北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题十 计数原理
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
1.分类加法计数原理,分步 1.在处理排列、组合的应用问题时,常采用直
1.从近几年的高考命题
乘法计数原理 接法,间接法,在处理二项式问题时常采用公
情况看,考题难度以中低
(1)理解分类加法计数原理 式法.
档为主,题型以选择题,
和分步乘法计数原理.(2)会 2.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇
填空题的形式出现.
一、计数原 用两个原理分析和解决一 到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,
2.考查内容主要体现以
理、排列、 些简单的实际问题. 同时所求计数的结果不太容易计算时,往往
下方面:(1)利用排列、
组合 2.排列与组合 利用表格法、树状图法将其所有的可能一一
组合解决实际问题或利
(1)理解排列、组合的概念. 列举出来,这样会更容易得出结果.
用排列、组合解决概率
(2)能利用计数原理推导排
有关问题;(2)利用二项
3.求解二项式展开式的特定项时,即求展开式
列数公式、组合数公式. 中的某一项,如第n项,常数项,有理项,字母指
式展开式的通项求指定
(3)能解决简单的实际问题.
项系数或求二项式系数
数为某些特殊值的项,先准确写出通项T
r+1
=
问题;(3)利用二项式展
Cr
an-rbr,再把系数与字母分离出来(注意符
n
开式求二项式系数最值
1.能用计数原理证明二项式 号),最后根据题目中指定的字母的指数所具
问题或求系数最值问题,
二、二项式 定理. 有的特征,列出关系式求解即可.
常以这些内容为考查重
定理 2.会用二项式定理解决与二 4.关注排列、组合在解决求离散型随机变量
点,同时关注分类讨论思
项展开式有关的简单问题. 分布列中的应用,能够在不同背景下抽象的
想在处理排列、组合问
数学本质,强化在知识的形式过程,知识的迁
题中的应用.
移中渗透学科素养.
【真题探秘】
命题立意
(1)必备知识:计数原理与排列、组合.
(2)考查能力:逻辑推理能力与运算求解能力.
(3)核心素养:数学运算.
解题过程
第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有 C1=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有 C2
6 5
=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有 C3=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C.
3
易错警示
对于排列、组合问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题,还是组合问题.
知能拓展北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(1)原理解读:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区
别在于一个与分类有关,一个与分步有关.这两个计数原理是最基本也是最重要的计数原理,是解答排列与组合问题,尤其是
解答较复杂的排列与组合问题的基础.
(2)方法拓展:解排列问题的主要方法有直接法、优先法、捆绑法、插空法、间接法.分配问题有平均分配问题与非平均分
配问题.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项
2020新高考Ⅰ,3 5 易 排列、组合 分配问题 直接法 数学运算
选择题
单项
2020新高考Ⅱ,6 5 易 排列、组合 分配问题 直接法 数学运算
选择题
求展开式中指定项的系 数学运算
2020课标Ⅰ理,8 5 选择题 中 二项式定理 分类讨论法
数 逻辑推理
求展开式中指定项的系 数学运算
2020北京,3 4 选择题 易 二项式定理 公式法
数 逻辑推理
求展开式中指定项的系 数学运算
2020天津,11 5 填空题 易 二项式定理 公式法
数 逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,考题难度以中低档为主,主要以选择题、填空题的形式出现,分值为5分.
2.本专题内容在高考试题中以排列组合的综合应用,利用二项式定理求二项式系数或求指定项系数为主,考
查了学生处理问题的思维严密性和分类讨论的数学思想方法.
3.在处理排列组合的应用问题时,常采用直接法、间接法;在处理二项式问题时常采用公式法.
4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.从2020年高考情况来看,考查方式及题目难度与往年变化不大,延续此前的考试风格.
2.考查内容主要体现在以下方面:①利用排列、组合解决实际问题,或利用排列、组合解决概率有关问题.②
利用二项展开式的通项公式求指定项系数或求二项式系数问题.③利用二项式展开式求二项式系数最值问
题或求系数最值问题.常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论思想在处理排列、组合问题中的应用.
3.加强关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象出数学本质.强化
在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.
4.真题典例
核心考点 (1)排列、组合;
(2)分组、分配问题.
