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专题03 组合与组合数
题型一：组合数的化简及简单计算
题型二：组合数方程与不等式
题型三：简单的组合应用问题
题型四：代数中的组合问题
题型五：几何中的组合问题
题型六：分组分配问题
题型七：x+y+z=n 的整数问题
题型八：其它排列与组合的综合问题
题型一：组合数的化简及简单计算
1．（2025 高二·全国·专题练习）给出下列问题：
①若集合
求集合A 的含有3 个元素的子集的个数；
②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数；
③求从7 本不同的书中选出5 本给某一个同学的选法种数；
④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数；
⑤把3 本相同的书分给5 个学生，求每人最多得1 本的分法种数．
其中是组合问题的为（ ）
A．①⑤
B．①②
C．①③⑤
D．①③
2．（24-25 高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从4 名志愿者中选出2 人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4 这5 个数字中选取3 个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3 名同学参加某大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员
3．计算
（ ）
A．252
B．126
C．84
D．63
4．（24-25 高二下·广东江门·期末）计算
的值是（ ）
A．41
B．61
C．62
D．82
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）计算
的值是（ ）
A．48
B．76
C．148
D．176
6．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）
（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
7．（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从2，11，13，17 中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商.
B．有5 张广场演唱会门票，要在8 人中确定5 人去观看，有多少种不同的选法
C．从20 只不同颜色的气球中选出6 只布置教室，有多少种不同的选法
D．艺术节排练，从甲、乙、丙等9 名同学中选出4 名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安
排方法
8．（多选题）下列问题是组合问题的有（ ）
A．设集合
，则集合A 的含有3 个元素的子集有多少个
B．某铁路线上有5 个车站，则这条线上共需准备多少种票价
C．3 人去干5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D．把3 本相同的书分给5 个学生，每人最多分得1 本，有几种分配方法
题型二：组合数方程与不等式
1．（24-25 高二下·广西来宾·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．7
B．21
C．35
D．42
2．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（25-26 高三上·北京·阶段练习）满足条件
的正整数
的个数是（ ）
A．10
B．9
C．4
D．3
4．若
，则
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·上海宝山·期中）若
为正整数，则不等式
的解集是
6．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知组合数
，则关于
的不等式
的解集为 ．
7．不等式
的解集为 ．
8．（1）若
，则x= .
（2）不等式
的解集为 .
题型三：简单的组合应用问题
1．（25-26 高二上·黑龙江绥化·期中）甲盒子中有大小材质完全相同的5 个红球和3 个蓝球；乙盒子中有大
小材质完全相同的6 个红球和2 个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2 个球，则取出的4 个球中恰
有3 个红球的不同取法共有（ ）
A．150 种
B．180 种
C．300 种
D．345 种
2．（25-26 高三上·广东佛山·阶段练习）一支军事特别任务部队由18 名士兵组成，当中共有6 名女士兵，
其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8 名士兵，求选出不多于4 名女士兵的概率．（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·广东佛山·阶段练习）某校的音乐学会有7 名男生及5 名女生．某舞台上放了两行椅子，
且每行有3 张椅子．从该音乐学会中随机选出3 名男生及3 名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在
首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（ ）
A．350
B．720
C．12600
D．25200
4．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某
盲盒产品共有3 种玩偶，小明购买4 个盲盒，则他能集齐3 种玩偶的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高二上·陕西商洛·阶段练习）洛南县被誉为“汉字故里、核桃之乡、避暑名城”.国庆期间，小
明准备到洛南县的“音乐小镇”、“仓颉小镇”、“花溪弄”、“馒头山”、“文庙”、“抚龙湖”这6
个景区中随机选择2 个景区游览，则这2 个景区中有“音乐小镇”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）某公司的一个部门有6 名男员工和4 名女员工，从该部门选3 人组成
一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ）
A．84
B．90
C．96
D．100
7．（25-26 高三上·上海·期中）某高校需要从4 名男学生和3 名女学生中选出3 名学生去“上海进博会”做
志愿者，则选出的3 名学生中，恰有1 名女学生的概率是 ．
8．（2025·河北沧州·模拟预测）现有6 个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不
同方式分别从中拿取3 个球：甲从所有球中一次性随机抽取3 个；乙将小球平均分为A，B 两堆后，先从A
堆中一次性取i 个，再从B 堆中一次性取
个（
），则乙的不同取法种数比甲多 种.
