6.5 二项式系数及性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：二项式定理................................................................... 2
考点二：二项展开式的通顶公式.................................................... 2
考点三：二顶式系数及其性质....................................................... 2
考点四：求二项展开式的解题策略..................................................3
考点五：求形如(a+b)
n(n∈N
*)的展开式中与特定项相关的量的步骤...... 3
考点六：求三项展开式中某些特定项的系数的方法：.......................... 4
考点七：赋值法的使用................................................................ 4
考点八：二项式系数与项的系数的区别............................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：二项式系数的和问题....................................................... 4
题型二：二项展开式中项的系数及和问题.........................................6
题型三：二项式系数的最值问题.................................................... 6
题型四：项的系数的最值问题....................................................... 8
题型五：赋值法求奇次项与偶次项的和............................................9
题型六：换元法求各项系数的和...................................................11
题型七：整除和余数问题........................................................... 12
题型八：利用二项式定理近似计算................................................13
题型九：证明组合恒等式........................................................... 14
题型十：与导数的综合问题........................................................ 14
题型十一：与数列的综合问题......................................................14
模块三：综合巩固....................................................................... 16
6.5 二项式系数及性质
模块一：基础知识
考点一：二项式定理
1.定义
一般地，对于任意正整数n ，都有：
0
1
1
*
(
)n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(
)n
a
b
的二项展开式．
式中的
r
n r
r
n
C a
b
做二项展开式的通项，用
1
rT 表示，即通项为展开式的第
1
r 项：
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b
，其中的
系数
(
0,1,2,
, )
r
n
C
r
n
叫做二项式系数
2、二项式(
)n
a
b
的展开式的特点：
（1）项数：共有
1
n 项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第
1
r 项的二项式系数为
r
n
C ，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次
数从0 到n ，每一项中，a，b 次数和均为n ；
归纳：
概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1 项，可记做Tk＋1＝Cknan－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做(a＋b)n 的二项展开式.
考点二：二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
1
(
0,1,2,
, )
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第
1
r 项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
考点三：二顶式系数及其性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n 有关的n＋1 个组合数，与a，b 无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由Cmn
＝C n－m
n
得到. 直线r＝n
2将函数f(r)＝C rn的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<n＋1
2
时，C kn随k 的增加而增大；当k>n＋1
2
时，C kn随k 的增加而减少. 如果二项
式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项，即
1
2
n
T
的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式
中间两项
1
2
n
T 与
1 1
2
n
T 的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
注意：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第
1
r 项
r
n r
r
n
C a
b
的二项式系数是组合数
r
n
C ，展开式的系数是单项式
r
n r
r
n
C a
b
的系数，二
者不一定相等．
考点四：求二项展开式的解题策略
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1 项，再由特定项的特点求出r 值即可；
②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1 项，由特定项得出r
值，最后求出其系数.
考点五：求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=��
�an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);
第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等
式(组),解出r;
探究1：
n
b
a
展开式的二项式系数的和是多少？【不详细列出计算过程，可以自己试试】
方法1：赋值法：已知
n
n
n
a
c
b
a
0
+
n
n
n
n
n
n
n
b
c
b
a
c
b
a
c
......
2
2
2
1
1
令a=b=1，则
0
1
2
2n
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
即
n
b
a
展开式的各二项式系数之和等于
n
2 。
方法2：从含n 个元素的集合子集个数来研究（两个计数原理）
分类计数原理：
n
n
n
n
n
c
c
c
c
......
2
1
0
，分步计数原理：n 个2 相乘，即
n
2
所以
0
1
2
2n
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
探究2：你能求
.......
5
4
3
2
1
0
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
吗?
赋值法：在展开式
0
1
(
)
(
)
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a b
C a
b
C b
n
N
中，令
1,
1
a
b
，则
0
1
2
3
(1 1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
即
0
2
1
3
0
(
)
(
)
n
n
n
n
C
C
C
C
，
∴
0
2
1
3
n
n
n
n
C
C
C
C
，
即在(
)n
a
b
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1 知
0
2
1
3
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
C
第三步,把r 代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1 或者其他量.
考点六：求三项展开式中某些特定项的系数的方法：
①两次利用二项式定理的通项公式求解；
②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到
特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.
