6.4 二项式定理
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：知识链接......................................................................2
考点二：二项式定理................................................................... 2
考点三：二项展开式的通顶公式.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求(a±b)
n型展开式........................................................ 3
题型二：二项式定理逆向应用....................................................... 4
题型三：求展开式常数项............................................................. 6
题型四：求展开式中指定项.......................................................... 8
题型五：求展开式中有理项.......................................................... 9
题型六：两个二项式相乘问题......................................................12
题型七：求形如(a+b+c)
n(n∈N
*)展开式中特定项.......................... 15
题型八：求多个二项式的和或积展开式的问题................................19
模块三：综合巩固....................................................................... 21
6.4 二项式定理
模块一：基础知识
考点一：知识链接
（1）
2
2
2
0
2
1
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
C a
C ab
C b
（2）
3
3
2
2
3
0
3
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
C a
C a b
C ab
C b
考点二：二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数n ，都有：
0
1
1
*
(
)n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
n
N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(
)n
a
b
的二项展开式．
式中的
r
n r
r
n
C a
b
做二项展开式的通项，用
1
rT 表示，即通项为展开式的第
1
r 项：
1
r
n r
r
r
n
T
C a
b
，其中的
系数
(
0,1,2,
, )
r
n
C
r
n
叫做二项式系数
2、二项式(
)n
a
b
的展开式的特点：
（1）项数：共有
1
n 项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第
1
r 项的二项式系数为
r
n
C ，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次
数从0 到n ，每一项中，a，b 次数和均为n ；
归纳：
概念
公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1 项，可记做Tk＋1＝Cknan－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做(a＋b)n 的二项展开式.
考点三：二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
1
(
0,1,2,
, )
r
n r
r
r
n
T
C a
b
r
n
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第
1
r 项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
模块二：题型分类
题型一：求(a±b)
n型展开式
1.利用二项式定理展开下列各式：
(1)
5
1
x
；
(2)
4
2
x
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）解：由
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
2
3
4
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5
10
1
5
1
0
C
C x
C x
C x
C x
C x
x
x
x
x
x
x
.
（2）解：由
4
0
4
1
3
2
2
2
3
3
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2
(
)
2
(
)
2 (
)
(
)
x
C
C
x
C
x
C
x
C
x
2
3
4
16
32
24
8
x
x
x
x
.
2.写出
5
2
x
的展开式．
【答案】
2
3
4
5
32
80
80
40
10
x
x
x
x
x
【详解】在二项式定理中令
2,
,
5
a
b
x n
，可得
5
0
5
1
4
2
3
2
3
2
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
(2
)
C 2
C 2 (
)
C 2 (
)
C 2 (
)
C 2(
)
C (
)
x
x
x
x
x
x
2
3
4
5
32
80
80
40
10
x
x
x
x
x
．
3.二项式
3
2
x
的展开式为（
）
A．
3
2
6
6
8
x
x
x
B．
3
2
6
12
8
x
x
x
C．
3
2
12
6
8
x
x
x
D．
3
2
12
12
8
x
x
x
【答案】B
【分析】由二项式定理求解.
【详解】二项式
3
2
x
0
3
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
C
C
2
C
2
C ×2
x
x
x
，
3
2
6
12
8
x
x
x
.
故选：B
4.求
5
1
(
)
x
x
的二项展开式．
【答案】
5
3
3
5
10
5
1
5
10
x
x
x
x
x
x
【详解】由二项式定理，得
5
0
5
1
4
2
3
2
3
2
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1
1
(
)
C
C
C
( )
C
( )
C
( )
C ( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
3
3
5
10
5
1
5
10
x
x
x
x
x
x
，
所以
5
1
(
)
x
x
的二项展开式是
5
3
3
5
10
5
1
5
10
x
x
x
x
x
x
．
5.求
4
2
x
y
的展开式．
【答案】
4
3
2
2
3
4
8
24
32
16
x
x y
x y
xy
y
【详解】
4
2
3
4
0
4
1
3
2
2
3
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
x
y
C x
C x
y
C x
y
C x
y
C
y
4
3
2
2
3
4
8
24
32
16
x
x y
x y
xy
y
6.求
4
1
3 x
x
的展开式
【答案】
2
2
12
1
81
108
54
x
x
x
x
；
【分析】直接利用二项式定理求解；
解
4
0
1
2
4
3
2
0
1
2
4
4
4
1
1
1
1
3
3
3
3
x
C
x
C
x
C
x
x
x
x
x
3
4
0
3
4
4
4
1
1
3
3
C
x
C
x
x
x
2
2
12
1
81
108
54
x
x
x
x
．
7.若
1
n
x
x
的二项展开式共有8 项，则n=
.
【答案】7
【分析】根据二项式的性质计算可得；
【详解】解：二项式
1
n
x
x
展开式中一共有
1
n 项，所以
1
8
n
，解得
7
n
；
故答案为：7
题型二：二项式定理逆向应用
1.设
*
nN ，化简
1
2
2
3
3
1
10
10
10
10
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
______.
【答案】11n
【分析】逆用二项式定理，即可容易求得结果.
【详解】容易知
1
2
2
3
3
1
10
10
10
10
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
1 10
11
n
n
.
故答案为：11
n .
【点睛】本题考查二项式定理的逆用，属基础题.
2.求值：
1
2
2019
2019
2019
2019
2019
1 2
4
( 2)
C
C
C
________
【答案】1
【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】
1
2
2019
2019
2019
2019
2019
1
2
4
( 2)
C
C
C
0
1
2
2019
0
2019
1
2018
2
2017
2019
0
2019
2019
2019
2019
1
2
1
2
1
2
1
2
C
C
C
C
L
2019
1
2
1
．
故答案为1
．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．
3.化简
4
3
2
1
4
1
6
1
4
1
1
x
x
x
x
的结果为（
）
A．x4
B．
4
1
x
C．
4
1
x
D．
4
1
x
【答案】A
【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.
【详解】
4
3
2
1
4
1
6
1
4
1
1
x
x
x
x
4
3
2
2
3
4
1
2
3
4
4
4
1
C
1
1
C
1
1
C
1
1
1
x
x
x
x
4
4
1
1
x
x
故选：A.
