ｓｉｎ ） ｘ
－１＝２（ －１）， 的切线斜率 ｋ －４ｌｎ１ 切线 ｙ′
即 ｘ ｙ ． （１，１） ＝ ＝０， （７） ＝ ｘ ２
２ － －１＝０ １ （ｌｎ ）
Ｂ组 方程为ｙ ． ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
－１＝０ ｓｉｎ （ｌｎ －１）＋ ｃｏｓ ｌｎ
１．解析 根据二项式定理 有 习题２－４ ＝ ｘ ２ ；
， （ｌｎ ）
Δ ｙ ＝（ ｘ ＋Δ ｘ ） ５ － ｘ５ Ａ组 ｙ′ （ｅ ｘ ｃｏｓ ｘ －ｅ ｘ ｓｉｎ ｘ ） ｘ －ｅ ｘ ｃｏｓ ｘ
＝ ３ Ｃ ｘ ０ ５ ２ ｘ５ （ ｘ Δ ｘ ３ ） ０ ＋ ４ Ｃ ｘ １ ５ ｘ４ （ ｘ Δ ４ ｘ ） １ ５ ＋ ｘ Ｃ ０ ２ ５ ｘ３ ｘ （Δ ５ ｘ ｘ ） ５ ２ ＋ １．解析 （１） 设 Ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）＋ ｇ （ ｘ ）， 则 （８ ｘ ） ｘ ＝ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ２
Ｃ ＝ ５ ５ ｘ （ ４ Δ Δ ｘ ） ＋ ＋ １ Ｃ ０ ｘ ５ ３ （ （ Δ Δ ｘ ） ） ２ ＋Ｃ ＋ ５ １０ （ ｘ Δ ２ （ ） Δ ｘ － ） ３ ＋ Ｆ 所 ′ （ 以 ｘ ） Ｆ ＝ ′ ｆ′ （ ｘ ） ｆ ＋ ′ ｇ′ （ ｘ ） ｇ ， ′ ． ＝ ｅ（ ｃｏｓ － ｘ ｓ ２ ｉｎ －ｃｏｓ ）．
５
ｘ
（Δ
ｘ
）
４
＋（Δ
ｘ
）
５
， 设Ｆ
（１
ｘ
）＝
ｆ
（１
ｘ
）＋
ｇ
（
ｘ
１）＝
则
２＋
Ｆ
１
′
＝３
ｘ
５．解析
（１）
ｙ′
＝ｃｏｓ
２ｘ
－ｓｉｎ
２ｘ
，
当ｘ
＝０
时
，
ｙ （２） （ ）＝ （ ）－ （ ）， （ ）＝
ｙ′ ＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ Δ Δ ｘ＝ Δ ｌｉｘ → ｍ ０ ［５ ｘ４ ＋１０ ｘ３ Δ ｘ ＋１０ ｘ２ · ｆ 所 ′ （ 以 ｘ ） Ｆ － ′ ｇ′ （ ｘ ）， ｆ′ ｇ′ ． ｙ′ ＝１； 当ｘ ＝ π ４ 时 ， ｙ′ ＝０ ．
ｘ ２ ｘ ｘ ３ ｘ ４ ｘ４． （１）＝ （１）－ （１）＝２－１＝１
２．解 （Δ 析 ） ＋ ３ ５ ｘ ｌｎ （Δ ３ ． ） ＋（Δ ） ］＝５ （３） 设 Ｆ （ ｘ ）＝ －２ ｆ （ ｘ ）， 则 Ｆ′ （ ｘ ）＝ （２） ｆ （ ｘ ）＝－１＋ ２ ｘ，
ｆ′ ｘ １－
－２ （ ）， ( )
§4 导数的四则运算法则 所以Ｆ′ ｆ′ ． １
４．１ 导数的加法与减法法则 （ ３ ｇ ４ ′ ） （ ｘ 设 ）， （ Ｆ 所 １ （ ） 以 ＝ ｘ ） － Ｆ ＝ ２ ′ （１ ３ （ ） ｇ １ ＝ （ ） ３ ｘ ＝ ｇ ） － ′ ， （ ２ 则 １ × ） ２ ＝ ＝ Ｆ ３ － ′ × （ ４ １ ｘ ＝ ） ３ ＝ ． ｆ′ （ ｘ ）＝ －２ （１－ － ２ ｘ ） ｘ ２ ＝ ｘ （１－ １ ｘ ） ２ ，
练习 设Ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 则 Ｆ′ ｘ
（５） （ ）＝ （ ） （ ）， （ ）＝ ｆ′ １ ３ ２＋４
