6.5 二项式系数及性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：二项式定理................................................................... 2
考点二：二项展开式的通顶公式.................................................... 2
考点三：二顶式系数及其性质....................................................... 2
考点四：求二项展开式的解题策略..................................................3
考点五：求形如(a+b)
n(n∈N
*)的展开式中与特定项相关的量的步骤...... 3
考点六：求三项展开式中某些特定项的系数的方法：.......................... 4
考点七：赋值法的使用................................................................ 4
考点八：二项式系数与项的系数的区别............................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：二项式系数的和问题....................................................... 4
题型二：二项展开式中项的系数及和问题.........................................9
题型三：二项式系数的最值问题...................................................11
题型四：项的系数的最值问题......................................................14
题型五：赋值法求奇次项与偶次项的和..........................................17
题型六：换元法求各项系数的和...................................................22
题型七：整除和余数问题........................................................... 24
题型八：利用二项式定理近似计算................................................28
题型九：证明组合恒等式........................................................... 29
题型十：与导数的综合问题........................................................ 30
题型十一：与数列的综合问题......................................................31
模块三：综合巩固....................................................................... 36
6.5 二项式系数及性质
模块一：基础知识
考点一：二项式定理
1.定义
一般地，对于任意正整数n ，都有：
0
1
1
*
(
)n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(
)n
a
b
的二项展开式．
式中的
r
n r
r
n
C a
b
做二项展开式的通项，用
1
rT 表示，即通项为展开式的第
1
r 项：
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b
，其中的
系数
(
0,1,2,
, )
r
n
C
r
n
叫做二项式系数
2、二项式(
)n
a
b
的展开式的特点：
（1）项数：共有
1
n 项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第
1
r 项的二项式系数为
r
n
C ，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次
数从0 到n ，每一项中，a，b 次数和均为n ；
归纳：
概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1 项，可记做Tk＋1＝Cknan－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做(a＋b)n 的二项展开式.
考点二：二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
1
(
0,1,2,
, )
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第
1
r 项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
考点三：二顶式系数及其性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n 有关的n＋1 个组合数，与a，b 无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由Cmn
＝C n－m
n
得到. 直线r＝n
2将函数f(r)＝C rn的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<n＋1
2
时，C kn随k 的增加而增大；当k>n＋1
2
时，C kn随k 的增加而减少. 如果二项
式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项，即
1
2
n
T
的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式
中间两项
1
2
n
T 与
1 1
2
n
T 的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
注意：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第
1
r 项
r
n r
r
n
C a
b
的二项式系数是组合数
r
n
C ，展开式的系数是单项式
r
n r
r
n
C a
b
的系数，二
者不一定相等．
考点四：求二项展开式的解题策略
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1 项，再由特定项的特点求出r 值即可；
②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1 项，由特定项得出r
值，最后求出其系数.
考点五：求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=��
�an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);
第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等
式(组),解出r;
探究1：
n
b
a
展开式的二项式系数的和是多少？【不详细列出计算过程，可以自己试试】
方法1：赋值法：已知
n
n
n
a
c
b
a
0
+
n
n
n
n
n
n
n
b
c
b
a
c
b
a
c
......
2
2
2
1
1
令a=b=1，则
0
1
2
2n
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
即
n
b
a
展开式的各二项式系数之和等于
n
2 。
方法2：从含n 个元素的集合子集个数来研究（两个计数原理）
分类计数原理：
n
n
n
n
n
c
c
c
c
......
2
1
0
，分步计数原理：n 个2 相乘，即
n
2
所以
0
1
2
2n
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
探究2：你能求
.......
5
4
3
2
1
0
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
吗?
赋值法：在展开式
0
1
(
)
(
)
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a b
C a
b
C b
n
N
中，令
1,
1
a
b
，则
0
1
2
3
(1 1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
即
0
2
1
3
0
(
)
(
)
n
n
n
n
C
C
C
C
，
∴
0
2
1
3
n
n
n
n
C
C
C
C
，
即在(
)n
a
b
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1 知
0
2
1
3
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
C
第三步,把r 代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1 或者其他量.
考点六：求三项展开式中某些特定项的系数的方法：
①两次利用二项式定理的通项公式求解；
②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到
特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.
公式展示：
(
)n
a
b
c
展开式中
p
q
r
a b c 的系数求法( , ,
0
p q r
的整数且
)
p
q
r
n
(
)
[(
)
]
(
)
n
n
r
n r
r
r
q
n r q
q
r
n
n
n r
a
b
c
a
b
c
C
a
b
c
C C
a
b c
考点七：赋值法的使用
“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)
n，(ax
2＋bx
＋c)
m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1 即可；对形如(ax＋by)
n(a，b∈R)的式
子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1 即可. 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x
2＋…＋anx
n，则f(x)展开式中
各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）
2
，偶数项系数之和为a1＋a3
＋a5＋…＝f（1）－f（－1）
2
.
注意：赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，
如要求常数项，应赋x 为0；求所有项系数之和，应赋x 为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需
赋x 为-1，再通过联立方程组求得.
考点八：二项式系数与项的系数的区别
二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求(
)n
a
bx
展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k 项系数最大,
应用��≥��-�,
��≥��+�,从而解出k 来,即得.
模块二：题型分类
题型一：二项式系数的和问题
1.已知(1
3 )n
x
（n 为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n
.
【答案】6
【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，2
64
n
，则
6
n
.
故答案为：6
2.已知1
n
x
x
的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（
）
A．252
B．252
C．210
D．210
【答案】B
【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解
【详解】由1
n
x
x
的展开式中二项式系数的和是1024，故2
1024
n
，所以
10
n
．
由二项式定理得展开通项为
10
1
10
1
C ( )
(
)
r
r
r
rT
x
x
，
当
= 5
r
时为常数项，
5
6
10
C
252
T
故选：B
3.已知二项式
*
2
N
n
x
n
x
的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n =
.
【答案】12
【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式,解出即可.
【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,
所以
2
1
C
C
C
79
n
n
n
n
n
n
,
即
!
!
1
79
2 ! 2!
1 ! 1!
n
n
n
n
,
化简可得:
1
1
79
2
n n
n
,
解得:
13
n
(舍)或
12
n
.
故答案为:12
4.已知
2
N
n
x
n
x
的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为
.（用数字作答）
【答案】160
【分析】利用二项式系数的性质及二项式定理展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可得2
64
n
，解得，
6
n
.
设展开式中的第
1
r 项为
6
6 2
1
6
6
2
=C
( 2) C
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
令6
2
0
r
，解得
3
r .
所以该展开式的常数项为
3
3
6
( 2) C
160
.
故答案为：160
.
5.已知
(1 3 )
N
n
x
n
的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n
，展开式中
3x 的系数
为
.
【答案】
6
540
【分析】由二项式系数和2
64
n
求n，再应用二项式定理写出含
3x 的项，即可得结果.
【详解】由题意2
64
n
，则
6
n
，故原二项式为
6
(1
3 )
x
，
所以其展开式通项为
6
1
6
6
C ·1
3
3 C
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
当
3
r ，则
3
3
3
3
4
6
3 C
540
T
x
x
，故所求系数为540.
故答案为：6，540
6：
4
1 2x
的展开式中二项式系数和为（
）
A．24
B．24
C．16
D．16
【答案】D
【分析】由二项式系数的性质求解.
【详解】
4
1 2x
的展开式中二项式系数和为
0
1
2
3
4
4
4
4
4
4
4
C
C
C
C
C
2
16
.
故选：D
7：已知1
(
2 )
2
n
x
的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
【答案】
10
16896x
【分析】根据题意得到
0
1
2
(
1)
C
C
C
1
79
2
n
n
n
n n
n
且
*
N
n
，先求得n的值.化简二项式为
12
12
1
( ) (1
4 )
2
x
，
得到
12
(1 4 )x
展开式的通项为
1
12
C
4
r
r
r
rT
x
，设展开式的第
1
k 项的系数最大，列出不等式组，求得
10
k
，
进而求得展开式中系数最大的项.
【详解】由已知得可得
0
1
2
(
1)
C
C
C
1
79
2
n
n
n
n n
n
且
*
N
n
，解得
12
n
.
二项式
12
12
12
1
1
+2
( ) (1
4 )
2
2
x
x
则
12
(1 4 )x
展开式的通项为
1
12
12
C (4 )
C
4
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
设展开式的第
1
k 项的系数最大，则
1
1
12
12
1
1
12
12
C
4
C
4
C
4
C
4
k
k
k
k
k
k
k
k
，
解得9.4
10.4
k
，又
N
k
,所以
10
k
，
所以展开式中系数最大的项为
12
10
10
10
10
12
1
C
4
16896
2
x
x
，
所以其展开式中系数最大的项为
10
16896x .
8.对于二项式
4
1
2
n
x
x
：
(1)若展开式的第4 项与第8 项的二项式系数相等，求展开式中
2x 的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
【答案】(1)105
8
(2) 35
8 x
【分析】（1）根据第4 项与第8 项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取x 的
指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；
（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项
即可.
【详解】（1）解：因为展开式的第4 项与第8 项的二项式系数相等，
所以
3
7
C
C
n
n
，解得
10
n
，
则展开式通项为
1
0
4
1
0
1
C
1
2
r
r
r
r
x
T
x
10
20 3
2
4
4
10
10
1
1
C (
)
C (
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
x
x
x
，
令20
3
2
4
r
，解得
4
r
，代入通项有：
4
4
2
2
5
10
1
105
C (
)
2
8
T
x
x
，所以
2x 的系数为105
8 ；
（2）二项式
4
1
2
n
x
x
通项为：
2
3
2
4
4
1
4
1
1
1
C
C (
)
C (
)
2
2
2
r
n r
r
n
r
n r
r
r
r
r
r
r
n
n
n
T
x
x
x
x
x
，
所以第一项的系数为：
0
0
1
C (
)
1
2
n
，第二项的系数为：
1
1
1
C (
)
2
2
n
n
，
第三项的系数为：
2
2
2
1
C
2
8
n
n
n
，由于前三项的系数成等差数列，
所以
2
2
1
2
8
n
n
n
，解得
8
n ，或
1
n ，
因为至少有前三项，所以
1
n （舍），故
8
n ，
所以展开式有9 项，中间一项为
4
4
1
5
8
1
35
C
2
8
T
x
x
.
