6.6 杨辉三角的性质及应用
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：杨辉三角简介................................................................ 2
考点二：二项式系数的性质.......................................................... 2
考点三：杨辉三角性质................................................................ 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：二项展开式的系数问题.................................................... 3
题型二：杨辉三角实际应用及延伸..................................................5
题型三：二项展开式中的系数最大项问题....................................... 12
题型四：二项式定理的综合应用...................................................17
6.6 杨辉三角的性质及应用
模块一：基础知识
考点一：杨辉三角简介
杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化.阅读《详解九章算法》
一书中的开方作法本源图，如图，其中蕴藏着许多数学的奥秘.
此图为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》(1407)抄录的
《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产.《详解九章算法》由杨辉所著,他在书中提到“出释锁算书，
贾宪用此术”.这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形.关于贾宪的生平，所知甚少.根
据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023 年至1050 年这段时期.
考点二：二项式系数的性质
1.各二项式系数和：
0
1
*
2
k
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
N
；
2.奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
0
2
1
3
1
*
2n
n
n
n
n
C
C
C
C
n
N
考点三：杨辉三角性质
从函数角度，
r
n
C 可以看成以r 为自变量的函数f(r )，其定义域是｛0,1,···,n｝。
当n=6 时，二项式系数
r
n
C （0≤r≤6）用图象表示
总结：一般地，
n
b
a
展开式的二项式系数
0
n
C 、
1
n
C 、
2
n
C
、……、
k
n
C 、……、
n
n
C 有如下基本性质：
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1
（2）对称性：
m
n
n
m
n
C
C
（3）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
m
n
m
n
m
n
C
C
C
1
1
（4）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即
2
n
n
C
最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相
等且最大，即
2
1
2
1-
n
n
n
n
C
C
最大
（5）当
1
2
n
k
时，二项式系数是逐渐变大的；当
1
2
n
k
时，二项式系数是逐渐变小的．
模块二：题型分类
题型一：二项展开式的系数问题
1.已知
2
2
(
)n
x
x
(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含
3
2
x 的项．
【答案】T2＝－16
3
2
x
【详解】试题分析：根据展开式中第五项的系数与第三项的系数比求项数n,然后利用通项公式求特定项即
可.
试题解析：由题意知第五项的系数为C ·(－2)4，第三项的系数为C ·(－2)2，则
＝
，解得n＝8(n
＝－3 舍去)．
所以通项为Tr＋1＝C
(
)8－r·
r＝C
(－2)r·
8 5
2
r
x
.
令
＝，得r＝1.
∴展开式中含
3
2
x 的项为T2＝－16
3
2
x .
2.已知二项式
1
2
n
x
x
的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为
．
【答案】21
2
【详解】∵
1
2
C
C
45
n
n
，解得
9
n
，
展开式的通项为
9
3
18
9
9
2
2
1
9
9
1
C
C 2
2
k
k
k
k
k
k
k
kT
x
x
x
，
令3
18
0
2
k
，得
6
k
，
常数项为
3
6
6
6
9
7
9
C
1
21
C
2
8
2
T
x
x
．
故答案为：21
2 .
3.设整数
4
n
，(
2
1)n
x
y
的展开式中
4
nx 与xy 两项的系数相等，则n 的值为
.
【答案】51
【详解】解：由题意得：
0
(
2
1)
(2
1)
n
n
r
n r
r
n
r
x
y
C x
y
.
其中
4
nx 项，仅出现在求和指标r=4 时的展开式
4
4
4
C
(2
1)
n
nx
y
中，
其
4
nx 项系数为
4
4
(
1)(
2)(
3)
( 1) C
24
n
n n
n
n
；
而xy 项仅出现在求和指标r=n-1 时的展开式
1
1
C
(2
1)
n
n
n x
y
中，
其xy 项系数为
1
2
3
3
1
C
C
4 ( 1)
( 1)
2 (
1)(
2)
n
n
n
n
n
n n
n
.