公式展示：
(
)n
a
b
c
展开式中
p
q
r
a b c 的系数求法( , ,
0
p q r
的整数且
)
p
q
r
n
(
)
[(
)
]
(
)
n
n
r
n r
r
r
q
n r q
q
r
n
n
n r
a
b
c
a
b
c
C
a
b
c
C C
a
b c
考点七：赋值法的使用
“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)
n，(ax
2＋bx
＋c)
m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1 即可；对形如(ax＋by)
n(a，b∈R)的式
子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1 即可. 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x
2＋…＋anx
n，则f(x)展开式中
各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）
2
，偶数项系数之和为a1＋a3
＋a5＋…＝f（1）－f（－1）
2
.
注意：赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，
如要求常数项，应赋x 为0；求所有项系数之和，应赋x 为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需
赋x 为-1，再通过联立方程组求得.
考点八：二项式系数与项的系数的区别
二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求(
)n
a
bx
展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k 项系数最大,
应用��≥��-�,
��≥��+�,从而解出k 来,即得.
模块二：题型分类
题型一：二项式系数的和问题
1.已知(1
3 )n
x
（n 为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n
.
2.已知1
n
x
x
的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（
）
A．252
B．252
C．210
D．210
3.已知二项式
*
2
N
n
x
n
x
的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n =
.
4.已知
2
N
n
x
n
x
的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为
.（用数字作答）
5.已知
(1 3 )
N
n
x
n
的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则n
，展开式中
3x 的系数
为
.
6：
4
1 2x
的展开式中二项式系数和为（
）
A．24
B．24
C．16
D．16
7：已知1
(
2 )
2
n
x
的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
8.对于二项式
4
1
2
n
x
x
：
(1)若展开式的第4 项与第8 项的二项式系数相等，求展开式中
2x 的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
9.已知
3
(
)n
x
x
的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则
3
4
(1
)
(1
)
(1
)n
x
x
x
的展开式中
2x 项的系数为__________.
10.若
3
1
1
2
n
x
x
x
的展开式中各项系数之和为1
32 ，则展开式中
3x 的系数为______.
题型二：二项展开式中项的系数及和问题
1.在
2
3
n
x
x
的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（
）
A．16
B．32
C．1
D．32
2.已知二项式
3
1
ax
a
R 的展开式所有项的系数之和为8，则
10
2
a
x
x
的展开式中的常数项为
___________.
3.已知
5
1 (2
1)
0
ax
x
a
x
，若其展开式中各项的系数和为81，则
a
．
4.知
2
3
6
1
2
x
a
x
x
的展开式中各项系数的和为1
，则该展开式中的常数项为________.
题型三：二项式系数的最值问题
1.在
1
2
n
x
x
的展开式中，只有第7 项的二项式系数最大，则n 的值为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
2.
2n
a
b
n
N
展开式中第6项的二项式系数最大，则
2
n
x
x
展开式中x 的系数为（
）
A．10
B．10
C．5
D．5
3.
6
2
x
x
的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（
）
A．20
B．160
C．180
D．240
4.
3
2
n
x
展开式中，只有第4 项的二项式系数最大，则n 的值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
5.设m 为正整数，
2
2
1
m
x
x
展开式中二项式系数的最大值为a，
2
1
2
1
m
x
x
展开式中二项式系数的最大
值为b，若7
4
a
b
，则
2
2
1
m
x
x
展开式中的常数项为
．
6.
8
2
2
x
x
的展开式中二项式系数最大的一项是________（用数字作答）．
7.已知
2
1
n
x
展开式中各项系数之和等于16.
(1)求
2
1
n
x
展开式的第二项；
(2)若
2
2
1
n
a x
的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值.
8.在
1
n
x
x
的展开式中，第3 项和第4 项的二项式系数最大，则展开式中含
2x 项的系数为_____.
题型四：项的系数的最值问题
1.
8
2x
y
的展开式中各项系数的最大值为（
）．
A．112
B．448
C．896
D．1792
2.已知
6
(1 2 )x
的二项展开式中系数最大的项为
．
3.
8
2
x
的二项展开式中系数最大的项为
.
4.已知
6
3
0
a
x
a
x
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（
）
A．4 5
,
3 2
B．4 5
,
3 3
C．4 5
,
3 3
D．2 5
,
3 3
5.已知
1
(2
) n
x
x
的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n 的值；
(2)系数最大的项．
6.已知
3
2
n
x
x
的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255 .
