人教A版必修第二册高一下学期期末考试模拟试卷答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0615数学

《人教A版必修第二册高一下学期期末考试模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B C D B C ABC BD
题号 11
答案 ACD
1．B
z 1+i i+i2 i−1
【详解】由z=1+i，则 = = = =1−i.
i i i2 −1
2．C
C C C C C
【详解】对于A，根据向量减法的三角形法则，AB−AC = AB+CA=CB，故A正确；
C C C C C C C C
对于B，根据向量加法的三角形法则，AB+BC = AC =−CA，即AB+BC+CA=0，故B正确；
(C C ) ( C C) C C C C C C C C
对于C，2 a−b +3 b−a =2a−2b+3b−3a=b−a≠5a+b，故C错误；
C C C C
对于D，(x+y)a−(x−y)a=(x+y−x+y)a=2ya，故D正确.
3．B
【详解】由已知圆柱的底面半径为r=1，高为h=2，
则圆柱的表面积S =2πr2+2πrh=2π×12+2π×1×2=6π．
4．B
【详解】对于A，因为事件M 和事件N 可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误；
1 1 1
对于B，P(M)= ，P(N)= ，P(MN)= =P(M)P(N)，所以事件M 和事件N 相互独立，所以B
2 2 4
正确；
对于C，事件M 和事件N 可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误；
对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况，
事件M 包括（正正）（正反）两个基本事件，事件N 包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所
以D错误．
5．C
【分析】根据每种调查方式、抽样方法的适用条件及定义逐个判断.
【详解】对于①，小区全体住户燃气、水电设施安全检查的调查范围有限，且涉及住户安全，需覆盖所
有住户，适用全面调查，故①正确；
对于②，检测袋装牛奶的细菌数需要拆封包装，对产品进行损坏，对全部产品进行破坏性检测不现实，
适用抽样调查，故②正确；
答案第1页，共10页
学科网（北京）股份有限公司对于③，简单随机抽样要求总体内每个个体被抽取的概率相等，本题指定个子最高的5名同学参与活动，
其余个体无被抽取的可能，不符合简单随机抽样的定义，故③错误；
7 2 7 2 5
对于④，根据分层抽样的计算方法，可得 n− n= n− n= n=25，解得
5+7+2+6 5+7+2+6 20 20 20
n=100，故④正确；
综上，①②④这3个正确.
6．D
【分析】根据题意，结合共线的向量的判定方法，以及基底的定义，逐项分析判断，即可求解.
C C
(
C C
)
1=λ
【详解】对于A，设e +2e =λ e +3e ，可得 ，此时方程组无解，
1 2 1 2 2=3λ
C C C C C C C C
所以e +2e 与e +3e 不共线，所以e +2e 与e +3e 能作为基底，所以A不符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
C C C
对于B，设2e −e =µe ，显然不存在实数µ使得成立，
1 2 2
C C C C C C
所以2e −e 与e 不共线，所以2e −e 与e 能作为基底，所以B不符合题意；
1 2 2 1 2 2
C C
(
C C
)
1=x
对于C，设e +e =x e −e ，可得 ，此时方程组无解，
1 2 1 2 1=−x
C C C C C C C C
所以e +e 与e −e 不共线，所以e +e 与e −e 能作为基底，所以C不符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
C C ( C C ) 1=3y 1 C C 1( C C )
对于D，e −2e = y 3e −6e ，可得 ，解得y= ，即e −2e = 3e −6e ，
1 2 1 2 −2=−6y 3 1 2 3 1 2
C C C C C C C C
所以e −2e 与3e −6e 共线，所以e −2e 与3e −6e 不能作为基底，所以D符合题意.
1 2 1 2 1 2 1 2
7．B
【详解】对于A，若m⊥n，n//α，则m与平面α平行或m⊂α或m,α相交，故A错误；
对于B，因为m//n，m⊥α，故n⊥α，而n⊂β，故α⊥β，故B正确；
对于C，m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂β，故C错误；
对于D，若m//β，β⊥α，则m与平面α的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误.
8．C
a2+b2
【分析】先对已知等式进行化简，求出角C，再利用余弦定理将 转化为关于角A的表达式，最后
c2
a2+b2
根据角A的范围求出 的取值范围.
c2
【详解】已知cosC(1−sinA)=sinCcosA，则cosC =sinCcosA+cosCsinA.