因此有
3
(
1)(
2)(
3)
( 1)
2 (
1)(
2)
24
n
n n
n
n
n n
n
.
注意到n>4，化简得
3
3
( 1)
48
n
n
，故只能是n 为奇数且n-3=48，解得n=51，
故答案为：51.
4：
4
2
(1
2 )
4
x
x
的展开式中含
3x 项的系数为
.
【答案】70
【详解】要得到
4
2
(1
2 )
4
x
x
的展开式中含有
3x 的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“ 2 ”，然后在后面四个括号中选取3 个“ 2x
”和1 个“1”，
由分步乘法计数原理可知此时“
3x ”的系数为
3
3
4
2 C
2
1
2 4
8
64
；
情形二：先在第一个括号中选取“
4
x
”，然后在后面四个括号中选取2 个“ 2x
”和2 个“1”，
由分步乘法计数原理可知此时“
3x ”的系数为
2
2
2
4
1
1
C
2
1
6 4
6
4
4
.
综上所述：由分类加法计数原理可知
4
2
(1
2 )
4
x
x
的展开式中含
3x 项的系数为
64
6
70
.
故答案为：70
.
5.设
2
0
1
2
1
4
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，已知
0
1
35
a
a
，则n
，
1
2
1
n
x
x
的展开式中含
7
x的
系数为
.
【答案】
9
18
【详解】令
0
x
，得
0
1
a ，由二项展开式的通项公式可知
1
1
C
4
4
n
a
n
，由
0
1
35
a
a
，得1 4
35
n
，
解得
9
n
.
9
1
2
1
x
x
由9 个
1
2
1
x
x
连乘得到，要得到含
7
x的项，有两种情形：①这9 个式子中：8 个式子中
取
1
x
，剩下的1 个式子中取2x ；②这9 个式子中：7 个式子中取
1
x
，剩下的2 个式子中取1.故含
7
x的
系数为
8
7
9
9
C
2 C
18
.
故答案为：9，-18.
6.已知在
1
n
ax
的展开式中，第3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，且
3x 的系数为80
，则
a
.
【答案】2
【详解】二项式
1
n
ax
的展开式的通项公式为
1
C
1
C
n k
k
k
k
n k
n k
k
n
n
T
ax
a
x
，
0,1,2,
,
k
n
，
所以第3 项的二项式系数
2
Cn ，第4 项的二项式系数为
3
Cn ，
因为第3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，
所以
2
3
C
C
n
n
，解得
5
n
，
所以在
1
n
ax
的展开式中
3x 的系数为
2
3
5
C a ，
由已知
2
3
5
C
80
a
，解得
2
a ，
故答案为：2
.
题型二：杨辉三角实际应用及延伸
1.我国南宋数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》里，出现了图1 这张表.杨辉三角的发现比欧洲
早500 年左右.如图2，杨辉三角的第n 行的各数就是(
)n
a
b
的展开式的二项式系数.
则第10 行共有
个奇数；第100 行共有
个奇数.
【答案】
4
8
【详解】由杨辉三角可得如下表：
第1 行，2 个；第2 行，2 个；第3 行，4 个；第4 行，2 个；第5 行，4 个；
第6 行，4 个；第7 行，8 个；
第8 行，2 个；第9 行，4 个；第10 行，4 个；第11 行，8 个；第12 行，4 个；
第13 行，8 个；第14 行，8 个；第15 行，16 个；
第16 行，2 个；第17 行，4 个；第18 行，4 个；第19 行，8 个；第20 行，4 个；
第21 行，8 个；第22 行，8 个；第23 行，16 个；
第96 行，4 个；第97 行，8 个；第98 行，8 个；第99 行，16 个；第100 行，8 个；
故答案为：4；8.
2.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10,，
记此数列的前n项之和为
n
S ，则
23
S 的值为
.
