6.6 杨辉三角的性质及应用
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：杨辉三角简介................................................................ 2
考点二：二项式系数的性质.......................................................... 2
考点三：杨辉三角性质................................................................ 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：二项展开式的系数问题.................................................... 3
题型二：杨辉三角实际应用及延伸..................................................4
题型三：二项展开式中的系数最大项问题.........................................7
题型四：二项式定理的综合应用.................................................... 9
6.6 杨辉三角的性质及应用
模块一：基础知识
考点一：杨辉三角简介
杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化.阅读《详解九章算法》
一书中的开方作法本源图，如图，其中蕴藏着许多数学的奥秘.
此图为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的
《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产.《详解九章算法》由杨辉所著,他在书中提到“出释锁算书，
贾宪用此术”.这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形.关于贾宪的生平，所知甚少.根
据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023 年至1050 年这段时期.
考点二：二项式系数的性质
1.各二项式系数和：
0
1
*
2
k
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
N
；
2.奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
0
2
1
3
1
*
2n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
N
考点三：杨辉三角性质
从函数角度，
r
n
C 可以看成以r 为自变量的函数f(r )，其定义域是｛0,1,···,n｝。
当n=6 时，二项式系数
r
n
C （0≤r≤6）用图象表示
总结：一般地，
n
b
a
展开式的二项式系数
0
n
C 、
1
n
C 、
2
n
C
、……、
k
n
C 、……、
n
n
C 有如下基本性质：
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1
（2）对称性：
m
n
n
m
n
C
C
（3）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
m
n
m
n
m
n
C
C
C
1
1
（4）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即
2
n
n
C
最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相
等且最大，即
2
1
2
1-
n
n
n
n
C
C
最大
（5）当
1
2
n
k
时，二项式系数是逐渐变大的；当
1
2
n
k
时，二项式系数是逐渐变小的．
模块二：题型分类
题型一：二项展开式的系数问题
1.已知
2
2
(
)n
x
x
(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含
3
2
x 的项．
2.已知二项式
1
2
n
x
x
的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为
．
3.设整数
4
n
，(
2
1)n
x
y
的展开式中
4
nx 与xy 两项的系数相等，则n 的值为
.
4：
4
2
(1
2 )
4
x
x
的展开式中含
3x 项的系数为
.
5.设
2
0
1
2
1
4
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，已知
0
1
35
a
a
，则n
，
1
2
1
n
x
x
的展开式中含
7
x的
系数为
.
6.已知在
1
n
ax
的展开式中，第3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，且
3x 的系数为80
，则
a
.
题型二：杨辉三角实际应用及延伸
1.我国南宋数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》里，出现了图1 这张表.杨辉三角的发现比欧洲
早500 年左右.如图2，杨辉三角的第n 行的各数就是(
)n
a
b
的展开式的二项式系数.
则第10 行共有
个奇数；第100 行共有
个奇数.
2.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10,，
记此数列的前n项之和为
n
S ，则
23
S 的值为
.
3.（多选）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的
排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1 形成三角形；随后
的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.
那么下列说法中正确的是（
）
A．第n 行的第
r r
n
个位置的数是
1
Cr
n
B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3 个位置的数依次组织一个新的数列
na
，则数列
na
是两项
奇数和两项偶数交替呈现的数列
C．70 在杨辉三角中共出现了3 次
D．210 在杨辉三角中共出现了6 次
4.（多选）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同
杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n 是行数，r 是列数，r
n
）下面关于莱
布尼茨三角形的性质描述正确的是（
）
A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致
B．第10 行从左边数第三个数为1
360
C．
1
0
0
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n
n
C
n
C
nC
D．
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
r
r
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
5.在杨辉三角形中，从第2 行开始，除1 以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵
开头几行如图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几
行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r 为正整数，且
3
n
r
，求证：任何四个相邻的组合数
1
2
3
r
r
r
r
n
n
n
n
C
C
C
C
，
，
，
不能构成等差
数列.
6.（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详
解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是
其“肩上”的两个数之和，+
例如第4 行的6为第3 行中两个3 的和．则下列命题中正确的是(
)
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7 个数是84
B．在“杨辉三角”中，当
12
n
时，从第1行起，每一行的第2 列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为
ia ，则
1
1
1
1
2
3
n
i
n
i
i
a
7.在
2
0
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
D
D x
D x
D
x
D x
L
的展开式中（其中
0
2n
D ，
1
2n
D ，…，
2
2
n
n
D
叫做项式
系数），当
1
n ，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在
5
2
1
1
ax
x
x
的展开式中，
8x 的系数为75，则实数a 的值为
；
（2）
0
0
1
1
2
2
3
3
18
18
36
18
36
18
36
18
36
18
36
18
D C
D C
D C
D C
D C
L
（可用组合数作答）.
