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6.7 排列组合17 种策略总结
题型一：特殊元素和特殊位置优先策略............................................... 2
题型二：相邻元素捆绑策略............................................................. 2
题型三：不相邻问题插空策略.......................................................... 4
题型四：平均分组.........................................................................6
题型五：部分平均分组................................................................... 9
题型六：不平均分组.................................................................... 10
题型七：相同元素隔板法模型.........................................................10
题型八：倍缩法解决定序问题.........................................................12
题型九：排队问题....................................................................... 13
题型十：多排问题....................................................................... 15
题型十一：错位排列.................................................................... 16
题型十二：环排问题.................................................................... 18
题型十三：间接法（正难则反）......................................................21
题型十四：涂色问题.................................................................... 22
题型十五：多面手问题................................................................. 25
考点十六：分解与合成模型和最短路径问题........................................27
考点十七：构造法模型、递推模型与化归策略.....................................30
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6.7 排列组合17 种策略总结
题型一：特殊元素和特殊位置优先策略
【例题1】由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
1
3
C
然后排首位共有
1
4
C
最后排其它位置共有
3
4
A
由分步计数原理得
1
1
3
4
3
4
288
C C A
1：7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同
的种法？
2.用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24 个
B。30 个
C。40 个
D。60 个
3.数字“ 2016 ”中，各位数字相加和为9 ，称该数为“长久四位数”，则用数字
6,5,4,3,2,1,0
组成的无重复数
字且大于2016 的“长久四位数”有（
）个
A．39
B．40
C．41
D．42
4：7 人站成两排队列，前排3 人，后排4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，
其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（
）
A．120
B．240
C．360
D．480
题型二：相邻元素捆绑策略
【例题】7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相
邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
5
2
2
5
2
2
480
A A A
种不同的排法
乙
甲
丁
丙
1．5 个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（
）
A．24 种
B．36 种
C．48 种
D．72 种
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起
作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
第一步
首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；
第二步
然后运用排列组合求出其不同的排列中种数；
第三步
得出结论.
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2.有两排座位，前排11个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且
这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（
）
A. 234
B. 363
C. 350
D. 346
3.有6 个座位连成一排，现有3 人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（
）
A．36
B．48
C．72
D．120
4．2020 年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘
坐6 架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6 号，要求到达武汉天河飞机场时，
每五分钟降落一架，其中1 号与6 号相邻降落，则不同的安排方法有（
）
A．60
B．120
C．144
D．240
5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不
同的站法共有(
)
A．72 种
B．108 种
C．36 种
D．144 种
6．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两
位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（
）
A．8 种
B．12 种
C．20 种
D．24 种
7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6 个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，
程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（
）
A．144 种
B．96 种
C．48 种
D．34 种
8.从6 名志愿者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者
都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（
）
（A）
280 种
（B）240 种
（C）180 种
（D）96 种
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9.7 个人站成两排，前排3 人，后排4 人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（
）种
站排方式．
A．672
B．864
C．936
D．1056
10.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C 三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每
项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A 活动，则不同的分配方法有
种．（用数字作答）
题型三：不相邻问题插空策略
【例题】一个晚会的节目有4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2 个相声和3 个独唱共有
5
5
A 种，第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空
位共有种
4
6
A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
5
4
5
6
A A
种
1.七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？
2.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
3.某人射击8 枪，命中4 枪，命中的4 枪中恰有3 枪连在一起的情形有多少种？
4.马路上有8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的
两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
5.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化
学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（
）
A．72 种
B．144 种
C．288 种
D．360 种
6.只用1,2,3,4 四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样
的五位数有（
）
A．96
B．144
C．240
D．288
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
第一步
可先把无位置要求的几个元素全排列；
第二步
再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端；
第三步
得出结论.
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7.楼道里有9 盏灯，为了节约用电，需关掉3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，
则关灯方案的种数为(
)
A．10
B．15
C．20
D．24
8.某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安
排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（
）
A．60
B．48
C．36
D．24
9.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同
的站法共有(
)
A．72 种
B．108 种
C．36 种
D．144 种
10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从
包括甲、乙、丙在内的7 名学生中选派4 名学生参加，要求甲、乙、丙这3 名同学中至少有1人参加，且当
这3 名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4 名学生不同的朗诵顺序的种数为（
）
A．720
B．768
C．810
D．816
11.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相
同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）
A．48 种
B．72 种
C．78 种
D．84 种
12.某中学话剧社的6 个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2 个演员，则高一与高二两个年级
中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（
）
A．48
B．144
C．288
D．576
13.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方
法数为（
）.