【答案】452
【详解】设数列为{
na }，
当n 为偶数时，易知
4
2
n
n
a
；
前23 项里面有偶数项11 项，奇数项12 项，
偶数项是首项为3，公差为1 的等差数列，且
22
22
4
13
2
a
，
所以偶数项之和为：
3 13
11
88
2
；
当n 为奇数时，
0
2
2
2
1
C
C
，
1
2
3
3
3
C
C
，
2
4
6
C
，
3
2
5
5
10
C
C
，…，
所以
2
3
2
C
n
n
a
，则
2
2
23 3
23
13
2
C
C
a
，
所以前23 项里面奇数项和为：
2
2
2
2
2
2
3
4
5
13
C
C
C
C
C
=
3
2
2
2
2
3
3
4
5
13
C
C
C
C
C
=
3
2
2
2
4
4
5
13
C
C
C
C
=
3
14
C
=364，
所以
23
364
88
452
S
.
故答案为：452.
3.（多选）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的
排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1 形成三角形；随后
的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.
那么下列说法中正确的是（
）
A．第n 行的第
r r
n
个位置的数是
1
Cr
n
B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3 个位置的数依次组织一个新的数列
na
，则数列
na
是两项
奇数和两项偶数交替呈现的数列
C．70 在杨辉三角中共出现了3 次
D．210 在杨辉三角中共出现了6 次
【答案】BCD
【详解】对于A 选项：第n行的第
r r
n
个位置的数是
1
1
Cr
n
，故A 错误；
对于B 选项：由题
1
1
n
n
a
a
n
，
1
1
a
数列
na
的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，
1
1
a
为奇数，
2a
为奇数，
3
a 为偶数，
4a 为偶数，
5a 为奇数，
5a 是奇数项且为奇数，这与
1a 情况一致，从而奇偶性产生
循环，B 正确；
由于C
C
m
n m
n
n
，不妨设
2
n
m
，令C
70
m
n
，
当
1
m 时，
70
n
，
1
69
70
70
C
C
70
，
当
2
m
时，
2
1
C
70
2
n
n n
，无正整数解，
当
3
m
时，
3
(
1)(
2)
C
6
n
n n
n
，当
8
n 时
3
8
C
56
70
，当
9
n
时，
3
9
C
84
70
，而
3
Cn 递增，从而无解；
当
4
m
时，
4
1
2
3
C
24
n
n n
n
n
，当
8
n 时
4
8
C
70
，
由于
4
8
C 是第9 行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，
所以当5
2
n
m
时，C
70,70
m
n
共出现3 次，C 正确；
类似于前
1
209
2
19
4
6
210
210
21
21
10
10
C
C
210,C
C
210,C
C
210
，
以
4
6
10
10
C ,C 为顶点的下方三角形区域中的数都大于210 ,D 正确.
故选：BCD
4.（多选）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同
杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n 是行数，r 是列数，r
n
）下面关于莱
布尼茨三角形的性质描述正确的是（
）
A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致
B．第10 行从左边数第三个数为1
360
C．
1
0
0
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n
n
C
n
C
nC
D．
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
r
r
r
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
【答案】BCD
【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1 开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，
从第3 行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A 不正确；
对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9 行的第二个数为1
1
1
8
9
72
，第10 行的第
二个数为1
1
1
9
10
90
，
于是得第10 行的第三个数为1
1
1
72
90
360
，B 正确；
对于C，
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
C
n n
，
0
0
1
1
1
1
1
1
(
1)
(
1) 1
1
(
1)
n
n
n
C
nC
n
n
n n
，C 正确；
对于D，
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
! (
1
)!
(
1)! (
)!
[
]
2
(
1)!
(
1)!
r
r
n
n
n
n
r
n
r
r
n
r
C
C
C
C
n
n
n
1
! (
)! [(
1
)
(
1)]
2
(
1)!
r
n
r
n
r
r
n
n
1
1
! (
)!
1
! (
)!
1
(
1)!
1
!
r
n
n
r
n
r
r
n
r
n
n
n
C
C
，D 正确.