9.已知
3
(
)n
x
x
的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则
3
4
(1
)
(1
)
(1
)n
x
x
x
的展开式中
2x 项的系数为__________.
【答案】164
【分析】由已知求出
10
n
.进而得出
1
n
x
的展开式中含有
2x 的项为
2
2
3
Cn
T
x
，然后根据二项式系数的
性质求解
2
2
2
3
4
10
C
C
C
，即可得出答案.
【详解】由已知可得，2
1024
n
，所以
10
n
.
1
n
x
的展开式的通项为
1
C
1
1 C
r
r
r
n r
r
r
r
n
n
T
x
x
，
0,1,2,
,
r
n
，
2
n
，且
*
nN ，
展开式中含有
2x 的项为
2
2
3
Cn
T
x
，
所以，
3
4
(1
)
(1
)
(1
)n
x
x
x
的展开式中
2x 项的系数为
2
2
2
3
4
10
C
C
C
3
2
2
2
2
3
3
4
10
2
C
C
C
C
C
3
2
2
2
3
4
4
10
2
11
C
C
C
C
C
1
11 10 9
1
164
6
.
故答案为：164.
10.若
3
1
1
2
n
x
x
x
的展开式中各项系数之和为1
32 ，则展开式中
3x 的系数为______.
【答案】75
16
【分析】令
1
x 求得
6
n
，写出
6
1
2
x
x
的展开式的通顶公式分别求出它的
3x 系数与常数项，再与
3
1
x
的系数相结合即可得
3
1
1
2
n
x
x
x
展开式中
3x 的系数.
【详解】因为
3
1
1
2
n
x
x
x
的展开式中各项系数之和为1
32 ,
令
1
x ,得
1
1
2
1
2
32
n
,所以n 6.
因为
6
1
2
x
x
展开式的通顶公式为
6
6
3
6
2
1
6
6
1
1
C
C
( 1)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
x
T
x
x
,
令
3
6
3
2
r
,得
2
r
;令
3
6
0
2
r
,得
4
r
,
所以展开式中
3x 的系数为
4
2
2
4
6
6
1
1
75
C
C
2
2
16
.
故答案为：75
16
题型二：二项展开式中项的系数及和问题
1.在
2
3
n
x
x
的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（
）
A．16
B．32
C．1
D．32
【答案】A
【分析】先根据二项式系数和公式得
4
n
，再令特殊值
1
x 即可求得答案.
【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以2
16
n
，解得
4
n
，
所以，令
1
x 得展开式中各项系数的和为
4
2
16
．
故选：A
2.已知二项式
3
1
ax
a
R 的展开式所有项的系数之和为8，则
10
2
a
x
x
的展开式中的常数项为
___________.
【答案】45
【分析】利用二项式
3
1
ax
a
R 的展开式所有项的系数和可求得a 的值，写出
10
2
a
x
x
的展开式通
项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】已知二项式
3
1
ax
a
R 的展开式所有项的系数之和为
3
1
8
a
，解得
1
a ，
10
10
2
2
1
a
x
x
x
x
的展开式通项为
5
20
10
2
2
1
10
10
1
C
C
1
0,1,2,
,10
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
k
x
，
由
5
20
0
2
k
可得
8
k =
，
所以，展开式中的常数项为
8
8
10
C
1
45
.
故答案为：45 .
3.已知
5
1 (2
1)
0
ax
x
a
x
，若其展开式中各项的系数和为81，则
a
．
【答案】
2
3
【详解】由
5
1 (2
1)
ax
x
x
展开式中各项的系数和为81，
令
1
x ，可得
5
1 (2 1
81
1)
a
，解得
2
3
a
.
故答案为：
2
3
.
4.知
2
3
6
1
2
x
a
x
x
的展开式中各项系数的和为1
，则该展开式中的常数项为________.
【答案】640
【分析】赋值令
1
x ，根据展开式中各项系数的和求得
2
a
，再结合
6
2
1
2x
x
的二项展开式的通项公式
分析运算.
【详解】令
1
x ，可得展开式中各项系数的和为
6
1
2
1
1
1
a
a
，解得
2
a
，
可得
2
3
6
1
2
2
x
x
x
，
其中
6
2
1
2x
x
的展开式的通项公式为
6
6
6 3
1
6
6
2
1
C
2
1
2
C
,
0,1,2,
,6
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
r
x
，
令
2
r
，则
2
4
2
0
3
6
1
2
C
240
T
x
；
令
3
r ，则
3
3
3
3
4
6
3
160
1
2
C
T
x
x
；
故该展开式中的常数项为
3
3
160
2
240
640
x
x
.
故答案为：640
.
题型三：二项式系数的最值问题
1.在
1
2
n
x
x
的展开式中，只有第7 项的二项式系数最大，则n 的值为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n 的值即可.
【详解】根据题意，只有第7 项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，
即
1
13
n
，解得
12
n
，
故答案为：12.
2.
2n
a
b
n
N
展开式中第6项的二项式系数最大，则
2
n
x
x
展开式中x 的系数为（
）
A．10
B．10
C．5
D．5
【答案】A
【分析】利用二项式系数的基本性质可求得n 的值，然后写出
2
n
x
x
的展开式通项，令x 的指数为1，
求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】因为
2n
a
b
n
N
展开式中第6项的二项式系数最大，且
2n
a
b
n
N
共有2
1
n + 项，
则
2n
a
b
n
N
的展开式共11项，所以，2
1 11
n
，则
5
n
，
所以，
5
2
x
x
的展开式通项为
5 3
5
2
1
5
5
2
C
C
2
0,1,2,
5
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
k
x
，
令5
3
1
2
k
，可得
1
k ，因此，
5
2
x
x
展开式中x 的系数为
1
5
C
2
10
.
故选：A.
3.
6
2
x
x
的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（
）
A．20
B．160
C．180
D．240
【答案】B
【分析】写出展开式的通项，根据二项式系数的性质，可知
3
r
时，二项式系数最大，代入即可得出答案.
【详解】
6
2
x
x
展开式的通项为
6
6 2
1
6
6
2
=C
C
2
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
0,1,2,
,6
r
，
二项式系数为
6
Cr ，
0,1,2,
,6
r
，
当
3
r 时，二项式系数最大，
则该项的系数为
3
3
6
C
2
160
.
故选：B.
4.
3
2
n
x
展开式中，只有第4 项的二项式系数最大，则n 的值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C
【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4 项二项式系数最大即可得解
【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n 为偶数，故
1
4
2
n
，得
6
n
.
故选：C
5.设m 为正整数，
2
2
1
m
x
x
展开式中二项式系数的最大值为a，
2
1
2
1
m
x
x
展开式中二项式系数的最大
值为b，若7
4
a
b
，则
2
2
1
m
x
x
展开式中的常数项为
．
【答案】15
【分析】根据条件求出m ，然后可得答案.
【详解】由题可知，
1
2
2
1
2
1
C
,
C
C
m
m
m
m
m
m
a
b
．
因为7
4
a
b
，所以
2
!
2
1 !
7
4
!
!
!
1 !
m
m
m m
m
m
，即
7
1
4 2
1
m
m
，
解得
3
m
，故
6
2
1
x
x
展开式中的常数项为
2
6
4
4
2
1
C
15
x
x
．
故答案为：15
6.
8
2
2
x
x
的展开式中二项式系数最大的一项是________（用数字作答）．
【答案】70
【分析】利用二项式系数的性质直接求得.
【详解】
8
2
2
x
x
的二项展开式有9 项，其每项的二项式系数为
8
C ,
0,1,
8
r
r
.
由二项式系数的性质可得：当
4
r
时，
4
8
8 7
6 5
C
70
4 3 2 1
最大.
故答案为：70.
7.已知
2
1
n
x
展开式中各项系数之和等于16.
(1)求
2
1
n
x
展开式的第二项；
(2)若
2
2
1
n
a x
的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值.
【答案】(1)
6
4x
(2)
3
a
【分析】（1）由二项式系数的性质求得n ，再由二项式展开式通项公式求得第2 项；
（2）根据二项式系数的性质得二项式系数最大的项是第几项，然后求得其系数，再由已知求得参数值．
【详解】（1）
2
1
n
x
展开式的各项系数之和等于2n ，
由题意得2
16
n
，∴
4
n
，
∴展开式的第二项为
4 1
1
2
6
2
4
C
4
T
x
x
；
（2）由（1）可得
4
n
，由二项式系数的性质知，
4
2
2
1
a x
展开式中二项式系数最大的项是第三项，
∴
2
4
4
C
54
a
，
∴
3
a
.
8.在
1
n
x
x
的展开式中，第3 项和第4 项的二项式系数最大，则展开式中含
2x 项的系数为_____.
【答案】10
【分析】先求得二项式幂次n 的值，再利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含
2x 项的系数.
【详解】在
1
n
x
x
的展开式中，第3 项和第4 项的二项式系数最大，
则
1
n
x
x
的展开式共6 项，则
5
n
则
3
5
5
2
1
5
5
1
C
1
C
1
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
令
3
5
2
2 r
，则
2
r
，则展开式中含
2x 项的系数为
2
2
5
C
1
10
故答案为：10
题型四：项的系数的最值问题
1.
8
2x
y
的展开式中各项系数的最大值为（
）．
A．112
B．448
C．896
D．1792
【答案】D
【分析】根据二项式的通项公式，结合展开式系数最大的性质进行求解即可.