4.化简多项式
5
4
3
2
2
1
5 2
1
10 2
1
10 2
1
5 2
1
1
x
x
x
x
x
的结果是（
）
A．
5
2
1
x
B．
5
2x
C．
5
2
1
x
D．
5
32x
【答案】D
【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求
解.
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作
5
5 2
1
1
r
r
r
C
x
，
故该多项式为
5
2
1
1
x
的展开式，
化简
5
5
5
2
1
1
2
32
x
x
x
．
故选：D.
5.
1
2
3
4
2022
2022
2022
2022
2022
2022
C
2C
3C
4C
2022C
（
）
A．
2021
2
1
B．
2024
2
1
C．
2021
1011 2
D．
2022
1011 2
【答案】D
【分析】设
1
n
x
，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，
1
2
3
1
2
4
1
3
C
2C
3C
4C
1
Cn
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
x
x
n
x
，分别取
1
x 和
2022
n
，即可求出结果.
【详解】设
1
2
2
3
3
4
4
0
1
C
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
，
两边求导数，
1
2
3
1
2
4
1
3
C
2C
3C
4C
1
Cn
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
x
x
n
x
，
令
1
x ，得
1
2
1
4
C
2C
3C 4C
C
2
n
n
n
n
n
n
n
n
，
取
2022
n
，得
1
2
3
4
2022
202
2022
2022
20
2
202
2
1
2
2022
022
C
2C
3C
4C
2022C
1
2
2
1
02
2
0
2
1
.
故选：D.
6.化简：设n
N ，则
0
1
1
C 2
C 2
1
C 2
1
C
k
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
n
．
【答案】1
【详解】因为
0
1
1
C 2
C 2
1
C 2
1
C
k
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
n
0
1
0
1
1
0
C 2
1
C 2
1
C 2
1
C 2
1
2 1
1
k
n
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
n
故答案为：1
7.已知
0
1
2
2
3
3
C
4C
4 C
4 C
( 1) 4 C
729
n
n
n
n
n
n
n
n
，则n的值为
．
【答案】6
【详解】由
0
1
2
2
3
3
C
4C
4 C
4 C
( 1) 4 C
729
n
n
n
n
n
n
n
n
，
可得
0
0
1
1
1
2
2
2
0
C 1 ( 4)
C 1
( 4)
C 1
( 4)
C 1 ( 4)
729
n
n
n
n
n
n
n
n
n
则(1 4)
729
n
，即
6
( 3)
729
( 3)
n
，解得
6
n
．
故答案为：6.
题型三：求展开式常数项
1.二项式
6
2
x
x
的展开式中常数项为（
）
A．60
B．60
C．210
D．210
【答案】B
【详解】展开式的通项为
6
1
1
2
1
6
=C
2
k
k
k
kT
x
x
，
所以
(
) ( )
1
6
1
0
2
2
k
k
k
´
-
+ -
´
=
Þ
=
，
常数项为
(
)
2
6
6 5
C
2
4
60
2
k
´
-
=
´
=
，
故选：B.
2.求
6
2
x
x
展开式中的常数项为______．
【答案】160
【分析】由题意利用二项式定理可得解.
【详解】二项式
6
2
x
x
的展开式的通项公式
6
6
6 2
1
6
2
C
C 2
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
令6
2
0
r
，可得
3
r ，
所以展开式中的常数项为
3
3
6
C
2
160
.
故答案为：160.
3.求
6
1
2
x
x
的展开式中的常数项为___________.
【答案】15
4
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项.
【详解】
6
1
2
x
x
的展开式通项公式为
6
6
1
3
6
1
2
2
1
6
6
1
1
C
C
1
2
2
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
令3
6
0
2 r
，解得
4
r
，
故
2
4
4
5
6
1
15
C
1
2
4
T
，
所以展开式中常数项为15
4 .
故答案为：15
4
4.求
10
2
1
x
x
的展开式中的常数项为______.
【答案】45
【分析】首先写出展开式的通项，令
5
20
0
2
r
求出r ，再代入计算可得.
【详解】二项式
10
2
1
x
x
展开式的通项为
5
20
10
2
2
1
10
10
1
C
C
1
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
令
5
20
0
2
r
，解得
8
r
，
常数项为
8
8 1
0
8
1
C
1
45
T
.
故答案为：45 ．
5.
6
2
x
x
的展开式中常数项为第（
）项
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据二项展开式的公式求解即可.
【详解】
6
2
x
x
的通项为
3
6
6
2
1
6
6
2
C
2
C
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，令
3
6
0
2 r
有
4
r
.
故
6
2
x
x
的展开式中常数项为第5 项.
故选：B
题型四：求展开式中指定项
1.二项式
5
2
x
展开式中的含
3x 项的系数为
．
【答案】-40
【详解】二项式
5
2
x
展开式的通项为
5
5
1
5
5
C 2
1
2
C
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
令
3
r ，则
3
2
2
3
3
3 1
5
1
2 C
40
T
x
x
.
故答案为：40
.
2.在二项式
6
2
x
x
的展开式中，含
2x 项的二项式系数为（
）
A．15
B．15
C．10
D．10
【答案】A
【分析】首先写出展开式的通项，再令6
2
2
r
求出r ，即可求出含
2x 项的二项式系数.
【详解】二项式
6
2
x
x
的展开式的通项为
6
6 2
1
6
6
2
C
C
2
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
令6
2
2
r
，解得
2
r
，所以展开式中
2x 项的二项式系数为
2
6
15
C
.
故选：A
3.求
8
2
x
x
的展开式中含
3x 项的系数为______．（用数字作答）
【答案】16
【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.
【详解】由题可知展开式的通项公式
8
4
1
8
8
2
C (
)
( 2) C
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
令4
3
1
k
k
，此时，含
3x 的项为
1
1
3
3
3
2
8
( 2) C
2 8
16
T
x
x
x
，
所以含
3x 项的系数为16
．
故答案为：16
4.求
5
8
9x
x
的展开式中含
2x 的项为（
）
A．
2
2
3
5
C
9
8
B．
4
4
5
C
9 8
C．
1
4
5
C
9
8
D．
2
3
2
5
C
9
8
【答案】D
【分析】应用二项式展开式通项公式计算求解即可.
