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6.3 组合与组合数
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：组合概念......................................................................2
考点二：组合数.........................................................................2
考点三：排列与组合的区别.......................................................... 2
考点四：组合数的性质................................................................ 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：组合概念的理解............................................................. 2
题型二：组合数与方程的计算....................................................... 3
题型三：组合数的性质及应用....................................................... 4
题型四：组合数解不等式与证明.................................................... 4
题型五：有限制条件的组合问题.................................................... 5
题型六：实际问题中的组合计数问题...............................................6
题型七：代数中的组合计数问题.................................................... 7
题型八：几何组合计数问题.......................................................... 7
题型九：分组分配问题................................................................ 8
题型十：x+y+z=n 的整数解的个数.............................................. 12
题型十：其它组合计数问题........................................................ 13
题型十一：组合的综合问题........................................................ 13
模块三：综合巩固....................................................................... 14
6.3 组合与组合数
模块一：基础知识
考点一：组合概念
一般地，从�个不同元素中取出�(�≤�)个元素并成一组，叫做从�个不同元素中取出m 个元素的一个组
合.
考点二：组合数
从�个不同元素中取出�(�≤�)个元素的所有组合的个数，叫做从�个不同元
素中取出�个元素的组合数．用符号��
�表示．其中
��
�= ��
�
��
�= �−1
�−2 ⋯(�−�+ 1)
�!
=
�!
�! �−�! ( �≤�)
考点三：排列与组合的区别
1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”．
2.从�个元素中取出�个元素的排列(排列数��
�)，可以理解为分为两步：
第一步，从�个元素中取出�个元素组合，得到组合数��
�；
第二步，再对�个元素进行排列，得到排列数��
�，根据分步乘法计数原理得到��
�= ��
���
�⇒��
�=
���
��
�．
考点四：组合数的性质
1.规定:��0 = 1．
2.��
�= ��
�−�．
3.��+1
�
= ��
�+ ���−1．
4.���
�= ���−1
�−1．
模块二：题型分类
题型一：组合概念的理解
1.下列四个问题属于组合问题的是（
）
A．从4 名志愿者中选出2 人分别参加导游和翻译的工作
B．从1、2 、3、4 这4 个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出3 名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出2 名同学分别担任班长、副班长
2.下列问题中不是组合问题的是（
）
A．10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9 个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50 名学生中选出2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
3.（多选）下列是组合问题的是（
）
A．平面上有5 个点，其中任意三个点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线？
B．10 支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10 个人中选出3 个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10 个人中选出3 个为不同学科的课代表，有多少种选法？
4.判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)若集合
, , ,
A
a b c d
，则集合A 的含有3 个元素的子集有多少个？
(2)某铁路线上有4 个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
(3)从7 本不同的书中取出5 本给某同学；
(4)三个人去做5 种不同的工作，每人做1 种，有多少种分工方法？
(5)把3 本相同的书分给5 个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
5.以下四个问题，属于组合问题的是（
）
A．从3 个不同的小球中，取出2 个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100 位幸运观众中选出2 名幸运之星
D．从13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
题型二：组合数与方程的计算
1.计算
5
2
7
5
2
+
C
A 的值是（
）
A．62
B．102
C．152
D．540
2.计算：
2
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
10
11
C
C
C
C
C
C +C
．
3.已知
3
6
34
34
C
C
x
x
，则x=（
）
A．3 或10
B．3
C．17
D．3 或17
4.（1）计算：①
4
3
3
10
7
3
C
C
A
＝
；
②
38
3
3
21
C
C
n
n
n
n
＝
．
5.求值：
（1）
3
2
8
5
3
2
C
C
；
（2）
38
3
3
21
n
n
n
n
C
C
.
题型三：组合数的性质及应用
1.若
3
9
9
C
Cx
，则x 的值为（
）
A．3
B．6
C．9
D．3 或6
2.
2
3
4
5
6
6
6
7
8
9
C
C
C
C
C
（
）
A．84
B．120
C．126
D．210
3.（多选）若
2
1
1
8
7
7
C
C
C
x
x
x
，则正整数x 的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.若
2
6
2
20
20
C
C
n
n
（
N
n
），则n
.