9．（25-26 高三上·河南驻马店·开学考试）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的
左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记
为第
次跳跃后对应数轴上的数字
，则满足
的跳跃方法有 种．
10．（25-26 高三上·重庆南岸·阶段练习）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年大会于
2025 年9 月3 日上午在天安门广场隆重举行，以盛大阅兵仪式同世界人民一道纪念这个伟大的日子，共同
开创更加光明的未来.这次阅兵中亮相的某新式武器的信息设备由装有一排四只发光电子元件组成，每个电
子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光，若每次恰有两个电子元件被点亮，但相邻的
电子元件不能同时被点亮，根据这两个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同
的信息，则这四个电子元件能表示的信息种数共有 种.
题型四：代数中的组合问题
1．（25-26 高二上·河南焦作·期中）从编号为1，2，3，4 的4 张卡片中随机一次性抽取2 张，则抽到的2
张卡片编号之和为奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·湖北黄冈·期中）从
中任取2 个数字，从
中任取2 个数字，一共可以组成没有
重复数字四位数有（ ）
A．216 个
B．162 个
C．108 个
D．180 个
3．（24-25 高二下·安徽合肥·阶段练习）从0，1，2，…，9 这10 个数字中选出3 个不同的数字组成三位数，
其中大于230 的共有（ ）
A．504 个
B．552 个
C．559 个
D．660 个
4．（2025·湖南长沙·一模）已知一组数据0，9，7，4，5，从1 到10 中的整数里随机选择2 个不同的数加
入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）从1，2，3，4，5 中任取3 个不同的数，记事件A 为“这3 个数中含1
但不含5”，则
．
6．（24-25 高二下·陕西西安·期末）用0，1，2，3，4 这5 个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共
有 个．
7．（24-25 高二下·山西·期中）从1，2，3，4，5，6，7 这7 个数中任取3 个不同的数，则这3 个不同的数
的中位数为4 的概率为 ．
8．（24-25 高三上·上海·期中）从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这10 个数中任取5 个不同的数，则这5
个不同的数的中位数为4 的概率为 （用最简分数表示）
9．（2024·浙江金华·一模）从1，2，3，4，5，6 这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选
法有 种
题型五：几何中的组合问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）从正方体6 个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）正八边形的对角线的条数是（ ）
A．16
B．20
C．28
D．40
3．（2024·青海·一模）从五棱锥的6 个顶点中随机选取4 个，则这4 个顶点在同一个平面内的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀
酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点
表示某一时期的北斗七星．其中
四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这
七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．18
B．17
C．16
D．15
5．有两条平行直线a 和b，在直线a 上取4 个点，在直线b 上取5 个点，以这些点为顶点作三角形，这样
的三角形共有（ ）
A．70 个
B．80 个
C．82 个
D．84 个
6．如图，点
，
，
，
分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组
共有 个．
7．（24-25 高二下·河南郑州·期末）如图是由5 个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11 个顶点中任取
3 个顶点为一组，可以构成的三角形个数为 .
8．如图，6 只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们
作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 .
9．（2023·陕西咸阳·一模）如图，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结，五个奥
林匹克环总共有8 个交点，从中任取3 个点，则这3 个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率是 .