A．432
B．576
C．696
D．960
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14.中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周
六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程
讲座活动的不同排课顺序共有(
)
A．18 种
B．36 种
C．72 种
D．144 种
15.电影院一排10 个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有
空位且甲坐在中间的坐法的种数为（
）
A．40
B．36
C．32
D．20
16.某公共汽车站有6 个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228 路公交车的到来，由于
市内堵车，228 路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2 个连
续空座位的候车方式的种数是(
)
A．48
B．54
C．72
D．84
题型四：平均分组
【方法技巧与总结】
分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以
n
n
A ；
如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以
m
m
A
.
【例题1】将4 人平均分成两组，有多少种不同的分法？
分析：如果象例1 一样，则有C
2
4=6 种。但事实上，将ABCD 四人平均分成两组，只有AB-CD、AC-BD、AD-BC
三种。为什么呢？我们不难发现，从4 人中选2 人时，选AB 或CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD
应是同一组，即每种分法都重复了2 次。故正确的分组种数为
2
2
4
2
2
2
3
C C
A
种。
【例题2】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆）
(2)一组一本，一组二本，一组三本
(3)一组四本，另外两组各一本
分析：（1）
2
2
2
6
4
2
3
3
C C C =15
A
(2) C
1
6C
2
5C
3
3=60
(3)
4
1
1
6
2
1
2
2
C C C =15
A
1.有6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（
）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2 本，有15 种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4 本，另两人各1 本，有180 种分法；
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C．分给甲乙每人各2 本，分给丙丁每人各1 本，共有90 种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2 本，另两人各1 本，有1080 种分法；
2.将6 名实习教师分配到3 所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1 个学校，每个学校至少分配1 名
实习教师，则不同的分配方案共有（
）
A．240 种
B．360 种
C．450 种
D．540 种
3.某社区为了做好疫情防控工作，安排6 名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸
三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（
）
A．450 种
B．72 种
C．90 种
D．360 种
4.将4 名新招聘的工人分配到A，B 两个生产车间，每个车间至少安排1 名工人，则不同安排方案有（
）
A．36 种
B．14 种
C．22 种
D．8 种
5.某班开展阅读比赛，老师选择了5 本不同的课外书，要求每位同学在3 天内阅读完这5 本课外书，每天
至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（
）
A．540 种
B．300 种
C．210 种
D．150 种
6.某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C 三个企业的调研工作，每个企业去2 人，且
甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（
）
A．42 种
B．30 种
C．24 种
D．18 种
7.将5 名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4 个项目参加志愿活动，每名志愿
者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
8.2023 年8 月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5 支志愿团队中任选1 支救援物资接收点服
务，另外4 支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到
1 个项目，且每个项目至少分配1 个志愿团队，则不同的分配方案种数为（
）
A．36
B．81
C．120
D．180
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9.若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅
能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（
）种安排方法
A．335
B．100
C．360
D．340
10.将5 名女老师和5 名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，
且有男老师的社区至少有2 名女老师，则不同的分配方法有（
）
A．1880 种
B．2940 种
C．3740 种
D．5640 种
11.有5 人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有
一个参会人入住，则这样的安排方法共有（
）
A．96 种
B．124 种
C．150 种
D．130 种
12.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个
社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（
）
A．540种
B．180 种
C．360种
D．630 种
13.佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6 名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、
中门3 个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，
若每个楼门至少分配1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1 个楼门进行服务，则不同的分配方法
种数为（
）
A．240
B．180
C．690
D．150
14.一支医疗小队由3 名医生和6 名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1 名和护
士1 至3 名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.
15.A、B、C、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同
一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.