【详解】该二项式的通项公式为
8
8
8
1
8
8
C
2
C
2
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
y
x
y
，
由
8
+1
7
8
8
8
1
9
8
8
C
2
C
2
C
2
C
2
r
r
r
r
r
r
r
r
，可得2
3
r
．
因为
2
6
3
5
8
8
C
2
C
2
，所以展开式中各项系数的最大值为
2
6
8
C
2
1792
．
故选：D
2.已知
6
(1 2 )x
的二项展开式中系数最大的项为
．
【答案】
4
240x
【详解】设系数最大的项为
6
1
C
2
k
k
kT
x
，
则
1
1
6
6
1
1
6
6
C
2
C
2
C
2
C
2
k
k
k
k
k
k
k
k
，解得11
14
3
3
k
，
因为0
6
k
且k 为整数，
所以
4
k
，此时最大的项为
4
4
4
5
6
C
2
240
T
x
x
.
故答案为：
4
240x
3.
8
2
x
的二项展开式中系数最大的项为
.
【答案】
2
3
1792
,1792
x
x
【详解】设
8
2
x
展开式的第
1
r 项的系数最大，
则
1
1
8
8
1
1
8
8
C
2
C
2
C
2
C
2
r
r
r
r
r
r
r
r
，解得5
6
r
，
所以系数最大的项为第6或第7 项，
所以系数最大的项为：
5
5
3
3
6
8
C
2
1792
T
x
x
，
6
6
2
2
7
8
C
2
1792
T
x
x
.
故答案为：
2
3
1792
,1792
x
x
4.已知
6
3
0
a
x
a
x
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（
）
A．4 5
,
3 2
B．4 5
,
3 3
C．4 5
,
3 3
D．2 5
,
3 3
【答案】A
【详解】
6
3
a
x
x
的展开式的通项为
6
3
18 4
1
6
6
C
C
r
r
r
r
r
r
r
a
T
x
a
x
x
，
由题可知
4
4
3
3
6
6
4
4
5
5
6
6
C
C
C
C
a
a
a
a
，解得4
5
3
2
a
．
故选：A
5.已知
1
(2
) n
x
x
的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n 的值；
(2)系数最大的项．
【答案】(1)
6
n
(2)
3
3
240
T
x
【分析】（1）第二项与第三项的二项式系数之比为
1
2
C
2
C
5
n
n
；
（2）求二项式系数的最大项，即这一项大于前一项，也大于后一项，列式即可.
【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是2:5，
则
1
2
C
2
C
5
n
n
，即
2
(
1)
5
2
n
n n
，解得
0
n
(舍)或
6
n
，
所以n 的值为6.
（2）
6
1
(2
)
x
x
的展开式的通项为
3
6
6
6
2
1
6
6
1
C (2 )
(
)
C
N
2
0
6,
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
k
k
，
令
6
1
7
6
6
6
1
5
6
6
C 2
C
2
C 2
C
2
k
k
k
k
k
k
k
k
，解得4
7
3
3
k
，
又
N
k
，
2
k
，
展开式中系数最大的项为第3项，且
3
3
240
T
x
．
6.已知
3
2
n
x
x
的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255 .
(1)求
3
2
n
x
x
展开式所有的有理项；
(2)求
3
2
n
x
x
展开式中系数最大的项.
【答案】(1)112x 、
4
256x
(2)
7
3
1792x
【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的方程，解出n 的值，利用二项式定理可求得展开式中所有的有
理项；
（2）设第
1
r 项最大，且r 为偶数，可得出
2
2
8
8
2
2
8
8
2
C
2
C
2
C
2
C
r
r
r
r
r
r
r
r
，根据r N 解出r 的值，即可得出展
开式中系数最大的项.
【详解】（1）解：令
1
x 可得，展开式中各项系数之和为
1
n
，而展开式中的二项式系数之和为2n ，
由题意可得
2
1
255
n
n
，解得
8
n .
展开式通项为
8
16 5
3
6
2
1
8
8
C
2
2
C
0,1,2,
,8
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
r
，
当16
5
6
r
为整数时，
1
rT 为有理项，则
2
r
或
8
r
，
所以展开式所有的有理项为
2
2
3
8
2
C
4 28
112
T
x
x
x
，
8
8
4
4
9
8
2
C
256
T
x
x
.
（2）解：设第
1
r 项最大，且r 为偶数，则
2
2
8
8
2
2
8
8
2
C
2
C
2
C
2
C
r
r
r
r
r
r
r
r
，
可得
1
2
4 8
7
4 10
9
1
r
r
r
r
r
r
r r
，因为r N ，解得
6
r
，
所以展开式中系数最大的项为：
16 5 6
7
7
6
6
6
3
3
7
8
2
C
64
28
1792
T
x
x
x
.
题型五：赋值法求奇次项与偶次项的和
1.设
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
(1
2 )
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
．求：
(1)
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
的值；
(2)
1
3
5
a
a
a
的值；
(3)
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
的值．
【答案】(1) 2
(2)
122
(3) 242
【详解】（1）由
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
(1
2 )
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
，
令
0
x
，得
0
51
a
，则
0
1
a ；
令
1
x ，得
5
0
1
2
3
4
5
(1
2)
1
a
a
a
a
a
a
，
则
0
1
2
3
4
5
1
a
a
a
a
a
a
，
所以
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
(
)
1 1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
；
（2）令
1
x ，得
5
0
1
2
3
4
5
(1
2)
1
a
a
a
a
a
a
①，
令= 1
x ，得
5
5
0
1
2
3
4
5
(1
2)
3
a
a
a
a
a
a
②，
①②得，
5
1
3
5
2(
)
1 3
244
a
a
a
，
所以
1
3
5
122
a
a
a
；
（3）根据展开式的通项公式知
1a ，
3
a ，
5a 为负，
2a ，
4a 为正；
令
5
( )
(1
2 )
f x
x
，
所以
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
( 1)
3
1
242
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
f
a
．
2.已知
2
5
2
10
0
1
2
10
(
3
2)
x
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
2a ；
(2)求
1
2
10
a
a
a
；
方法技巧
赋值法原理：
n
0
1
2
2
*
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
f ( )
1
x
C
C x
C x
...
C x
...
C x
N
a
a x
a x
a x
f (1)
a
a
a
a
f ( 1)
a
a
a
1 a
f (1)
f ( 1) .
2
f (1)
f ( 1) .
2
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
（
）
。。。
则
。。。
。。。（
）
则奇数项系数和
偶数项系数和为
(3)求
2
2
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
【答案】(1)800；
(2) 32
；
(3)0.
【详解】（1）在
2
5
(
3
2)
x
x
展开式中，含
2x 的项为
1
2
4
4
2
2
3
3
2
2
2
5
4
5
3
C
C 2
C ( 3 )
C 2
80
720
800
x
x
x
x
x
，
所以
2
800
a
.
（2）令
2
5
2
10
0
1
2
10
( )
(
3
2)
f x
x
x
a
a x
a x
a x
，
当
0
x
时，
5
0
(0)
2
32
a
f
，当
1
x 时，
0
1
2
10
(1)
0
a
f
a
a
a
，
所以
1
2
10
(1)
(0)
32
f
a
a
a
f
.
（3）
2
2
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
2
10
0
1
2
1
3
0
(
)(
)
(1)
( 1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
f
f
.
因为
(1)
0
f
，所以
(1)
( 1)
0
f
f
，
故
2
2
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
(
)
(
)
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3.设设
2022
2
0
1
2
(1
2 )
x
a
a x
a x
十
2022
2022
(
R)
a
x
x
．
(1)求
0
1
2
2022
a
a
a
a
的值；
(2)求
1
3
5
2021
a
a
a
a
的值；
(3)求
0
1
2
2022
a
a
a
a
的值．
【答案】(1)1
(2)
2022
1
3
2
(3)
2022
3
【详解】（1）令
1
x ，则
2022
0
1
2022
...
(1
2)
1
a
a
a
①
（2）令= 1
x ，则
2022
2022
0
1
2
2022
...
[1
2 ( 1)]
3
a
a
a
a
②，
( ①②)
2
可得：
2022
1
3
2021
1 3
...
2
a
a
a
；
（3）因为
0
1
2
2022
a
a
a
a
的和为二项式
2022
(1
2 )x
的展开式的各个项的系数和，
所以令
1
x ，则
2022
2022
0
1
2022
...
(1
2)
3
a
a
a
．
4.已知
9
2
9
0
1
2
9
2
1
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
3
9
2
1
2
8
2
2
2
a
a
a
a
的值；
(2)求
1
2
3
9
2
3
9
a
a
a
a
的值.
【答案】(1)2
(2)18
【详解】（1）解：由
9
2
9
0
1
2
9
2
1
x
a
a x
a x
a x
，
令
0
x
，可得
0
1
a ；
令
1
2
x
，可得
3
9
1
2
0
2
3
9
0
2
2
2
2
a
a
a
a
a
，
所以
3
9
1
2
2
3
9
1
2
2
2
2
a
a
a
a
，所以
3
9
2
1
2
8
2
2
2
2
a
a
a
a
.
（2）解：因为
9
2
9
0
1
2
9
2
1
x
a
a x
a x
a x
，
两边同时求导数，可得
8
8
1
2
9
18 2
1
2
9
x
a
a x
a x
，
令
1
x ，则
1
2
3
9
2
3
9
18
a
a
a
a
.
5.若
5
2
2
10
0
1
2
10
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
0
1
2
3
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
的值；
(2)求
2
4
6
8
10
a
a
a
a
a
的值；
(3)求
1a 的值.
