6.1 分类计数原理与分步计数原理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：分类加法计数原理.......................................................... 2
考点二：分步乘法计数原理.......................................................... 2
考点三：两个计数原理的区别与联系...............................................2
考点四：两个计数原理的应用....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：分类加法计数原理.......................................................... 3
题型二：分步乘法计数原理.......................................................... 4
题型三：两个计数原理的综合应用..................................................5
题型四：实际问题的计数原理....................................................... 6
题型五：代数中的计数原理.......................................................... 7
题型六：几何的计数原理............................................................. 7
题型七：数字的排列原理............................................................. 7
题型八：涂色(种植)问题..............................................................8
模块三：综合巩固....................................................................... 11
6.1 分类计数原理与分步计数原理
模块一：基础知识
考点一：分类加法计数原理
（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有n 种不同
的方法,那么完成这件事共有N
m
n
种不同的方法.
（2）推广：如果完成一件事情有n 类不同方案,在第1 类方案中有
1
m 种不同的方法,在第2 类方案中有
2
m
种不同的方法,……在第n 类方案中有
n
m 种不同的方法,那么完成这件事共有
1
2
n
N
m
m
m
种不同
的方法.
考点二：分步乘法计数原理
（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1 步有m 种不同的方法,做第2 步有n 种不同的方法,那么完成
这件事共有N
m n
种不同的方法.
（2）推广：完成一件事需要n 个步骤,做第1 步有
1
m 种不同的方法,做第2 步有
2
m 种不同的方法,……做
第n 步有
n
m 种不同的方法,则完成这件事共有
1
2
n
N
m m
m
种不同的方法.
考点三：两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点
针对的是“分类”问题
不同点
各种方法相互独立，用其中任何
一种方法都可以做完这件事
各个步骤中的方法互相依存，只有
每一个步骤都完成才算做完这件事
考点四：两个计数原理的应用
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根
据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
模块二：题型分类
题型一：分类加法计数原理
1．某同学逛书店，发现3 本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（
）
A．4 种
B．6 种
C．7 种
D．9 种
2．高二1、2、3 班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3 人，现从中任选2 人参加升旗，则2 人来自不同
班的选法种数为（
）
A．12
B．15
C．20
D．21
3.如图，在由电键组A 与B 所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是
．
4.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只用银联卡结账，顾客乙
只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲、乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可以.若甲乙丙丁购物后依次
结账，那么他们结账方式的组合种数共有（
）
A．20 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
5.音乐播放器里存有10 首中文歌曲，8 首英文歌曲，3 首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不
同的选法？
6.某比赛有8 支队伍参赛，分别为中国赛区1，2，3，4 号队伍，韩国赛区1，2，3 号队伍，欧洲赛区1 号
队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对
战.则会出现
种不同的对局情况.
7.解1 道数学题，有三种方法，有3 个人只会用第一种方法，有4 个人只会用第二种方法，有3 个人只会
用第三种方法，从这10 个人中选1 个人能解这道题目，则不同的选法共有（
）
A．10 种
B．21 种
C．24 种
D．36 种
8.某班有男生13 人，女生17 人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（
）
A．121
B．13
C．30
D．17
9.如图，将钢琴上的12个键依次记为
1a ，
2a ，…，12
a ．设1
12
i
j
k
，若
3
k
j
且
4
j
i
，则称
ia ，
ja ，
ka 为大三和弦；若
4
k
j
且
3
j
i
，则称
ia ，
ja ，
ka 为小三和弦．用这12个键可以构成的大三和弦与小
三和弦的个数之和为（
）
A．5
B．8
C．10
D．15
题型二：分步乘法计数原理
1.某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游
泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（
）
A．
43
B．
34
C．12
D．9
2.一种号码拨号锁有4 个拨号盘，每个拨号盘上有从0 到9 共10 个数字，这4 个拨号盘可以组成
个四位数号码？．
3.同一个宿舍的8 名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其
他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（
）
A．32 种
B．128 种
C．64 种
D．256 种
4.某班4 个同学分别从3 处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（
）
A．
3
4
A 种
B．
3
4
C 种
C．
34 种
D．
43 种
【初学者可能看不懂AB 选项，一般问题不大】
5.现有4 件不同款式的上衣和3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种
数为
种．
6.全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5 个学科，4 名同学欲报名参赛，每人必选且
只能选择1 个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是
．
7.若
, ,
3, 2, 1,0,1,2,3,4
a b c
，则符合条件的二次函数
2
y
ax
bx
c
的解析式有
个．
8.将4 封信投入3 个不同的信箱，不同的投信方法有
种.