(1)求
3
2
n
x
x
展开式所有的有理项；
(2)求
3
2
n
x
x
展开式中系数最大的项.
题型五：赋值法求奇次项与偶次项的和
1.设
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
(1
2 )
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
．求：
(1)
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
的值；
(2)
1
3
5
a
a
a
的值；
(3)
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
的值．
2.已知
2
5
2
10
0
1
2
10
(
3
2)
x
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
2a ；
(2)求
1
2
10
a
a
a
；
(3)求
2
2
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
3.设设
2022
2
0
1
2
(1
2 )
x
a
a x
a x
十
2022
2022
(
R)
a
x
x
．
(1)求
0
1
2
2022
a
a
a
a
的值；
(2)求
1
3
5
2021
a
a
a
a
的值；
(3)求
0
1
2
2022
a
a
a
a
的值．
方法技巧
赋值法原理：
n
0
1
2
2
*
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
f ( )
1
x
C
C x
C x
...
C x
...
C x
N
a
a x
a x
a x
f (1)
a
a
a
a
f ( 1)
a
a
a
1 a
f (1)
f ( 1) .
2
f (1)
f ( 1) .
2
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
（
）
。。。
则
。。。
。。。（
）
则奇数项系数和
偶数项系数和为
4.已知
9
2
9
0
1
2
9
2
1
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
3
9
2
1
2
8
2
2
2
a
a
a
a
的值；
(2)求
1
2
3
9
2
3
9
a
a
a
a
的值.
5.若
5
2
2
10
0
1
2
10
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
.
(1)求
0
1
2
3
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
的值；
(2)求
2
4
6
8
10
a
a
a
a
a
的值；
(3)求
1a 的值.
6.已知
7
2
7
0
1
2
7
5
2
x
a
a x
a x
a x
，则
0
1
2
7
a
a
a
a
（
）
A．128
B．2187
C．78125
D．823543
7.
4
2
3
4
0
1
2
3
4
1
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
0
1
2
3
4
a
a
a
a
a
（
）
A．1
B．3
C．0
D．3
8.已知
4
5
2
9
0
1
2
9
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
，则
2
4
6
8
a
a
a
a
（
）
A．40
B．8
C．16
D．24
9.若
5
5
0
1
5
3
4
1
1
x
a
a
x
a
x
，则
1
2
3
4
5
2
3
4
5
a
a
a
a
a
.
10.（多选）已知
8
2
8
0
1
2
8
( )
(2
)
f x
x
a
a x
a x
a x
，则（
）
A．
0
1
2
8
1
a
a
a
a
B．
8
1
2
3
8
3
a
a
a
a
C．
( 1)
f
除以5 所得的余数是1
D．
1
2
3
8
2
3
8
8
a
a
a
a
11.已知
3
4
2
3
4
0
1
2
3
4
2
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
0
2
4
a
a
a
___________.
12.若
4
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
1
2
3
4
a
a
a
a
_________.
题型六：换元法求各项系数的和
1
n
0
n
n
2
2
a
b
1
1
1
x
a
a
x
a
x
a
x
形如
可以通过令x+1=t，化为简单形式
1.若
10
2
10
0
1
2
10
(
1)
(
)
(
)
)
2
1
1
(
1
x
a
a x
a
x
a
x
，求下列各式的值.
(1)
10
a ；
(2)
1
2
9
a
a
a
；
(3)
1
2
3
9
10
2
3
9
10
a
a
a
a
a
.
2.已知
1011
1012
C
C
n
n
，设
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
，下列说法：
①
2023
n
，②
2023
3
na
，③
0
1
2
1
n
a
a
a
a
，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.已知
3
6
C
C
n
n
，设
2
0
1
2
2
3
1
1
1
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
，则
1
2
n
a
a
a
（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
4.已知(
1)n
x
的二项展开式的奇数项二项式系数和为64 ，若
2
0
1
2
(
1)
1
(
1)
(
1)
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，则
1a 等于（
）
A．192
B．448
C．192
D．448
题型七：整除和余数问题
1：
92
91 除以100 的余数是
．
2：
2023
3
被8 除的余数为（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
3.用二项式定理证明
55
55
9
能被8 整除．
4：
10
99 被1000 除的余数是（
）
A．1
B．99
C．1
D．901
5：
20
20 被7 除的余数为（
）
A．1
B．3
C．5
D．6
6：（1）试求
10
2019 除以8 的余数；
（2）求证：
2
2
*
3
8
9
n
n
n
N
能被64 整除.