【答案】(1) 32
(2) 17
(3) 5
【详解】（1）令
1
x ，则
5
0
1
2
3
8
9
10
1 1 2
32
a
a
a
a
a
a
a
，①
（2）令= 1
x ，则
5
0
1
2
3
8
9
10
1 1
2
0
a
a
a
a
a
a
a
，②
令
0
x
，则
0
1
a ，
0
2
4
6
8
10
16
2
a
a
a
a
a
a
①
②
，
2
4
6
8
10
0
16
16 1
17
a
a
a
a
a
a
；
（3）
5
5
5
2
2
10
0
1
2
10
1
2
1 2
1
x
x
x
x
a
a x
a x
a x
，
即
1a 为含x 项的系数，为
0
1
0
1
1
0
0
5
5
5
5
C
2
C
C
2
C
5
10
5
x
x
x
x
x
x
x
，
则
1
5
a .
6.已知
7
2
7
0
1
2
7
5
2
x
a
a x
a x
a x
，则
0
1
2
7
a
a
a
a
（
）
A．128
B．2187
C．78125
D．823543
【答案】D
【分析】由展开式通项公式可得系数
0
2
4
6
a
a
a
a
、、、
小于0，系数
1
3
5
7
a
a
a
a
、、、
大于0，由赋值法令=
1
x ，
所求值即为
7
- 5
-1 -2
.
【详解】
7
5
2
x
的展开式中第
1
k 项为
7
7
7
7
1
7
7
7
C
5
2
C 5
2
=
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
T
x
x
a
x
，故系数
7
7
7
C 5
2
k
k
k
k
a
，
即当k 为奇数时，系数
0
2
4
6
a
a
a
a
、、、
小于0，当k 为偶数时，系数
1
3
5
7
a
a
a
a
、、、
大于0.
7
0
1
2
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-
823543
-
-
-
- 5
-1 -2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
故选：D
7.
4
2
3
4
0
1
2
3
4
1
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
0
1
2
3
4
a
a
a
a
a
（
）
A．1
B．3
C．0
D．3
【答案】C
【分析】根据展开式，利用赋值法取=
1
x 即得.
【详解】因为
4
2
3
4
0
1
2
3
4
1
x
a
a x
a x
a x
a x
，
令=
1
x ，可得
4
0
1
2
3
4
1 1
0
a
a
a
a
a
.
故选：C.
8.已知
4
5
2
9
0
1
2
9
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
，则
2
4
6
8
a
a
a
a
（
）
A．40
B．8
C．16
D．24
【答案】D
【分析】设
4
5
( )
(
1) (
2)
f x
x
x
，根据二项式展开式可得
0
(0)
a
f
、
0
2
4
6
8
( 1)
(1)
2
f
f
a
a
a
a
a
，
即可求解.
【详解】设
4
5
( )
(
1) (
2)
f x
x
x
，则
5
0
(0)
2
32
a
f
，
0
1
2
9
(1)
0
a
a
a
a
f
4
0
1
2
3
4
9
( 1)
2
16
a
a
a
a
a
a
f
，所以
0
2
4
6
8
( 1)
(1)
8
2
f
f
a
a
a
a
a
，
所以
2
4
6
8
8
32
24
a
a
a
a
.故选：D.
9.若
5
5
0
1
5
3
4
1
1
x
a
a
x
a
x
，则
1
2
3
4
5
2
3
4
5
a
a
a
a
a
.
【答案】240
【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子
1
2
3
4
5
2
3
4
5
a
a
a
a
a
计算即可.
【详解】已知
5
5
0
1
5
3
4
1
1
x
a
a
x
a
x
，对式子两边同时求导，
得
4
2
4
1
2
3
5
15 3
4
2
1
3
1
5
1
x
a
a
x
a
x
a
x
，
令
2
x
，得
4
1
2
5
15
3 2
4
2
5
240
a
a
a
.
故答案为：240
10.（多选）已知
8
2
8
0
1
2
8
( )
(2
)
f x
x
a
a x
a x
a x
，则（
）
A．
0
1
2
8
1
a
a
a
a
B．
8
1
2
3
8
3
a
a
a
a
C．
( 1)
f
除以5 所得的余数是1
D．
1
2
3
8
2
3
8
8
a
a
a
a
【答案】ACD
【分析】对于选项A，通过赋值
1
x 即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到
1
2
3
8
1
2
8
3
a
a
a
a
a
a
a
a
，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过
8
4
( 1)
3
(10 1)
f
，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时
求导，再进行赋值即可得出结果的正误.
【详解】选项A，因为
8
2
8
0
1
2
8
(2
)
x
a
a x
a x
a x
，令
1
x ，得到
0
1
2
8
1
a
a
a
a
，所以选项
A 正确；
选项B，因为
8
(2
)
x
二项展开式的通项公式为
8
8
1
8
8
C 2
1
C 2
0
8,
N
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
r
r
，
由通项公式知，
8
(2
)
x
二项展开式中偶数项的系数为负数，所以
1
2
3
8
1
2
8
3
a
a
a
a
a
a
a
a
，
由
8
2
8
0
1
2
8
(2
)
x
a
a x
a x
a x
，令
0
x
，得到
8
0
2
a
，
令= 1
x ，得到
8
0
1
2
8
3
3
a
a
a
a
a
，
所以
8
8
1
2
3
8
2
3
a
a
a
a
，所以选项B 错误；
选项C，因为
8
4
4
4
1
3
2
2
3
3
1
2
2
1
3
4
4
4
4
4
4
( 1)
3
9
(10 1)
10
C 10
C 10
C 10 1
10 (10
C 10
C 10
C ) 1
f
，
所以
( 1)
f
除以5 所得的余数是1，选项C 正确；
对于选项D，因为
8
2
8
0
1
2
8
(2
)x
a
a x
a x
a x
，
两边同时对x 求导，得到
7
7
2
1
2
3
8
8 (2
)
2
3
8
x
a
a x
a x
a x
，
令
1
x ，得到
1
2
3
8
2
3
8
8
a
a
a
a
，所以选项D 正确.
故选：ACD.
11.已知
3
4
2
3
4
0
1
2
3
4
2
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
0
2
4
a
a
a
___________.
【答案】54
【分析】设
3
4
( )
(2
1)
(
2)
f x
x
x
，利用赋值法求出
(1)
( 1)
f
f
、
即可求解.
【详解】设
3
4
( )
(2
1)
(
2)
f x
x
x
，
则
0
1
2
3
4
(1)
80
f
a
a
a
a
a
，
0
1
2
3
4
( 1)
28
f
a
a
a
a
a
，
所以
0
2
4
(1)
( 1)
54
2
f
f
a
a
a
故答案为：54
.
12.若
4
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
1
2
3
4
a
a
a
a
_________.
【答案】34
【分析】令
0
x
，得
0
9
a
，令
1
x ，得
4
3
0
1
2
3
4
2
3
43
a
a
a
a
a
，即可得到答案.
【详解】依题意
4
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，
令
0
x
，得
0
9
a
，
令
1
x ，得
4
3
0
1
2
3
4
2
3
43
a
a
a
a
a
.
故
1
2
3
4
34
a
a
a
a
.
故答案为：34
题型六：换元法求各项系数的和
1
n
0
n
n
2
2
a
b
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
形如
可以通过令x+1=t，化为简单形式
1.若
10
2
10
0
1
2
10
(
1)
(
)
(
)
)
2
1
1
(
1
x
a
a x
a
x
a
x
，求下列各式的值.
(1)
10
a ；
(2)
1
2
9
a
a
a
；
(3)
1
2
3
9
10
2
3
9
10
a
a
a
a
a
.
【答案】(1)1024
(2)58024
(3)393660
【详解】（1）令
1
t
x
，则
1
x
t
，所以
10
2
10
0
1
2
10
(2
1)
t
a
a t
a t
a t
.
10
1
10
C
2
r
r
rT
t
，当
0
r
时，可得
10
10
2
1024
a
.
（2）令
0
t
，得
0
1
a ，
令
1
t ，得
10
0
1
2
9
10
3
a
a
a
a
a
，
所以
10
10
1
2
9
3
2
1
58024
a
a
a
.
（3）因为
10
2
10
0
1
2
10
(2
1)
t
a
a t
a t
a t
，
两边对t 求导得
9
2
8
9
1
2
3
9
10
20 2
1
2
3
9
10
(
)
t
a
a t
a t
a t
a t
，
令
1
t ，得
9
1
2
3
9
10
2
3
9
10
20 3
393660
a
a
a
a
a
.
2.已知
1011
1012
C
C
n
n
，设
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
，下列说法：
①
2023
n
，②
2023
3
na
，③
0
1
2
1
n
a
a
a
a
，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据组合数的性质求得n ，根据二项式展开式的通项公式、赋值法、二项式系数和的知识求得正
确答案.
【详解】
1011 1012
2023
n
，①对.
2023
2
2023
0
1
2
2023
2023
(2
3)
(
1)
(
1)
(
1
2
1
1
)
x
a
a x
a x
a
x
x
，
所以
0
2023
2023
2023
2023
C
2
2
na
a
，②错.
令
2
x
得
0
1
2
1
n
a
a
a
a
，③对.
展开式中所有项的二项式系数和为
2023
2
，④错.
所以正确的说法有2 个.
故选：C
3.已知
3
6
C
C
n
n
，设
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
，则
1
2
n
a
a
a
（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可求得n 的值，再利用赋值法可求得
0a 和
0
1
2
n
a
a
a
a
的值，作差可得出
所求代数式的值.
【详解】因为
3
6
C
C
n
n
，所以由组合数的性质得
3 6
9
n
，
所以
9
2
9
0
1
2
9
2
3
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
，
令
2
x
，得
9
0
1
2
9
2 2
3
a
a
a
a
，即
0
1
2
9
1
a
a
a
a
.
令
1
x ，得
9
0
2 1 3
1
a
，
所以
1
2
9
0
1
2
9
0
1
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
，
故选：D.