16.安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，
著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6 个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座
山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2 个班级选择黄山的方案有__________种．
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17.按下列要求分配6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1 份1 本,1 份2 本,1 份3 本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1 本,一人得2 本,一人得3 本;
（3）平均分成三份,每份2 本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2 本;
（5）分成三份,1 份4 本,另外两份每份1 本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4 本,另外两人每人得1 本;
（7）甲得1 本,乙得1 本,丙得4 本.
题型五：部分平均分组
1.将甲、乙等5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路
口的分配方案共有（
）
A．81 种
B．72 种
C．63 种
D．36 种
2.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友
谊．现有6 支救援队前往
, ,
A B C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每
个受灾点至少安排1 支救援队，其中A 受灾点至少需要2 支救援队，则不同的安排方法种数是（
）
A．180
B．240
C．320
D．360
3.教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5 名
教师到A、B、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1 人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法
数有（
）种
A．25
B．60
C．90
D．150
4.某高校大一新生中的6 名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲
团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1 个社团且每个社团至多两人参加，则这6 个
人中至多有1 人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680
B．4770
C．5040
D．5200
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题型六：不平均分组
1.安排4 名男生和3 名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3 人，且社团甲的男生数不
少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（
）
A．31
B．53
C．61
D．65
2.第24 届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于2022 年2 月4日开幕，共设7 个大项．现将甲、乙、
丙3名志愿者分配到7 个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人
被分到同一大项的情况有（
）
A．42 种
B．216 种
C．96种
D．126种
3.甲乙丙丁4 位大学生前往A ，B ，C 3 个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少
安排1 人，其中甲只能去B ，C 两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（
）
A．36
B．12
C．24
D．18
题型七：相同元素隔板法模型
【例题】有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把
名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
6
9
C 种分法。
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班
1.某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3 个班，每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（
）
A．15
B．20
C．10
D．30
2.学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别
的名额不比班级序号少，即三（1）班至少1个名额，三（2）班至少2 个名额，……，则分配方案有（
）
A．8种
B．10种
C．165种
D．495 种
将n 个相同的元素分成m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1 块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1 个空
隙中，所有分法数为
1
1
m
n
C
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3.现有9 个相同的球要放到3 个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不
同放法的种数是（
）
A．28
B．24
C．18
D．16
4.学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1 个名额，则有（
）种分配
方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
5.方程
1
2
3
4
12
x
x
x
x
的正整数解共有（
）组
A．165
B．120
C．38
D．35
6.有10 个运动员名额分给7 个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.
7.现有15 个省三好学生名额分给1、2、3、4 共四个班级，其中1 班至少2 个名额，2 班、4 班每班至少3
个名额，3 班最多2 个名额，则共有_________种不同分配方案.
8：6 个志愿者的名额分给3 个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.
9.泗县一中举行“建党100周年朗诵比赛”，学校给了高二7 个文科班10个参赛名额，要求每班至少一个同学
参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
10.某地举办高中数学竞赛，已知某校有20 个参赛名额，现将这20 个参赛名额分配给A，B，C，D 四个班，
其中1 个班分配4 个参赛名额，剩下的3 个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
11.将10 个学生干部的培训指标分配给7 个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有
_______种．
12.将6 个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3 个球，共有_________种不同的
放法.
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13.不定方程
12
x
y
z
的非负整数解的个数为_______.
14.将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案种
数为__________.