题型六：分组分配问题
1．（24-25 高二下·浙江温州·期末）某校招聘了6 名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2 名英语教
师不能分配在同一个校区，另外3 名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（
）
A．12 种
B．14 种
C．24 种
D．48 种
2．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年
都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5 名即
将毕业的定向师范生拟分配到3 所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1 所学校，每所学校至少分配
1 名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ）
A．90 种
B．150 种
C．300 种
D．360 种
3．（24-25 高二下·贵州贵阳·期末）4 月15 日，人工智能模型OpenAI 推出参数规模达10 万亿级的GPT-5，
支持20 万字长文本理解，推理速度较GPT-4 提升3 倍．小明等5 位同学组成人工智能调研小组，准备对
OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4 种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模
型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ）
A．180
B．240
C．288
D．360
4．（24-25 高二下·湖南郴州·期末）2025 年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5 月16 日在郴州国
际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5 人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有
志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（ ）
A．120
B．150
C．180
D．300
5．（24-25 高二下·安徽安庆·期末）江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三
天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这4 种特色美食，每天至少选择一种（4 种美食
不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序），游客三天后恰好品尝完这4 种美食.则这三天他选择美食的
不同选法种数为（ ）
A．24 种
B．36 种
C．42 种
D．48 种
6．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）从7 名工程师中选出4 人去3 个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名
工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为（ ）
A．540
B．180
C．360
D．1080
7．（25-26 高三上·安徽·开学考试）第九届亚洲冬季运动会于2025 年2 月7 日至2 月14 日在哈尔滨举行，
期间将3 名志愿者小李、小张、小明分配到A，B 两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小
明分到一个场馆的概率为 ．
8．（24-25 高二下·福建三明·期末）《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书
中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每
种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种.
9．（24-25 高二下·四川绵阳·期中）我校新采购了5 套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三
个年级的实验室，要求每个年级至少分到1 套实验器材，那么共有 种不同的分配方案.
10．（24-25 高二下·河南新乡·期中）某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5 名大学生去郑州、新乡、焦作、安
阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方
式共有 ．
11．（24-25 高二下·广东深圳·期中）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团
选派了3 名男教师和2 名女教师去支援新疆教育，要求这5 名教师被分派到3 个学校对口支教，每名教师
只去一个学校，每个学校至少安排1 名教师，其中2 名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有
种
题型七：x+y+z=n 的整数问题
1．（24-25 高二下·安徽安庆·阶段练习）已知
，
，
，则关于
，
，
的方程
共有（ ）组不同的解.
A．36
B．45
C．50
D．24
2．方程
的非负整数解有（ ）
A．
组
B．136 组
C．190 组
D．68 组
3．学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1 个名额，则有（ ）种分
配方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
4．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，
最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84 种
B．504 种
C．729 种
D．39 种
5．（2024·湖北·二模）已知
，且
，
，
，则方程
的解的组数为 .
6．个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
7．已知
，满足方程
，则这个方程解的组数为 ．（用数字作答）
8．六元一次方程
的正整数解有 组．
题型八：其它排列与组合的综合问题
1．（24-25 高二下·江西景德镇·期中）总共有13 个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、
③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个
小球，问总共有（ ）种放小球方法
A．120
B．84
C．45
D．36
2．如图，一圆形信号灯分成
四块灯带区域，现有3 种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带
里选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．42
3．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24 个全等的小正方形构成，
每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家
居住在街道网格的M 处，她的工作单位在街道网格的N 处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上
班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，
途中要先到达街道P 处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
4．（23-24 高二下·上海宝山·期末）设集合A 是由所有满足下面条件的有序实数组
构成的：
每一个元素
等于0、1、
中之一，其中
，2，3，4，5.那么集合A 中满足条件“
”的元
素个数为 .
5．某校社团召开学生会议，要将
个学生代表名额，分配到高二年级的
个班级中，若高二（一）班至少
个名额，其余个班每班至少个名额，共有 种不同分法.（用数字作答）
6．9 名学生报名参加学校联欢晚会，其中4 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余3 人既会唱歌又会跳舞，现
从中选6 人，3 人唱歌，3 人跳舞，共有 种不同的选法.