知识储备 (1)解排列问题的主要方法:直接法,特殊位置或元素优先考虑法、相邻捆绑法、不相邻插空法;间
接法.
(2)分组分配:先分组后分配原则,必须注意是均匀分配还是非均匀分配问题;
(3)排列、组合问题中注意适当分类后可避免重复计数问题.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
思路分析 (1)这是一个定向的完全不均匀分配问题;
(2)先把6名学生按人数分为1、2、3三个小组,再分别去三个场馆.
易错警示 本题是一个完全不均匀分组后再定向分配问题,容易出现分组再分配的错误.
命题规律 分组、分配问题是排列、组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.
分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:
①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;
②部分均匀分组,应注意不要重复;
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
§10.1 计数原理与排列、组合
基础篇
【基础集训】
考点 计数原理、排列、组合
1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为( )
A.16 B.13 C.12 D.10
答案 C
2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 ( )
A.14 B.13 C.12 D.10
答案 B
3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员
打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有 ( )
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
答案 C
4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进
行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有 ( )
A.72种 B.36种 C.24种 D.18种
答案 B
5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则比40 000大的偶数共有 ( )
A.114个 B.120个 C.96个 D.72个
答案 B
6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同
学选择日月湖景区的方案有 ( )
A. A2 × A4种 B. A2 ×54种
6 5 6北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C. C2 × A4种 D. C2 ×54种
6 5 6
答案 D
7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种
颜色多次使用,则不同的涂色方法共有 种.
答案 180
8.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需
到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为 .
答案 12
[教师专用题组]
【基础集训】
1.(2020山西大同开学学情调研,4)从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞
赛代表队,则不同的选法共有 ( )
A.15种 B.180种 C.360种 D.90种
答案 B 先从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人中选2人,故有 =180种,故选
A2C2
6 4
B.
解题关键 解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有关系.
2.(2019陕西汉中二模,10)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办,组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两
个不同的接待处负责接待工作,每个接待处至少2人,则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有 (
)
A.12种 B.22种 C.28种 D.30种
答案 C 将6名工作人员分成A,B两组,对应两个不同的接待处,由题可分两种情况讨论:
①甲在A组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有 + + =14种分法;
C1 C2 C3
4 4 4
②甲在B组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有 + + =14种分法.
C1 C2 C3
4 4 4
一共有14+14=28种分法.故选C.
解题关键 本题考查分类加法计数原理,解题的关键是分类列出所有可能情况,属于一般题.
3.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物
竞赛,则不同的参赛方案种数为 ( )
A.48 B.72 C.90 D.96
答案 D 根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛,分2种情况讨论:①选出的4人中没有甲,即选出
其他4人参赛,有
A4
=24种情况;②选出的4人中有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,在剩余4人
4
中任选3人参加剩下的三科竞赛,有 =24种选法,则此时共有3×24=72种选法,故共有24+72=96种不同的
A3
4
参赛方案.故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,
而丙没有入选的不同选法的种数为 ( )
A.85 B.49 C.56 D.28
答案 B ∵丙没有入选,∴只需把丙去掉,总的元素个数变为9.∵甲、乙至少有1人入选,∴由条件可分为两类:
一类是甲、乙两人只选一人,选法有 · =42种;另一类是甲、乙都选,选法有 · =7种,根据分类计数
C1C2 C2C1
2 7 2 7
原理知共有42+7=49种,故选B.
5.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,
则不重复(除交汇点O外)的游览线路有 ( )
A.6种 B.8种 C.12种 D.48种
答案 D 从点P处进入后,参观第一个景点时,有6个路口可以选择,从中任选一个,有 种选法;参观完第一
C1
6
个景点,参观第二个景点时,有4个路口可以选择,从中任选一个,有 种选法;参观完第二个景点,参观第三个
C1
4
景点时,有2个路口可以选择,从中任选一个,有 种选法,则共有 =48(种),故选D.
