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6.3.2 二项式系数的性质 -A基础练
一、选择题
1．（2021·浙江丽水高级中学高二月考）在 的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相
等，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由已知得 ，可知 ，故选：A.
2．（2020·全国高二专题练）已知 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的
和之比为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】二项式 的各项系数的和为 ，二项式 的各项二项式
系数的和为 ，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，
所以 ， .故选：C.
3．（2021·黑龙江大庆市铁人中学高二月考）已知 ， 的展开式中二项式系数的
和为128，则展开式中 的系数是（ ）
A．7 B． C．21 D．
【答案】C
【详解】由题意，二项式 的展开式中二项式系数的和为128，可得 ，解得，所以二项式 ，则展开式的通项为
，
当 时，可得 ，所以展开式中 的系数是 .故选：C.
4．（2021·山东泰安一中高二月考）已知 的展开式中常数项为45，则展开式
中系数最大的是（ ）
A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】D
【详解】 展开式的通项 .令 ，
解得 ，所以展开式中的常数项为 ，又 ，所以 ，所以
即 ，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又
展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以 展开式中第6项的系
数最大，故选：D
5．（多选题）（2021·全国高二单元测）对于 展开式的二项式系数下列结论正确
的是（ ）
A． B．
C．当 为偶数时， D．
【答案】ABC【详解】对于A，由组合数的运算直接可得 ，故A正确；对于B，由杨辉三角直接可得
，故B正确；对于C，二项式展开式中，令 ，不论 为奇数还是偶数，
都可得 ，故C正确；对于D，由选项C可知
，故D错误.故选：ABC
6．（多选题）（2021·湖北宜昌市高二月考）关于多项式 的展开式，下列结论正确的是（
）
A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为
C．存在常数项 D． 的系数为12
【答案】ABC
【详解】对于A，令 ，则可得各项系数之和为 ，故A正确；对于B，二项式系数
之和为 ，故B正确；对于C， 的展开式的通项公式为
，令 ，解得 ，即常数项为第四项，
故C正确；对于D， ，令 ，解得 ，则 的系数为
，故D错误.故选：ABC.
二、填空题
7．（2021·山东济宁市高二月考）已知 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中 项的系数是______．
【答案】84
【详解】依题意， ，解得n=7， 的展开式的通项为
，由 得 ，所以所求展开式
中 项的系数是 .
8．（2021·重庆市第十一中学校高二月考） 的展开式中第三项和第四项的二项式系数
同时取最大，则展开式的常数项为______.
【答案】10
【详解】因为 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，
所以 ，解得 ， 展开式的通项公式为
，令 ，解得 ，
所以展开式的常数项为 .
9．（2021·广东江门市高二月考）已知展开式 中，
所有项的二项式系数之和为 ，则 ______________．（用数字作答）
【答案】
【详解】由已知条件可知二项式系数和为 ，可得 ，令 ，则 .
10．（2021·浙江宁波市镇海中学高二月考）若二项式 展开式的二项式系数
之和为32，常数项为10，则 ________；二项式系数最大的项的系数是________．
【答案】7； 40或80
【详解】因为二项式 展开式的二项式系数之和为32，所以 ，
展开式的通项为 ，
令 ，得 ，故常数项为 ，
则 .二项式系数最大的项的系数为 或 .
三、解答题
11．（2021·湖北黄石二中高二月考）4在二项式 的展开式中，________．给出下列条
件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项．
（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）
【答案】答案见解析
【详解】解：选择①： ，即 ，
即 ，即 ，解得 或 （舍去）
选择②： ，即 ，解得 ．选择③： ，则有 ，所以 ．
因为展开式中第7项为常数项，即 ，所以 ．
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，
，
．
（2）展开式通项为： ，
令 ，∴ ，
∴展开式中常数项为第7项，常数项为 ．
12．（2020·全国高二专题练）已知
，求：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【详解】令 则 ①，
令 则 ②，
令 则 ③，（1）②-①得： ，
（2）(②-③) 得： ，
（3）(②+③) 得： ，
(4) ．
