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专题04 排列组合与二项式定理小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个
黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有
（ ）种不同的取法.
A．10 B．4 C．16 D．20
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理即可求出结果.
【详解】1次取完：2黑，共1种取法；
2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2种取
法；
3次取完：①前2次中取出一个黑球，第3次取出一个黑球；②前2次都是白球，最后
一次2个黑球，共 .
4次取完：①前3次中取出一个黑球，第4次取出一个黑球；②前3次都是白球，最后
一次2个黑球，共 ；根据分类计数原理知，共10种，
故选：A.
2．（2023·校考模拟预测）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高
中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动
结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两
人必须相邻，
则不同的排法共有 种，
故选： ．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）设，则 （ ）
A．84 B．56 C．36 D．28
【答案】A
【分析】根据给定的展开式特征，列出 的表达式，再利用组合数性质计算作答.
【详解】依题意，
.
故选：A
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）若 ，
则 （ ）
A． B．1 C．15 D．16
【答案】D
【分析】令 计算可得.
【详解】因为 ，
令 可得 .
故选：D
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从
这5种菜中任意选用2种，则 菜有2人选用、 菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54 B．81 C．135 D．162
【答案】C
【分析】先选出选择 菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两
种情况讨论求解即可.
【详解】 菜有2人选用有 种，比如甲、乙选用了 菜，
①甲、乙之中有1人选用了B菜，有 种，比如甲用了B菜，则乙从 中任意选
用1种，有 种，丙从C，D，E中任意选用2种，有 种，故共有②丙选用了B菜，丙再从 中任意选用1种，有 种，甲、乙再从 中各
任
意选用1种，有 种，故共有
由①②可知所有情形是 .
故选：C
6．（2023·浙江·高三专题练习）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶
上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．120 B．210 C．211 D．216
【答案】D
【分析】共有三种情况，3人各站一个台阶，或2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，
或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即可求解．
【详解】由题意分三种情况：
第一种情况是3人各站一个台阶，有 种；
第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有 种，
第三种情况是3人站一个台阶，有 种，
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 种．
故选：D．
7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同
学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，
回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两
名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁
说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（ ）种不同的
可能情况.
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】分冠军为甲乙两人中的一人；冠军为戊，丁为第二名；冠军为戊，丁为第三
名；冠军为戊，丁为第四名，四种情况，结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可.
【详解】解：由题意可知，冠军不会是丙、丁且丁不是第5名，
当冠军为甲乙两人中的一人时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名一定两人中的另一人，丁就只能是第三(四)名，丙和戊两个人就只能是第四(三)和第五名了，此时共有
种情况；
当冠军为戊，丁为第二名时，将甲乙捆绑在一起，内部排列共 种，此时甲，乙，
丙三个人的只能是第三、四、五名了，共有 种，所以此时共有 种情
况；
当冠军为戊，丁为第三名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名只能是丙，第四名
和第五名只能是甲乙，所以此时共有 种情况；
当冠军为戊，丁为第四名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第五名只能是丙，第二名
和第三名只能是甲乙，所以此时共有 种情况；
所以共有 种.
故选：B.
8．（2023·浙江·二模）已知 （ ）的展开式中含
项系数为 ，则含 项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理通项公式分别写出 和 的展开式中含 的项和
含 的项，再由含 项系数为 列式得 的关系式，表示出含 项系数并将其转化
为关于 的一元二次方程式，根据二次函数的性质求解最小值即可.
【详解】二项式 展开式中含 的项为 ，
含 的项为 ，
二项式 展开式中含 的项为 ，含 的项为 ，
由题意得， ，即 ，
所以 展开式中含 项系数为
，
因为 ，当 或 时， 取最小值，
最小值为 ，所以含 项系数的最小值为 .
故选：D
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）二项式 展开式中 的系
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理可得 展开式通项，分别令 即可确定 的系数.
【详解】 展开式通项为： ，
令 ，则 展开式中 的系数为 ；
令 ，则 展开式中 的系数为 ；
令 ，则 展开式中 的系数为 ；
展开式中 的系数为 .
故选：D.
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】首先构造二项式 ，再根据两边求导，
再变形后求导，赋值后即可求解.
【详解】 ，两边求导得，
，两边乘以 后得，
，两边求导得，
，
取 得 .
故选：A
二、填空题
11．（2023·浙江·校联考三模）已知 的展开式中各项系数的和为4，
则实数 的值为___________.