１．解析 （１） ｙ′ ＝２ ｘ ＋２； ｆ′ （ ｘ ） ｇ （ ｘ ）＋ ｆ （ ｘ ） ｇ′ （ ｘ ）， （２）＝ ２（１－ ２） ２ ＝ ２ ，
ｙ′ ｘ ｘ２ 所以Ｆ′ ｆ′ ｇ ｆ ｇ′
（２） ＝３ ｌｎ３－３ ； （１）＝ （１） （１）＋ （１） （１）＝ ｆ′ １ １ ．
． （４）＝ ＝
ｙ′ １ １ ２×（－２）＋１×１＝－３ ４（１－ ４） ２ ２
（３） ＝
３
３ｘ２ ＋ ｘ ；
设 Ｆ ｘ
ｆ
（
ｘ
） 则 Ｆ′ ｘ （３）
ｆ′
（
ｘ
）＝ｌｎ
ｘ
＋１＋６
ｘ
，
ｆ′
（１）＝７，
（６） （ ） ＝ ｇ ｘ ， （ ）
ｙ′ ｘ １ １ ． （ ） ｆ′ （２）＝ｌｎ２＋１３ ．
（４） ＝ｅ ＋ｘ２ ＋ ５ｘ４ ｆ′ （ ｘ ） ｇ （ ｘ ）－ ｆ （ ｘ ） ｇ′ （ ｘ ） Ｂ组
４．２ 导数的
５
乘法与除法法则
＝ ｇ２
（
ｘ
ｆ ） ′ ｇ
，
ｆ ｇ′ １．解析 （１） ｖ ＝ ｈ′ （ ｔ ）＝ １０－１０ ｔ ；（２） ｖ ＝
所以Ｆ′ （１） （１）－（１） （１） ｈ′ ．
练习（第 页） （１）＝ ｇ２ ＝ （２）＝１０－１０×２＝－１０（ｍ／ｓ）
６７ （１） ２．解析 ｙ ｘ 或ｙ ｘ．
１．解析 ｙ′ ｘ２ ｘ ｘ３ ｘ ＝４ －４ ＝４
（１） ＝３ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ； －４－１ ５ ． ３．解析 ｙ ｘ ．
ｙ′ １ ｘ ｘ ４ ＝－ ４ §5 简 ＝ 单 ２ 复 ＋２ 合函数的求导法则
（２） ＝ ｘｌｎ ＋ ｘ ；
２．解析 ｙ′ ｘ ２
２ （１） ＝２ －ｘ３； 练习
ｙ′ －２
（３） ＝ （ ｘ ｘ －１） ｘ ２； ｘ２ ｘ （２） ｙ′ ＝ ｃｏ １ ｓ ２ｘ＋ １ ｘ ； １．解析 （１） ｙ ＝ｕ １ ２， ｕ ＝２ ｘ －１， ｙ′ ＝（ ｕ－２ ） ′
ｙ′ ２ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ．
２．解
（４
析
） ＝
略
ｃｏｓ
２ｘ
（３）
ｙ′
＝－ｘ
１
２ －
２
１
ｘ＝－
２＋
２
ｘ
ｘ２
ｘ
； ＝－２
ｕ－３
×２＝
（２
ｘ
－
－
４
１）
３；
７
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等ｙ ｕ ｕ ｘ ｙ′ ｕ ( ) 着自变量的增大而增大 在区间
（２） ＝ｓｉｎ ， ＝－ ＋１， ＝ｃｏｓ ×（－１） 为 ５ ； （－∞，
ｘ ，－∞ ； 函数值随着自变量的增大而减小．
＝－ｃｏｓ（－ ＋１）； ４ ０），
ｙ ｕ ｕ ｘ ｙ′ ｕ 函数的单调递增区间为 单 图象略．
（３） ＝ｅ ， ＝－２ ＋１， ＝ｅ （－２）＝ （２） （－１，１），
－２ｅ －２ ｘ ＋１ ； 调递减区间为 （－∞，－１） 和 （１，＋∞） ． （２） 在区间 （－２，＋∞） 内 ， 函数值随着自
（４） ｙ ＝ｃｏｓ ｕ ， ｕ ＝ ｘ ＋３， ｙ′ ＝－ｓｉｎ ｕ ＝－ｓｉｎ（ ｘ ２．解析 函数ｙ ＝２ ｘ －ｓｉｎ ｘ在区间 （０，２π） 变量的增大而增大．图象略．
． 内单调递增． ５．解析 当ｘ 时 函数取得最大值
＋３） （１） ＝２ ，
习题２－５
６．２ 函数的极值 当ｘ １ 时 函数取得最小值 １
５； ＝ ， ；
１．解析 ｙ ｕ１０ ｕ ｘ ｙ′ ｘ ２ ２