8.如图，我们在第一行填写整数0 到
1
n n
，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉
三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是
.
0
1
2
3
1
1
3
5
2
1
4
8
n
n
n
L
L
L
L
题型三：二项展开式中的系数最大项问题
1.已知n 为正整数，在二项式1
2
2
n
x
的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则n 的值为
，
展开式中第
项的系数最大.
2.已知二项式
2
3
n
x
x
．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若
3,
2020
x
n
，求二项式的值被7 除的余数．
3.（多选）在
9
1
2
x
x
的展开式中（
）
A．常数项为21
2
B．
3x 项的系数为
9
2
C．系数最大项为第3 项
D．有理项共有5 项
4.若
2
0
n
ax
a
的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6 项的系数最大，则a 的取值范围为（
）
A．
,0
2,3
B．
1 1
,0
,
3 2
C．
2,3
D．1 1
,
3 2
5.已知
6
(1 2 )x
展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b
a
.
6.已知二项式
2
0
1
2
1
2
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，（
3
n
且
N
n
）．若
2
na
、
1
na 、
na 成等差数列．
（1）求1
2
n
x
展开式的中间项；
（2）求
ia
0,1,2,
,
i
n
的最大值．
7.已知
1
(2
) n
x
x
展开式中第3 项和第7 项的二项式系数相等
（1）求展开式中含
2x 的项的系数；
（2）系数最大的项是第几项？
8.（1）已知
3
4
2
2
2
14
0
1
2
14
1
1
2
x
x
x
a
a x
a x
a x
，求
1
3
5
13
a
a
a
a
的值.
（2）已知
3
2
2
3
n
f x
x
x
的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大
的项.
题型四：二项式定理的综合应用
1.从1,2,3,
,100
这100 个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为M ,随机抽取四
个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为N ,则
M
N
的后两位数字为（
）
A．89
B．51
C．49
D．13
2.对于n
N ，将n 表示为
1
1
0
1
2
2
2
2
k
k
k
n
a
a
a
L
1
0
1
2
2
k
k
a
a
，当
0
i
时，
1
ia .当1
i
k
时，
ia 为0 或1.记
I n 为上述表示中
ia 为0 的个数，（例如
0
1 1 2
，
2
1
0
4
1 2
0
2
0
2
，故
1
0
I
，
4
2
I
）.若
1
2
1
i
n
i
n
a
a
a
a
L
，则
127
1
2
I n
n
.
3.给定数列
,
n
n
a
b
.对于任意的
*
,
m nN ，若
m
n
a
b
恒成立,则称数列
,
n
n
a
b
是互斥数列.
(1)若数列
1
2
,
2
1
n
n
n
a
b
n
，判断
,
n
n
a
b
是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列
na
与
nb
都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若
na
与
nb
不是互斥数列，求证:
存在无穷多组正整教对
,k l ，使
l
ka
b
成立；
(3)若
3
2,
n
n
n
a
n
b
c d
( ,c d 是正整数)，试确定,c d 满足的条件，使
,
n
n
a
b
是互斥数列.
4.伟大的数学家欧拉28 岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当
*
nN 时，
sin x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
9
x
x
x
x
n
，又根据泰勒展开式可以得到
3
5
sin
3!
5!
x
x
x
x
1
2
1
1
2
1 !
n
n
x
n
，根据以上两式可求得
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
n
（
）
A．
2
6
B．
2
3
C．
2
8
D．
2
4
5.已知函数
2
1
f x
x
，记
2
2 2
1
1
4
3
f
x
f
f x
x
x
为函数
f
x 的2 次迭代函数，
3
4 2
1
3
8
7
f
x
f
f
f x
x
x
为函数
f
x 的3 次迭代函数，…，依次类推，
n
n
f
x
f
f
f
f
x
个
为函数
f
x 的n 次迭代函数，则
n
f
x
；
100 32
f
除以17 的余数
是
．
6.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S 满足
1
2
3
1
1
1
1
1
n
n
S
S
S
S
n
，
*
N
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
2
2
n
a
nb
，记
nT 为数列
nb
的前n 项和，
x
表示x 除以3 的余数，求
2
1
n
T
．