15.某校准备参加高中数学联赛，把16 个选手名额分配到高三年级的1～4 班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
16.将20 个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5 的五个盒子中．
(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
17.方程
1
2
n
x
x
x
k
（,
*
k n
N
，k
n
）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？
题型八：倍缩法解决定序问题
1.将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(
)
A．480
B．360
C．120
D．240
2.由数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（
）
A．120 个
B．100 个
C．300 个
D．600 个
3.在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A B C D E F
､､､､､
共6 项成果要汇报，如果B 成果不能最先
汇报，而A､C､D 按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（
）
A．100
B．120
C．300
D．600
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4.某学校组织6×100 接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F 等6 位同学参加比赛．在安排这6
人的比赛顺序时要保证A 要在B 之前，D 和F 的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（
）
A．240 种
B．180 种
C．120 种
D．150 种
5.现有5 名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，
站法种数为（
）
A．36
B．24
C．20
D．12
6.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香
菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡
脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（
）
A．6 种
B．12 种
C．36 种
D．72 种
7.小武是1993 年12 月18 日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8 个数
字进行排列得到一个8 位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（
）
A．2760
B．3180
C．3200
D．3360
题型九：排队问题
1.街头篮球比赛后，红、黄两队共6名队员（红队3人，黄队3人）合照，要求6人站成一排，红队3人中
有且只有2 名队员相邻，则不同排队的方法共有（
）
A．432 种
B．216 种
C．144 种
D．72 种
2.七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（
）
A．48 种
B．72 种
C．90 种
D．144 种
3：5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（
）
A．
5
2
5
4
A A 种
B．
5
2
5
5
A A 种
C．
5
2
5
6
A A 种
D．
7
6
7
6
4
A
A
种
4.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排
队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（
）
A．240 种
B．120 种
C．188 种
D．156 种
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5.新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有
关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有A 、
B 、C 、D 、E 、F 六个班排队吃饭，A 班必须排在第一位，且D 班、E 班不能排在一起，则这六个班排
队吃饭的不同方案共有（
）
A．20 种
B．56 种
C．72 种
D．40 种
6.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（
）
A．48
B．72
C．90
D．120
7.（多选题）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（
）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
8、3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5 名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2 个人；
(9)排成前后两排，前排3 人，后排4 人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
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9、有4 个男生，3 个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7 个人排成一列，4 个男生必须连排在一起；
(2)7 个人排成一列，3 个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7 个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7 个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻.
10.若A ，B ，C ，D ，E 五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数
(1) A ，B 两人不站在一起；
(2) A 不站在最左边，B 不站最右边；
(3)如果又来了一位F 同学，六个人站一排，C 、D 站在中间，A 站在B 的右边；
(4)若5 个人站成两排，其中一排站2 个人，另一排站3 个人．
题型十：多排问题
1、6 个人站成前后两排照相，要求前排2 人，后排4 人，那么不同的排法共有（
）
A．30 种
B．360 种
C．720 种
D．1440 种
2、6 个人站成前、中、后三排，每排2 人，则不同的排法有
种．
3.毕业季，6 位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同
排法共有（
）
A．40 种
B．20 种
C．180 种
D．90 种
4、10 名同学拍照，站成前排3 人后排7 人，现摄影师要从后排7 人中抽2 人调整到前排，若其他人的相
对顺序不变，则不同调整方法的总数是（
）
A．168
B．420
C．840
D．20160
5.某次数学获奖的6 名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有
多少种站法（
）
A．36
B．90
C．360
D．720
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题型十一：错位排列
【方法技巧与总结】
错位排列公式
1
( 1)
(
1)
!
!
i
n
n
i
D
n
n
1.“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个自然数填到如
图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一个数，且9 个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字
5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，
则不同的填法种数为（
）
A．72
B．108
C．144
D．196
2.编号为1、2、3、4、5 的5 个人分别去坐编号为1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个人的编
号与座位号一致的坐法有（
）
A．10 种
B．20 种
C．30 种
D．60 种
3.将编号为1、2 、3 、4、5、6的小球放入编号为1、2 、3、4、5 、6的六个盒子中，每盒放一球，若
有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（
）
A．90
B．135
C．270
D．360
4.将编号为1､2､3､4､5､6 的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6 的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有
且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（
）
A．20
B．40
C．120
D．240
5.同室4 人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4 张贺卡不同分配方式
有
A．8 种
B．9 种
C．10 种
D．12 种
6.元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张
贺卡不同的分配方式有（
）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
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7.若5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5 张卡片放入一个不透明的箱子里，并
搅拌均匀，再让这5 人在箱子里各摸一张，恰有1 人摸到自己写的卡片的方法数有（
）
A．20
B．90
C．15
D．45
8：5 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（
）
A．42
B．44
C．46
D．48
9.若5 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1 个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（
）
A．45 种
B．40 种
C．55 种
D．60 种
10.若4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.
A．4
B．8
C．12
D．24
11．5 个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若5 个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､
大小均相同），并将这5 张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有
1人需回答自己问题的种数为___________.
12．4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的
帽子方案总数为____________.（用数字作答）
13．一辆小客车上有5 个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客
1P ,
2P ,
3P ,
4P ,
5P 的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照
座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1 号座位,这时司机要求余下的乘客按以
下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5 个座位
的剩余空位中任意选择座位.