（１） ＝ ， ＝ ＋１， ＝１０（ ＋ 练习 当ｘ 时 函数取得最大值
（ １） ２） ９ ； ｙ ｙ ＝ｅ ｕ ， ｕ ｕ ＝ ｕ ３ ｘ ＋１， ｘ ｙ′ ＝３ ｙ ｅ ′ ３ ｘ ＋１ ； ｘ １． 小 解 值 析 为 （ － １ ２ ） ； 函 极 数 大 极 值 小 点 值 为 点 ｘ 为 ＝１ ｘ ， ＝ 极 － 大 １， 值 极 Ｂ 当 （ 组 ２） ｘ ＝２ 时 ＝－ ， 函 ２ 数 ， 取得最小值 －７２ ． １０４；
（３） ＝ｓｉｎ ， ＝－２ ＋５， ＝－２ｃｏｓ（－２ 为 ２ ． ａ ａ ａ ａ
＋５）； （２） 函数的极小值点为ｘ ＝０， 极小值为 １．解析 当ｘ ＝ １＋ ２＋ ３＋ ４时 ， 函数取得
（４） ｙ ＝ｌｎ ｕ ， ｕ ＝３ ｘ －１， ｙ′ ＝ ｘ ３ ； －６ ． 最小值． ４
３ －１
６．３ 函数的最值
ｙ ３ｕ ｕ ｘ ｙ′ ２ §7 导数的应用
（５） ＝ ， ＝２ －１， ＝ ３ ｘ ２ ； 练习
３ （２ －１）
１．解析 函数的最大值为 最小值为
ｙ ｕ ｕ ｘ ｙ′ －１ ． ２４０， ７．１ 实际问题中导数的意义
（６） ＝ｔａｎ ， ＝－ ＋１， ＝ ２ ｘ ．
ｃｏｓ（－ ＋１） －１０
练习
２．解析 ｙ′ － ｘ ＋２ ｘ ５ － ｘ ＋２ 习题２－６
ｘ
（
４
１） ＝－ｅ
ｘ
×（２
ｘ
＋１）
４
＋
－
ｅ
ｘ ＋２
×５×
Ａ组
１．解析
（１）
速度关于时间的平均变化
（２ ＋１） ×２＝（９－２ ）（２ ＋１） ｅ ； １．解析 单调递减区间为 ． 率分别为 ９ ｍ／ｓ ２ 和 ２ ｍ／ｓ ２ ， 它们分别
（２） ｙ′ ＝－３ｓｉｎ（３ ｘ －１）－ －２ － ｘ ２ －１ （ ( ２） 单 （ 调 １） 递 ) 增区间为 （－ （ ∞ －∞ ， ， － ＋∞ １ ( ） ） 和 表 速 示 度 在 增 相 加 应的时间 和 内 ， 时间 也 每 就 经 是 过 加 １ 速 ｓ，
９ ｍ／ｓ ２ ｍ／ｓ，
＝－３ｓｉｎ（３ ｘ －１）－ ２ ｘ ２ ＋１ ； １ ３ ，＋∞ ， 单调递减区间为 －１， 度分别为 ９ ｍ／ｓ ２ 和 ２ ｍ／ｓ ２．
ｘ ｘ ｘ ) ｖ′ ２ 它的意义是在 ｔ
（３）２ｃｏｓ２ －２ｃｏｓ ｓｉｎ ； １ ． （２） （１）＝ ８ ｍ／ｓ ， ＝
这一时刻 每过 汽车的速度增加
（４） ｙ′ ＝ （ ２ ｘ －１） ′ ｘ ｘ ２ － ２ ｘ －１×１ ３ 单调递增区间为 ( １ ) 单调 ８ １ ｍ ｓ ／ｓ， 也就是 ， 这一 １ 时 ｓ， 刻汽车的加速度
（２
ｘ
－１）
－２ １ｘ
－（２
ｘ
－１）
１ ２
．
（３）
２
(
，＋∞
)
， 为
８ ｍ／ｓ
２．
＝ ｘ２ 递减区间为 和 １ ． ７．２ 实际问题中的最值问题
（－∞，０） ０，
２
３．解析 ｙ′ ３ 点 在曲线上 切 ( ) 练习
＝ ｘ ， （１，０） ， 单调递增区间为 １ 单调
３ －２ （４） ，＋∞ ， １．解析 设易拉罐的底面半径为ｘ 所
ｅ ｃｍ，
线斜率ｋ ３ ( ) 用的材料面积为ｙ ２ 则
＝ ＝３， 递减区间为 １ ． ｃｍ ，
３×１－２ ０，
所以切线方程为
３ (
ｘ
－
ｙ
－３＝０ )
．
２．解析 函数的单
ｅ
调递增区间为 （－∞，
ｙ
＝２π
ｘ２
＋２π
ｘ５
π
０
ｘ
０
２ ＝２π
ｘ２
＋
１０
ｘ
００
，
ｘ
＞０
．
