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专题2 排列数组合数
类型一、排列数组合数的简单计算
【例1】对于满足
的正整数，
( )
A．
B．
C．
D．
【解析】C.
【例2】计算
______．
【解析】
【例3】计算
，
；
【解析】
；
【例4】计算
______，
_______．
【解析】
；
【例5】计算
，
；
【解析】
；
【例6】计算
，
，
，
，
．
【解析】
，
，
，
，
【例7】已知
，求的值．
【解析】由
，得
，故
，即
，解得
或
(舍)
【例8】解不等式
【解析】
【解析】由
，得
，有
，
或
，又
，故
【例9】证明：
．
【解析】证明：
【例10】解方程
．
【解析】
【例11】解不等式
．
【解析】同第9 题
【例12】解方程：
【解析】
【例13】解不等式：
．
【解析】或
【例14 】设
表示不超过
的最大整数( 如
，
) ，对于给定的，定义
，
，则当
时，函数
的值域是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】D.
【例15】组合数
恒等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】D.
【例16】已知
，求
、的值．
【解析】由
知
，即
，又
，有
，
解
.
类型二、排列数组合数公式的应用
【例17】已知
，求
的值．
【解析】由
得
，即
，所以
.
【例18】若
，则
_______
【解析】
【例19】若
，则
【解析】由
，得
；
又
，得
，解方程组有
，故
【例20】证明：
【解析】证明：
【例21】证明：
．
【解析】证明：
【例22】求证：
．
【解析】证明：
【例23】证明：
．
【解析】证明：
【例24】证明：
．
【解析】证明：令
，
则
所以
故
【例25】求证：
；
【解析】证明：
【例26】计算：
，
【解析】
；
【例27】证明：
．(其中
)
【解析】算两次，现有
个相同的球，其中黑球
个，红球个，现从这
中取出个球(其中
)，则共有
种取法；另一方面，取出的
个球的颜色为红色的情形共有
，
，
，……
种情形，故
【例28】解方程
【解析】由
得，
，
即
，有
，解得
【例29】确定函数
的单调区间．
【解析】
，求导
，故在
上单调递增.
【例30】规定
，其中
，
为正整数，且
，这是排列数
(
是正整数，且
)的一种推广．
⑴求
的值；
⑵排列数的两个性质：①
，②
(其中
是正整数)．是否都能推广到
(
，
是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．
【解析】(1)
(2)性质①能推广，推广形式为
，
证明：当
显然成立，
当
时，
，故成立.
性质②能推广，推广形式为
证明：当
显然成立，
当
时，
，
所以
故性质②的推广成立.