5.若
6
6
7
1
C
C
C
n
n
n
，则n 的值为（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
6.（多选）若
2
2
5
21
21
C
C
m
m
，则m 的值可以是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
7.若
10
9
C
C
n
n
，则
21
Cn 的值为
.
8.若
2
22
22
C
C
m
m
，则
2
2
2
2
2
3
4
C
C
C
C m
的值为（
）
A．45
B．55
C．120
D．165
9.已知
4
4
5
*
1
C
C
C
N
n
n
n n
，则n （
）
A．6
B．7
C．8
D．9
10.关于x 的方程
2
3
4
11
11
C
C
x
x
的解为（
）
A．
3
x
B．
4
x
C．
3
x
且
4
x
D．
3
x
或
4
x
题型四：组合数解不等式与证明
1.不等式
3
2
10
10
C
C
n
n
的解为
．
2.若
1
8
8
C
3C
m
m
，求m.
3.（1）解关于x 的不等式
2
8
8
A
6A
x
x
．
（2）求等式
5
3
1
3
3
3
C
C
19
C
5
n
n
n
中的n 值．
4.（1）解不等式
2
6
6
A
4A
x
x
．
（2）若
2
2
2
2
3
4
5
C
C
C
C
55
n
，求正整数n．
5.证明：
1
1
C
C
m
m
n
n
m
n
6.证明：C
C
C
C
k
m k
m
k
n
n k
n
m
．
7.证明：
1
C
C
m
m
n
n
n
n
m
.
题型五：有限制条件的组合问题
1.甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读3 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相同的选法共有
（
）
A．30 种
B．60 种
C．180 种
D．240 种
2.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5 名
航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（
）
A．60
B．66
C．72
D．80
3.用2 个0，2 个1 和1 个2 组成一个五位数，则这样的五位数有（
）
A．8 个
B．12 个
C．18 个
D．24 个
4.2020 年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景
可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为
O
C
O
.已知氧有16O、17O、18O 三种天然同位素，碳有12C、13C 、14C 三种天然同位素，则由上述同位
素可构成的不同二氧化碳分子共有
个.
5.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、
丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位
同学选择数学竞赛课程的报名方法数为
．
6.从1，2，3，4，5，6 中选取4 个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记
四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求a
b
c
d
，则满足条件的四位数的个
数为
.
题型六：实际问题中的组合计数问题
1.某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．现要选派划
左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有
2.如图为某地街道路线图，甲从街道的A 处出发，先到达B 处与乙会和，再一起去到C 处，则可以选择的
最短路径条数为（
）
A．20
B．18
C．12
D．9
3.某同学寒假期间想到咸阳市的9 个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革
命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3 个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口
活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概
率是（
）
A．5
7
B．5
21
C．16
21
D．2
7
4.有7 种不同的颜色给下图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，
若最多使用3 种颜色，则不同的涂色方法种数为（
）
A．462
B．630
C．672
D．882
题型七：代数中的组合计数问题
1.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9
的奇数，则不同的取法有（
）种.
A．54
B．53
C．47
D．46
2.在100，101，102，…，999 这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排
列的数的个数是（
）
A．120
B．204
C．168
D．216
3.在0 ，1，2 ，3，4 ，5，6这7 个数中任取4 个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比
4351大的数共有（
）
A．54个
B．62 个
C．74 个
D．82 个
题型八：几何组合计数问题
1.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
A．18
B．24
C．30
D．32
2.四面体的顶点和各棱的中点共10 个点．在这10 点中取4 个不共面的点，则不同的取法种数为（
）
A．141
B．144
C．150
D．155
3.有两条平行直线a 和b，在直线a 上取4 个点，在直线b 上取5 个点，以这些点为顶点作三角形，这样
的三角形共有（
）
A．70 个
B．80 个
C．82 个
D．84 个
4.圆周上有8 个等分点，任意选这8 个点中的4 个点构成一个四边形，则四边形为梯形的概率是（
）
A．10
35
B．12
35
C．14
35
D．16
35
5.（多选）在某城市中，
,
A B 两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A 地
出发到B 地，则下列结论正确的是（
）
A．不同的路径共有31 条
B．不同的路径共有41 条
C．若甲途经C 地，则不同的路径共有18 条
D．若甲途经C 地，且不经过D 地，则不同的路径共有8 条
6.某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿
四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有
种不同的涂色方法.