【答案】1
【分析】令 即可求解.
【详解】令 ，可得 ，解得 .
故答案为:1.
12．（2023·浙江杭州·统考一模）在 的展开式中，常数项为 ______ ．
【答案】41
【分析】将问题转化成 的常数项及含 的项，利用二项展开式的通项公式求
出第 项，令 的指数为 ， 求出常数项及含 的项，进而相加可得答案．
【详解】先求 的展开式中常数项以及含 的项；由 得 ，由 得 ；
即 的展开式中常数项为 ，
含 的项为
的展开式中常数项为
故答案为：
13．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）多项式 中，
项的系数为______（用数字作答）．
【答案】
【分析】根据组合数的方法求解即可.
【详解】依题意， 中，含 项的为 .
故答案为：
14．（2023·浙江·校联考模拟预测） 的展开式中 的系数为
___________（用数字作答）.
【答案】14
【分析】根据二项式定理求出含 的项，即可得其系数.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为14.
故答案为：14
15．（2023·浙江·校联考二模） 展开式中 的系数为__________.
【答案】9
【分析】利用二项展开式的通项，分别求出 ， 的展开式中 的系数，即可得出答案.
【详解】∵ 的展开式的通项为 ，
∴令 ，可得展开式中 的系数为 ，
∵ 的展开式的通项为 ，
∴令 ，可得展开式中 的系数为 ，
故 展开式中 的系数为 ．
故答案为：9．
16．（2023·浙江·高三专题练习） 的展开式中 的系数是______.
【答案】20
【分析】直接用二项式定理讨论即可.
【详解】二项式 中， ，
当 中取x时，这一项为 ，所以 ， ，
当 中取y时，这一项为 ，所以 ， ，
所以展开式中 的系数为
故答案为：
17．（2023·浙江温州·统考三模） 展开式的常数项为___________.
（用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【详解】 展开式通项公式
，
令 ，解得 ，则 ，所以 展开式的常数项是 .
故答案为：
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在
这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为
__________.
【答案】8
【分析】利用圆的对称性，分两种情况：相邻两个点和圆心、相间隔的三点，即可求
出结果.
【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；
所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 个.
故答案为：8.
19．（2023·浙江金华·统考模拟预测） 的展开式中 的系数是
___________.（用数字作答）.
【答案】
【分析】求出 展开式的通项，再分别令 的指数等于 和 ，即可得解.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 的展开式中 的系数是 .
故答案为： .
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在 的展开式
中，x的系数为___________．【答案】
【分析】分别列出 的展开式的通项，由此确定结论.
【详解】二项式 的展开式的通项为 ，
二项式 的展开式的通项为 ， ，
所以 ，
令 ，可得 ，
故 或 ，
所以 的展开式中，含x的项为 ，
所以在 的展开式中，x的系数为 .
故答案为： .
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 的展开式中常数项为
120，则 __________.
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于 的方程，解出即可.
【详解】 的展开式通项为 ，
的展开式中的常数项为 ,解得 .
故答案为： .
22．（2023·浙江金华·模拟预测） 除以100的余数是__________．
【答案】1
【分析】将 化为 ，利用二项定理将其展开，即可求得答案.
【详解】，
,
由于 是100的倍数，
故 除以100的余数等于 ，
故答案为：1
23．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测） 展开式中 的系数为________．
【答案】
【分析】由题意可知 ，进而利用展开式的通项公式化简
整理，即可得出结果.
【详解】由题意可知 ， 展开式的通项
中 时，
展开式的通项公式为
由于要求展开式中 的系数，所以 ， ，当 时，展开式的项为 ，
所以展开式中 的系数为 .
故答案为： .
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知 ，则 的展开式中，含
项的系数的最大值为__________.
【答案】54
【分析】分别求出 和 的通项，可求出含 项的系数为对 求导，即可求出 的最大值.
【详解】 的通项为 ，
的通项为 ，
，则含 项的系数为： ；
，则含 项的系数为： ；
所以令 ，
，解得： ； ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
故答案为：54.
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ，设
，则 __________．
【答案】
【分析】先令 ，可求出 ，然后对等式 两边同时求
导，并赋值 即可.
【详解】由 ，取 ，得到 ；
等式两边同时求导，得到 ，取 ，得到 .
于是 .
故答案为：