４．解析 ｘ′ ｔ π ． 当 ｔ 和 单调递减区间为 求这个函数的最小值 得
＝６０ｃｏｓ ３ － （１） ＝ －１） （１，＋∞）， （－１， ，
２ 和 ．
０） （０，１） ３
时 ｘ′ 当ｔ π 时 ( 当ｘ ５００ ． 时 函数取得
０ ｓ ， ＝０（ｃｍ／ｓ）；（２） ＝ ｓ ， ３．解析 单调递减区间为 ＝ ≈４ ３０（ｃｍ） ，
６ （１） －∞， ２π
最小值 即其表面积最小．
ｘ′ 当 ｔ π 时 ｘ′ ) ( ) ，
＝６０（ｃｍ／ｓ）；（３） ＝ ｓ ， ＝ １ 单调递增区间为 １ 最 注 实际上 在本题中 容积 不
１２ ， ，＋∞ ， ： ， ， ５００ ｍＬ
１２ １２ 是一个关键量 对于设计来说 关键在
． ， ，
３０ ２（ｃｍ／ｓ）
５．解析 ｘ′ －２ ｔ． 小值点为ｘ ＝ １ ， 最小值为 － ４９． 于易拉罐的形状 ， 也就是底面直径与高
＝－３２ｅ １２ ２４ 的比．
( )
（１）
当ｔ
＝１
时
，
ｘ′
＝－
３２
２； （２）
单调递增区间为
－∞，－
１
，
单 习题２－７
ｅ ２
( ) Ａ组
（２）
ｙ
＝
９
（
ｘ
＋３２）＝
９
（１６ｅ
－２ ｔ
＋３６），
ｙ′
＝
调递减区间为
－
１
，＋∞ ，
最大值点
１．解析 平均变化率约为 ． 它
５ ５ ２ （１） ０４４９ ８，
表示在铁块的温度从 增加到
－２８８ －２ ｔ． 为ｘ １ 最大值为 ９ ． １０ ℃
ｅ ＝－ ， 的这个过程中 平均每增加
５ ２ ４ ２０ ℃ ， １ ℃，
§6 用导数研究函数的性质 单调递增区间为 和 约需吸收热量 ． ．
（３） （－∞，０） （２， ０４４９８ Ｊ
单调递减区间为 极大值 Ｑ′ ． 它表示在铁块的
＋∞）， （０，２）， （２） （１０）≈０４４６ ８，
６．１ 函数的单调性 点为ｘ 极大值为 极小值点为ｘ 温度为 的这一时刻 每增加
＝０， ０， ＝ １０ ℃ ， １ ℃，
练习 极小值为 不存在最值． 约需吸收热量 ． ．
２， －４， ０４４６８ Ｊ
１．解析 函数的单调递减区间为 单调递增区间为 不存 Ｑ′ ． 它表示在铁块的温
（１） （４） （－∞，＋∞）， （１００）＝０ ５００ ３，
( ) 在极值和最值． 度为 的这一时刻 每增加
５ 单 调 递 增 区 间 １００ ℃ ， １ ℃，
－∞， ， ４．解析 在区间 函数值随 需要吸收热量 ． ．
４ （１） （０，＋∞）， ０５００３ Ｊ
８
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ａｘ ｂ ( ｂ ] [ ｂ )
２．解析 Ｖ １ ｈ３ 分式函数ｙ ＋ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 的图 和 上为减
（１） ＝ π ； ＝ｃｘ ｄ（ ， ， ， ∈ ） ０， ａ － ａ ，０
９ ＋
图象大致可以反映该函数关系 因 象与性质． 函数
为 （２ 随 ） 着ｈ的增加Ｖ在增加 而且它的 ， 增 { ｄ } 渐 ； 近线 以 ｙ 轴和直线 ｙ ａｘ 为渐
， 定义域 ｘ ｘ （５） ： ＝
长速度越来越快 图象与实际情况是一 （１） ： ≠－ ｃ ； 近线
致的 ， 也可以通过 ， 求导数进行检验． （２） 值域 ： { ｙ ｙ ≠ ａ ｃ } ； （６） 图 ； 象 ：
３．解析 （１） ｙ ＝ ｘ ＋ １０ ｘ ２４ ， ｘ ＞０； ( ｄ ) ( ｄ