【详解】
5
8
9x
x
的通项
1
3
5
5
5
2
2
1
5
5
C
9
8
C ·9
·8 ·
,0
5,
N
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
r
r
．
令
3
5
2
2 r
，得
2
r
，
所以展开式中
2x 的项为
2
3
2
2
2 1
5
C
9
8
T
x
．
故选：D.
5.在
2
3
4
9
10
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
展开式中，
2x 项的系数为
.
【答案】165
【详解】由题意，多项式
2
3
4
9
10
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
，
根据组合数的运算，展开式中
2x 的系数为
2
2
2
2
2
3
4
10
C
C
C
C
，
又由
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
4
10
3
3
4
10
11
C
C
C
C
C
C
C
C
C
165
.
故答案为：165.
题型五：求展开式中有理项
1.二项式
50
3
( 2
3 )
x
的展开式中系数为有理数的项共有（
）
A．6 项
B．7 项
C．8 项
D．9 项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项
2
50
5
3
2
3
1
50
50
C
2)
( 3
C
(
3
)
2
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
若要系数为有理数，则25
Z
2
r
，
Z
3
r
，0
50
r
，且r Z ，
即
Z
2
r
，
Z
3
r
，易知满足条件的
{0,6,12,18,24,30,36,42,48}
r
，
故系数为有理数的项共有9 项.
故选：D
2.在
7
2
3
4
1
2
3
x
x
的展开式中，系数为有理数的项是（
）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式的通项
2
3
1
7
7
4
1
C
2
3
k
k
k
k
T
x
x
可确定系数为有理数时k 的取值，即可
得出结果.
【详解】在
7
2
3
4
1
2
3
x
x
的展开式中，根据通项
2
3
1
7
7
4
1
C
2
3
k
k
k
k
T
x
x
可知，
4
k
时系数为有理数，即第五项为
4
3
4
2
3
4 1
5
7
4
1
C
2
3
T
T
x
x
．
故选：C
3.求
8
3
1
x
x
的展开式中所有有理项的系数和为（
）
A．85
B．29
C．27
D．84
【答案】C
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.
【详解】展开式的通项为：
4
8
8
3
1
8
8
3
1
C
(
)
( 1) C
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，其中
01 2 3 4 5 6 7 8
r ，，，，，，，，，
当
0,3,6
r
时为有理项，故有理项系数和为
0
0
3
3
6
6
8
8
8
( 1) C
( 1) C
( 1) C
1 ( 56)
28
27
，
故选：C.
4.（多选）在
*
3
1
(
) (
N )
n
x
n
x
的展开式中，有理项恰有两项，则n 的可能取值为（
）
A．8
B．12
C．13
D．15
【答案】AC
【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项
【详解】
*
3
1
(
) (
N )
n
x
n
x
展开式通项为
2
5
3
6
1
1
C (
)
C
(0
)
r
n
r
r
n r
r
r
n
n
T
x
x
r
n
x
，
对于A，展开式通项为
16 5
6
1
8
C
r
r
rT
x
，所以由16
5
Z
6
r
可得=2
r
或8，所以此时有两个有理项，故正确；
对于B，展开式通项为
24 5
6
1
12
C
r
r
rT
x
，所以由24
5
Z
6
r
可得
0
r
或6 或12，所以此时有三个有理项，
故错误；
对于C，展开式通项为
26 5
6
1
13
C
r
r
rT
x
，所以由26
5
Z
6
r
可得
4
r
或10，所以此时有两个有理项，故正
确；
对于D，展开式通项为
30 5
6
1
15
C
r
r
rT
x
，所以由30
5
Z
6
r
可得
0
r
或6 或12，所以此时有三个有理项，
故错误；
故选：AC
5.在二项式
7
1
2
1
2
x
x
的展开式中x 的指数为整数的项的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】由题意将二项展开式的通项写出来，然后结合已知即可求解.
【详解】二项式展开为
7
7 3
2
2
1
7
7
1
1
C
C
2
2
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
0,1,2,3,4,5,6,7
r
.
当
1,3,5,7
r
时，x 的指数为整数，共有四项.
故选：D.
6.若
2
3
1
3
2
n
x
x
的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.
【详解】由二项式定理知，
2
1
3
1
C (3
)
(
)
2
r
n r
r
r
n
T
x
x
2
5
1
C
3
(
)
2
r
n r
r
n
r
n
x
，
因为其含有常数项，即存在
*
,
N
n r
，使得2
5 ,
n
r
此时
5
2
r
n
，所以
2
r
时，
5
n
，
故选：C.
题型六：两个二项式相乘问题
1.
7
(
1)(
1)
x
x
的展开式中含
2x 的项的系数是（
）
A．21
B．14
C．－14
D．－21
【答案】C
【分析】先求出
7
(
1)
x
展开式的通项，再利用多项式乘法得出含
2x 的两项的系数和.
【详解】因为
7
(
1)
x
展开式的通项为
7
1
7
C
( 1)
r
r
r
rT
x
，
所以
7
(
1)(
1)
x
x
展开式中含
2x 的项有两项:
6
6
7
C
( 1)
x
x
，
5
2
5
7
1 C
( 1)
x
，
的系数为
6
6
5
5
7
7
C ( 1)
1 C ( 1)
7
21
14
，
故选：C．
2.
2
6
1
(1
)
x
x
x
的展开式中
2x 的系数为（
）
A．9
B．10
C．24
D．25
【答案】B
【分析】首先求出
6
1
x
的通项
1
6
1
C
r
r
r
rT
x
，再根据通项求解即可.
【详解】
6
1
x
的通项
1
6
6
C
1
C
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
令
2
r
，
2
2
2
2
3
6
1
C
15
T
x
x
，令
1
r ，
1
2
6
C
6
T
x
x
，令
0
r
，
1
1
T ，
方法技巧：
求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路：
1．若m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．
2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n 的通项，综合考虑．
展开式中
2x 的系数为
2
2
2
2
15
6
10
x
x
x
x
.
所以
2
6
1
(1
)
x
x
x
的展开式中
2x 的系数为10.