题型九：分组分配问题
【基础原理】
类型一：
．．．．平均分组先乘后除
．．．．．．．．
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n 为均分的组数)避免重复计数。
说明：若将m 个元素分组，其中有r 组元素个数相同，则不同种分组方法有
r
r
c
m
c
m
b
a
m
a
m
P
C
C
C
1、将4 人平均分成两组，有多少种不同的分法？
分析：如果象例1 一样，则有C
2
4=6 种。但事实上，将ABCD 四人平均分成两组，只有AB-CD、AC-BD、AD-BC
三种。为什么呢？我们不难发现，从4 人中选2 人时，选AB 或CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD
应是同一组，即每种分法都重复了2 次。故正确的分组种数为
2
2
4
2
2
2
3
C C
A
种。
2、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆）
(2)一组一本，一组二本，一组三本
(3)一组四本，另外两组各一本
分析：（1）
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C =15
A
(2) C
1
6C
2
5C
3
3=60
(3)
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C =15
A
类型二：非平均分组只用乘法
．．．．．．．．．．．．．(．分步为每个小组按数量取物）
．．．．．．．．．．．．．
说明：若将m 个元素分组，其中每组元素个数都不相同，则不同种分组方法有
a
b
m c
m
m a
m c
C C
C
1、将6 人分成1 人、2 人、3 人三组，有多少种不同的分法？
解：由乘法原理不难得到不同的分法有C
1
6C
2
5C
3
3=60 种。
说明：这种分组将元素分成个数互不相等的组，可以直接由乘法原理求出适合条件的不同种分法。
类型三
．．．：．定向分配
．．．．（．小组要分给指定的对象
．．．．．．．．．．）．------
．．．．．．用分步乘法
．．．．．(．分步为每个对象按数量取物
．．．．．．．．．．．．）
．
1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)
甲两本、乙两本、丙两本.
(2)
甲一本、乙两本、丙三本.
(3)
甲四本、乙一本、丙一本.
分析：（１）法一：先平均分组：
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C =15
A
；再分给三人：
3
3
A ；共
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C
A
3
3
A =90
此法较繁，故采用法二：先为甲选两本：
2
6
C ,再为乙选两本：
2
4
C ，最后为丙选两本：
2
2
C ；
共
2
6
C
2
4
C
2
2
C =90
（2）先为甲选1 本：
1
6
C ,再为乙选两本：
2
5
C ，最后为丙选两本：
3
3
C ；
共
1
6
C
2
5
C
3
3
C =60
（３）先为甲选1 本：
4
6
C ,再为乙选两本：
1
2
C ，再为丙选两本：
1
1
C ；共
4
6
C
1
2
C
1
1
C =30
类型四：不定向分配（小组可分给任一对象）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．-----
．．．．．先分组，再排列
．．．．．．．
解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)
每人两本（平均分给甲乙丙三人）
(2) 一人一本、一人两本、一人三本
(3) 一人四本、一人一本、一人一本
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人且未指明具体
的分配对象，那么同一组书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将
这三组分给甲、乙、丙三人”，
因此只要将分组方法数再乘以Ａ３３＝６，即
（１）先分组（平均分组）：
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C
A
；再分配给三人（排列）：
3
3
A ；总方法为：
2
2
2
3
6
4
2
3
3
3
C C C A =90
A
（２）先分组（非平均分组）：C
1
6C
2
5C
3
3，再分配给三人（排列）
3
3
A ，总方法为：C
1
6C
2
5C
3
3
3
3
A =360(种)
（３）先分组（含非平均分组和平均分组）：
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C
A
，再分配给三人（排列）
3
3
A ，总方法为：
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C
A
3
3
A =90
(种)。
2、6 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。
先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，
另一组四本。所以根据加法原理，分组法是15+60 +15 =90(种)。再考虑排列，即再乘以
3
3
A 。所以一共有
90×6=540 种不同的分法。
3、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分
为三组，两组各1 个，另一组2 个，分组方法有
1
1
1
4
3
2
2
2
C C C
A
(种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给
四个小盒(不同对象)中的3 个的排列问题，即共有
1
1
1
3
4
3
2
4
2
2
C C C A
A
=144(种)。
【基础练习】
1.3 名医生和6名护士被分配到3 所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有
（
）
A．90 种
B．180种
C．270 种
D．540种
2．4 名大学生被分配到3 所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（
）
A．12
B．24
C．36
D．72
3.将甲、乙等8 名同学分配到3 个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2 人，则不同的安
排方法有（
）
A．2720
B．3160
C．3000
D．2940
4.某班拟选派包括甲、乙在内的六名同学参加四场同一时间举行的比赛，每场比赛至少一名同学参加，且
甲、乙两名同学必须参加同一场比赛，则不同的参赛方案种数为（
）
A．180
B．240
C．360
D．480
5.将5 本不同的书（2 本文学书、2 本科学书和1 本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1 本书，