单调区间为 和
当 ｘ 时 ｙ随着ｘ的增大而减
（３） －∞，－ ｃ － ｃ ，
（２） ０＜ ＜３２ ， )
小 当 ｘ 时 ｙ 随着 ｘ 的增大而
， ＞３２ ， ＋∞ ；
增大
； ｄ ａ
堆粒场的长 宽 时 需要砌 渐近线为直线ｘ ｙ 对称
（３） ∶ ＝２ ∶ １ ， （４） ＝－ ｃ ， ＝ ｃ ，
Ｂ 的 组 墙所用材料最省． 中心为点 ( ｄ ａ ) ３．解析 ｙ ＝ａｘ２ ＋ １ ｂｘ ＋ ｃ 可以看作一元二次
－ ｃ ， ｃ ；
函数的倒数函数 可以先画出一元二次
１． 从 产 解 出 析 ２ 的 ｈ～ 产 （ ４ １ 品 ） ｈ 平 量 这 均 为 段 变 时 化 间 ． 率 ， 工 为 人 ７ 平 ４ 均 ｔ／ｈ 每 ， 表 时生 示 （ （ ６ ５ ） ） 图 奇 象 偶性 ： ： 当ａ ＝ ｄ ＝０ 时为奇函数 ； 出 函 其 数 倒 ｙ ＝ 数 ａ 的 ｘ２ ＋ 图 ｂ 象 ｘ ＋ ， ， ｃ 在 （ ａ 此 ≠ 基 ０） 础 的 上 图 研 象 究 ， 再 函数 画
７４ ｔ 的性质．一个函数的倒数图象与原图象
Ｑ′ Ｑ′ 它们的实
（２） （２）＝ ６０， （４）＝ ８４， 的关系如下
际意义分别是在ｔ 和 ｔ 这两 ：
＝２ ｈ ＝４ ｈ 在函数值为零时 对应的倒数函数
个时刻 该工人每时生产出的产品量相 （１） ，
， 在该点处无定义 过该点且垂直于ｘ轴
应为 和 ． ，
６０ ｔ ８４ ｔ 的直线是该倒数函数图象的渐近线
；
２．解析 第一步 先根据ｙ ｘ与ｙ １ 的 在函数值为正时 它的单调增区间
§8 数学探究活动（二） ∶ ， ＝ ＝ ｘ （２） ，
为对应的倒数函数的减区间 它的单调
探究函数性质 函数图象 绘制函数 ｙ ｘ １ 的图象 ，
， ＝ ＋ ｘ ， 减区间为对应的倒数函数的增区间
；
习题２－８ 并结合函数图象指出函数具有的性质． 在函数值为负时 它的单调增区间
（３） ，
１．解析 第一步 画出特殊的函数 ｙ 分析 画函数图象需要考虑函数的定 为对应的倒数函数的减区间 它的单调
： ＝ ，
ｘ 义域 值域 单调性与单调区间 奇偶 减区间为对应的倒数函数的增区间．
２ －１的图象 依据函数图象 找出函数 ， ， ，
ｘ ， ， 性 周期性 凸凹性 此点不作要求 ４．解析 提示 分别画出方程左右两边相
－１ ， ， （ ）， ：
的单调区间 值域 对称中心． 关键点坐标 最值点 与坐标轴交点 应函数的图象 根据图象的交点个数研
、 、 （ 、 ）， ，
ｘ ｘ 辅助线 对称轴 渐近线 ．绘图需综合 究方程根的个数．也可以利用函数的导
分析 ｙ ２ －１ ２（ －１）＋１ １ （ 、 ）
＝ ｘ ＝ ｘ ＝ｘ ＋２， 考虑以上要素 结合逼近与极限思想． 函数研究方程根的个数．
－１ －１ －１ ，
ｘ 于是有 阅读材料
即函数ｙ ２ －１的图象可以由函数ｙ ：
＝ ｘ －１ ＝ 函数的定义域为
｛
ｘ
｜
ｘ
≠０｝；
练习
单调递增区间为 和 略．
１ 的图象先向右平移 个单位长度 再 （－∞，－１］ ［１，
ｘ １ ， 复习题二
＋∞］；
向上平移 个单位长度得到．如下所 单调递减区间为 和 Ａ组
２ ［－１，０） （０，１］；
右 上 函数的值域为 ｙ
示 ： ｙ ＝ １ ｘ → １ｙ ＝ｘ － １ １ → ２ｙ ＝ｘ － １ １ ＋２ ． 函数的奇偶性 ： （ 奇 －∞ 函 ， 数 －２ ； ］∪［２，＋∞）； １．解析 （１） Δ Δ ｘ＝ ４ １ ０ ０ － － ２ ５ ０ ＝４（ 万 ｍ ３ ／ｍ） ．