答案第2页，共10页即cosC =sin(A+C)=sin(π−B)=sinB.
π 
所以sin −C=sinB.
 2 
由于0<B<π,0<C<π，
π π
所以 −C =B或 −C =π−B.
2 2
π π π
当 −C =B时，可得B+C = ，那么A= ，不满足ABC为钝角三角形， 舍去.
2 2 2
π π π
当 −C =π−B时，则B= +C，满足ABC为钝角三角形，此时A= −2C.
2 2 2
π  π 
a2+b2 sin2A+sin2B sin2  −2C+sin2  +C cos22C+cos2C
由正弦定理得， =  2   2  =
c2 sin2C = sin2C
sin2C
( 1−2sin2C )2 +1−sin2C 4sin4C−5sin2C+2 2
= = =4sin2C+ −5，
sin2C sin2C sin2C
π  π  1
由各内角大于0，即C >0,B>0,A= −2C >0，可得C∈0, ，故sin2C∈0, ，
2  4  2
2  1 1
对勾函数 f (x)=4x+ 在0, 上单调递减，且 f  =6，
x  2 2
所以4sin2C+
2
−5>6−5=1，所以
a2+b2
的取值范围为(1,+∞) .
sin2C c2
9．ABC
【分析】对A根据复数模的性质判断可得；对B由共轭复数的定义及复数的加法运算可得；对C由共
轭复数的定义及运算可得；对D通过举反例判断可得.
【详解】选项A：复数的模满足 z z = z ⋅ z ，若z z =0，则 z z =0，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以 z =0或 z =0，即z =0或z =0，故A正确.
1 2 1 2
选项B：设z =a+bi（a,b∈R），由z =z 得z =a−bi，则z +z =2a，2a为实数，故B正确.
2 1 2 1 1 2
选项C：设z =a+bi,z =c+di（a,b,c,d∈R），
1 2
左边z +z =(a+c)+(b+d)i=(a+c)−(b+d)i，
1 2
右边z +z =(a−bi)+(c−di)=(a+c)−(b+d)i，左右两边相等，故C正确.
1 2
选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若z −z >0仅说明差为正实数，但z ,z 可能含虚部，
1 2 1 2
比如z =2+i,z =i，z −z =2>0，但两个虚数2+i和i无法比较大小，故D错误.
1 2 1 2
10．BD
答案第3页，共10页
学科网（北京）股份有限公司【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否
存在得分低于80分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于80分的合格要求.
【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为83，则剩余的那个工作日的得分为78，
故甲的考核不一定合格，A错误；
对于B：将得分排序后，第三个为82，且至少有两个80，这两个80必然是最小的两个数，
因此所有得分均不低于80，故乙的考核一定合格，B正确；
对于C：丙的中位数为85，平均数为82，其得分可以为77,78,85,85,85，
故丙的考核不一定合格，C错误；
对于D，由于丁有一个工作日的得分为89，且平均数为83，
若有一个工作日的得分为79，由(89−83)2+(79−83)2 =52，
可知其方差必超过了9.2，所以丁连续五个工作日的得分均不低于80，
故丁的考核一定合格，D正确.