故选：B
3.
5
2
1
1
1
x
x
的展开式中，常数项为________．
【答案】11
【分析】将问题转化成
5
1
(1
)
x
的常数项及含
2
x的项，利用二项展开式的通项公式求出第
1
r 项，令x 的指
数为0 ，2
求出常数项及含
2
x的项，进而相加可得答案．
【详解】先求
5
1
(1
)
x
的展开式中常数项以及含
2
x的项；
1
5
5
C (
)
C ( 1)
1
r
r
r
r
r
rT
x
x
由
0
r
得
0
r
，由
2
r
得
2
r
；
即
5
1
(1
)
x
的展开式中常数项为
0
5
C ，
含
2
x的项为
2
2
2
5
C ( 1) x
2
5
1
(1
)
1
x
x
的展开式中常数项为
0
2
5
5
C
C
11
故答案为：11
4.
2
6
2
b
a
a
b
a
的展开式中
3
4
a b 的系数为（
）
A．50
B．100
C．150
D．300
【答案】D
【分析】写出展开式通项，令a 的指数为3 ，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】
6
2a
b
的展开式通项为
6
6
6
1
6
6
C
2
C
2
0,1,2,
,6
k
k
k
k
k
k
k
kT
a
b
a
b
k
，
因为
2
6
6
6
2
2
2
2
b
a
a
b
a
a
a
b
b
a
b
a
，
在
6
6
6
7
6
6
C
2
C
2
0,1,2,
,6
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
b
a
b
k
中，令7
3
k
可得
4
k
，
在
2
6
6
6
5
2
6
6
C
2
C
2
0,1,2,
,6
r
r
r
r
r
r
r
r
b
a
b
a
b
r
a
中，令5
3
r
可得
2
r
，
因此，展开式中
3
4
a b 的系数为
4
2
2
4
6
6
C
2
C
2
15 4
15 16
300
.
故选：D.
5.
6
3
2
1
1
2
x
x
x
的展开式中的常数项为（
）
A．240
B．240
C．400
D．80
【答案】D
【分析】根据二项式定理求解
6
2
1
2x
x
的展开式中的常数项和含
3
x的项的系数，进而求解
6
3
2
1
1
2
x
x
x
的展开式中的常数项.
【详解】
6
2
1
2x
x
的展开式的通项为
6
6
6 3
1
6
6
2
1
C
2
1 C
2
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，
令6
3
0
r
，得
2
r
，
则
6
2
1
2x
x
的展开式中的常数项为
2
2
6 2
6
1
C
2
15 16
240
，
令6
3
3
r
，得
3
r ，
则
6
2
1
2x
x
的展开式中含
3
x的项的系数为
3
3
6 3
6
1 C
2
20 8
160
，
所以
6
3
2
1
1
2
x
x
x
的展开式中的常数项为
240 1
160
1
80
.
故选：D．
6.二项式
2
10
(1
)(1
)
x
x
x
展开式中
4
x 的系数为（
）
A．120
B．135
C．140
D．100
【答案】B
【分析】利用二项式定理得到
10
(1
)
x
的展开式通项公式，求出
2
3
45
T
x
，
3
4
120
T
x
，
4
5
210
T
x
，进而
与
2
1
x
x
对应的系数相乘，求出展开式中
4
x 的系数.
【详解】
10
(1
)
x
的展开式通项公式为
1
10
10
C
C
1
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
其中
2
2
2
3
10
C
45
T
x
x
，
3
3
3
4
10
C
120
T
x
x
，
4
4
4
5
10
C
210
T
x
x
，
故二项式
2
10
(1
)(1
)
x
x
x
中x 的四次方项为
2
2
3
4
4
45
120
210
1
135
x
x
x
x
x
x
，
即展开式中
4
x 的系数为135.
故选：B
7.已知
5
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1
1
x
x
a
a x
a x
a x
a x
a x
a x
，则
3
a 的值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据
5
5
5
1
1
1
1
x
x
x x
x
，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为
5
5
5
1
1
1
1
x
x
x x
x
，
5
1
x
展开式第
1
r 项
5
5
1
5
5
C
( 1)
C ( 1)
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
当
3
r 时，
3
3
2
3
5
C ( 1)
10
x
x
x
，当
2
r
时，
2
2
3
3
5
C ( 1)
10
x
x
，
故
3
3
3
3
10
10
0
a x
x
x
，即
3
0
a
.
故选：B
8.
5
7
2
2
x
y
x
y
的展开式中
9
3
x y 的系数为（
）
A．160
B．80
C．160
D．80
【答案】D
【分析】先将表达式变形为
5
5
7
2
2
2
2
2
2
4
4
4
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
，再求解
5
2
2
4
x
y
展开式中
8
2
x y ，
最后与
2
2
4
4
x
xy
y
中的4xy
乘积即可得
9
3
x y 的系数.
【详解】解：
5
5
5
7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
4
4
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
，
5
2
2
4
x
y
展开式的通项为
5
2
2
10 2
2
1
5
5
C
4
4
C
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
y
x
y
，
令
1
r ，得
5
2
2
4
x
y
的展开式中
8
2
x y 的系数为
1
1
5
C
4
20
，
所以
5
7
2
2
x
y
x
y
的展开式中
9
3
x y 的系数为
20
4
80
.
故选：D
题型七：求形如(a+b+c)
n(n∈N
*)展开式中特定项
1.
5
2
2
x
y
的展开式中，
4
2
x y 的系数为（
）
A．60
B．60
C．30
D．30
方法技巧
求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法：
1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方
法求解．
2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情
形．
3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答.
【详解】因为
2
2
4
2
2
x y
x
y
，于是在5 个多项式
2
2
x
y
中，取2 个用
2x ，再从余下3 个多项式中取
2 个用
y
，
最后1 个多项式用常数项相乘，因此含
4
2
x y 的项为
2
2
2
2
2
4
2
4
2
5
3
C (
)
C (
)
2
10
3
2
60
x
y
x
y
x y
，
所以
4
2
x y 的系数为60.
故选：A
2.