每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（
）
A．78
B．92
C．100
D．122
6.位同学报名参加2022 年杭州亚运会4 个不同的项目（记为
, , ,
A B C D ）的志愿者活动，每位同学恰报1
个项目.
(1)6 位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少
种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目A ，同学乙不参加项目D ，求一共有多少种不同录用
方式？
7．某公司将5 名员工分配至3 个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分
配在同一个部门的不同分配方法数为（
）
A．24
B．30
C．36
D．42
8.将四个小球放入编号为1、2、3、4 的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
9.2023 年12 月6 日上午，2023 世界5G 大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G 大会是全球5G 领域
国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G 变革共绘未来”为主题，以持续推动5G 不断演进创新为
目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研
讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6
人中选派4 人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、
乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有
种．（用数字作答）
10.某医疗小组有4 名男性，2 名女性共6 名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2 人参加A，B 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医
护人员甲不参加A 项救护活动的选法种数；
(2)这6 名医护人员将去3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2 人前往，若2 名女性不
能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
11.（1）将5 个不同的小球放入3 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将5 个不同的小球放入3 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将5 个相同的小球放入3 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将5 个相同的小球放入3 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
题型十：x+y+z=n 的整数解的个数
1.若方程
1
2
3
4
8
x
x
x
x
，其中
2 2
x ，则方程的正整数解的个数为（
）
A．10
B．15
C．20
D．30
2.已知
*
N
x
，
*
N
y
，
*
N
z
，则关于x ，y ，z 的方程
10
x
y
z
共有（
）组不同的解.
A．
2
9
C
B．
3
9
C
C．
2
10
C
D．
3
10
C
3.方程
18
x
y
z
的非负整数解有（
）
A．
17
2 组
B．136 组
C．190 组
D．68 组
题型十一：其它组合计数问题
1.如图，一圆形信号灯分成
, , ,
A B C D 四块灯带区域，现有3 种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里
选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（
）
A．18
B．24
C．30
D．42
2.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天
员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击
五项.若这五项测试每天进行一项，连续5 天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐
力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（
）
A．24 种
B．36 种
C．48 种
D．60 种
3.某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明
同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（
）
周一
周二
周三
周四
周五
演讲、绘画、舞蹈、
足球
编程、绘画、舞蹈、
足球
编程、书法、舞蹈、
足球
书法、演讲、舞蹈、
足球
书法、演讲、舞蹈、
足球
注：每位同学每天最多选一门课，每门课一周内最多选一次.
A．15 种
B．10 种
C．8 种
D．5 种
题型十二：组合的综合问题
1.（1）求值：
2
2
2
2
3
10
C
C
C
．
（2）己知
3
2
2
*
17
17
C
C
N
x
x
x
，求x．
2.某学校有男运动员4 名，女运动员6 名共10 名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4 名运动员参加全
市中学生运动会．
(1)共有多少种选法；
(2)若要求至少有1 名队长参加，有多少种方法．
3.某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学
生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4
张卡片，则额外获得2 分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4 张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得7 分的不同的抽法种数．
4.从包含甲、乙2 人的8 人中选4 人参加4×100 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结
果用数字作答）
(1)甲、乙2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2 人只有1 人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2 人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
模块三：综合巩固
1.