11．ACD
【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面BDC / / 平面ABD，再根据面面平行的性质定理即
1 1 1
可判断；对于B，先求出△BDA 和�MBD的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角
1
M −BD−A的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的
1
判定定理证明BD⊥平面AACC ，进而即可得证平面ABD⊥平面AACC ；对于D，先将平面BBC和平
1 1 1 1 1 1
面ABC沿着BC展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断．
1 1 1
【详解】对于A，在正方体ABCD−ABCD 中，
1 1 1 1
由BC//AD，且BC⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，则BC//平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1
又BD //BD，且BD ⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，则BD //平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又BC∩BD =B ，且BC,BD ⊂平面BDC，所以平面BDC / / 平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为DM ⊂平面BDC，所以DM / / 平面ABD，故A正确；
1 1 1 1 1
答案第4页，共10页对于B，连接AC，交BD于O，则O是BD的中点，过M 作MN ⊥BC于N ，则N 是BC的中点，
2 2
BC 5 BB 6
则DN =   +(DC)2 = ，则DM =  1  +DN2 = ，
 2  2  2  2
2 2
BB BC 2
又AD= AB=BD= (AB)2+(AD)2 = 2，BM =  1  +  = ，
1 1  2   2  2
则BD2 = BM2 + DM2，即BM ⊥DM ，
BM×DM 6 2
过M 作MP⊥BD于P，则MP= = ，则BP= (BM)2−(MP)2 = ，
BD 4 4
则P是BD的四等分点且靠近B处，取AB的中点Q，连接PQ，
1
2
又△BDA 1 是等边三角形，则A 1 O⊥BD，则PQ⊥BD，则PQ=   A 1 B  −BP2 = 6 ，
 2  4
所以∠MPQ是二面角M −BD−A的平面角，
1
2 2
 AB BC 2
又M ，Q分别为B 1 C，A 1 B的中点，则MQ=   +  = ，
 2   2  2
MP2+PQ2−MQ2 1
所以在�MPQ中，cos∠MPQ= = ，故B错误；
2⋅MP⋅PQ 3
对于C，在正方体ABCD−ABCD 中，由AA ⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以AA ⊥BD，
1 1 1 1 1 1
又ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又AC∩AA = A，且AC,AA ⊂平面AACC ，所以BD⊥平面AACC ，
1 1 1 1 1 1
答案第5页，共10页
学科网（北京）股份有限公司又BD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面AACC ，故C正确；
1 1 1 1
对于D，将BBC和ABC沿着BC展开至同一平面，
1 1 1 1
则当A，M ，B三点共线时，BM +MA取得最小值，
1 1
π 3π
由BB=1，BC=1，且BB^BC，则∠BBC = ，则∠ABB= ，
1 1 1 4 1 1 4
3π
又AB =1，则AB= AB2+BB2−2⋅AB ⋅BBcos = 2+ 2 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4
所以BM +MA 1 的最小值为 2+ 2 ，故D正确．
12．2或10
C C C C C C
【分析】先利用a⊥b ⇔a⋅b =0求出x的值，再求出 a−b .
C C C C
【详解】若a⊥b ⇔a⋅b =0，则2x+3−x2 =0，解得 x=3,或x=−1，
C C C C
a−b =(−2x−2,2x)， a−b = (−2x−2)2+(2x)2 = 8x2+8x+4，
C C
当x=3时， a−b = 8×32+8×3+4 =10，
C C
当x=−1时， a−b = 8×(−1)2+8×(−1)+4 =2.
1
13． /0.5
2
【详解】由对立事件的性质得P ( A ) =1−P(A)，
则1−P(A)=2P(A)，解得P(A)= 1 ，
3
答案第6页，共10页已知事件A，B相互独立，则
1 1 1
P(A1B)=P(A)P(B)= P(B)= ，解得P(B)= ．
3 6 2
14．
π
3
2 3 
 , 3

 3 
【分析】利用正弦定理，得出关于角A的三角等式，进而可求得tanA的值即可；根据为锐角三角形求
得角B的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围.
【详解】已知bsinA= 3cosA(acosC+ccosA)，根据正弦定理，
sinBsinA= 3cosA(sinAcosC+sinCcosA) .
因为sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，且sinB≠0，化简得sinA=
3cosA� tanA= 3.
π
因为�ABC是锐角三角形，所以A= .
3
π 2π 2π
因为A= ，所以B+C = ，即C = −B.
3 3 3
2π π π π
因为�ABC为锐角三角形，故0<C = −B< ，解得 <B< .
3 2 6 2
a 4 a 4
由正弦定理，所以b= sinB= sinB，c= sinC = sinC.
sinA 3 sinA 3
1 4 4 2π  2 3  π 3
因此�ABC面积S = bcsinA= sinBsinC = sinBsin −B= sin2B− + .
2 3 3  3  3  6 3
π π π π 5π  π 1 
由B∈ , ，得2B− ∈ , ，故sin2B− ∈ ,1

，
6 2 6 6 6   6 2 
2 3 
因此S∈ , 3.

 3 
15．(1)4；
(2)
(−1,1)
.