5
2
1
x
y
展开式中含
2x y 项的系数为______．
【答案】－60
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
5
5
2
1
1
2
x
y
x
y
，
设该二项式的通项公式为
5
1
5
5
C 1
2
C
2
r
r
r
r
r
rT
x
y
x
y
，
因为
2x y 的次数为3 ，所以令
3
r
，
二项式
3
2
x
y
的通项公式为
3
1
3
C
2
r
r
r
rT
x
y
，
令
1
r，
所以
2x y 项的系数为
3
1
5
3
C C
2
60
，
故答案为：60
3.
10
2
2
1
x
x
的展开式中
3x 项的系数为______.
【答案】300
【分析】令
10
2
2
1
x
x
的通项公式为
10
2
1
10
C
2
1
r
r
r
rT
x
x
，令
10
2
2
r
x
x
的通项公式为
20 2
10
10
2
1
n
n
r n
r n
r
C
x
，由20
2
3
r
n
和r
n
、的范围可得答案.
【详解】
10
10
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
的通项公式为
10
2
1
10
C
2
1
0,1,2,
,10
r
r
r
rT
x
x
r
，
显然，展开式中要出现
3x ，必有
10
r
，
令
10
2
2
r
x
x
的通项公式为
10
2
20 2
10
10
10
C
2
C
2
1
0
10
,
N
r n
n
n
n
n
r n
r n
r
r
x
x
x
n
r n
，
由20
2
3
r
n
，由
0,1,2,
,9
r
，0
10
,
N
n
r n
，所以
7,
3
r
n
，或
8,
1
r
n
，
所以
3x 的系数为
3
7
7
1
8
8
3
10
2
10
C
1
C
1
C
1
2 C
1
300
.
故答案为：300
.
4.
4
3
2
x
x
的展开式中，含x 的项的系数为______．
【答案】248
【分析】
4
3
2
x
x
的展开式中，含x 的项有以下两类，第一类：4 个因式中有1 个取到x ，其余3 个
都取到2；第二类：4 个因式中有2 个取到3 x ，其余2 个都取到2，结合组合数即可求解.
【详解】
4
3
2
x
x
的展开式中，含x 的项有以下两类：
第一类：4 个因式中有1 个取到x ，其余3 个都取到2，即
1
3
4
C
2
32
x
x
第二类：4 个因式中有2 个取到3 x ，其余2 个都取到2，即
2
2
2
4
C
3
2
216
x
x
所以
4
3
2
x
x
的展开式中含x 的项为32
216
248
x
x
x
，
故含x 的项的系数为248 .
故答案为：248
5：
5
2
1
x
y
展开式中含
2x y 项的系数为______．
【答案】－60
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
5
5
2
1
1
2
x
y
x
y
，
设该二项式的通项公式为
5
1
5
5
C 1
2
C
2
r
r
r
r
r
rT
x
y
x
y
，
因为
2x y 的次数为3 ，所以令
3
r
，
二项式
3
2
x
y
的通项公式为
3
1
3
C
2
r
r
r
rT
x
y
，
令
1
r，
所以
2x y 项的系数为
3
1
5
3
C C
2
60
，
故答案为：60
6.
2
1 2
n
x
x
展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的
3x 项的系数为（
）
A．60
B．30
C．100
D．160
【答案】C
【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将1 2x
作为整体进行二项式展开，从原式展开
式中取出前两项再进行展开，分别求出包含
3x 项和x 项的系数，最后代回原式求和即可.
【详解】取=1
x
代入，得(1 2 1)
64
n
，解得=6
n
则原式
2 6
0
6
1
5
2
6
2 6
6
6
6
(1 2
)
(1 2 )
(1 2 ) (
)
(
)
x
x
C
x
C
x
x
C
x
其中，只有前两项包含
3x 项.
6
0
6
1
5
6
0
6
6
6
(1 2 )
(2 )
(2 )
(2 )
x
C
x
C
x
C
x
，其中
3x 项的系数为
3
3
6 2
160
C
；
5
0
5
1
4
5
0
5
5
5
(1 2 )
(2 )
(2 )
(2 )
x
C
x
C
x
C
x
，其中x 项的系数为
4
1
5 2
10
C
.
故原式展开式中的
3x 项的系数为
0
1
6
6
160
10 ( 1)
100
C
C
.
故选：C.
7.
4
2
1
x
y
x
的展开式中
2
2
y
x
的系数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】变形后求出其通项公式
4
2
1
4
1
C
r
r
r
rT
x
y
x
，令
2
r
，则
2
2
2
2
3
4
1
C
T
x
y
x
，再求出
2
2
1
x
x
中的
2
1
x 的系数即可求得结果
【详解】
4
4
2
2
1
1
x
y
x
y
x
x
的通项公式
4
2
1
4
1
C
r
r
r
rT
x
y
x
，
令
2
r
，则
2
2
2
2
2
4
2
3
4
4
2
1
1
C
C
2
T
x
y
x
x y
x
x
，
所以
2
2
y
x
的系数为
2
4
C
6
，
故选：B
8.已知
6
2
1
0
x
a
a
x
展开式的常数项为76，则
a
（
）
A．1
B．61
C．2
D．3 61
【答案】A
【分析】由
6
6
2
2
1
1
x
a
x
a
x
x
，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开
式的常数项表达式，列方程求a .