ｘ 函数图象的渐近线为ｙ ｘ ｘ 在水深 水深每增加 存
由此可以画出函数 ｙ ２ －１的图象 ＝ ， ＝０； ５ ｍ～１０ ｍ， １ ｍ，
＝ ｘ －１ ， 函数的图象 ： 水量增加 ４ 万 ｍ ３ ；
如图 ｙ ．
： Δ ４３７５－２７５ ． 万 ３ ．
（２） ｘ＝ ＝３２ ５（ ｍ ／ｍ）
Δ ３０－２５
在水深 水深每增加 存
２５ｍ～３０ｍ， １ｍ，
水量增加 ． 万 ３
３２５ ｍ ；
单调减区间 和 值 由 的数值可知 随着水库水
：（－∞，１） （１，＋∞）； ｂ （３） （１）（２） ，
域 对称中心 第二步 分步函数ｙ ａｘ ａ ｂ 的 深的增加 水库的存水量增大的速度逐
：（－∞，２）∪（２，＋∞）； ： ： ＝ ＋ ｘ （ ， ＞０） ，
． 渐加快．
（１，２） 图象与性质
ａｘ ｂ ： ２．解析 Ｓ ｘ２ ｘ ｘ
第二步 思考ｙ ＋ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 的 定义域 ｘ ｘ （１） ＝－ ＋５ （０＜ ＜５）；
： ＝ｃｘ ＋ ｄ（ ， ， ， ∈ ） （１） ：｛ ｜ ≠０｝； （２）Δ Ｓ ＝－（１＋Δ ｘ ） ２ ＋５（１＋Δ ｘ ）－（－１＋
图 数 象 的 绘 单 制 调 需 性 要 由 考 哪 虑 些 哪 条 些 件决 要 定 素 ． ， 以及该函 （２） 值 奇 域 偶 ： 性 ｛ ｙ ｜ 奇 ｙ ≥ 函 ２ 数 ａｂ或ｙ ≤－２ ａｂ ｝； ５）＝ ３Δ ｘ －（Δ ｘ ） ２ ， Δ Ｓ ｘ＝３－Δ ｘ．在 ｘ ＝１
（３） ： ； Δ
ａｘ ｂ ( ｂ ] 处 Ｓ的平均变化率为 即在ｘ 处
分析 ｙ ＋ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 的图象的 单调性 在区间 和 ， ３， ＝１ ，
＝ｃｘ ｄ（ ， ， ， ∈ ） （４） ： －∞，－ ａ 长度改变 个单位 面积增加 个
＋ １ ， ３
绘制 可以由反比例函数的图象平移得 [ ｂ ) 单位
， 上是增函数 在区间 ；
到 需要借助 分离常数 的处理方法． ａ ，＋∞ ， Ｓ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ｘ２
， “ ” （３）Δ ＝－（ ＋Δ ） ＋５（ ＋Δ ）－（－ ＋
９
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等Ｓ ) 每分大约减少 ． ．
５ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ Δ ｘ ｘ １ 为极小值点． ０１１７０ ｋｇ
）＝－２ Δ ＋５Δ －（Δ ） ， ｘ＝－２ ＋５－ ＋∞ ； ＝ ｍ′ －４ ． 它的
Δ ２ （２） （２）＝ －２ｅ ≈－０ ０３６ ６，
ｘ．在ｘ处 Ｓ的平均变化率为 ｘ { } 实际意义是 在 ｔ 这一时刻
Δ ， －２ ＋５， 函数在 ｘ ｘ ｋ π ｋ Ｚ 上 ， ＝２ ｍｉｎ ，
即在ｘ处 长度改变 个单位 面积增 （５） ≠ π＋ ， ∈ 该物质剩余质量变化的速度约为
， １ ， ２
加 ｘ 个单位 是增加的 无极值点． ． 也 就 是 每 过
（－２ ＋５） ； ， －０ ０３６ ６ ｋｇ／ｍｉｎ，