故选：BCD
5.在杨辉三角形中，从第2 行开始，除1 以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵
开头几行如图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几
行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r 为正整数，且
3
n
r
，求证：任何四个相邻的组合数
1
2
3
r
r
r
r
n
n
n
n
C
C
C
C
，
，
，
不能构成等差
数列.
【答案】（1）存在，是第62 行；（2）证明见解析.
【详解】（1）假设
1
2
:
:
3: 4 :5
k
k
k
n
n
n
C
C
C
，
则
1
1
2
3
4
4
5
k
n
k
n
k
n
k
n
C
C
C
C
，所以
4
!
3
!
! (
)!
(
1)! (
1)!
5
!
4
!
(
1)! (
1)!
(
2)! (
2)!
n
n
k
n
k
k
n
k
n
n
k
n
k
k
n
k
，
所以
4(
1)
3(
)
5(
2)
4(
1)
k
n
k
k
n
k
，解得
26
62
k
n
，
故在杨辉三角形中的第62 行的第27,28,29个数之比为3: 4:5 .
（2）假设
1
2
,
,
r
r
r
n
n
n
C
C
C
，
3
r
n
C 够成等差数列，
则
1
2
2
1
3
2
2
r
r
r
n
n
n
r
r
r
n
n
n
C
C
C
C
C
C
，
则
2
!
!
!
(
1)! (
1)!
! (
)!
(
2)! (
2)!
2
!
!
!
(
2)! (
2)!
(
1)! (
1)!
(
3)! (
3)!
n
n
n
r
n
r
r
n
r
r
n
r
n
n
n
r
n
r
r
n
r
r
n
r
，
则
2
1
1
(
1)(
1)
(
)(
1)
(
2)(
1)
2
1
1
(
2)(
2)
(
1)(
2)
(
3)(
2)
r
n
r
n
r n
r
r
r
r
n
r
n
r
n
r
r
r
，
则
2(
2)(
)
(
1)(
2)
(
)(
1)
2(
3)(
1)
(
2)(
3)
(
1)(
2)
r
n
r
r
r
n
r n
r
r
n
r
r
r
n
r
n
r
，
则
2
2
(4
5)
4 (
2)
2
0
(4
9)
4(
1)(
3)
2
0
n
r
n
r r
n
r
n
r
r
，
两式相减得4
8
12
n
r
，即
2
3
n
r
，
所以
2
3
r
r
C
，
1
2
3
r
r
C
，
2
2
3
r
r
C
，
3
2
3
r
r
C
成等差数列，
由组合数的性质可得
3
2
3
2
3
r
r
r
r
C
C
，
1
2
2
3
2
3
r
r
r
r
C
C
，
根据等差数列的性质得
3
1
2
2
3
2
3
2
3
2
3
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
，
所以
1
2
3
2
3
r
r
r
r
C
C
，所以(2
3)!
(2
3)!
! (
3)!
(
1)! (
2)!
r
r
r
r
r
r
，
所以
1
1
3
1
r
r
，所以
3
1
r
r
，显然不成立，
所以假设不成立，即任何四个相邻的组合数
1
2
3
r
r
r
r
n
n
n
n
C
C
C
C
，
，
，
不能构成等差数列.