【详解】因为
6
6
2
2
1
1
x
a
x
a
x
x
，
所以
6
6
5
4
3
0
1
2
2
3
3
6
6
6
6
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
C
C
C
C
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
x
x
x
2
1
4
4
5
5
6
6
6
6
6
2
2
1
1
C
C
C
x
a
x
a
a
x
x
，
6
0
6
2
1
C
x
x
的展开式的通项为
6
6 3
6
6
2
0
0
6
6
C
1
C
C
C
k
k
k
k
k
x
x
x
，
0,1,2,3,4,5,6
k
，
当
2
k
时为常数项，常数项为
6
0
6
2
C C ，
6
2
5
1
1
C
a
x
x
的展开式的通项为
1
5
1
5 3
5
5
6
6
2
C
C
1
C
C
k
k
k
k
k
x
a
x
a
x
，
0,1,2,3,4,5
k
，
展开式没有常数项，
2
6
4
2
2
1
C
a
x
x
的展开式的通项为
2
4
2
2
4 3
2
4
4
6
6
2
C
1
C
C C
k
k
k
k
k
x
a
x
a
x
，
0,1,2,3,4
k
，
展开式没有常数项，
3
3
3
6
2
1
C
x
a
x
的展开式的通项为
3
3
3
3
3 3
3
3
3
6
6
2
C
1
C
C C
k
k
k
k
k
x
a
x
a
x
，
0,1,2,3
k
，
当
1
k 时为常数项，常数项为
3
1
3
3
6C
C
a
，
4
6
2
4
2
1
C
a
x
x
的展开式的通项为
4
2
4
4
2 3
4
2
2
6
6
2
C
1
C
C C
k
k
k
k
k
x
a
x
a
x
，
0,1,2
k
，
展开式没有常数项，
5
6
1
5
2
1
C
a
x
x
的展开式没有常数项，
又
6
6
6
C
a
为常数，
所以常数项为
0
2
3
1
3
6
6
3
6
6
6
6
3
6
C
C
C
C
C
15
60
76
a
a
a
a
，所以
3
3
61
1
0
a
a
，又
0
a
，解得
1
a ．
故选：A.
题型八：求多个二项式的和或积展开式的问题
1.在
7
8
1
1
x
x
的展开式中，含
3x 的项的系数是______．
【答案】91
【分析】由二项式的展开式即可求得答案.
【详解】因为
7
8
1
1
x
x
，所以含
3x 的项为：
3
3
3
3
7
8
C
C
x
x
，
所以含
3x 的项的系数是
3
3
7
8
C
C
35
56
91
．
故答案为：91
．
2：若
4
7
2
7
0
1
2
7
(
1)
2
(
2)
(
2)
x
x
a
a
x
a x
a x
，则
2a （
）
A．45
B．27
C．15
D．3
【答案】D
【分析】将
4
7
(
1)
x
x
转化为
4
7
(
2) 1
[(
2)
]
[
]
2
x
x
，再利用二项展开式的通项公式，即可求得答案．
【详解】因为
4
7
7
2
7
0
1
2
7
4
(
1)
(
2) 1]
2
(
[(
2)
2]
2)
(
2)
[
x
x
x
x
a
a
x
a
x
a
x
，
所以
2
2
2
5
2
4
7
( 2)
( 1)
3
a
C
C
，
故选：D．
3：在
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的展开式中，含
5x 的项的系数是___________.
【答案】21
【分析】从
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的6 个因式中，其中5 个选x，余下的一个选常数相乘，
即可得到
5x 项，由此可求得答案.
【详解】由题意可知从题中
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的6 个因式中，
其中5 个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到
5x 项，
比如
,
,
,
,
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
都选x，此时系数为1
，
,
,
,
,
1
3
4
5
6
x
x
x
x
x
都选x，此时系数为2
，
依此类推，
直到
,
,
,
,
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
都选x，此时系数为6
，
共6 种情况，将这6 项合并，即可得
5
5
( 1 2
3
4
5
6)
21
x
x
，
故含
5x 的项的系数是21
，
故答案为：21
4：在
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的展开式中，含
5x 的项的系数是___________.
【答案】21
【分析】从
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的6 个因式中，其中5 个选x，余下的一个选常数相乘，
即可得到
5x 项，由此可求得答案.
【详解】由题意可知从题中
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的6 个因式中，
其中5 个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到
5x 项，
比如
,
,
,
,
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
都选x，此时系数为1
，
,
,
,
,
1
3
4
5
6
x
x
x
x
x
都选x，此时系数为2
，
依此类推，
直到
,
,
,
,
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
都选x，此时系数为6
，
共6 种情况，将这6 项合并，即可得
5
5
( 1 2
3
4
5
6)
21
x
x
，
故含
5x 的项的系数是21
，
故答案为：21
模块三：综合巩固
1.
6
(2
)x
的展开式中，
4x 的系数为（
）
A．30
B．60
C．120
D．32
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项赋值即可求得.
【详解】
6
(2
)x
的展开式中含
4x 的项为
4
2
4
6
C
2 x
，其系数为
4
2
6
C
2
60
．
故选：B．
2.
6
(1
)
x
展开式中
2x 项系数为
3
,a x 项系数为b ，则a
b
（
）
A．0
B．24
C．35
D．64
【答案】C
【分析】根据已知，求出二项式展开式的通项，即可得出,a b的值，进而得出答案.
【详解】二项式的展开式的通项
6
1
6
6
C
1
(
)
C
(
)
r
r
r
r
r
rT
x
x
，
当
2
r
时，
2x 的系数为
2
6
15
C
，
当
3
r 时，
3x 的系数为
3
6
C
20
，
所以
35
a
b
.
故选：C.
3.
6
2
2
x
x
展开式中的第四项为（
）
A．
3
160x
B．
3
160x
C．240
D．240
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】
6
2
2
x
x
展开式的通项公式为
6
2
12 3
1
6
6
C
2
2
C
k
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
所以
3
3
12 3 3
3
3
4
6
2
C
8
20
160
T
x
x
x
,
故选：B
4.
4
2
3
a
b
c
的展开式中
2
abc 的系数为（）
A．208
B．216
C．217
D．218
【答案】B
【分析】根据
2
abc 各未知数的次数以及二项式定理，即可得出答案.
【详解】根据二项式定理可得，
4
2
3
a
b
c
的展开式中，含
2
abc 的项为
2
1
1
1
2
2
4
3
2
C
C
2
C
3
216
a
b
c
abc
.
所以，
4
2
3
a
b
c
的展开式中
2
abc 的系数为216
.
故选：B.
5.
6
2
1
1
x
x
x
的展开式中，含
2x 的项的系数是（
）
A．20
B．5
C．15
D．35
【答案】D
【分析】求出
6
1
x
x
的展开式中的通项，再结合两个式子相乘特点求解即可.
【详解】二项式
6
1
x
x
的展开式中的通项
6
6 2
1
6
6
1
C
( 1) C
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
则含
2x 的项的系数为
2
2
3
3
6
6
1 C ( 1)
1 C ( 1)
35
.