7.设
Z
a
，且7
0
a
，若
2023
15
a
能被7 整除，则
a
（
）
A．-4
B．-5
C．-6
D．-7
8.如果今天是星期三，经过7 天后还是星期三，那么经过
2022
8
天后是（
）
A．星期三
B．星期四
C．星期五
D．星期六
整除和余数问题的解题技巧：
1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的
形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
9.设4 258 的小数部分为x，则
4
3
2
16
96
256
x
x
x
x
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10.设
1
1
2
2
1
3
C 3
C 3
C
3
n
n
n
n
n
n
n
a
，则当
2023
n
时，a 除以15 所得余数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
11.设n∈N ，且
2022
19
n
能被6 整除，则n 的值可以为
.(写出一个满足条件的n 的值即可)
12.二项式
2023
5
x
展开式的各项系数之和被7 除所得余数为
．
题型八：利用二项式定理近似计算
1：
7
1.95 的计算结果精确到个位的近似值为
A．106
B．107
C．108
D．109
2：求
5
1.02 的近似值．(精确到两位小数)
3.估算
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
C 0.998
C 0.998
C 0.998
C 0.998
C 0.998
的结果，精确到0.01 的近似值为（
）
A．30.84
B．31.84
C．30.40
D．32.16
4：
7
0.99 的计算结果精确到0.001 的近似值是（
）
A．0.930
B．0.931
C．0.932
D．0.933
5：
6
(1.05) 的计算结果精确到0.01 的近似值是
．
6.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义
二项式定理：对于任意实数，
2
(
1)
(
1)
(
1)
(1
)
1
1
2 1
(
1)
2 1
k
k
x
x
x
x
k
k
，当x 比
较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：(1
)
1
x
x
，并且x 的值越小，所得结果就
越接近真实数据．用这个方法计算5 的近似值，可以这样操作：
5
4 1
1
1
1
1
4 1
2 1
2
1
2.25
4
4
2
4
，用这样的方法，估计3 25 的近似值约为（
）
A．2.922
B．2.928
C．2.926
D．2.930
题型九：证明组合恒等式
1.求证：
0
1
2
3
C
C
C
C
1
C
0
n
n
n
n
n
n
n
．
2.求证：
1
1
2
2
1
1
2
2
2
( 1)
2
( 1)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
.
3.（1）设m 、
*
nN ，m
n
，求证：
1
1
1
1
m
m
n
n
n
C
C
m
；
（2）请利用二项式定理证明：
2
*
3
2
1
3,
n
n
n
n
N
.
题型十：与导数的综合问题
1.设
3
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
x
x
a
a x
a x
a x
a x
，则
1a ＝________，
2
3
4
2
3
4
a
a
a
＝________.
2.若
5
2
2
10
0
1
2
10
3
1
x
x
a
a x
a x
a x
，则
2a ______，
1
2
3
10
2
3
10
a
a
a
a
___________.
题型十一：与数列的综合问题
1.已知等差数列
na
，对任意n
N
都有
0
1
2
1
1
2
3
1
C
C
C
C
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
成立，则数列
1
2
1
n
n
a
a
的
前n 项和
nT
．
2.已知
2
3
*
0
1
2
3
(1
2 )
(
3,
N )
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
a x
n
n
.
(1)若
1
2
3
2 ,
,
a a a ，成等比数列，求n 的值；
(2)若
8
n ，求
2
2
0
2
4
6
8
1
3
5
7
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
的值（用数字作答）．
3.记Sn 为数列
na
的前n 项的和，已知
1
1
a ，
n
S
n
是公差为1
2 的等差数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
2 n
a
nb
，记数列
nb
的前n 项和为Tn，试求
2
1
n
T
除以3 的余数．
4.记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
1
1,
2
n
n
n
n
S
S
a
a
a
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
2 n
a
nb
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，试求
2
1
n
T
除以3 的余数.
5.已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，若
2023
2
2023
0
1
2
2023
(1
2 )
x
b
b x
b x
b
x
，数列
na
的首项
2023
1
2
1
1
1
2
2023
2
2
2
n
n
n
b
b
b
a
a
S
S
，
，则
2023
S
（
）
A．
1
2023
B．
1
2023
C．2023
D．2023
6.已知数列
na
前n 项和
2
3
2
n
n
n
S
，
nb
的前n 项之积
(
1)
*
2
2
N
n n
nT
n
.
