文档文本内容
第十一章 计数原理
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
求展开式中特定项的
新高考 ꎬ 二项式定理 数学原理习得 运算求解 基础性 数学运算
２０２２ Ⅰ １３ 系数
两个计数原理、排列
新高考 ꎬ 排列问题 生活实践情境 运算求解 应用性 数学运算
２０２２ Ⅱ ５ 与组合
两个计数原理、排列 数学运算
新高考 ꎬ 分配问题 生活实践情境 逻辑推理 应用性
２０２０ Ⅰ ３ 与组合 逻辑推理
两个计数原理、排列 数学运算
新高考 ꎬ 分配问题 生活实践情境 逻辑推理 应用性
２０２０ Ⅱ ６ 与组合 逻辑推理
2
命题规律与备考策略
从本章的内容特点来看 常结合有关知识背景 数学文化等命制 类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别 需对排列 组合中的
ꎬ 、 ꎬ 、
有关排列 组合的试题 同时对用二项式定理解决特定项系数问题的 典型题进行分类 而在复习二项式定理时 需要区分项的系数与二
、 ꎬ ꎬ ꎬ
考查频次较多. 项式系数.
本章内容的理论基础为计数原理 可以从计数原理入手 掌握分
ꎬ ꎬ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ２６11.1 排列、组合
考点清单
学生用书P97 知识结构化 考点清单化
考点 两个计数原理、排列与组合 数 ꎬ 用 Ａ ｍ ｎ 表示.
排列数公式 ｍ ｎ ｎ ｎ ｍ .
１.分类加法计数原理 分步乘法计数原理的联系与区别 (３) :Ａｎ ＝ ( －１)( － ＋１)
、 全排列 ｎ个不同元素全部取出的一个排列 叫做ｎ个不同
(４) : ꎬ
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 元素的一个全排列 ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ .
ꎬＡｎ＝ ( －１)( －２)３２１＝ !
ｎ
于是排列数公式写成阶乘形式为 ｍ ! .规定 .
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 Ａｎ＝ ｎ ｍ ０!＝１
( － )!
３.组合
每类办法都能独立完成 每一步得到的只是中间结
定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素并成一组
这件事ꎬ它是独立的、一 果ꎬ任何一步都不能独立完 (１) : ( ≤ ) ꎬ
叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.
区别一 次的ꎬ且每次得到的是最 成这件事ꎬ缺少任何一步也
后结果ꎬ只需一种方法就 不可ꎬ只有各步骤都完成了 组合数定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素的所
(２) : ( ≤ )
可完成这件事 才能完成这件事 有不同组合的个数 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的
ꎬ
组合数 用 ｍ 表示.
各类办法之间是互斥的、 各步之间是相互依存的ꎬ并 ꎬ Ｃｎ
区别二 并列的、独立的 且既不能重复也不能遗漏 计算公式 ｍ Ａ ｍ ｎ ｎ ( ｎ －１)( ｎ － ｍ ＋１) ｎ ! .由于
(３) :Ｃｎ ＝ ｍ＝ ｍ ｍ ＝ｍ ｎ ｍ
２.排列 Ａｍ ( －１)１ !( － )!
定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素 按照一定 ０!＝１ꎬ 故 Ｃ ０ｎ＝１ .
(１) : ( ≤ ) ꎬ ４.组合数的性质
的顺序排成一列 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一
ꎬ ｍ ｎ ｍ
个排列. (１)Ｃｎ ＝Ｃｎ－ ꎻ
(２)
排列数定义
:
从ｎ个不同元素中取出ｍ
(
ｍ
≤
ｎ
)
个元素的所 (２)Ｃ
ｍ
ｎ ＋１＝Ｃ
ｍ
ｎ＋Ｃ
ｍ ｎ－１.
有排列的个数 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列
ꎬ
第
十
一
章
计
数
原
理
２ ２７
题型方法
学生用书P98 题型经典 方法实用
一、排列问题的解题策略 插空法 先排 名男生有 ４ 种站法 再将 名女生插空
(４)( ) ４ Ａ４ ꎬ ５ ꎬ
对于排列问题常用的解题策略有以下几种 : 有 Ａ ５ ５ 种站法 ꎬ 共有 Ａ ４ ４Ａ ５ ５＝２ ８８０ 种站法. (５) 由于甲 、 乙 、 丙的
特殊元素优先安排的策略
( ( １ ２ ) ) 合理分类与准确分步的策 ꎻ 略 ꎻ 顺序一定 ꎬ 所以满足条件的站法共有Ａ ９ ９ ３ ＝６０４８０ 种.