4.已知(
1)n
x
的二项展开式的奇数项二项式系数和为64 ，若
2
0
1
2
(
1)
1
(
1)
(
1)
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，则
1a 等于（
）
A．192
B．448
C．192
D．448
【答案】B
【分析】根据奇数项二项式系数和公式求出n ，再利用展开式求
1a .
【详解】(
1)n
x
的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，
1
2
64
n
，即
7
n
；
则
7
7
(
1)
[(
1)
2]
x
x
的通项公式为
7
1
7
C (
1)
( 2)
k
k
k
kT
x
，
令7
1
k
，则
6
k
，所以
6
6
1
7
C
( 2)
448
a
.
故选：B
题型七：整除和余数问题
1：
92
91 除以100 的余数是
．
【答案】81
【分析】根据二项式定理的应用求余数即可.
【详解】
92
92
0
92
0
90
2
90
91
1
91
92
0
92
92
92
92
91
90 1
90
1
90
1
90
1
90
C
C
+C
C
，在此展开式中，除了
最后两项外，其余项都能被100 整除，故
92
91 除以100 的余数等价于
91
1
91
92
0
92
92
90
1
90
1
8281
C
C
除以
100 的余数，所以余数为81.
整除和余数问题的解题技巧：
1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的
形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
故答案为：81.
2：
2023
3
被8 除的余数为（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【详解】
2023
2022
1011
1011
3
3 3
3 9
3 (8 1)
0
1011
1
1010
1
1010
1
1010
1011
0
1011
1011
1011
1011
1011
3 C
8
1
C
8
1
C
8
1
C
8
1
0
1011
1
1010
1
1010
1
1010
1011
1011
1011
3 C
8
1
C
8
1
C
8
1
3
其中
0
1011
1
1010
1
1010
1
1010
1011
1011
1011
3 C
8
1
C
8
1
C
8
1
是8 的整数倍，
故
2023
3
被8 除的余数为3.
故选：B
3.用二项式定理证明
55
55
9
能被8 整除．
【答案】见解析
【详解】证明：
55
55
55
9
(56 1)
9
0
55
1
54
1
2
53
2
54
1
54
55
55
55
55
55
55
55
C 56
C 56 ( 1)
C 56 ( 1)
C 56 ( 1)
C ( 1)
9
55
1
54
54
55
55
56
C 56
C 56
8
能被8 整除.
所以
55
55
9
能被8 整除.
4：
10
99 被1000 除的余数是（
）
A．1
B．99
C．1
D．901
【答案】C
【分析】利用二项式定理展开
10
10
99
(100 1)
可求解.
【详解】
10
10
10
99
(100 1)
(1 100)
1
1
2
2
10
10
10
C
100
C
100
100
，
所以展开式中从第二项开始都是1000 的倍数，因此
10
99 被1000 除的余数是1.
故选：C
5：
20
20 被7 除的余数为（
）
A．1
B．3
C．5
D．6
【答案】A
【分析】先将
20
20 转化为
20
(21 1)
，再利用二项式定理求出余数．
【详解】
20
20
0
20
1
19
2
18
2
19
19
20
20
20
20
20
20
20
20
(21 1)
21
21
( 1)
21
( 1)
21 ( 1)
( 1)
C
C
C
C
C
，
因为21 是7 的倍数，只有最后一项1 不能被7 整除，故余数为1，
故选：A．
6：（1）试求
10
2019 除以8 的余数；
（2）求证：
2
2
*
3
8
9
n
n
n
N
能被64 整除.
【答案】（1）1；（2）证明见解析
【分析】（1）把2019 拆分为8 252
3
，得出
10
2019 与
10
3 余数相同，再把
10
3 化为
5
8 1
，利用二项式定理
可得答案；
（2）把
2
2
3 n化为
1
8 1
n
，利用二项式定理展开可得答案.
【详解】（1）
10
10
2019
8 252
3
.
∵其展开式中除末项为
10
3 外，其余的各项均含有8 这个因数，
∴
10
2019 除以8 的余数与
10
3 除以8 的余数相同.
又∵
5
10
5
3
9
8 1
，其展开式中除末项为1 外，其余的各项均含有8 这个因数，
∴
10
3 除以8 的余数为1，即
10
2019 除以8 的余数也为1.
（2）证明：
2
2
1
(8 1)
3
8
9
8
9
n
n
n
n
0
1
1
1
1
1
1
C
8
C
8
C
8
9
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
2
1
1
1
C
8
C
8
C
8
(
1) 8 1 8
9
n
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
2
1
1
1
C
8
C
8
C
8
n
n
n
n
n
n
.①
①式中的每一项都含有82 这个因数，故原式能被64 整除.
7.设
Z
a
，且7
0
a
，若
2023
15
a
能被7 整除，则
a
（
）
A．-4
B．-5
C．-6
D．-7
【答案】C
【详解】
2023
2023
0
2023
1
2022
2
2021
2022
2023
2023
2023
2023
2023
2023
15
(14
1)
C
14
C
14
C
14
C
14
C
a
a
a
，
因为
2023
15
a
能被7 整除，
且
0
2023
1
2022
2
2021
2022
2023
2023
2023
2023
C
14
C
14
C
14
C
14
能被7 整除，
故
2023
2023
C
1
a
a
能被7 整除，
又7
0
a
，所以
6
a .
故选：C.
8.如果今天是星期三，经过7 天后还是星期三，那么经过
2022
8
天后是（
）
A．星期三
B．星期四
C．星期五
D．星期六
【答案】B
【详解】因为
2022
2022
8
(7
1)
0
2022
1
2021
2021
1
2022
2022
2022
2022
2022
C
7
C
7
C
7
C
，
所以
2022
8
除以7 的余数为1，所以经过
2022
8
天后是星期四，
故选：B．
9.设4 258 的小数部分为x，则
4
3
2
16
96
256
x
x
x
x
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由
4
4
5
258
256
4
，得4 258 的整数部分为4，
则4 258
4
x
，所以
4
4
258
x
，
即
0
4
1
3
2
2
3
4
4
3
2
4
4
4
4
4
C
4C
16C
64C
256C
16
96
256
256
258
x
x
x
x
x
x
x
x
，
故
4
3
2
16
96
256
2
x
x
x
x
.
故选:B
10.设
1
1
2
2
1
3
C 3
C 3
C
3
n
n
n
n
n
n
n
a
，则当
2023
n
时，a 除以15 所得余数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【分析】利用二项式定理化简a ，结合二项式的展开式公式即可求解.
【详解】∵
0
1
1
2
2
1
0
C 3
C 3
C 3
C
3
C 3
3
1
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，
∴
4
1
n
a
，当
2023
n
时，
1011
2023
1011
4
1
4 16
1
4
15 1
1
3
a
，
而
1011
0
1011
1
1010
1010
1011
1011
1011
15
1
1
C
15
C
15
C
15
，故此时a 除以15 所得余数为3.
故选:A.
11.设n∈N ，且
2022
19
n
能被6 整除，则n 的值可以为
.(写出一个满足条件的n 的值即可)
【答案】5（答案不唯一）
【分析】先利用二项展开式将
2022
19
n
变形，进而即可求得n 的可能取值
【详解】
2022
2022
19
(18 1)
n
n
0
2022
1
2021
2022
2021
1
2022
0
2022
2022
2022
2022
2022
C
18
C
18
C
18
C
18
C
18
r
r
n
0
2021
1
2020
2021
2021
2022
2022
2022
2022
C
18
C
18
C
18
C
18 1
r
r
n
0
2021
1
2020
2021
2021
2022
2022
2022
2022
C
18
C
18
C
18
C
18
r
r
被6 整除，
由
2022
19
n
能被6 整除，可得1
n
能被6 整除，
则n 的值可以为5，或11，或17 等，答案不唯一
故答案为：5（答案不唯一）
12.二项式
2023
5
x
展开式的各项系数之和被7 除所得余数为
．
【答案】6
【详解】令
1
x 得
2023
2023
5 1
6
，
由于
2023
2023
1
2
2
3
3
2023
2023
2023
2023
6
1 7
1 C
7
C
7
C
7
7
，
由于
2023
2023
1
2
2
3
3
2023
1
2
2
3
3
2023
2023
2023
2023
2023
2023
2023
6
1 7
1 C
7
C
7
C
7
7
6
7
C
7
C
7
C
7
7
，
1
2
2
3
3
2023
2023
2023
2023
7+C
7
C
7
C
7
7
均能被7 整除，所以余数为6，
故答案为：6
题型八：利用二项式定理近似计算
1：
7
1.95 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106
B．107
C．108
D．109
【答案】B
【分析】由题得
7
7
1.95
2
0.05
，再利用二项式定理求解即可.
【详解】∵
7
7
7
1
6
2
5
2
7
7
1.95
2
0.05
2
2
0.05
2
0.05
C
C
107.28
，
∴
7
1.95
107
.
故选B
【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2：求
5
1.02 的近似值．(精确到两位小数)
【答案】1.10
【解析】由
5
5
1.02
1 0.02
，利用二项式定理可求得近似值.
【详解】
5
5
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
1.02
1 0.02
1
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
C
C
C
C
C
1
5 0.02
1.10
.
3.估算
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
C 0.998
C 0.998
C 0.998
C 0.998
C 0.998
的结果，精确到0.01 的近似值为（
）
A．30.84
B．31.84
C．30.40
D．32.16
【答案】A
【详解】原式
5
5
(1
0.998)
1
(2
0.002)
1
0
5
1
4
2
3
2
5
5
5
C 2
C 2
0.002
C 2
0.002
+
5
5
5
0.002
1
C
32
0.16 1
30.84
．
故选：A．
4：
7
0.99 的计算结果精确到0.001 的近似值是（
）
A．0.930
B．0.931
C．0.932
D．0.933
【答案】C
【详解】
7
7
0
1
2
2
7
7
7
0.99
1
0.01
1
0.01
0.01
1
0.07
0.0021
0.932
C
C
C
.