(1)求
na
与
nb
的通项公式.
(2)把数列
na
和
nb
的公共项由小到大排成的数列为
nc
，求
1
2
20
c
c
c
的值.
模块三：综合巩固
1：
5
(
1)
x
的展开式中含
2x 的项是（
）
A．
2
5x
B．
2
5x
C．
2
10x
D．
2
10x
2.若n 为一组从小到大排列的数1，2 ，4 ，8，9，10的第六十百分位数，则二项式
3
1
2
n
x
x
的展开式
的常数项是（
）
A．6
B．7
C．8
D．10
3：在
6
1 (
)
x
x
y
的展开式中，含
4
3
x y 项的系数为（
）
A．20
B．20
C．15
D．15
4：若
5
1
kx
的展开式中
2x 的系数为40，则k （
）
A．2
B．2
C．4
D．4
5．若
9
2
9
0
1
2
9
(1
)
x
a
a x
a x
a x
，则
1
2
3
9
a
a
a
a
（
）
A．1
B．513
C．512
D．511
6：
12
(1
)x
展开式中，系数最大的项是（
）
A．第5，6 项
B．第6，7 项
C．第6 项
D．第7 项
7：
5
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1 3x
a
a x
a x
a x
a x
a x
，则
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
（
）
A．31
B．1023
C．1024
D．32
8.已知
6
3
0
a
x
a
x
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（
）
A．4 5
,
3 2
B．4 5
,
3 3
C．4 5
,
3 3
D．2 5
,
3 3
9．（多选）下列说法正确的是（
）
A．已知
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，则x 可能取值为6
B．已知
2
2
5
18
18
C
C
x
x
，则x 可能取值为7
C．在
9
2
1
x
x
的二项式展开式中，常数项是84
D．在
9
2
1
x
x
的二项式展开式中，常数项是504
10．（多选）若
5
2
5
0
1
2
5
(1
)
(1
)
(1
)
x
a
a
x
a
x
a
x
，其中
(
0,1,
,5)
ia i
为实数，则（
）
A．
0
1
a
B．
3
10
a
C．
1
3
5
16
a
a
a
D．
1
2
5
1
a
a
a
11.若
6
0
b
a x
b
x
的展开式中含x 的项的系数为60，则
2
a
b
的最小值为
．
12．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”
与第二个地支“丑”配出“乙丑”，L，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023 年是癸卯年，
则
8
13
2
年以后是
年.
13.已知
2
3
4
1
3
n
x
x
展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中
3x 的系数为________．
14.已知
2
0
1
2
1
2
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，若
7
8
0
a
a
.
(1)求n 的值；
(2)求
1
2
n
a
a
a
的值.（结果可以用幂指数表示）
15.己知
1
2
n
x
x
的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
16.已知
1 2
n
x
的展开式中前3 项的二项式系数之和为29，则
3
1
2
3
n
x
x
x
的展开式中1
x 的系数为
（
）
A．294
B．826
C．840
D．854
17：
5
2
2
3
x
x
a
的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含
7x 项的系数是（
）
A．600
B．840
C．1080
D．2040
18.若
6
b
ax
x
的展开式中常数项为160
，则
2
2
2
a
b
ab
的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
19.
1
2
n
x
x
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，则
1
2
n
x
x
的展开式中所有项系数的绝对
值之和为
．
20.（1）求证：
1
1
,
C
C
,
1
N
k
k
n
n
k
n
k
k
n
n
；
（2）利用等式
1
1
,
C
C
,
1
N
k
k
n
n
k
n
k
k
n
n
可以化简：
1
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1 C
2 C
2
C
2
C
C
2
C
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
C
2
C
2
C
2
1 2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
；类比上述方法，化简下式：
0
1
2
2
3
1
1
1
1
C
3
C
3
C
3
C
3
2
3
1
n
n
n
n
n
n
n
.
（3）已知等差数列
na
的首项为1，公差为
0
d d
，求证：对于任意正整数n ，函数
1
1
0
1
1
1
1
2
1
C
1
C
1
C
1
C
1
,
N
n
n
n k
k
k
n
n
n
n
k
n
n
n
y
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
k
n k
总是关于x 的一次
函数.