乘客
1P
2P
3P
4P
5P
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
（1）若乘客
1P 坐到了3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4 种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填
入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
（2）若乘客
1P 坐到了2 号座位,其他乘客按规则就座,求乘客
5P 坐到5 号座位的概率.
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14.将4个编号为1、2 、3 、4的不同小球全部放入4个编号为1、2 、3 、4的4个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多
少种不同的放法？
15.n 个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下
列情况时，有多少种可能？
(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；
(2)有人取回了他原来的物品；
(3)恰好只有一人取回他原来的物品.
16.将用1～6 编号的六张卡片，插入用1～6 编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：
(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；
(2)恰好有3 张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.
题型十二：环排问题
【方法技巧与总结】
在圆排列数中：
（1）n 个元素围成一圈其圆排列数为(
1)!
n
（2）在n 个元素中，每次取出m 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为
m
n
A
m
．
（3）当从n 个相异的元素中，每次取出m 颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环
时完全相同，故圆环数为
2
m
m
A
m
．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理．
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1：21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1 到3 循环报数，报数字“3”的人出来表演
节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（
）
A．19
B．38
C．51
D．57
2.A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，
C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（
）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
3.现有8 个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（
）
A．
3
5
6
5
A
A
B．
8
6
3
8
6
3
A
A
A
C．
3
3
5
3
A
A
D．
7
5
3
7
5
3
A
A
A
4.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课
题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（
）．
A．6 种
B．8 种
C．12 种
D．16 种
5.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，
且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（
）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
6.已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的
排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m 位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60
种，那么这m 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（
）
A．24
B．48
C．60
D．120
7：8 人围桌而坐，共有______种坐法.
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8：5 个女孩与6 个男孩围成一圈，任意2 个女孩中间至少站1 个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
9：10 位男生10 位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________
10：4 个人围坐在如图所示的8 张椅子中的4 张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相
对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
11：7 颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈．
12：8 名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法．
13.一个圆桌有十二个座位，编号为1 至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与
其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.
14.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学
课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
15.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，
且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有_____________种．
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16.有5 对夫妇和A ，B 共12 人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12 个座位的圆桌上就餐（旋转之后算
相同坐法）．
（1）若5 对夫妇都相邻而坐，A ，B 相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5 对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A ，B 不相邻，共有多少种坐法？
题型十三：间接法（正难则反）
1.用1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.
2.如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则
从A 到B 的最短路径有（
）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
3.某老师一天上3 个班级的课，每班一节，如果一天共9 节课，且老师不能连上3 节课（第5 节和第6 节
不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种．
4.从2，4，6，8，10 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg
lg
a
b
-
的不同值的个数
是（
）
A．20
B．18
C．10
D．9
5.某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽
培”“蔬菜种植”“3D 打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3 名学生至少有2 名学生所选劳动课全不
相同的方法种数共有（
）
A．2080
B．2520
C．3375
D．3870
6.2022 年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村
BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6 个与此相关的短视
频a ，b ，c ，d ，e，f ，准备从这6 个短视频中再选出3 个向学生推荐，则a ，b ，c 至少选1 个的方
法种数为（
）
A．8
B．18
C．19
D．24
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7.甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学
科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（
）种不同的参加方法
A．72
B．144
C．216
D．240
8.四面体的顶点和各棱的中点共10 个点．在这10 点中取4 个不共面的点，则不同的取法种数为（
）
A．141
B．144
C．150
D．155
9.某校组织一次认识大自然的活动，有10 名同学参加，其中有6 名男生､4 名女生，现要从这10 名同学中
随机抽取3 名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（
）
A．192 种
B．120 种
C．96 种
D．24 种
10.现有16 张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求这3 张卡片不
能是同一颜色，且绿色卡片至多1 张，则不同的取法种数为（
）
A．484
B．472
C．252
D．232
11.中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年10月31
日15:37 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天
和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕. 2023年，中国空间站
将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等4 名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、
乙两人不同舱，则不同的安排方法有（
）
A．24 种
B．30 种
C．66 种
D．以上都不对
题型十四：涂色问题
【方法技巧与总结】
涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情
形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
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k 种颜色圆周染色问题
如图，把一个圆分成(
2)
n n
个扇形，每个扇形用k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有
(
1)
(
1)
( 1)
n
n
na
k
k
种方法.
