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计数与概率
一、计数原理
1、分类加法计数原理：
做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在
第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N 类办法中有MN种不同的方法，
那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：
做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第
二步有M2 不同的方法，……，做第N 步有MN 不同的方法.那么完成这件事共有
N=M1M2...MN 种不同的方法。
3、两个计数原理的区别
4、排列：
从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序
．．．．．．排成一列，叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数公式：
)
,
,
(
)!
(
!
)1
(
)1
(
N
m
n
n
m
m
n
n
m
n
n
n
A m
5、组合：
从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中
取出m 个元素的一个组合。
组合数公式：
!
)1
(
)1
(
m
m
n
n
n
A
A
C
m
m
m
n
m
n
)!
(!
!
m
n
m
n
组合数性质
;
m
n
n
m
n C
C
m
n
m
n
m
n
C
C
C
1
1
2
【注意】
（1）利用加乘原理解决计数问题时要先确定分类或者分步的标准，分类是要做
到不重不漏。
（2）利用排列组合解决计数问题时要遵循四个原则：特殊优先原则、先组后排
原则、正难则反原则、策略针对原则。
二、概率
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可
能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；
（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的
随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，
称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例
n
n
A
f
A
n
)
(
为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的
增加，事件A 发生的频率
)
(A
fn
稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称
为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数
A
n 与试
验总次数n 的比值n
nA ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着
试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的
概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验
的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
2、事件的关系与运算：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；
（3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对
立事件；
3
（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A
与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有
P(A)=1—P(B)
3、概率的基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
（3）若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，
于是有P(A)=1—P(B)；
三、古典概型与几何概型
1、古典概型
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）= 总的基本事件个数
包含的基本事件数
A
2、几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面
积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=
积）
的区域长度（面积或体
试验的全部结果所构成
积）
的区域长度（面积或体
构成事件A
；
（3）几何概型的特点：
①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现
的可能性相等．
四、离散型随机变量的分布列
1、离散型随机变量：对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列
出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
2、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为
x1,x2,..... ,xi ,......,xn，X 取每一个值xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）
＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
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4、分布列性质①pi≥0, i =1，2，…
；
②p1 + p2 +…+pn= 1．
五、两点分布与超几何分布
1、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布
2、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有
物品中任取n(n≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，
则它取值为k 时的概率为
(
)
(
0,1,2,
,
)
k
n k
M
N
M
n
N
C C
P X
k
k
m
C
，
其中
min
,
m
M n
,且
*
,
, ,
,
n
N M
N n M N
N
≤
≤
六、二项分布
1、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
2、二项分布：设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ
是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A 不发生的概
率为q=1-p，那么在n 次独立重复试验中
)
(
k
P
k
n
k
k
n
q
p
C
（k=0,1, ……,n，
q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p 为参数
七、正态分布：
1、函数
)
,
(
,
2
1
)
(
2
2
2
)
(
x
e
x
f
x
的图像称为正态密度分布曲线，
其中
0)
、（
是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
2、基本性质：
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．
②曲线关于直线x= 对称，且在x= 时位于最高点.
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③当时
x
，曲线上升；当时
x
，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限
延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分
布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