正难则反 等价转化的策略
Ａ３
二、组合问题
(３) 、 ꎻ
相邻问题捆绑处理的策略
组合问题的常见类型及处理方法
(４) ꎻ
:
不相邻问题插空处理的策略
含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这
(５) ꎻ
(１)“ ” “ ” :“ ”ꎬ
定序问题除法处理的策略
(６) ꎻ 些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔
ꎬ ꎻ“ ”ꎬ
分排问题直排处理的策略
(７) ꎻ 除 再从剩下的元素中去选取.
ꎬ
小集团 排列问题中先整体后局部的策略
(８)“ ” ꎻ 至少 或 最多 含有几个元素的组合题型 解这类题必
(２)“ ” “ ” :
构造模型的策略.
(９) 须十分重视 至少 与 最多 这两个关键词的含义 谨防重复
“ ” “ ” ꎬ
例1 名男生和 名女生站成一排.
４ ５
与漏解.用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复
ꎬ
甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(１) ?
杂时 考虑逆向思维 用间接法处理.
ꎬ ꎬ
甲 乙两人必须站在两端的站法有多少种
(２) 、 ? 例2 有 名男医生 名女医生 从中选出 名男医生
(１) ６ 、５ ꎬ ２ 、１
男 女分别排在一起的站法有多少种
(３) 、 ? 名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有
男 女相间的站法有多少种 ( )
(４) 、 ? 种 种 种 种
甲 乙 丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种 Ａ.６０ Ｂ.７０ Ｃ.７５ Ｄ.１５０
(５) 、 、 ? (２０２１沈阳市郊联体一模ꎬ８)中国古典乐器一般按 八音
解析 解法一 特殊优先 先排甲有 种 再排其余的 (２) “ ”
(１) ( ): ６ ꎬ 分类 这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方
人有 Ａ ８ ８ 种 ꎬ 共有站法 ６Ａ ８ ８＝２４１９２０( 种 ) . 法 ꎬ 最 ꎬ 早见于 « 周礼 春官 大师 » .八音分为 “ 金 、 石 、 土 、 革 、
解法二 ( 考虑位置 ): 先排中间和两端的位置有 Ａ ３ ８ 种 ꎬ 再排其 丝 、 木 、 匏 、 竹 ”ꎬ 其中 “ 金 、 石 、 木 、 革 ” 为打击乐器 ꎬ“ 土 、 匏 、 竹 ”
余位置有
Ａ
６
６
种
ꎬ
共有站法
Ａ
３
８Ａ
６
６＝２４１９２０(
种
)
. 为吹奏乐器
ꎬ“
丝
”
为弹拨乐器.某同学安排了包括
“
土
、
匏
、
竹
”
解法三 排除法 ９ ８ 种 . 在内的六种乐器的学习 每种乐器安排一节 连排六节 并要求
( ):Ａ９－３Ａ８＝２４１９２０( ) ꎬ ꎬ ꎬ
特殊优先 先排甲 乙有 ２ 种 再排其余的人有 ７ 种 共 土 与 匏 相邻排课 但均不与 竹 相邻排课 且 丝 不能 (２)( ) 、 Ａ２ ꎬ Ａ７ ꎬ “ ” “ ” ꎬ “ ” ꎬ “ ”
有 ２ ７ 种 . 排在第一节 则不同的排课方式的种数为
Ａ２Ａ７＝１００８０( ) ꎬ ( )
捆绑法 男 女分别捆绑成两组有 ２ 种站法 男 女在本
(３)( ) 、 Ａ２ ꎬ 、 Ａ.９６０ Ｂ.１０２４ Ｃ.１２９６ Ｄ.２０２１
组内各有 ４ ５ 种站法 解析 从 名男医生中选出 名有 ２ 种选法 从 名
Ａ４、Ａ５ ꎬ (１) ６ ２ Ｃ６ ꎬ ５
故不同的站法有 ２ ４ ５ 种 . 女医生中选出 名有 １ 种选法 由分步乘法计数原理得不同
Ａ２Ａ４Ａ５＝５７６０( ) １ Ｃ５ ꎬ
的选法共有 ２ １ 种.故选 . 同的排课方式种数为Ｎ ３ ３ ２ ２ 故共有Ｎ Ｎ
Ｃ６Ｃ５＝７５ Ｃ ２＝Ｃ４Ａ３Ａ２Ａ４＝５７６ꎬ １＋ ２＝７２０
排课可分为以下两大类 丝 被选中 不同的排课方式 种排课方式.故选 .