正常着色定理
如图，用k （k 为正整数）种颜色给图的n 个顶点着色，则正常着色的方法为：
,
(
1)
( 1) (
1),
2
n
n
n k
F
k
k
n
，
1,k
F
k
.
1.用红、黄、蓝3 种颜色给如图所示的6 个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2 个圆，且相邻2 个圆所涂
颜色不能相同，则不同的涂法种数为（
）
A．24
B．30
C．36
D．42
2.如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出
的5 种不同的颜色中最多可以选择4 种不同的颜色给这5 个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，
每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（
）种
A．120
B．240
C．300
D．360
3.用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法
有（
）
A．96种
B．48 种
C．144 种
D．72 种
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4.用6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B 所示区域）用相同颜色，则不同的
涂法共有________种．（用数字作答）
5.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄
荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区
域内，则共有______种不同的涂色方法.
6.如图，节日花坛中有5 个区域，现有4 种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，
则符合条件的种植方案有_____________种.
7.如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的
两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
A．288 种
B．264 种
C．240 种
D．168 种
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8.如图，用5 种不同的颜色给图中A，B，C，D 四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的
涂法共有__________种.
9．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分.现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且
相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）
10.如图，用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，
且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
题型十五：多面手问题
【方法技巧与总结】
解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，
做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终．
1.我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其
余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有（
）种不同的选法．
A．675
B．575
C．512
D．545
2.某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，
现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（
）种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
3.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临
近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，
2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方
法共有（
）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
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4.某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．现要选派划
左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（
）
A．56 种
B．68 种
C．74 种
D．92 种
5.某龙舟队有8 名队员，其中3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨.现要选派划
左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（
）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
6.在11名工人中,有5人只当钳工, 4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工，现从11人中选出4人当钳工,
4人当车工,则共有（
）种不同的选法.
A．120
B．125
C．180
D．185
7.某公园有P，Q，R 三只小船，P 船最多可乘3 人，Q 船最多可乘2 人，R 船只能乘1 人，现有3 个大人
和2 个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为
A．36 种
B．33 种
C．27 种
D．21 种
8.我校去年11 月份，高二年级有9 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余
4 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有______种不同的选法
9.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙
舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨.现要选派
3 人划左桨、3 人划右桨共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.
10：6 名工人，其中2 人只会电工，3 人只会木工，还有1 人既会电工又会木工，选出电工2 人木工2 人，
共有______种不同的选法．
11.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，
有___________种选派方法（填数字）.
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12.在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7 人能唱歌，6 人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2 人唱歌2 人伴舞的节目，有多少种选派方法？
考点十六：分解与合成模型和最短路径问题
【方法技巧与总结】
分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解
决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案．
1.有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一
个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不
同走法？
A．6
B．8
C．10
D．12
2.夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一
段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M
处，学校在N 处，AB 段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（
）条．
A．23
B．24
C．25
D．26
3.图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从
A 到B 的最短路径有（
）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
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4.方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中
国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体
（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A 点出发，沿着竹棍到达B 点，则蚂蚁选择的不同的最
短路径共有（
）
A．48 种
B．60 种
C．72 种
D．90种
5.蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18 世纪初，法国学者
马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是
109 28
，所有的锐角都是70 32
. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，
如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学
家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相
遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向
右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路
径数为
,
A n m . 例如：
3,1
1
A
，
4,2
3
A
. 则不等式