故选：C
5：
6
(1.05) 的计算结果精确到0.01 的近似值是
．
【答案】1.34
【详解】
6
6
1
2
2
6
6
1.05
1
0.05
1+
0.05+
0.05 +
1+0.3+0.0375=1.3375
1.34
C
C
故答案为：1.34
6.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义
二项式定理：对于任意实数，
2
(
1)
(
1)
(
1)
(1
)
1
1
2 1
(
1)
2 1
k
k
x
x
x
x
k
k
，当x 比
较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：(1
)
1
x
x
，并且x 的值越小，所得结果就
越接近真实数据．用这个方法计算5 的近似值，可以这样操作：
5
4 1
1
1
1
1
4 1
2 1
2
1
2.25
4
4
2
4
，用这样的方法，估计3 25 的近似值约为（
）
A．2.922
B．2.928
C．2.926
D．2.930
【答案】C
【详解】
1
3
3
3
3
3
1
25
27
2
27 1
3
1
3
1
3
1
2.926
2
2
2
2
27
27
27
3
27
，
故选：C.
题型九：证明组合恒等式
1.求证：
0
1
2
3
C
C
C
C
1
C
0
n
n
n
n
n
n
n
．
【答案】证明见解析
【分析】利用二项式定理的展开式再令
1,
1
a
b
可证明.
【详解】由二项式定理：
0
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
(
)n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C a
b
C
ab
C b
，
令
1,
1
a
b
得：
0
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
(1 1)
1
1
( 1)
1
( 1)
1
( 1)
1 ( 1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
，
化简得：
0
1
2
3
C
C
C
C
1
C
0
n
n
n
n
n
n
n
.
2.求证：
1
1
2
2
1
1
2
2
2
( 1)
2
( 1)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
.
【答案】证明见解析.
【分析】利用二项式定理直接证明.
【详解】左边=
1
1
2
2
1
1
2
2
2
( 1)
2
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
1
1
2
2
0
0
1
2
1
0
1
1
2
2
2
2
( 1)
2
( 1
1
1
1
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
2 1
n
=1=右边.
即证.
3.（1）设m 、
*
nN ，m
n
，求证：
1
1
1
1
m
m
n
n
n
C
C
m
；
（2）请利用二项式定理证明：
2
*
3
2
1
3,
n
n
n
n
N
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据组合数公式证明即可；
（2）由于
3
1
2
n
n
，利用二项式定理将
1 2
n
展开，然后利用放缩法可证得结果.
【详解】证：（1）
1
1
1 !
1
!
1
1 !
!
1
!
!
1
m
m
n
n
n
n
n
n
C
C
m
n
m
m
m
n
m
m
；
（2）当
3
n
，
*
nN 时，
1
2
2
3
1
2
1
2
2
...
2
n
n
n
n
n
C
C
1
2
2
2
!
1
2
2
1 2
4
1 2
2 (
1)
2
1
2! (
2)!
n
n
n
C
C
n
n
n n
n
n
,
所以结论成立.
【点睛】此题考查了组合数公式和二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.
题型十：与导数的综合问题
1.设
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
1a ＝________，
2
3
4
2
3
4
a
a
a
＝________.
【答案】
－4
31
【分析】
1a 即为
3
1
2
x
x
中x 系数，
又
3
3
3
1
2
2
2
x
x
x
x
x
，分别求
3
2
x
x
与
3
2
x
一次项即可.注意到
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
2
2
3
1
2
3
4
2
3
4
2
4
1
a
a x
a x
a x
x
x
，令
1
x ，结合
1a 可得答案.
【详解】因
3
3
3
1
2
2
2
x
x
x
x
x
，
则
3
3
2
2
1
3
3
2
2
4
C
C
a
.
注意到
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
2
2
3
1
2
3
4
2
3
4
2
4
1
a
a x
a x
a x
x
x
，令
1
x ，
得
1
2
3
4
2
3
4
27
a
a
a
a
，又
1
4
a ，得
2
3
4
2
3
4
a
a
a
31
.
故答案为：4
；31.
2.若
5
2
2
10
0
1
2
10
3
1
x
x
a
a x
a x
a x
，则
2a ______，
1
2
3
10
2
3
10
a
a
a
a
___________.
【答案】
85
405
【分析】空1：根据
5
5
2
2
3
1
3
1
x
x
x
x
与
3
1
n
x
的二项展开式分析运算；空2：对题设等式两
边同时求导，再令
1
x 即可求出结果.
【详解】空1：
5
5
2
2
3
1
3
1
x
x
x
x
的二项展开式为
5
2
1
5
C
3
1
,
0,1,...,4,5
r
r
r
r
T
r
x
x
，①
3
1
n
x
的二项展开式为
1
C
3
1
C
3
,
0,1,...,
n k
n k
k
k
k
n
n
k
x
k
n
T
x
，②
若对①令
4
r
，得
2
5
4
4
2
5
4
C
3
5
3
1
1
T
x
x
x
x
，则对②令
4,
4
n
k
，得
0
4
5
4
C
3
1
T
x
，可得
2
2
5
1
5
x
x
；
若对①令
= 5
r
，得
0
5
2
5
5
5
5
C
3
1
3
1
T
x
x
x
，则对②令
5,
3
n
k
，得
3
2
2
4
5
C
3
90
x
x
T
，可
得
2
2
1 90
90
x
x
；
故
2
5
90
85
a
.
空2：
∵
5
2
2
10
0
1
2
10
3
1
x
x
a
a x
a x
a x
，两边求导得
2
2
1
2
4
9
3
10
5 2
3
3
1
2
3
10
x
x
x
a
a x
a x
a x
，
令
1
x ，可得
1
2
3
10
4
2
3
10
5 2
3
405
1 3 1
a
a
a
a
.
故答案为：85
；405
.
题型十一：与数列的综合问题
1.已知等差数列
na
，对任意n
N
都有
0
1
2
1
1
2
3
1
C
C
C
C
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
成立，则数列
1
2
1
n
n
a
a
的
前n 项和
nT
．
【答案】
16
1
n
n
【分析】根据二项式的性质化简可得
1
1
1 2
2
2
n
n
n
a
nd
n
，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.
【详解】设等差数列的公差为d ，则
1
1
na
a
n
d
，因为
0
1
2
1
1
2
3
1
2
n
n
n
n
n
n
n
a C
a C
a C
a
C
n
，
所以
0
1
2
1
1
2
3
1
2
n
n
n
n
n
n
n
a C
a C
a C
a
C
n
0
1
1
2
3
1 C
C
C
C
2C
3C
C
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
d
n
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
C
C
C
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
nd
a
nd
，
所以
1
1
1 2
2
2
n
n
n
a
nd
n
，所以
1
2
4
0
a
n d
对n
N 恒成立，
所以
1
0
a
，
4
d
，所以等差数列
na
的通项公式
4
1
na
n
，
所以
1
2
1
1
1
1
1
4
4(
1)
16
1
n
n
a
a
n
n
n
n
，
所以数列
1
2
1
n
n
a
a
的前n 项和
1
1
1
16
1
16
1
n
n
T
n
n
．
故答案为：
16
1
n
n
.
2.已知
2
3
*
0
1
2
3
(1
2 )
(
3,
N )
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
a x
n
n
.
(1)若
1
2
3
2 ,
,
a a a ，成等比数列，求n的值；
(2)若
8
n ，求
2
2
0
2
4
6
8
1
3
5
7
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
的值（用数字作答）．
【答案】(1)5
(2)6561
【分析】（1）求出展开式的通项，根据题意可得
2
2
1
3
2
a
a a
，即
2
2
3
2
1
3
2
C
2
2 C
2
C
n
n
n
，从而
可求得n ；
（2）分别令
1,
1
x
x
，从而可求得
0
2
4
6
8
1
3
5
7
,
a
a
a
a
a a
a
a
a
，即可得出答案.
【详解】（1）二项式展开式通项公式为
1
C
2
r
r
r
r
n
T
x
，
若
1
2
3
2 ,
,
a a a ，成等比数列，则
2
2
1
3
2
a
a a
，
即
2
2
3
2
1
3
2
C
2
2 C
2
C
n
n
n
，
则
2
1
1
2
4
32
2
3 2 1
n n
n n
n
n
，解得
5
n
；
（2）若
8
n ，当
1
x 时，
0
2
4
5
8
1
3
5
7
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，
当= 1
x 时，
0
2
4
6
8
1
3
5
7
83
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，
所以
8
1
3
5
7
1
3
2
a
a
a
a
，
0
6
8
2
4
8
1 3
2
a
a
a
a
a
，
所以
2
2
8
8
2
2
8
0
2
4
6
8
1
3
5
7
1
3
1 3
3
6561
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
3.记Sn 为数列
na
的前n 项的和，已知
1
1
a ，
n
S
n
是公差为1
2 的等差数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
2 n
a
nb
，记数列
nb
的前n 项和为Tn，试求
2
1
n
T
除以3 的余数．
【答案】(1)
na
n
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义，写出数列
n
S
n
的通项公式，整理可得数列
na
的递通项公式；
（2）利用等比数列前n 项和公式求出
2
1
n
T
，然后应用二项式展开式求余数
【详解】（1）由
n
S
n
是公差为1
2 的等差数列，且
1
1
1
S ，则
1
1
1
1
1
2
2
2
n
S
n
n
n
，
即
2
2
n
S
n
n
，当
2
n
时，
2
1
2
1
1
n
S
n
n
，
两式相减可得：2
2
na
n
，即
,
2
na
n n
，
因为
1
1
a 满足上式，所以数列
na
的通项公式为
na
n
（2）由（1）可得
2
2
n
a
n
nb
，所以
2
1
2
2
1
2 1 2
2
2
4
2
1 2
n
n
n
n
T
，
又
0
1
1
1
1
4
(3 1)
C 3
C 3
C
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
，
因为
0
1
1
C ,C ,
,Cn
n
n
n
均为正整数，所以存在正整数k 使得4
3
1
n
k
，
故
2
1
4
2
3
1
n
n
T
k
，
所以
2
1
n
T
除以3 的余数为2.