【分析】（1）由两复数相等，实部和虚部分别相等求解即可；
（2）结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】（1）若z = z，
1 2
答案第7页，共10页
学科网（北京）股份有限公司a=1
则 ，
a2+3a=m
解得m=4；
z 1+mi (1+mi)(1−i) 1+m m−1
（2）ω= 1 = = = + i，
1+i 1+i (1+i)(1−i) 2 2
z 1+m m−1
若ω= 1 在复平面内所对应的点 ， 位于第四象限，
1+i  2 2 
1+m
>0

 2
则 ，解得−1<m<1，
m−1
<0
 2
故m的取值范围为(−1,1)．
16．(1)x=4
(2)x=−1
5
(3)
2
【详解】（1）因为a C //b C ，所以−2×(−2)−x=0 ，解得x=4.
C C C C
（2）因为a⊥b，所以a⋅b =1×(−2)−2x=0 ，解得x=−1.
C C C C
（3）a⋅b =−2−2x ， a = 5， b = 4+x2 .
C C
因为cosa C ,b C = a C ⋅b C ，所以 −2−2x =− 2 5 ，解得x= 3 ，
a b 5× 4+x2 5 2
C 2
3 5
所以b = (−2)2+  = .
2 2
17．(1)0.01
(2)中位数为78，平均数为76.5
【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出a的值；
（2）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为0.5可得中位数.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，10(a+0.020+0.025+0.035+a)=1，解得a=0.01.
（2）由（1）知a=0.01.因此各组的频率分别为0.10,0.20,0.25,0.35,0.10，
对应这100名学生各组的人数分别为10，20，25，35，10，
各组的组中值分别为55，65，75，85，95，
答案第8页，共10页55×10+65×20+75×25+85×35+95×10
则x = =76.5，
100
所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5.
由0.1+0.2+0.25=0.55>0.5可得中位数位于[
70,80
]，设为x，
x−70
则0.1+0.2+ ×0.25=0.5⇒x=78，即中位数为78.
10
18．(1)
π
A=
3
(2)
16 3
【分析】（1）根据商的关系和两角差的正弦公式化简可得sin(A−B)=sin(C−A)，结合内角和关系求A；
（2）结合三角形面积公式和余弦定理列方程求b+c，由此可得结论.
sinA sinB+sinC
【详解】（1）由已知 = ，
cosA cosB+cosC
交叉相乘得，sinAcosB+sinAcosC =cosAsinB+cosAsinC，
所以sinAcosB−cosAsinB=cosAsinC−sinAcosC，
整理得sin(A−B)=sin(C−A)，
又−π< A−B<π，−π<C−A<π，
所以A−B=C−A或(A−B)+(C−A)=π（舍去）或(A−B)+(C−A)=−π（舍去），
π
所以A+B+C = A+2A=3A=π，解得A= ；
3
1 3
（2）由已知S= bcsinA= bc=16 3，得bc=64①，
2 4
由余弦定理a2 =b2+c2−2bccosA，得
(6 3)2 =(b+c)2−3bc②，
由①②可得b+c=10 3，
所以�ABC的周长L=a+b+c=6 3+10 3=16 3.
19．(1)由正三棱柱的定义可知ABC是等边三角形，
因为D为AB的中点，所以CD⊥ AB．
又CC ⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC ⊥ AB．
1 1
答案第9页，共10页
学科网（北京）股份有限公司因为CC ，CD⊂平面CCD，且CC 1CD=C，
1 1 1
所以AB⊥平面CCD
1
CE 4
(2)存在点E， 1 =
ED 9
【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可；
（2）先作CE⊥CD于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可.
1
【详解】（1）略.
（2）存在．在�CCD中，作CE⊥CD，垂足为E，连接BE．
1 1
由（1）知AB⊥平面CCD，所以ABCE．
1
因为AB，CD⊂平面ABC ，且AB1CD=D，所以CE⊥平面ABC ．
1 1 1 1
因为CE⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面ABC ．
1
设AA =2，则CC =2，CD=3，故CD= 13．
1 1 1
1 1 6 13
因为S = CD⋅CC = CD⋅CE，所以CE= ，
�CC1D 2 1 2 1 13
4 13 9 13
则CE= CC2−CE2 = ，ED=CD−CE= ，
1 1 13 1 1 13
CE 4
所以 1 = ．
ED 9
CE 4
故在CD上存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC ，此时 1 = ．
1 1 ED 9
答案第10页，共10页