9.核糖核酸RNA 是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA 的碱基有4
种，分别用A，C，G，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子
由100 个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（
）
A．
4
100
B．
100
4
C．
100
2
D．
10
4
10.四名师范生从A，B，C 三所学校中任选一所进行教学实习，其中A 学校必有师范生去，则不同的选法
方案有（
）
A．37 种
B．65 种
C．96 种
D．108 种
题型三：两个计数原理的综合应用
1.在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4 中的某一个数字（可以重复），则顶点
,
A B 处的数字都
大于顶点
,
C D 处的数字的标注方法有（
）
A．36 种
B．48 种
C．24 种
D．26 种
2.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶
点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48
B．18
C．24
D．36
3.某班班委由2 位女同学、3 位男同学组成，现要从该班委里选出2 人去参加学校组织的培训活动，要求
至少要有1 位女同学参加，则不同的选法共有多少种？
4.集合
{1
M
，2
，3}，
{ 3
N ，5，6，4}
，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标
在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
5.口袋中装有8 个白球和10 个红球每个球有不同编号，现从中取出2 个球．
(1)至少有一个白球的取法有多少种？
(2)两球的颜色相同的取法有多少种？
6.从a、b、c、d、e 这5 个元素中取出4 个，放在4 个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子里．问：
一共有多少种不同的放法？
7.如果一个整数的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数.例:1 234 321，123 321 等.显然，两位数的
对称数有9 个，即11，22，33，…，99，则三位数的对称数有
个，
*
2
)
1(
n
n
N
位数的对称数有
个.
8.用0,1,2,3,4 五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2 整除的无重复数字的三位数？
题型四：实际问题的计数原理
1.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､
猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，
丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是
自己喜欢的，则不同的选法有（
）
A．90 种
B．80 种
C．60 种
D．50 种
2.如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A ，B ，C ，D ，E 五个水闸，若上游有充足的水
源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（
）
A．24 种
B．23种
C．15种
D．7 种
3.现有天平及重量为1，2，4 的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者
右边，直至所有砝码全部放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样
的放法共有（
）种.
A．15
B．13
C．11
D．10
题型五：代数中的计数原理
1.如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6，24，2013 等均为“好数”)，将所有“好数”
从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（
）
A．50
B．51
C．52
D．53
2.已知一个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，若此三位数与37（x+y+z）的大小相同，
则这样的三位数有（
）
A．14 个
B．15 个
C．16 个
D．17 个
3.数字2022 具有这样的性质：它是6 的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三
位正整数中，“吉祥数”的个数为
.
题型六：几何的计数原理
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶
点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48
B．18
C．24
D．36
2.从正十五边形的顶点中选出3 个构成钝角三角形，则不同的选法有（
）.
A．105 种
B．225 种
C．315 种
D．420 种
3.过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（
）
A．18
B．30
C．36
D．54
题型七：数字的排列原理
1.用数字0，1，2，3，4 组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（
）
A．125 种
B．100 种
C．64 种
D．60 种
2.用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位数有
个.（用数字回答）
3.由数字0、1、2、3 组成的无重复数字的4 位数字中，比2020 大的数的个数为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
4.由0，1，2，3，5 组成的无重复数字的五位偶数共有（
）．
A．42 个
B．48 个
C．54 个
D．120 个
5.自然数n 是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把n 叫做“集中数”.那么，
大于600 的“集中数”的个数是（
）
A．30
B．31
C．32
D．33
题型八：涂色(种植)问题
1.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色､米白色､橄榄绿､薄荷绿，
欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，
则共有（
）种不同的涂色方法.
A．78
B．66
C．56
D．48
2.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域
涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（
）
A．48 种
B．64 种
C．96 种
D．144 种
3.如图，现要对某公园的4 个区域进行绿化，有4 种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域
不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（
）
A．48 种
B．72 种
C．64 种
D．256 种
4.用6 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（
）
A．240
B．360
C．480
D．600
5.某植物园要在如图所示的5 个区域种植果树，现有5 种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种
果树，则共有（
）种不同的方法.