2
5
7
7
A
C
（
）
A．63
B．10
C．21
D．0
2.第33 届夏季奥运会预计2024 年7 月26 日至8 月11 日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2 个竞赛项
目和3 个表演项目．现有三个场地A，B，C 分别承担这5 个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一
个项目，则不同的安排方法有（）
A．150 种
B．300 种
C．720 种
D．1008 种
3.《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14 种算法，分别是：积算（即
算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计
数.某学习小组有甲､乙､丙3 人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6 种算法相关
资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（
）
A．240
B．300
C．420
D．540
4.为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新
疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两
位女教师分派到同一个地方的方法种数为（
）
A．18
B．150
C．36
D．54
5.“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花
房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6 色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝
牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（
）
A．24 种
B．20 种
C．12 种
D．22 种
6.科技博览会需从5 个女生（分别记为A ，B ，C ，D ，E ）中选2 人参加志愿者服务，已知这5 个人被
选中的机会相等，则A 被选中的概率为（
）
A．0.25
B．0.4
C．0.5
D．0.75
7.盒子中有红球3 个，黄球4 个，任取3 个球，则抽到2 个红球的概率是（
）
A．
2
1
3
4
3
7
C
C
C
B．
2
1
3
4
3
7
A
A
A
C．
2
1
4
3
3
7
C
C
C
D．
2
1
4
3
3
7
A
A
A
8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从
这10 个数中任取3 个数，已知3 个数中至多有1 个阴数，则取出的3 个数之和是5 的倍数的概率是（
）
A．1
5
B．1
4
C．1
3
D．
1
2
9.(多选)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、
“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（
）
A．某学生从中选2 门课程学习，共有15 种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144 种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480 种排法
10.(多选)下列人员的坐法种数为24 的是（
）
A．4 把椅子排成一排，4 人随机就座
B．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻
C．4 人均不坐在写着自己名字的座位上
D．4 把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻
11.“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足
同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，
拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1 个项目.则甲、乙、丙、丁这
4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有（
）
A．135 种
B．720 种
C．1080 种
D．1800 种
12.某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选
择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要
求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节
为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该
天课表有（
）.
A．444 种
B．1776 种
C．1440 种
D．1560 种
13.(多选)小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（
）
A．不同的摆放方法共有120 种
B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36 种
C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72 种
D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36 种
14.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，
多次为祖国赢得荣誉．现有6 支救援队（含甲、乙）前往A，B，C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援
队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1 支救援队，其中A 受灾点至少需要2 支救援队，且甲、
乙2 支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是
．
15.某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3 个歌唱类节目和2 个语言类节目，现
要排出一个节目单，若前2 个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有
种．
16.某迷宫隧道猫爬架如图所示，B ，C 为一个长方体的两个顶点，A ，B 是边长为3 米的大正方形的两个
顶点，且大正方形由完全相同的9 小正方形拼成.若小猫从A 点沿着图中的线段爬到B 点，再从B 点沿着长
方体的棱爬到C 点，则小猫从A 点爬到C 点可以选择的最短路径共有
条.
17.现有10 个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5 个组，每组2 人，有多少种分配方案？
(2)分成7 个组，每组最少1 人，有多少种分配方案？
18.将4 个编号分别为1，2，3，4 的小球放入4 个编号分别为1，2，3，4 的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（5）把4 个不同的小球换成4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
19.（1）已知
3
2
6
6
C
C
1
m
m
m
，计算：
1
2
3
6
6
7
8
C
C
C
C
m
m
m
m
；
（2）解方程：
7
2
3
4
3C
5A
x
x
x
．
20.安排6 名教师
,
,
,
,
,
A B C D E F 到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.
(1)有14 个相同的口罩全部发给这6 名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
(2)六名教师站一排照相，求
,
A B 不相邻，且C 在D 的左边（可以不相邻）的概率？