(２) :①“ ” ꎬ ＋５７６＝１２９６ Ｃ
种数为Ｎ ２ ３ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 丝 不被选中 不 答案 Ｃ Ｃ
１＝Ｃ４Ａ３Ａ２Ａ４－Ｃ４Ａ２Ａ２Ａ３＝７２０ꎻ②“ ” ꎬ (１) (２)
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ２８
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 两个计数原理、排列与组合 馆安排 名 丙场馆安排 名 则不同的安排方法共有
学生用书P267 ２ ꎬ ３ ꎬ ( )
１.(２０２２新高考 ꎬ５ꎬ５分ꎬ应用性)甲 乙 丙 丁 戊 名同学
Ａ.１２０
种
Ｂ.９０
种
Ｃ.６０
种
Ｄ.３０
种
Ⅱ 、 、 、 、 ５
答案 Ｃ
站成一排参加文艺汇演 若甲不站在两端 丙和丁相邻 则不同
ꎬ ꎬ ꎬ
的排列方式共有
５.(２０２０课标 理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ应用性) 名同学到 个小区参加
Ⅱ ４ ３
( )
垃圾分类宣传活动 每名同学只去 个小区 每个小区至少安
种 种 种 种
ꎬ １ ꎬ
Ａ.１２ Ｂ.２４ Ｃ.３６ Ｄ.４８
答案 Ｂ 排 名同学 则不同的安排方法共有 种.
１ ꎬ
２.(２０２１全国乙理ꎬ６ꎬ５分ꎬ应用性)将 名北京冬奥会志愿者 答案
３６
５
分配到花样滑冰 短道速滑 冰球和冰壶 个项目进行培训 每
６.(２０１８课标 理ꎬ１５ꎬ５分ꎬ应用性)从 位女生 位男生中
Ⅰ ２ ꎬ４
、 、 ４ ꎬ
选 人参加科技比赛 且至少有 位女生入选 则不同的选法
名志愿者只分配到 个项目 每个项目至少分配 名志愿者
３ ꎬ １ ꎬ
１ ꎬ １ ꎬ
则不同的分配方案共有
共有 种. 用数字填写答案
( )
( )
答案
种 种 种 种
１６
Ａ.６０ Ｂ.１２０ Ｃ.２４０ Ｄ.４８０
答案 Ｃ ７.(２０１８浙江ꎬ１６ꎬ４ 分ꎬ应用性)从 中任取 个数
１ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ ２
３.(２０２０ 新高考 ꎬ６ꎬ５ 分ꎬ应用性) 名大学生利用假期到 字
ꎬ
从
０ꎬ２ꎬ４ꎬ６
中任取
２
个数字
ꎬ
一共可以组成 个没
Ⅱ ３ ２
个山村参加扶贫工作 每名大学生只去 个村 每个村至少去
有重复数字的四位数. 用数字作答
( )
ꎬ １ ꎬ
答案
人 则不同的分配方案共有
１２６０
１ ꎬ ( )
种 种 种 种
８.(２０１７天津理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ应用性)用数字
１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９
Ａ.４ Ｂ.５ Ｃ.６ Ｄ.８
答案 Ｃ 组成没有重复数字 且至多有一个数字是偶数的四位数 这样
ꎬ ꎬ
４.(２０２０新高考 ꎬ３ꎬ５分ꎬ应用性) 名同学到甲 乙 丙三个 的四位数一共有 个.