故选：D
6.设n
N ，化简
0
1
1
2
2
3
3
C
C 6
C 6
C 6
C 6
n
n
n
n
n
n
n
L
（
）．
A．6n
B．6
1
n
C．7n
D．7
1
n
【答案】C
【分析】根据二项式定理化简即可．
【详解】
0
1
1
2
2
3
3
C
C 6
C 6
C 6
C 6
1
6
7
n
n
n
n
n
n
n
n
n
L
，
故选：C．
7.已知
1
2
n
x
x
的二项式系数和为256，则
1
2
n
x
x
的展开式中常数项为（
）
A．1120
B．1120
C．70
D．70
【答案】A
【分析】根据二次项系数和可得出n 的值，再写出
1
2
n
x
x
的通项
1
rT ，整理后可让x 的次数为0，得出r
的值后代入即可计算出常数项.
【详解】由
1
2
n
x
x
的二项式系数和为256，得2
256
n
，所以
8
n ，
8
1
2x
x
的二项式通项为
8
8
8 2
1
8
8
1
C (2 )
2
( 1) C
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
x
，令8
2
0
r
，得
4
r
，所以常数项为
4
4
4
8
2
( 1)
C
16 70
1120
.
故选：A.
8.在(
1)(
2)(
3)(
4)
x
x
x
x
的展开式中，含
3x 项的系数为（
）
A．50
B．35
C．24
D．10
【答案】D
【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答.
【详解】(
1)(
2)(
3)(
4)
x
x
x
x
展开式的
3x 项是4 个因式中任取3 个用x，另一个因式用常数项相乘积的和，
则(
1)(
2)(
3)(
4)
x
x
x
x
展开式中的
3x 项为
3
3
3
3
3
4
3
2
1 10
x
x
x
x
x
，
所以含
3x 项的系数为10.
故选：D
9.
6
4
1
1
1
x
x
的展开式的常数项为（
）
A．6
B．10
C．15
D．16
【答案】D
【分析】先根据二项展开式通项公式求
6
1
1
x
含
4
x系数，再根据多项式法则求常数项.
【详解】由题意得
6
1
1
x
的展开式的通项为
1
6
0,1,2,
,6
r
r
rT
C
x
r
，
令
4
r
，则
4
6
15
C
，
所以
6
4
1
1
1
x
x
的展开式的常数项为1 15
16
.
故选：D.
【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.已知多项式
1
2
n
x
x
展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为
．
【答案】68
【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32 求出
5
n
，再将
1
2
n
x
x
化为
5
1
2
x
x
进行求解.
【详解】由题意可得2
32
n
，解得
5
n
，则
5
5
4
0
1
5
5
5
5
5
1
1
1
1
2
2
C
2C
2 C
n
x
x
x
x
x
x
x
x
，
故该展开式中的常数项为
1
2
3
3
1
5
5
5
4
5
2
5
2C C
2 C C
1
2 C
68
．
故答案为：68
11.已知
1
2
n
x
x
的展开式中存在常数项，则n 的可能取值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得
3
n
r
，进而得到n 的可能取值.
【详解】二项式
1
2
n
x
x
的展开式的通项为
3
2
1
1
1
C
C
2
2
n r
r n
r
r
r
r
r
n
n
x
T
x
x
，
令3
0
2
r
n
，即
3
n
r
，由于
N
r
，故n 必为3 的倍数，即n 的可能取值为6.
故选：C
12.已知
10
2
1
ax
a
x
的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（
）
A．第2 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
【答案】D
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，利用常数项列方程求出a 值，进而可得展开式中系数最大的项．
【详解】
10
2
1
ax
x
展开式的通项
10
5
5
2
2
1
10
10
1
r
r
r
r
r
r
rT
C
ax
C
a
x
x
.令5
5
0
2 r
，解得
2
r
，所
以展开式中的常数项为
2
2
10
45
45
r
C
a
a
，又a<0 ，所以
1
a ，所以
10
2
1
ax
x
即
10
2
1
x
x
，其
展开式共有11 项，且正中间一项的二项式系数最大，又
10
2
1
x
x
展开式中的二项式系数与对应项的系
数相同，所以
10
2
1
x
x
展开式中第6 项的系数最大，
故选：D
13.
4
2
2
2
1
1
1
x
x
x
的展开式中
6x 的系数为（
）
A．1
B．4
C．1
D．4
【答案】A
【解析】本题首先可写出二项式
4
2
1
x
的通项，然后结合通项即可得出结果.
【详解】因为二项式
4
2
1
x
的通项为
( )
( )
( )
4
2
8 2
1
4
4
1
1
r
r
r
r
r
r
rT
C
x
C x
-
-
+ =
-
= -
，
所以展开式中
6x 的系数为( )
( )
( )
2
0
1
2
0
1
4
4
4
1
1
1
6 1 4
1
C
C
C
-
- -
+ -
=
- -
=
，
故选：A.
【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项：可依据条件写出第
1
r 项，再由特定项的特点求出r 值即可；
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数值，再写出第
1
r 项，由特定项得出r 值，最
后求出其系数.
14.（1）求
8
2
x
y
的二项展开式；
（2）求
12
1
3
x
x
的二项展开式中的常数项；
（3）求
9
2
x
x
的二项展开式中
3x 的系数；
（4）在
20
2
1
x
的二项展开式中，如果第4r 项和第
2
r
项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r 项．
【答案】（1）答案见解析；（2）220
；（3）672
；（4）
30
15504x
【分析】（1）根据二项展开式计算即可；
（2）求出展开式的通项，令x 的指数等于零，即可得解；
（3）求出展开式的通项，令x 的指数等于3 ，即可得解；
（2）求出展开式的通项，再根据题意求出r ，即可得解.
