6.4二项式定理（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_计数原理排列组合二项式定理知识点+题型分类

6.4 二项式定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：知识链接......................................................................2
考点二：二项式定理................................................................... 2
考点三：二项展开式的通顶公式.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求(a±b)
n型展开式........................................................ 3
题型二：二项式定理逆向应用....................................................... 3
题型三：求展开式常数项............................................................. 4
题型四：求展开式中指定项.......................................................... 5
题型五：求展开式中有理项.......................................................... 5
题型六：两个二项式相乘问题....................................................... 6
题型七：求形如(a+b+c)
n(n∈N
*)展开式中特定项............................7
题型八：求多个二项式的和或积展开式的问题................................. 8
模块三：综合巩固.........................................................................8
6.4 二项式定理
模块一：基础知识
考点一：知识链接
（1）
2
2
2
0
2
1
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
C a
C ab
C b







（2）
3
3
2
2
3
0
3
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
C a
C a b
C ab
C b









考点二：二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数n ，都有：


0
1
1
*
(
)n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N












这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(
)n
a
b

的二项展开式．
式中的
r
n r
r
n
C a
b

做二项展开式的通项，用
1
rT 表示，即通项为展开式的第
1
r 项：
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b


，其中的
系数
(
0,1,2,
, )
r
n
C
r
n


叫做二项式系数
2、二项式(
)n
a
b

的展开式的特点：
（1）项数：共有
1
n 项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第
1
r 项的二项式系数为
r
n
C ，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次
数从0 到n ，每一项中，a，b 次数和均为n ；
归纳：
概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1 项，可记做Tk＋1＝Cknan－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做(a＋b)n 的二项展开式.
考点三：二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
1
(
0,1,2,
, )
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n




公式特点：
（1）它表示二项展开式的第
1
r 项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
模块二：题型分类
题型一：求(a±b)
n型展开式
1.利用二项式定理展开下列各式：
(1)

5
1
x

；
(2)

4
2
x

．
2.写出

5
2
x

的展开式．
3.二项式

3
2
x 
的展开式为（
）
A．
3
2
6
6
8
x
x
x



B．
3
2
6
12
8
x
x
x



C．
3
2
12
6
8
x
x
x



D．
3
2
12
12
8
x
x
x



4.求
5
1
(
)
x
x

的二项展开式．
5.求

4
2
x
y

的展开式．
6.求
4
1
3 x
x







的展开式
7.若
1
n
x
x







的二项展开式共有8 项，则n=
.
题型二：二项式定理逆向应用
1.设
*
nN ，化简
1
2
2
3
3
1
10
10
10
10
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C











______.
2.求值：
1
2
2019
2019
2019
2019
2019
1 2
4
( 2)
C
C
C



________
3.化简







4
3
2
1
4
1
6
1
4
1
1
x
x
x
x







的结果为（
）
A．x4
B．

4
1
x 
C．

4
1

x
D．
4
1
x 
4.化简多项式









5
4
3
2
2
1
5 2
1
10 2
1
10 2
1
5 2
1
1
x
x
x
x
x










的结果是（
）
A．

5
2
1
x 
B．
5
2x
C．

5
2
1
x 
D．
5
32x
5.
1
2
3
4
2022
2022
2022
2022
2022
2022
C
2C
3C
4C
2022C




（
）
A．
2021
2
1

B．
2024
2
1

C．
2021
1011 2

D．
2022
1011 2

6.化简：设n

N ，则




0
1
1
C 2
C 2
1
C 2
1
C
k
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
n










．
7.已知
0
1
2
2
3
3
C
4C
4 C
4 C
( 1) 4 C
729
n
n
n
n
n
n
n
n







，则n的值为
．
题型三：求展开式常数项
1.二项式
6
2
x
x







的展开式中常数项为（
）
A．60

B．60
C．210
D．210

2.求
6
2
x
x







展开式中的常数项为______．
3.求
6
1
2
x
x







的展开式中的常数项为___________.
4.求
10
2
1
x
x







的展开式中的常数项为______.
5.
6
2
x
x







的展开式中常数项为第（
）项
A．4
B．5
C．6
D．7
题型四：求展开式中指定项
1.二项式

5
2
x

展开式中的含
3x 项的系数为
．
2.在二项式
6
2
x
x







的展开式中，含
2x 项的二项式系数为（
）
A．15
B．15

C．10
D．10

3.求
8
2
x
x







的展开式中含
3x 项的系数为______．（用数字作答）
4.求
5
8
9x
x







的展开式中含
2x 的项为（
）
A．
2
2
3
5
C
9
8


B．
4
4
5
C
9 8

C．
1
4
5
C
9
8


D．
2
3
2
5
C
9
8


5.在









2
3
4
9
10
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x









展开式中，
2x 项的系数为
.
题型五：求展开式中有理项
1.二项式
50
3
( 2
3 )
x

的展开式中系数为有理数的项共有（
）
A．6 项
B．7 项
C．8 项
D．9 项
2.在
7
2
3
4
1
2
3
x
x







的展开式中，系数为有理数的项是（
）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
3.求
8
3
1
x
x







的展开式中所有有理项的系数和为（
）
A．85
B．29
C．27

D．84

4.（多选）在
*
3
1
(
) (
N )
n
x
n
x


的展开式中，有理项恰有两项，则n 的可能取值为（
）
A．8
B．12
C．13
D．15
5.在二项式
7
1
2
1
2
x
x







的展开式中x 的指数为整数的项的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.若
2
3
1
3
2
n
x
x







的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型六：两个二项式相乘问题
1.
7
(
1)(
1)
x
x


的展开式中含
2x 的项的系数是（
）
A．21
B．14
C．－14
D．－21
2.

