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专题 22 计数原理与二项式定理
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【答案】64
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
故答案为：64.
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法
作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名
学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 ，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 种.
故选：D.
3、（2023年全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外
读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种 D．240种
【答案】C【详解】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.
4、（2023年全国甲卷数学（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中
任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
【答案】B
【详解】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天社区服务，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种.
故选：B.
5、（2023年新高考天津卷）在 的展开式中， 项的系数为_________．
【答案】
【详解】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.
6、【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方
式，
故选：B
7、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行
培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
8、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配
方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
10、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，
乙场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法
数有 ；最后剩下的 名同学去并场馆，故不同的安排方法共有 种，故选C．
11、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
【答案】180
【解析】按照先选再排的方法可知共有 种方法．
故答案为：180
12、【2020全国Ⅱ理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至
少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
【答案】
【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名
同学， 先取2名同学看作一组，选法有： ，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种，故答案为： ．
13、【2020全国Ⅲ理14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【解析】 ，其二项式展开通项：
，当 ，解得 ，
的展开式中常数项是： ．故答案为： ．
题组一、排列、组合问题
1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰
球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分
配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.1-2、（2023·安徽·统考一模）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十
大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要
求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有 种，
故选： ．
1-3、（2023·安徽铜陵·统考三模）若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既
有女生又有男生，则不同的分配方案有（ ）种
A．20 B．28 C．32 D．64
【答案】B
【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有 种分配方案；
再安排4名女生，若将每个女生随机安排，共有 种分配方案，
若女生都在同一小组，共有 种分配方案，
故保证每个小组都有女生，共有 种分配方案；
所以共有 种分配方案.
故选：B.
1-4、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而
丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种.
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】A
【详解】由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，
有 种排法，再从这3人（甲乙看作一个人）排好后形成的4个空中选2个排丙､丁，
故共有 种站法，
故选：A
1-5、（2023·吉林·统考三模）（多选题）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说
法正确的是（ ）
A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法
B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
【答案】AD
【详解】对选项A, 依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有 种．所以该选项正确；
对选项B, 依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有
种．所以该选项不正确；
对选项C, 依题意，要从7名同学中选取4人，一共有 种，而甲乙都不在内一共有 种，
甲与乙至少要有1人在内有 种．所以该选项错误；
对选项D, 依题意，假设全是男生一共有 种，全是女生的情况没有，
既有男生又有女生一共有 种．所以该选项正确.
故选：AD
题组二、二项式定理展开式项与系数的问题
2-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
【答案】B
【分析】求出展开式的通项，再令 的指数等于0，即可得出答案.
【详解】解：二项式 的展开式的通项为 ，
令 ，则 ，
所以常数项为 .
故选：B.
2-2、（2023·湖南永州·统考三模）在二项式 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不
相邻，则不同的排列方案为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【详解】解：因为二项展开式的通项为 ，
又因为 ，所以当 或 时，为有理项，
所以有理项共有2项，其余5项为无理项，
先排5项为无理项，共有 种排法，再排2项有理项，共有 种排法，
所以有理项互不相邻的排法总数为： 种.
故选：A.
2-3、（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这
个展开式中， 项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】135
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.
【详解】在 中，令 得所有项的系数之和为 ，依题意， ，解得 ，
因此 的展开式的通项为 ，
令 得： ，
所以 项的系数是135.
故答案为：135.
2-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是 ，
则 ______，展开式的常数项为______．（用数字作答）
【答案】 9；
【分析】空1：根据二项式系数的性质得 ，解出 即可；
空2：由题化简得其展开式的通项为 ，令 ，解出 值，代回即可得到其常数项.
【详解】由题意得 ，即 ，解得 ．展开式的通项为 ．
令 ，解得 ，故展开式中的常数项为 ．
故答案为：9；
题组三、二项式定理展开式的综合性问题
3-1、（2023·云南玉溪·统考一模）已知 展开式中x的系数为
q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶
点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．40 D．50
【答案】D
【分析】根据条件可得 展开式中含x的项为6x，则 ．进
而可求得答案.