【详解】（1）
8
2
3
8
1
7
2
6
3
5
8
8
8
2
C
2
C
2
C
2
x
y
x
x
y
x
y
x
y
4
5
6
7
8
4
4
5
3
6
2
7
8
8
8
8
C
2
C
2
C
2
C
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
y
8
7
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
7
8
8 2
56
112 2
280
224 2
224
64 2
16
x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
xy
y
；
（2）
12
1
3
x
x
展开式的通项为
1
4
12
12
3
3
1
12
12
C
1
C
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
令
4
12
0
3
k
，得
9
k
，
所以
12
1
3
x
x
的二项展开式中的常数项为
9
9
12
1 C
220
；
（3）
9
2
x
x
展开式的通项为
9
9 2
1
9
9
2
C
2
C
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
令9
2
3
k
，得
2
k
，
所以
9
2
x
x
的二项展开式中
3x 的系数为
3
3
9
2
C
672
；
（4）
20
2
1
x
展开式的通项为
2
2
1
20
20
C
1
C
k
k
k
k
k
kT
x
x
，
因为第4r 项和第
2
r
项的系数的绝对值相等，
所以
4
1
1
4
1
1
20
20
1
C
1
C
r
r
r
r
，
即
4
1
1
20
20
C
C
r
r
，
若4
1
1
r
r
，解得
2
3
r
，不符题意，舍去，
若4
1
1
20
r
r
，解得
4
r
，
综上
4
r
，
所以此展开式的第4r 项为
15
15
30
30
20
1
C
15504
x
x
.
15.已知在
3
3
1
2
n
x
x
的展开式中，第6 项为常数项．
(1)求n 的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；
(2)求含
2x 的项的系数.
【答案】(1) 252 .
(2) 45
4 .
【分析】（1）根据二项式定理的通项公式即可解题.
（2）令通项公式中x 的指数为2 即可解题.
【详解】（1）根据二项式定理写出
3
3
1
2
n
x
x
的通项公式为：
2
3
3
3
3
1
3
1
1
1
C
C
C
2
2
2
r
r
r
n r
r
n
r
n r
r
r
r
r
n
n
n
T
x
x
x
x
x
……①
二项式展开的第6 项
5
r
……②
②代入①有第6 项为：
5
2 5
6
3
6
1
C
2
n
n
T
x
……③
第6 项为常数，且由③式可得：
2 5
0
10
3
n
n
……④
因为
10
n
展开式共有11项，故二项式系数最大项为第6项，此时的
= 5
r
，
展开式第6的二项式系数为
5
10
10!
C
252
5! 5!
，
故答案为：252 .
（2）由第1 小问可知
10
n
，且通项公式为：
10 2
3
1
10
1
C
2
r
r
r
rT
x
……⑤
只需要令⑤式中x 的指数为2
10
2
2
2
3
r
r
……⑥
含
2x 的项的系数
2
2
10
1
1
45
C
45
2
4
4
，
故答案为：45
4 .
16.已知在
3
2
2
n
x
x
（
*
nN ）的展开式中，第4 项的二项式系数与第3 项的二项式系数的比值为2.
(1)求n 的值；
(2)求展开式中含
4
x 的项.
【答案】(1)
8
n
(2)
4
4
4
1
T
x
【分析】（1）由二项式定理的展开式通项和二项式系数得出.
（2）写出通项，令x 的指数为4，求出结果即可.
【详解】（1）由题知：
3
2
1
2
C
2 1
2
2
C
3 2 1
1
3
n
n
n n
n
n
n n
，解得
8
n .
（2）
8
1
4
8
2
8
3
3
1
8
8
C
2
2
C
2
k
k
k
k
k
k
k
x
T
x
x
，0
8
k
，k N ，
令
4
8
4
3 k
，得
3
k ，所以展开式中含有
4x 的项为：
2 3 8
3
4
4
4
8
2
C
14
T
x
x
´ -
=
=
17.
7
2
1
2
5
2
x
x
x
的展开式中含x 项的系数为（
）
A．1984
B．960
C．660
D．704
【答案】D
【分析】用二项展开式的通项公式计算，要注意分情况讨论.
【详解】
7
1
2
x
的展开式的通项为
7
2
1
7
C
2
r
r
r
rT
x
，所以
7
2
1
2
5
2
x
x
x
的展开式中含x 项的系
数为
2
5
0
7
7
7
2 C
2
5
C
2
1344
640
704
．
故选：D
18.用二项式定理展开下列各式：
(1)
6
3 a
b
；
(2)
7
3
2 x
x
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】利用二项式展开公式即可得解．
【详解】（1）
6
1
6
3
3
a
b
a
b
5
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
6
6
0
6
6
6
3
4
4
1
5
6
3
3
6
6
6
6
3
3
3
3
C
C
C
C
C
C
C
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
5
4
2
1
2
2
4
5
6
3
3
3
3
3
6
15
20
15
6
a
a b
a b
ab
a b
a b
b
.
（2）
7
2
7
6
5
0
1
7
7
7
4
2
3
7
3
3
3
3
2
C
2
C
2
C
2
C
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
4
5
6
7
7
3
2
7
7
7
6
7
4
3
3
3
2
C
3
C
2
C
2
C
x
x
x
x
x
x
x
7
5
3
1
1
3
5
2
2
2
2
2
2
2
128
1344
6048
15120
22680
20412
10206
2187
x
x
x
x
x
x
x
x
.
19.（1）求
5
5
2
1
1
x
x
x
的展开式；
（2）化简
5
4
3
2
1
5
1
10
1
10
1
5
1
x
x
x
x
x
．
【答案】（1）答案见解析；（2）
5
1
x
【分析】（1）先利用立方差公式化简式子，再利用二项展开即可得解；
（2）将
1
x 看作一个整体，再利用二项展开的逆运算即可得解.
【详解】（1）
5
5
5
5
2
2
3
(1
)
1
(1
) 1
1
x
x
x
x
x
x
x
0
1
2
3
4
0
5
3
1
4
3
2
3
3
3
2
3
4
1
3
5
5
5
5
5
C
1
C
1
C
1
C
1
C
1
x
x
x
x
x
5
5
0
3
5
C
1
x
3
6
9
12
15
1 5
10
10
5
x
x
x
x
x
.
（2）原式
0
5
1
4
2
3
3
2
4
1
5
0
5
5
5
5
5
5
C (
1)
C (
1)
C (
1)
C (
1)
C (
1)
C (
1)
1
x
x
x
x
x
x
5
5
[(
1)
1]
1
1
x
x
.