10,
81
A
m
的解集为（
）
A．
1,2,3,7,8,9
B．
1,2,3,8,9,10
C．
1,2,3,9,10,11
D．
4,5,6,7,8
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6.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中
1A 、
2
A 、
3
A 、
4
A 、
5
A 是道路网中的5
个指定交汇处. 今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短
路径，以相同的速度同时出发直到到达N ､M 处为止. 则下列说法正确的是（
）
A．甲从M 到达N 处的方法有30种
B．甲从M 必须经过
3
A 到达N 处的方法有6种
C．甲、乙两人在
3
A 处相遇的概率为6
225
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为81
225
7.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（
）
A．6 种
B．8 种
C．36 种
D．48 种
8.下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）
A．14 条
B．12 条
C．9 条
D．7 条
9.（多选）如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中
1
2
3
4
5
,
,
,
,
A A A A A 是道路网中位
于一条对角线上的5 个交汇处，今在道路网M，N 处的甲、乙两人分别要到N，M 处，他们分别随机地选
择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M 处为止，则（
）
A．甲从M 到达N 处的走法有70 种
B．甲从M 必须经过
3
A 到达N 处的走法有12 种
C．若甲、乙两人途中在
3
A 处相遇，则共有144 种走法
D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810 种走法
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10.某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走
的路程最短，有多少种不同的走法？
考点十七：构造法模型、递推模型与化归策略
【方法技巧与总结】
化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问
题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题．
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，
可使问题迎刃而解．
1.将33 33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格
的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（
）
A．33
B．56
C．64
D．78
2.几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知
（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；
（2 ）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；
（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；
（4 ）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；
（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．
倒霉的李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根
树枝不同的撞击次序有（
）种．
A．23
B．24
C．32
D．33
3.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝
A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，
A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，
E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（
）
A．23
B．24
C．32
D．33
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4.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年
的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九
连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1 个圆环最少需要移动圆环1 次，解下2 个圆环最少需要移动圆
环2 次，记
*
3
9
na
n
nN
，
- -
为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且
1
2
2n
n
n
a
a
，则解下8 个
圆环所需要移动圆环的最少次数为（
）
A．30
B．90
C．170
D．341
5.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的
传球方式共有（
）
A．4 种
B．10 种
C．12 种
D．22 种
6.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1 个格子，在格子中每次可向前跳1 格或2 格，那么人从格子
外跳到第8 个格子的方法种数为
A．8 种
B．13 种
C．21 种
D．34 种
7.蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18 世纪初，法国学者
马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是
109 28
，所有的锐角都是70 32
. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，
如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学
家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相
遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向
右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n 层（有n 条竖直线段）第m 通道（从左向右计）的不同路
径数为
,
A n m . 例如：
3,1
1
A
，
4,2
3
A
. 则不等式
10,
81
A
m
的解集为（
）
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A．
1,2,3,7,8,9
B．
1,2,3,8,9,10
C．
1,2,3,9,10,11
D．
4,5,6,7,8
8.（多选）跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1 个格子，在格子中每次可向前跳1 格或2 格，那么
下面说法正确的是（
）
A．进入第二个格子走法有2 种
B．进入第二个格子走法有1 种
C．进入第三个格子走法有2 种
D．进入第八个格子走法有21 种
9.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九盏路灯，现要关掉其中的3 盏，但不能关掉相邻的2
盏，也不能关掉两端的2 盏，满足条件的关灯方法有______种.
10.马路上有编号为1，2，，2011 的2011 只路灯.为节约用电，要求关闭其中的300 只灯，但不能同时
关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）.
11.从1，2，3，…，15 中选取三个不同的数组成三元数组
, ,
x y z ，且满足
5
x
y
，
4
y
z
，则这样的
数组共有______个.（用数字作答）
12.从集合{1,2,3,
,10}
中选出4 个数组成的子集，使得这4 个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的
子集个数是________.
13：16 名社区志愿者组成4 行4 列的方阵，现从中选出2 人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不
同的选法种数为______________.
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:14：
2
n 个人排成一个n 行，n 列的方阵，现要从中选出n 个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有
___________种不同的选法.
15.某活动中，有42 人排成6 行7 列，现从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3 人中的任意2 人不同行也
不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．
16：一只蚂蚁从一个正四面体ABCD的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次
还在点A 的爬行方法种数是__________．
17.将圆周2
1
n + 等分于点
1
2
2
1
,
,
,
n
A A
A
，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为
__________．
18.如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有
一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运
动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第n 层的第m 个竖直通道（从
左向右计）的不同路径数为
,
A n m ．
（1）求
2,1
A
，
3,1
A
，
4,2
A
的值；
（2）猜想
,
A n m 的表达式（不必证明），并求不等式
9,
28
A
m
的解集．