由 可知 当 ｘ 时 Ｓ′ 即 函数在Ｒ上是增加的 无极值点． 该物质大约减少 ． ．
（４） （２） ， Δ →０ ， ＝３， （６） ， ( １ ｍｉｎ， ０ ０３６ ６ ｋｇ
瞬时变化率为 实际意义是在ｘ 时 Ｂ组
３， ＝１ 函数的单调递增区间为
刻 面积的增加速度为 （７） －∞，
， ３； １．解析 ｙ′ １ 曲线过点 该点
（５）
由
（３）
可知
，
当
Δ
ｘ
→０
时
，
Ｓ′
＝－２
ｘ
＋ ３
)
和
(
３
)
单调递减区间为
＝２＋ｘ２， （１，２），
即瞬时变化率为 ｘ 实际意义是 － ，＋∞ ， 处切线斜率为 所求切线方程为ｙ
５， －２ ＋５， ３ ３ ３， －２
在ｘ时刻 面积的增加速度为 ｘ ． ( ) ｘ 即 ｘ ｙ ．
， －２ ＋５ ３ ３ ｘ ３为极大值点 ｘ ＝３（ －１）， ３ － －１＝０
３．解析 ｙ′ － ， ； ＝－ ， ＝ ２．解析 平均变化率约为 ． 它表
（１） ＝１； ３ ３ ３ （１） ８ ３１，
ｙ′ 示ｔ在 这段时间内 平均每秒
（２） ＝２； ３为极小值点． １ ｓ～２ ｓ ，
ｙ′ ｘ 经过该电路的电量约为 ． 也就是
（３） ＝２ －３； ３ ８３１ Ｃ，
ｙ′ ｘ－２． ( 这段时间内电路的平均电流约为
（４） ＝－２ 函数的单调递减区间为 ｋ π
（８） ２ π＋ ， ．
４．解析 ｙ′ ｘ １ １ ４ ８３１ Ａ；
（１） ＝２ －ｘ２ ＋ ｘ； ) Ｑ′ ． 它的实际意义是 在ｔ
２ ｋ ５π ｋ Ｚ 单调递增区间为 （２） （２）＝１１５， ，
ｙ′ ｘ ｘ ｘ ｌｎ ｘ ｘ ２ ( π＋ ４ ， ∈ ， ) ＝２ ｓ 这一时刻 ， 每秒经过该电路的电
（２） ＝ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ － ｘ－ ｘ ； ｋ ３π ｋ π ｋ Ｚ ｘ ｋ 量为 １１ ． ５ Ｃ， 也就是这段时间内电路的
２ ２ π－ ，２ π＋ ， ∈ ； ＝２ π＋
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ４ ４ 电流为 １１ ． ５ Ａ；
ｙ′ ｃｏｓ ｌｎ ＋ｓｉｎ －ｓｉｎ ｌｎ
（３） ＝ ｘ２ ； π ， ｋ ∈ Ｚ为极大值点 ， ｘ ＝２ ｋ π＋ ５π ， ｋ ∈ Ｑ′ ｔ ｔ １ 要讨论它的变化规
４ ４ （３） （ ）＝ ６ － ｔ ，
（４）
化简得 ｙ
＝
ｘ３ ２
－
ｘ－２ １
，
ｙ′
＝
３ ｘ１ ２
＋
Ｚ为极小值点． 律
，
可以通过对这个函数求导数的
２ ７．解析 ｘ 为最小值点 最小值 方法
ｘ ｘ （１） ＝ ６ ， ：
１ ｘ－２ ３
＝
３
＋ ｘ２；
为
－１２ ６；
ｘ
＝１０
为最大值点
，
最大值 (
ｔ １
)
′ １ ．
２ ２ ２ ｘ 为 ． ６ － ｔ ＝６＋ｔ２ ＞０
（５） ｙ′ ＝ｅ ｘ ｔａｎ ｘ ＋ ｅ ２ｘ； （２） ８ ｘ ２０ ＝１ 为最小值点 ， 最小值为 ２； ｘ ＝０ 所以Ｑ′ （ ｔ ） 随着ｔ的增加而增加 ；
ｃｏｓ 和ｘ 为最大值点 最大值为 ． 由 可知 Ｑ′ ｔ 没有最大值 也
ｘ３ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ ＝２ ， ４ （４） （３） ， （ ） ，