4.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
1
1,
2
n
n
n
n
S
S
a
a
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
2 n
a
nb
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，试求
2
1
n
T
除以3 的余数.
【答案】(1)
na
n
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出
1
2
n
n
S
n
a
，再根据
1
1
,(
1)
,(
2)
n
n
n
S
n
a
S
S
n
求出
na
n
；
（2）利用等比数列前n 项和公式求出
2
1
n
T
，然后应用二项式展开式求余数
【详解】（1）由
1
1
2
n
n
n
n
S
S
a
a
有
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
S
a
S
a
a
，即
1
1
1
2
n
n
n
n
S
S
a
a
，
又
1
1
a ，故
1
1
1
S
a ，
所以数列
n
n
S
a
是以1 为首项，1
2 为公差的等差数列，
所以
1
2
n
n
S
n
a
，即
1
2
n
n
n
S
a
，
故
1
1
2
2
n
n
n
S
a
，两式相减得
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
，即
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
，
所以
1
1
1
1
1
n
n
a
a
a
n
n
，
因此
na
的通项公式为
na
n
.
（2）由（1）及
2 n
a
nb
，有
2n
nb
，所以
2
2
1
2
2
4
2
n
n
n
T
，
又
0
1
1
1
1
4
(3 1)
C 3
C 3
C
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
，
因为
0
1
1
C ,C ,
,Cn
n
n
n
均为正整数，所以存在正整数k 使得4
3
1
n
k
，
故
2
2
1
2
2
4
2
3
1
n
n
n
T
k
，
所以
2
1
n
T
除以3 的余数为2.
5.已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，若
2023
2
2023
0
1
2
2023
(1
2 )
x
b
b x
b x
b
x
，数列
na
的首项
2023
1
2
1
1
1
2
2023
2
2
2
n
n
n
b
b
b
a
a
S
S
，
，则
2023
S
（
）
A．
1
2023
B．
1
2023
C．2023
D．2023
【答案】A
【分析】通过对二项展开式赋值
1
2
x
求解出
1a 的值，然后通过所给的条件变形得到
1
n
S
为等差数列，从
而求解出
n
S
的通项公式，进而即得.
【详解】令
1
2
x
，得
2023
2023
1
2
0
2
2023
1
1 2
0
2
2
2
2
b
b
b
b
.
又因为
0
1
b ，所以
2023
1
2
1
2
2023
1
2
2
2
b
b
b
a
.
由
1
1
1
n
n
n
n
n
a
S S
S
S
，得
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
S
S
S S
S
S
，所以
1
1
1
1
n
n
S
S
，
所以数列
1
n
S
是首项为
1
1
1
S ，公差为1
的等差数列，
所以
1
1
(
1) ( 1)
n
n
n
S
，
所以
1
n
S
n
，所以
2023
1
2023
S
.
故选：A.
6.已知数列
na
前n 项和
2
3
2
n
n
n
S
，
nb
的前n 项之积
(
1)
*
2
2
N
n n
nT
n
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式.
(2)把数列
na
和
nb
的公共项由小到大排成的数列为
nc
，求
1
2
20
c
c
c
的值.
【答案】(1)
3
1
na
n
，
2n
nb
(2)
20
2 4
1
3
【分析】（1）根据
1
1
,
1
,
2
n
n
n
S n
a
S
S
n
，
1
1
,
1
,
2
n
n
n
T n
b
T
n
T
，即可得出答案；
（2）由（1），设3
1
2
(3 1)
m
m
n
，结合二项式定理可得数列
nc
的通项，再根据等比数列前n 项和公
式即可得解.
(1)
解：（1）由
2
3
2
n
n
n
S
，
当
1
n 时，
1
1
2
a
S
当
2
n
时，
1
3
1
n
n
n
a
S
S
n
，
当
1
n 时，上式也成立，
所以
3
1
na
n
，
由
(
1)
2
2
n n
nT
，
当
1
n 时，
1
1
2
b
T
，
当
2
n
时，
1
2n
n
n
n
T
T
b
，
当
1
n 时，上式也成立，
所以
2n
nb
；
(2)
解：设3
1
2
(3 1)
m
m
n
0
0
1
1
1
1
1
0
C
3 ( 1)
C
3
( 1)
C
3 ( 1)
C 3
( 1)
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
3
1
m
M
，
*
N
m
，M 为3得正整数倍，
故当m 为奇数时，n
M
，故公共项为
1,3,5,7,
m
，
∴
12 ，
3
2 ，
5
2 ，
7
2 ，…构成首项为2，公比为4 的等比数列
1
2 4n
nc
，
则
2
20
1
2
20
0
1
2
4
1 4
2
1
3
4
c
c
c
.
模块三：综合巩固
1：
5
(
1)
x
的展开式中含
2x 的项是（
）
A．
2
5x
B．
2
5x
C．
2
10x
D．
2
10x
【答案】C
【详解】
5
(
1)
x
的展开式的通项公式为
5
1
5
C
( 1)
k
k
k
kT
x
，则5
2
k
，得
3
k
，所以含
2x 的项是
3
3
2
2
4
5
C
1
10
T
x
x
．
故选：C.
2.若n 为一组从小到大排列的数1，2 ，4 ，8，9，10的第六十百分位数，则二项式
3
1
2
n
x
x
的展开式
的常数项是（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
【答案】B
【详解】由6 60%
3.6
，可知
8
n ，
所以二项式为
8
3
1
2
x
x
，
其展开式的通项为
8
1
8 4
1
3
3
8
8
1
1
C
C
2
2
r
r
r
r
r
r
x
x
x
，
令8
4
0
3
r
，即
2
r
，
所以常数项为
2
2
0
8
1
C
7
2
x
，
故选：B.
3：在
6
1 (
)
x
x
y
的展开式中，含
4
3
x y 项的系数为（
）
A．20
B．20
C．15
D．15
【答案】A
【详解】
6
(
)
x
y
的第
1
r 项为
6
1
6
C
r
r
r
rT
x
y
，
令
3
r ，则
3
3
3
3
3
4
6
C
20
T
x
y
x y
，
所以
6
1 (
)
x
x
y
的展开式中，含
4
3
x y 项为
4
3
4
20
x T
x y
，系数为20
.
故选：A
4：若
5
1
kx
的展开式中
2x 的系数为40，则k （
）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】B
【详解】
5
1
kx
的展开式的
2x 项为
2
2
2
2
5
C
10
kx
k x
,
因为
5
1
kx
的展开式中
2x 的系数为40，
所以
2
10
40
k
，解得
2
k .
故选:B．
5．若
9
2
9
0
1
2
9
(1
)
x
a
a x
a x
a x
，则
1
2
3
9
a
a
a
a
（
）
A．1
B．513
C．512
D．511
【答案】D
【详解】令
0
x
，得
0
1
a ，令
1
x ，得
9
0
1
2
3
9
2
512
a
a
a
a
a
，
所以
1
2
3
9
0
512
512 1
511
a
a
a
a
a
，
故选：D
6：
12
(1
)x
展开式中，系数最大的项是（
）
A．第5，6 项
B．第6，7 项
C．第6 项
D．第7 项
【答案】D
【详解】因为
12
(1
)x
的展开式的通项为
1
12
Ck
k
kT
x
，
0,1,2,
,12
k
，
所以
12
(1
)x
展开式中各项的系数即为其二项式系数，
根据二项式系数的性质有，第7 项的二项式系数最大，故A，B，C 错误.
故选：D.
7：
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1 3x
a
a x
a x
a x
a x
a x
，则
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
（
）
A．31
B．1023
C．1024
D．32
【答案】B
【详解】由二项式
5
1 3x
的展开式的通项为
1
5
5
C ( 3 )
( 3)
C
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
所以，当
0,2,4
r
时，可得
1
3
5
,
,
a a a 为正数，当
1,3,5
r
时，可得
1
3
5
,
,
a a a 为负数，
令
0
x
，可得
0
1
a ，
令= 1
x ，可得
5
0
1
2
3
4
5
1
3
1204
a
a
a
a
a
a
，
所以
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1024 1 1023
.
故选：B.
8.已知
6
3
0
a
x
a
x
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（
）
A．4 5
,
3 2
B．4 5
,
3 3
C．4 5
,
3 3
D．2 5
,
3 3
【答案】A
【详解】
6
3
a
x
x
的展开式的通项为
6
3
18 4
1
6
6
C
C
r
r
r
r
r
r
r
a
T
x
a
x
x
，
由题可知
4
4
3
3
6
6
4
4
5
5
6
6
C
C
C
C
a
a
a
a
，解得4
5
3
2
a
．
故选：A
9．（多选）下列说法正确的是（
）
A．已知
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，则x 可能取值为6
B．已知
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，则x 可能取值为7
C．在
9
2
1
x
x
的二项式展开式中，常数项是84
D．在
9
2
1
x
x
的二项式展开式中，常数项是504
【答案】BC
【详解】对于选项A 和选项B，
因为
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，故
2
2
5
x
x
，或
2
2
5
18
x
x
，得
7
x
，
故A 错误，B 正确；
对于选项C 和选项D，
根据二项展开式的通项公式
9
2
1
18 3
1
9
9
C
1
C
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
令18
3
0
k
，解得
6
k
，∴
6
6
7
9
1
C
84
T
，故C 正确、D 错误.
故选：BC.