C1 C1C1C1
2 6 4 2
综合篇
【综合集训】
考法一 排列、组合问题的解题方法
1.(2019重庆万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另
一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( )
A.42种 B.14种 C.12种 D.24种
答案 D
2.(多选题)(2021届山东师大附中模拟)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最
基本的符号:“——”和“— —”,其中“——”在二进制中记作“1”,“— —”在二进制中记作“0”,
其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,则可以组成的不同的十进制数
为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 ABCD
3.(2020山东烟台期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”
“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”
不排在最后一周,则所有可能的排法种数为 ( )
A.216 B.480 C.504 D.624
答案 C
4.(2019甘肃嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果
2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为 .北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 60
5.(2020广东广州执信中学月考,14)有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有
个.
答案 14
考法二 分组分配问题的解题方法
6.(2021届辽宁上学期测试,7)我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘
核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为 ( )
A.30 B.60 C.90 D.120
答案 D
7.(2019广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至
少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有 ( )
A.72种 B.108种 C.180种 D.360种
答案 C
8.(2019福建厦门一中月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中到厦门“两日游”,若他们不同一天
出现在厦门,则他们出游的不同方案共有 ( )
A.16种 B.18种 C.20种 D.24种
答案 C
9.(2021届浙江高考选考科目9月联考,15)某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间
段值班,要求每班至少含一名民警和一名医务人员,且至少有一名女性,每人值一班.现有民警4人(4男),医务
人员6人(5女1男),其中民警甲不排上午,男医生不排上午、下午,则不同的安排方法有 种.
答案 8 640
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 排列、组合问题的解题方法
1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有
( )
A.250个 B.249个 C.48个 D.24个
答案 C 先考虑四位数的首位,当排数字4,3时,其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列,
得到的四位数都满足题设条件,因此依据分类加法计数原理可得满足题设条件的四位数共有2
A3
4
=2×4×3×2=48个,故选C.
2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且
乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为 ( )
A.60 B.96 C.48 D.72北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 C 第一步:先把乙和丙,丁和戊看作两个整体,和己进行全排列,共有 种站法;第二步:安排甲,
A3A2A2
3 2 2
因为甲不站在两侧,所以从乙和丙,丁和戊,己之间的两个空中任取一个,共有2种站法,所以共有2
A3A2A2
3 2 2
=48种不同的站法,选C.
3.(2020吉林延边二中9月月考,8)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和
丙必须排在相邻的顺序出场,则不同的演出顺序共有 ( )
A.24种 B.144种 C.48种 D.96种
答案 D 把乙、丙看作一个元素,此时有5个元素,若甲排第一个,有 =48种情况,若甲排最后一个,有
A4A2
4 2
A4A2
=48种情况,共有48+48=96种情况,故选D.
4 2
解题关键 本题主要考查排列的应用,结合特殊元素优先法以及相邻问题捆绑法是解决本题的关键.
4.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区
各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有 ( )
A.90种 B.180种 C.270种 D.360种
答案 B 根据题意,分3步进行分析:①在6位志愿者中任选1位,安排到甲展区,有
C1
=6种情况;②在剩下
6
的5位志愿者中任选1位,安排到乙展区,有
C1
=5种情况;③将剩下的4位志愿者平均分成2组,然后安排到
5
C2C2
剩下的2个展区,有 4 2× A2=6种情况,则一共有6×5×6=180种不同的安排方案,故选B.
A2 2
2
5.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、
(4)班每班各两名.8名同学分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中
(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方
式共有 ( )
A.18种 B.24种 C.48种 D.36种
答案 B 由题意,有两类:第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下2名同学要来自不同的班级,从3个
班级中选2个班级,有 =3种情况,然后分别从选择的班级中再选择1名同学,有 =4种情况,故有
C2 C1C1
3 2 2
3×4=12种情况.第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择1个班级的2名同学坐在甲
车上,有 =3种情况,然后再从剩下的2个班级中分别选择1名同学,有 =4种情况,这时共有3×4=12种
C1 C1C1
3 2 2
情况.根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.
6.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求
其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为 .(用数字作答)
答案 20
解析 从5人中任选3人有 C3种,将3人位置全部进行调整,有 C1 · C1 · C1种,故有 C3 · C1 · C1 · C1 =20种调整
5 2 1 1 5 2 1 1
方案.
思路分析 先考虑从5人中任选3人的方法数,再考虑3人位置全调的方法数,进而利用分步乘法计数原理得
结果.