（６） ｙ′ ＝ － ｘ ＋ ｘ ＋１＋ ｘ ２ ２ ｌｎ ； ８．解析 设池底长为 ｘ ｍ， 则它的宽为 没有最小值．
（ ＋ｌｎ ） ３．解析 分析 当汽车的车速为
ｙ′ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｅ ｘ １６ ｘ ００ ｍ， 水池总造价为 ｙ．不妨设池壁 ｘ 时 （１ 在 ） 安全许 可的范围内
（７） ＝ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ｅ ｌｎ ＋ ｘ ； ｋｍ／ｈ ， ，１ ｍｉｎ
单价为ｎ ｎ为大于 的常数 则池底 内某段公路内的汽车可以通过该路口
ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ２ （ ０ ）， ，
ｙ′ －（ ＋２ ）ｌｎ －２ ＋２ 单价为 ． ｎ 则有 则这段公路内的最大汽车数为
（８） ＝ ｘ ｘ ２ ； １５ ， ：
２（ ｌｎ ）
ｙ′ ｘ ２ ｙ ． ｎ ｎｘ ｎ １６００ ｎ １０００ｘ
（９） ＝９（３ ＋２） ； ＝１６００×１５ ＋６ ＋６ · ｘ ＝２４００ ｘ
ｙ′ ｘ ｙ ６０ ５０
（１０） ＝２ｃｏｓ２ ； ｎ ＝ ｋｘ２ ＝ ｋｘ２ ，
ｎｘ ９６００ 其中ｘ ． ＋５ ３ ＋１５
ｙ′ ２ ＋６ ＋ ｘ ， ＞０
（１１） ＝ ｘ ； 由 ２ｋ可得ｋ １
４ －６ 当ｘ 时 函数取得最小值 最小值 ４０＝６０ ＝ ，
＝４０ ， ， ９０
ｙ′ ４ ． 为 ｎ． 所以车流量ｙ关于ｘ的函数为
（１２） ＝ ｘ ２８８０
４ ＋５ 即当泳池长为 时 总造价最低． ｘ ｘ
４０ ｍ ， ｙ ５０ １５００ ．
５．解析
（１）２；（２）
３
；（３）１；（４）１
．
９．解析 ｙ １２＋
ｘ
＋０
．
１
ｘ２
＋０
．
１
ｘ
－（１０－０
．
８
ｘ
）
＝
１ ｘ２
＝ｘ２
＋４５０
２ （１） ＝ ｘ ＋１５
６．解析 函数的单调递增区间为 ３０
（１） 当ｘ 时 ｙ取得
和 单调递减区间为 ． ｘ ． ２ 其中ｘ （２） ＝ ４５０≈２１（ｋｍ／ｈ） ，
（－∞，０） （１，＋∞）， ＝０１ ＋１９＋ ｘ ， ＞０； 最大值 也就是如果只考虑车流量 规
ｘ 为函数的极大值点 ｘ ， ，
（０，１）； ＝０ ， ＝１ 当 ｘ 时 ｙ随着ｘ的增加而 定车速为 时高速公路上的车
为极小值点． （２） ０＜ ＜２ ５ ， ２１ ｋｍ／ｈ
减少 当ｘ 时 ｙ随着ｘ的增加而增 流量最大．
函数的单调递增区间为 ， ＞２ ５ ，
（２） （０，＋∞）， 显然这种规定不可行 因为这个速度对
无极值点． 加 当ｘ 时 即约为 ． 年时 ｙ取 ，
， ＝２ ５ ， ２ ８ ， 于汽车来说太慢了 也失去了高速公路
函数的单调递减区间为 单 最小值． ，
（３） （０，１）， 的意义．
调递增区间为 ｘ 为极小 １０．解析 平均变化率为 －４ －２
（１，＋∞）； ＝１ （１） ｅ －ｅ ≈ Ｃ组
值点． ． 它表示ｔ在 这
－０１１７０， １ ｍｉｎ～２ ｍｉｎ １．略．
函数的单调递减区间为 和 段时间内 该物质剩余质量变化的速
（４） （－∞，０） ， ２．略．
( ) ( 度约为 ． 也就是平均
１ 单调递增区间为 １ －０ １１７ ０ ｋｇ／ｍｉｎ，
０， ， ，
２ ２
１０
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