10．（多选）若
5
2
5
0
1
2
5
(1
)
(1
)
(1
)
x
a
a
x
a
x
a
x
，其中
(
0,1,
,5)
ia i
为实数，则（
）
A．
0
1
a
B．
3
10
a
C．
1
3
5
16
a
a
a
D．
1
2
5
1
a
a
a
【答案】AC
【详解】令
1
x 可得
0
1
a ，A 正确.
5
5
1 1
x
x
，其展开式的第三项是
3
3
2
3
5
C
1
10 1
T
x
x
，所以
3
10
a
，B 不正确.
令
0
x
可得
0
1
2
5
0
a
a
a
a
，所以
1
2
5
1
a
a
a
，D 不正确.
令
2
x
可得
0
1
2
5
32
a
a
a
a
，与
0
1
2
5
0
a
a
a
a
相减可得
1
3
5
16
a
a
a
，C 正确.
故选：AC
11.若
6
0
b
a x
b
x
的展开式中含x 的项的系数为60，则
2
a
b
的最小值为
．
【答案】2 2
【详解】
6
6
6
3
2
2
1
6
6
1
C
1
C
0,1,2,
,6
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rT
a
b x
x
a
b x
r
，
令3
1
r
得
2
r
，
∴
2
2
4
2
4
2
3
6
1
1
C
5
a b
x
x
a b
，依题意
4
2
15
6
60
0
a
b
，
∴
2
2
a b
，
∴
2
2
2
2 2
a
b
a b
，当且仅当
2
a
b
，即
4 2,
2
a
b
时，等号成立．
∴
2
a
b
的最小值为2 2 ．
故答案为：2 2
12．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”
与第二个地支“丑”配出“乙丑”，L，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023 年是癸卯年，
则
8
13
2
年以后是
年.
【答案】丙午
【详解】因为
8
8
8
1
7
7
8
8
13
2
(12
1)
2
12
C
12
C
12
3
，
所以
8
13
2
年以后地支为“午”.
因为
8
8
8
1
7
7
7
8
8
8
13
2
(10
3)
2
10
C
10
3
C
10 3
3
2
，
又因为
8
8
3
2
6563,3
2
除以10 余数为3，所以
8
13
2
年以后天干为“丙”，
故
8
13
2
年以后是丙午年.
故答案为：丙午
13.已知
2
3
4
1
3
n
x
x
展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中
3x 的系数为________．
【答案】945
【分析】根据所有项的系数和求得n ，根据二项式展开式的通项公式求得
3x 的系数.
【详解】令
1
x ，则2
128
n
，解得
7
n
，
故
7
2
3
4
1
3x
x
展开式的通项公式为
3
7
2
4
1
7
C
3
r
r
r
rT
x
x
11
14
7
4
7
C
3
( 1)
r
r
r
r x
，
令
11
14
3
4 r
，解得
4
r
，
故展开式中
3x 的系数为
4
3
4
7
C
3
( 1)
35 27
945
．
故答案为：945
14.已知
2
0
1
2
1
2
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，若
7
8
0
a
a
.
(1)求n 的值；
(2)求
1
2
n
a
a
a
的值.（结果可以用幂指数表示）
【答案】(1)11
(2)
11
3
1
【详解】（1）由题意得
1
C
2
C
2
r
r
r
r
r
r
n
n
T
x
x
，
故
7
8
7
8
7
8
C
2
,
C
2
n
n
a
a
，
所以
7
8
7
8
C
2
+C
2
0
n
n
，解得
11
n
；
（2）由（1）中通项公式可得
0
2
4
10
,
,
,
,
a a a
a
大于0，
1
3
5
11
,
,
,
,
a a a
a
小于0，
在
11
2
11
0
1
2
11
1
2x
a
a x
a x
a x
中，令= 1
x 得，
11
0
1
2
3
10
11
3
a
a
a
a
a
a
，
令
0
x
得
0
1
a ，故
11
1
2
3
10
11
3
1
a
a
a
a
a
，
故
11
1
2
11
1
2
3
10
11
3
1
a
a
a
a
a
a
a
a
.
15.己知
1
2
n
x
x
的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)60
(2)
3
2
160x .
【详解】（1）由题意得：2
64
n
，解得
6
n
由通项公式
3
6
6
6
2
1
6
6
1
C
2
C 2
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
令
3
6
0
2
k
，可得：
4
k
.则常数项为
4
6 4
0
5
6
=C 2
60
T
x
（2）n是偶数，展开式共有7 项，则第四项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为
9
3
6
3
6 3
2
2
6
4
C 2
160
T
x
x
.
16.已知
1 2
n
x
的展开式中前3 项的二项式系数之和为29，则
3
1
2
3
n
x
x
x
的展开式中1
x 的系数为
（
）
A．294
B．826
C．840
D．854
【答案】D
【详解】由题知，
1
2
1
C
C
29
n
n
，解得
7
n
或
8
n （舍去）．
则
7
2
x
x
的展开式的通项
7 3
7
2
1
7
7
2
C
2
C
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
当
3
1
3
x
中取3 时，
7
2
x
x
的展开式中取含1
x 的项，令7
3
1
2
r
，解得
3
r ，
3
7
3
3
2
C
840
；
当
3
1
3
x
中取
3
1
x 时，
7
2
x
x
的展开式中取含
2x 的项，令7
3
2
2
r
，解得
1
r ，
1
7
2 C
14
．
所以
3
1
2
3
n
x
x
x
的展开式中1
x 的系数为840 14
854
.
故选：D．
17：
5
2
2
3
x
x
a
的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含
7x 项的系数是（
）
A．600
B．840
C．1080
D．2040
【答案】D
【详解】因为
5
2
2
3
x
x
a
的展开式的各项系数之和为1，
令
1
x ，得
5
( 1
)
1
a
，解得
2
a
，
所以
5
2
2
3
2
x
x
的展开式中含
7x 项为
3
2
3
3
2
1
2
2
3
7
5
2
5
3
C
2
C
3
2
C
2
C
3
2040
x
x
x
x
x
，
所以该展开式中含
7x 项的系数是2040
.
故选：D.
18.若
6
b
ax
x
的展开式中常数项为160
，则
2
2
2
a
b
ab
的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由
6
b
ax
x
，有
6
6
6 2
1
6
6
C
C
k
k
k
k
k
k
k
k
b
T
ax
a
b
x
x
，
令6
2
0
k
，即
3
k
，故
3
3
6 3
3
3
4
6
C
20
160
T
a
b
a b
，
即
3
3
8
a b
，即
2
ab
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
a
b
a
b
a b
ab
，
当且仅当
2
a
b
或
2
a
b
时，等号成立，
故
2
2
2
a
b
ab
的最小值为3.
故选：C.
19.
1
2
n
x
x
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，则
1
2
n
x
x
的展开式中所有项系数的绝对
值之和为
．
【答案】
83 （或者写成6561）
【详解】因为展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，
所以
2
6
C
C
n
n
，由组合数的性质可得
6
2
8
n
，
即
8
1
1
2
2
n
x
x
x
x
,
因为
8
1
2x
x
的展开式中所有项系数的绝对值之和等于
8
1
2x
x
的展开式中所有项系数和，
所以，令
1
x 可得
8
8
1
1
2
3
1
656
.
故答案为：
83 （或者写成6561）.
20.（1）求证：
1
1
,
C
C
,
1
N
k
k
n
n
k
n
k
k
n
n
；
（2）利用等式
1
1
,
C
C
,
1
N
k
k
n
n
k
n
k
k
n
n
可以化简：
1
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1 C
2 C
2
C
2
C
C
2
C
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
C
2
C
2
C
2
1 2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
；类比上述方法，化简下式：
0
1
2
2
3
1
1
1
1
C
3
C
3
C
3
C
3
2
3
1
n
n
n
n
n
n
n
.
（3）已知等差数列
na
的首项为1，公差为
0
d d
，求证：对于任意正整数n ，函数
1
1
0
1
1
1
1
2
1
C
1
C
1
C
1
C
1
,
N
n
n
n k
k
k
n
n
n
n
k
n
n
n
y
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
k
n k
总是关于x 的一次
函数.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
1
1
n
n
；（3）证明见解析.
【详解】证明：（1）因为k 、
N
n
，
1
n
k
，
由组合数公式可得
1
1
1 !
!
C
C
!
!
1 !
!
k
k
n
n
n
n
k n
k
n
k
n
k
k
n
k
，故结论成立；
解：（2）因为k 、
N
n
，
1
n
k
，
则
1
1
1 !
1
!
!
1
1
C
C
1
1
!
!
1 !
!
1
1 !
!
1
k
k
n
n
n
n
n
k
k
k
n
k
k
n
k
n
k
n
k
n
，
则
0
1
2
2
3
1
1
1
1
C
3
C
3
C
3
C
3
2
3
1
n
n
n
n
n
n
n
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
C
3
C
3
C
3
C
3
1
n
n
n
n
n
n
n
0
0
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
C
3 +C
3
C
3
C
3
C
3
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1 3
1
4
1
1
1
n
n
n
n
；
（3）因为等差数列
na
的首项为1，公差为
0
d d
，则
1
1
na
a
n
d
，
则
1
1
1
C
1
C
1
C
1
C
1
n k
n k
n k
n k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
a
x
x
a
kd
x
x
a
x
x
dk
x
x
1
1
1
1
C
1
C
1
n k
n k
k
k
k
k
n
n
a
x
x
dnx
x
x
，
所以，
1
1
0
1
1
1
1
2
1
C
1
C
1
C
1
C
n
n
n k
k
k
n
n
n
n
k
n
n
n
y
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
1
0
1
1 C
1
C
1
C
n
n
n
n
n
n
n
a
x
x
x
x
1
2
1
0
1
1
1
1
1
C
1
C
1
C
1
n
n
n
n
n
n
n
dnx
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
n
n
a
x
x
dnx
x
x
dnx
a
总是关于x 的一次函数.