【详解】 的展开式中含x的项为：
，
的展开式中含x的项为：
，
所以， 的展开式中含x的项为6x，其系数 ．
依题意得 ，
故选：D．
3-2、（2023·江苏南通·三模）已知 ，则
__________.
【答案】【详解】解： 因为 ，
所以 ，
令 ，得 ，
又 ，即 ，
令 ，两边相加得：
，
故答案为：
3-3、（2023·安徽铜陵·统考三模） 的展开式中 的系数是______.
【答案】672
【详解】 展开式通项公式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 的展开式中 的系数为 .
故答案为：672
3-4、（2023·浙江温州·统考三模） 展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）
【答案】
【详解】 展开式通项公式
，
令 ，解得 ，则 ，
所以 展开式的常数项是 .故答案为：
3-5、（2022·山东青岛·高三期末（多选题）） 的展开式中各项系数之和为2，则其中正
确的是（ ）
A．a=1
B．展开式中含 项的系数是
C．展开式中含 项
D．展开式中常数项为40
【答案】AC
【解析】令 ， ，故A正确；
的展开式中含 项的系数为 ，故B错误；
的展开式中 为 项 ，故C正确；
的展开式中常数项为 ，故D错误.
故选：AC.
3-6、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的展开式中常数项是15 B． 的展开式中各项系数之和是0
C． 的展开式中的二项式系数最大值是15 D． 的展开式中不含 的项
【答案】ABD
【解析】 的通项为 ，令 ,常数项为 ，A正确;
中令 可得展开式中各项系数之和是0，B正确;
二项式系数最大值为中间项的二项式系数 ，C不正确;
令 ，不是整数，即 不含 的项，D正确.
故选：ABD.
1、（2023·山西晋中·统考三模）从0，1，2， ，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍
数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）
⋯
【答案】42
【详解】将这些数字分组，记 ， ， ，
从而和为3的倍数的情况共有 种．
故答案为：42
2、（2023·山西阳泉·统考三模）在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展
示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小
组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分
配方式一共有________种．（用数字作答）
【答案】3500
【详解】第一步分配医疗小组，先按2：4或3：3分两组再分配到两个受灾点，共有
；
第二步分配抢险小组，只能按4：4分组再分配到两个受灾点，共有 ，
因此，共有 种，
故答案为：3500
3、（2023·安徽·校联考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已
知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．
【答案】14【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为 ；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数
为 ．综上，不同的安排种数为14．
故答案为： .
4、（2023·辽宁沈阳·统考三模） 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．430 B．435 C．245 D．240
【答案】B
【详解】 ，
展开式的通项为 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 项的系数为 .
故选：B.
5、（2023·重庆·统考三模）二项式 展开式的第r项系数与第r＋1项系数之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 展开式的通项公式为 ，
则第r项系数为 ，第r＋1项系数为 ，
所以 .
故选：B
6、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模） 的展开式中二项式系数最大的项是________.
【答案】 /
【详解】 的二项展开式有7项，其二项式系数为 ，由组合数的性质可知 最
大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是 .故答案为：
7、（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在 的展开式中x的系数为______．
【答案】
【详解】 的展开式中x的项为
，
所以展开式中 的系数为 ．
故答案为： .
8、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知二项式 的展开式
中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中 的指数均为偶数
【答案】BCD
【解析】令 代入二项式可得各项的系数和为 ，即可得 正确；
对于 ，设展开式的通项为 ，
当 为常数项时，则有 ，则可得 .
代入二项式，可得展开式的常数项为 ，故 错误；
对于 ，因为 ，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故 正确；
对于 ，该展开式的通项为 ，可得展开式中 的指数均为偶数.故D成立.
故选：BCD.
9、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 ， ．记．
（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
【解析】由二项式定理，得 ；
（1） ；
（2）因为 ，
所以
，
，
因为 ，所以 能被 整除.