A．120
B．360
C．420
D．480
6.已知集合
{1, 2,3},
{ 4,5,6, 7}
M
N
，从集合M 中选一个元素作为点的横坐标，从集合N 中选一个元
素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
7.某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有
四种颜色可供选择，有（
）种不同的涂色方案.
自由
平等
公正
法制
A．24
B．256
C．108
D．72
8.用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数
是
．（用数字填写答案）
9.如图，用4 种不同的颜色对图中4 个区域涂色，要求每个区域涂1 种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜
色，则不同的涂色方法有
种．
10.如图所示的A ，B ，C ，D 按照下列要求涂色．
（1）用3 种不同颜色填涂图中A ，B ，C ，D 四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，
有多少种不同的涂色方案？
（2）若恰好用3 种不同颜色给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂
色方案？
（3）若有3 种不同颜色，恰好用2 种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂
色方案？
11.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)
等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图①，圆环分成3 等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？
（2）如图②，圆环分成4 等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？
12.阅读课上，5 名同学分别从3 种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（
）
A．50
B．60
C．125
D．243
13.一个科技小组中有4 名女同学、5 名男同学，现从中任选1 名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数
为.（
）
A．4
B．5
C．9
D．20
模块三：综合巩固
1.甲､乙两人从3 门课程中各选修1 门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（
）
A．6 种
B．12 种
C．3 种
D．9 种
2.“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或
消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（
）
A．16
B．12
C．4
D．3
3.有5 名学生报名参加3 项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（
）
A．243
B．125
C．60
D．120
4.完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有4 种不同的方法，在第2 类方案中有5种不同的方法，在
第3类方案中有6种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法，其中N （
）
A．15
B．6
C．24
D．120
5.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶
点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（
）
A．48
B．18
C．24
D．36
6.有序数对
,a b 满足
1
,
, 1,0,2
2
a b
，且使关于x 的方程
2
2
0
ax
x
b
有实数解，则这样的有序数对
,a b 的个数为（
）
A．15
B．14
C．13
D．10
7.在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4 中的某一个数字（可以重复），则顶点
,
A B 处的数字都
大于顶点
,
C D 处的数字的标注方法有（
）
A．36 种
B．48 种
C．24 种
D．26 种
8.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同
样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0 的两
位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（
）
A．8
9
B．64
81
C．17
81
D．1
9
9．(多选)现有不同的红球4 个，黄球5 个，绿球6 个，则下列说法正确的是（
）
A．从中任选1 个球，有15 种不同的选法
B．若每种颜色选出1 个球，有120 种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2 个球，有31 种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2 个球，有210 种不同的选法
10．(多选)现有4 个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6 人、7 人、8 人、9 人，则下列说法正确的是
（
）
A．选1 人为负责人的选法种数为30
B．每组选1 名组长的选法种数为3024
C．若推选2 人发言，这2 人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3 名学生加入这4 个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35 种
11.某次足球比赛共12 支球队参加，分三个阶段进行
（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6 队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场
各赛一场决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛
场．
12.已知直线
0
ax by
c
+
+
=
中的a，b，c 是取自集合{ 2, 1,0,1,2}
中的3 个不同的元素，并且该直线的倾斜
角为锐角，那么，这样的直线的条数是
．
13.已知某容器中，H 有3 种同位素，Cl 有2 种同位素，Na 有3 种同位素，O 有4 种同位素，试问一共可
以组成多少种HCl 和NaOH 的分子？
14.用6 种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.
若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?
15.“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头
山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n 为自然数，且n 的各位数字反向排列所得自然数n与n
相等，这样的n 称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5 位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共
有（
）
A．648 个
B．720 个
C．810 个
D．891 个
16.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，
档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2 中算盘表示整数51）．如
果拨动图1 算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（
）
A．16
B．15
C．12
D．10
17.四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852 年由毕业于伦敦
大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家
着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976 年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某
校数学兴趣小组在研究给四棱锥P
ABCD
的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含
公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（
）
A．36种
B．72 种
C．48 种
D．24 种
18.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示
数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，
图中上档的数字和
9
a
. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有
种.
19.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥
的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，求不同的染色方法
种数．