2
6
1
(1
)
x
x
x



的展开式中
2x 的系数为（
）
A．9
B．10
C．24
D．25
3.

5
2
1
1
1
x
x








的展开式中，常数项为________．
4.


2
6
2
b
a
a
b
a








的展开式中
3
4
a b 的系数为（
）
A．50
B．100
C．150
D．300
方法技巧：
求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路：
1．若m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．
2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n 的通项，综合考虑．
5.

6
3
2
1
1
2
x
x
x









的展开式中的常数项为（
）
A．240
B．240

C．400
D．80
6.二项式
2
10
(1
)(1
)
x
x
x



展开式中
4
x 的系数为（
）
A．120
B．135
C．140
D．100
7.已知


5
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1
1
x
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
a x









，则
3
a 的值为（
）
A．1

B．0
C．1
D．2
8.


5
7
2
2
x
y
x
y


的展开式中
9
3
x y 的系数为（
）
A．160

B．80

C．160
D．80
题型七：求形如(a+b+c)
n(n∈N
*)展开式中特定项
1.

5
2
2
x
y


的展开式中，
4
2
x y 的系数为（
）
A．60
B．60

C．30
D．30

2.

5
2
1
x
y


展开式中含
2x y 项的系数为______．
3.

10
2
2
1
x
x


的展开式中
3x 项的系数为______.
方法技巧
求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法：
1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方
法求解．
2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情
形．
3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．
4.

4
3
2
x
x


的展开式中，含x 的项的系数为______．
5：

5
2
1
x
y


展开式中含
2x y 项的系数为______．
6.

2
1 2
n
x
x


展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的
3x 项的系数为（
）
A．60

B．30

C．100
D．160
7.

4
2
1
x
y
x


的展开式中
2
2
y
x
的系数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
8.已知


6
2
1
0
x
a
a
x









展开式的常数项为76，则

a
（
）
A．1
B．61
C．2
D．3 61
题型八：求多个二项式的和或积展开式的问题
1.在



7
8
1
1
x
x



的展开式中，含
3x 的项的系数是______．
2：若


4
7
2
7
0
1
2
7
(
1)
2
(
2)
(
2)
x
x
a
a
x
a x
a x











，则
2a （
）
A．45
B．27
C．15
D．3
3：在






1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x






的展开式中，含
5x 的项的系数是___________.
4：在






1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x






的展开式中，含
5x 的项的系数是___________.
模块三：综合巩固
1.
6
(2
)x

的展开式中，
4
x 的系数为（
）
A．30
B．60
C．120
D．32
2.
6
(1
)
x

展开式中
2x 项系数为
3
,a x 项系数为b ，则a
b

（
）
A．0
B．24
C．35
D．64
3.
6
2
2
x
x






展开式中的第四项为（
）
A．
3
160x
B．
3
160x

C．240
D．240

4.

4
2
3
a
b
c


的展开式中
2
abc 的系数为（）
A．208
B．216

C．217
D．218

5.

6
2
1
1
x
x
x








的展开式中，含
2x 的项的系数是（
）
A．20

B．5
C．15
D．35
6.设n

N ，化简
0
1
1
2
2
3
3
C
C 6
C 6
C 6
C 6
n
n
n
n
n
n
n






L
（
）．
A．6n
B．6
1
n 
C．7n
D．7
1
n 
7.已知
1
2
n
x
x







的二项式系数和为256，则
1
2
n
x
x







的展开式中常数项为（
）
A．1120
B．1120

C．70
D．70

8.在(
1)(
2)(
3)(
4)
x
x
x
x




的展开式中，含
3x 项的系数为（
）
A．50
B．35
C．24
D．10
9.

6
4
1
1
1
x
x








的展开式的常数项为（
）
A．6
B．10
C．15
D．16
10.已知多项式
1
2
n
x
x








展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为
．
11.已知
1
2
n
x
x







的展开式中存在常数项，则n 的可能取值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
12.已知


10
2
1
ax
a
x








的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（
）
A．第2 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
13.


4
2
2
2
1
1
1
x
x
x









的展开式中
6x 的系数为（
）
A．1
B．4
C．1

D．4

14.（1）求

8
2
x
y

的二项展开式；
（2）求
12
1
3
x
x








的二项展开式中的常数项；
（3）求
9
2
x
x







的二项展开式中
3x 的系数；
（4）在

20
2
1
x

的二项展开式中，如果第4r 项和第
2
r 
项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r 项．
15.已知在
3
3
1
2
n
x
x







的展开式中，第6 项为常数项．
(1)求n 的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；
(2)求含
2x 的项的系数.
16.已知在
3
2
2
n
x
x







（
*
nN ）的展开式中，第4 项的二项式系数与第3 项的二项式系数的比值为2.
(1)求n 的值；
(2)求展开式中含
4
x 的项.
17.

7
2
1
2
5
2
x
x
x








的展开式中含x 项的系数为（
）
A．1984
B．960
C．660
D．704
18.用二项式定理展开下列各式：
(1)

6
3 a
b

；
(2)
7
3
2 x
x







．
19.（1）求


5
5
2
1
1
x
x
x



的展开式；
（2）化简









5
4
3
2
1
5
1
10
1
10
1
5
1
x
x
x
x
x









．