(
用数字作答
)
Ⅰ ６ 、 、
答案
场馆做志愿者 每名同学只去 个场馆 甲场馆安排 名 乙场
１０８０
ꎬ １ ꎬ １ ꎬ
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P267
考点 两个计数原理、排列与组合
Ａ.９０ Ｂ.１５０ Ｃ.１８０ Ｄ.３００
１.(２０２２福建４月百校联合测评ꎬ５)共有 名同学参加演讲比 答案 Ｂ
５
赛 在安排出场顺序时 甲 乙排在一起 且丙与甲 乙都不相邻 ４.(２０２２广东湛江、肇庆三模ꎬ６)为提高新农村的教育水平 某
ꎬ ꎬ 、 ꎬ 、 ꎬ
的概率为 地选派 名优秀教师到甲 乙 丙三地进行为期一年的支教活
( ) ４ 、 、
动 每人只能去一个地方 每地至少派一人 则不同的选派方案
１ １ １ ２ ꎬ ꎬ ꎬ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 共有
５ １０ ６ ５ ( )
答案 Ａ 种 种 种 种
Ａ.１８ Ｂ.１２ Ｃ.７２ Ｄ.３６
２.(２０２２辽宁名校联盟二轮复习联考(一)ꎬ４)从 名高一学 答案 Ｄ
３
生 名高二学生中选出 人 分别负责三项不同的任务 若这 ５.(２０２２河北衡水中学六调ꎬ７)数学对于一个国家的发展至关
ꎬ３ ３ ꎬ ꎬ
人中至少有一名高二学生 则不同的选派方案共有 重要 发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需
３ ꎬ ( ) ꎬ
种 种 种 种 求.现某大学为提高数学系学生的数学素养 特开设了 古今数
Ａ.５４ Ｂ.１０８ Ｃ.１１４ Ｄ.１２０ ꎬ “
答案 Ｃ 学思想 世界数学通史 几何原本 什么是数学 四门选修
”“ ”“ ”“ ”
３.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ７) 碳中和 是指企业 团体或个 课程 要求数学系每位同学每学年至多选 门 大一至大三
“ ” 、 ꎬ ３ ꎬ ３
人等在一定时间内直接或间接产生的二氧化碳或温室气体排 学年必须将四门选修课程选完 则每位同学的不同选修方式有
ꎬ
放总量 通过植树造林 节能减排等形式 以抵消自身产生的二
ꎬ 、 ꎬ ( )
氧化碳排放量 实现二氧化碳 零排放 .某 碳中和 研究中心 种 种 种 种
ꎬ “ ” “ ” Ａ.６０ Ｂ.７８ Ｃ.８４ Ｄ.１４４
计划派 名专家分别到Ａ Ｂ Ｃ三地指导 碳中和 工作 每位 答案 Ｂ
５ ꎬ ꎬ “ ” ꎬ
专家只去一个地方 且每地至少派驻 名专家 则分派方法的 ６.(２０２１上海杨浦一模ꎬ１５)从正方体的 个顶点中选取 个
ꎬ １ ꎬ ８ ４
种数为 作为顶点 可得到四面体的个数为
( ) ꎬ ( )
４ ４ ４ ４ 答案 Ａ
Ａ.Ｃ８－１２ Ｂ.Ｃ８－８ Ｃ.Ｃ８－６ Ｄ.Ｃ８－４
第
十
一
章
计
数
原
理
２ ２９
B组 综合应用题组 学生用书P268
25分钟 40分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共３０分) 颜色 则不同的着色方法共有
ꎬ ( )
１.(２０２２辽宁鞍山一中４月线上模拟ꎬ６)为有效阻断新冠肺炎
疫情传播途径 构筑好免疫屏障.从 年 月 日开始 某
ꎬ ２０２２ １ １３ ꎬ
市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作 凡符合接种第三针条件
ꎬ
的市民 要求尽快接种.该市有 个疫苗接种定点医院 现有
ꎬ ３ ꎬ ８ 种 种 种 种
名志愿者将被派往这 个医院协助新冠疫苗接种工作 每个医 Ａ.２４ Ｂ.３０ Ｃ.３６ Ｄ.４８
３ ꎬ 答案 Ｄ
院至少 名至多 名志愿者 则不同的安排方法共有
２ ４ ꎬ ( ) 二、多项选择题(共５分)
种 种 种 种
Ａ.２９４０ Ｂ.３０００ Ｃ.３６００ Ｄ.５８８０ ７.(２０２２山东滨州邹平一中３月月考ꎬ９)如图 在某城市中 Ｍ
答案 Ａ ꎬ ꎬ ꎬ
Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网 其中Ａ Ａ Ａ Ａ 是道路
２.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ３)已知甲 乙 丙 丁 名志 ꎬ １ꎬ ２ꎬ ３ꎬ ４
、 、 、 ４ 网中位于一条对角线上的 个交会处.今在道路网Ｍ Ｎ处的
愿者参加 年冬奥会的 个项目的培训 每名志愿者只能参 ４ ꎬ
２０２２ ３ ꎬ 甲 乙两人分别要到Ｎ Ｍ处 他们分别随机地选择一条沿街的
加 个项目的培训 则甲 乙参加同 个项目培训的概率为 、 ꎬ ꎬ
１ ꎬ 、 １ 最短路径 以相同的速度同时出发 直到到达Ｎ Ｍ处为止 则
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
( ) 下列说法正确的有
( )
１ １ １ １
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２ ３ ４ ６
答案 Ｂ
３.(２０２２福州一模ꎬ６)从集合 的非空子集中任取两个
{１ꎬ２ꎬ３}
不同的集合Ａ和Ｂ 若Ａ Ｂ 则不同的取法共有
ꎬ ∩ ≠⌀ꎬ ( )
种 种 种 种
Ａ.４２ Ｂ.３６ Ｃ.３０ Ｄ.１５
答案 Ｃ
甲从Ｍ到达Ｎ处的方法有 种
４.(２０２２湖南邵阳一模ꎬ６)国庆长假过后学生返校 某学校为 Ａ. １２０
ꎬ 甲从Ｍ必须经过Ａ 到达Ｎ处的方法有 种
了做好防疫工作组织了 个志愿服务小组 分配到 个大门进 Ｂ. ３ ９
６ ꎬ ４
行行李搬运志愿服务 若每个大门至少分配 个志愿服务小 甲 乙两人在Ａ 处相遇的概率为 ９
ꎬ １ Ｃ. 、 ３
组 每个志愿服务小组只能在 个大门进行服务 则不同的分 １００
ꎬ １ ꎬ
配方法种数为 甲 乙两人相遇的概率为４１
( ) Ｄ. 、
１００
Ａ.６５ Ｂ.１２５ Ｃ.７８０ Ｄ.１５６０ 答案 ＢＤ
答案 Ｄ
三、填空题(共５分)
５.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应性月考(八)ꎬ７)从编号分别为
８.(２０２２八省八校联考二ꎬ１５)某学校为落实 双减 政策 在课
的七个大小完全相同的小球中 随机取出三个 “ ” ꎬ
１、２、３、４、５、６、７ ꎬ 后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动.现有甲 乙 丙
小球 则至少有两个小球编号相邻的概率为 、 、 、
ꎬ ( ) 丁四人 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 网球五项活动 由于受个
ꎬ 、 、 、 、 ꎬ
５ ３ ２ １ 人精力和时间限制 每人只能等可能的从中选择一项活动 则
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ꎬ ꎬ
７ ５ ５ ３ 四人中恰有两人参加同一活动的概率为 .
答案 Ａ
６.(２０２０山东潍坊临朐模拟ꎬ８)现有 种不同颜色要对如图所 答案 ７２
４
示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两块不能用同一种 １２５
ꎬ
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P269
(多选)(２０２２ ５３ 原创题)免费师范生政策从 年实施 若每所学校至少分配 名免费师范生 则所有不同分配方案
２００７ Ｃ. １ ꎬ
起 惠及了不少高考学子 同时也让他们的就业有了更好的保 共 种
ꎬ ꎬ ３６
障 现有某省 名免费师范毕业生毕业要回本省的甲 乙 丙三 若每所学校至少分配 名免费师范生 且免费师范生Ａ必须
ꎬ ４ 、 、 Ｄ. １ ꎬ
所学校任教 则下列结论正确的是 到甲学校 则所有不同分配方案共 种
ꎬ ( ) ꎬ １２
所有不同分配方案共 ３种 答案 ＢＣＤ
Ａ. ４
若丙学校最多需 名免费师范生 则所有不同分配方案共 种
Ｂ. １ ꎬ ４８