6.（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详
解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是
其“肩上”的两个数之和，+
例如第4 行的6为第3行中两个3 的和．则下列命题中正确的是(
)
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7 个数是84
B．在“杨辉三角”中，当
12
n
时，从第1行起，每一行的第2 列的数字之和为78
C．在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n 行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为
ia ，则
1
1
1
1
2
3
n
i
n
i
i
a
【答案】ABC
【详解】对于A，在杨辉三角中，第9 行第7 个数是
6
9
C
84
，故A 正确；
对于B，当
12
n
时，从第1行起，每一行的第2 列的数字之和为
12
1 12
1 2
12
78
2
，故B 正确；
对于C，在“杨辉三角”中，第n 行所有数字的平方和恰好是第2n 行的中间一项的数字，即
2
2
2
0
1
2
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
，
证明如下：
2
(1
)
(1
) (1
)
n
n
n
x
x
x
0
1
2
2
1
1
2
2
0
C
C
C
C
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
，
则由
rx 项和
n r
x 项相乘即可得到
n
x 这一项的系数为：
2
2
2
0
1
2
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
，
而
2
Cn
n 是二项式
2
(1
) n
x
的展开式中第
1
n 项的二项式系数(即
n
x 的系数)，
故
2
2
2
0
1
2
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
，故C 正确；
对于D，第n 行的第i 个数为
1
Ci
i
n
a
，
∴
1
1
1
2
n
i
i
i
a
0
1
2
1
2
3
1
2
2
2
2n
n
a
a
a
a
，
即
1
1
1
2
n
i
i
i
a
0
0
1
1
2
2
C 2
C 2
C 2
C 2
(1 2)
3
n
n
n
n
n
n
n
n
，故D 错误．
故选：ABC．
7.在
2
0
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
D
D x
D x
D
x
D x
L
的展开式中（其中
0
2n
D ，
1
2n
D ，…，
2
2
n
n
D
叫做项式
系数），当
1
n ，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在
5
2
1
1
ax
x
x
的展开式中，
8x 的系数为75，则实数a 的值为
；
（2）
0
0
1
1
2
2
3
3
18
18
36
18
36
18
36
18
36
18
36
18
D C
D C
D C
D C
D C
L
（可用组合数作答）.
【答案】
2
12
18
C
【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4 行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；
第5 行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；
所以
2
5
(1
)(
1)
ax x
x
的展开式中，
8x 项的系数为15 30
75
a
，解得
2
a
；
（2）由题意可知，
2 18
0
1
2
2
35
35
36
36
36
36
36
36
36
(1
)
x
x
D
D x
D x
D x
D x
，根据二项式定理可得
18
0
18
1
17
2
16
17
18
18
18
18
18
18
(
1)
x
C x
C x
C x
C x
C
，
所以，
0
0
1
1
2
2
3
3
18
18
36
18
36
18
36
18
36
18
36
18
D C
D C
D C
D C
D C
可视为二项式
18
2 18
3
18
(
1) (1
)
(
1)
x
x
x
x
展开式中
18
x 的系数，
而二项式
3
18
(
1)
x
的展开式通项为
3 18
18 (
)
( 1)
r
r
r
C
x
，令3 (18
)
18
r
，解得
12
r
，所以，
0
0
1
1
2
2
3
3
18
18
12
36
18
36
18
36
18
36
18
36
18
18
D C
D C
D C
D C
D C
C
．
故答案为：2；
12
18
C
．
8.如图，我们在第一行填写整数0 到
1
n n
，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉
三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是
.
0
1
2
3
1
1
3
5
2
1
4
8
n
n
n
L
L
L
L
【答案】
1
2n
n
【详解】将数阵倒置，计第m 行第
1
1
k
k
m
n
个数为
k
m
T ，则倒置后的数阵为：
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
3
3
1
2
3
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
L L L L
L
则有
1
1
1
k
k
k
m
m
m
T
T
T
，且有
1
1
k
nT
k
.
1
1
2
0
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
T
T
T
C T
C T
Q
，
1
1
2
1
2
2
3
0
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
3
3
2
3
2
3
2
3
T
T
T
T
T
T
T
C T
C T
C T
，
1
1
2
3
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
3
3
3
4
4
4
4
4
4
3
4
3
4
3
4
3
4
2
2
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
C T
C T
C T
C T
.
依此类推
1
0
1
1
2
1
1
1
1
1
0
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
k
T
C T
C T
C T
C
k
L
，
1
1
1 !
!
!
!
!
1 !
!
1 !
!
k
k
n
n
n
n
n
kC
k
n
nC
k
n
k
k
n
k
k
n
k
Q
，
因此，
1
1
1
1
1
1
0
1
1 1
2
n
n
n
k
k
n
n
n
k
k
T
C
k
n
C
n
n
.
故答案为
1
2n
n
.
题型三：二项展开式中的系数最大项问题
1.已知n 为正整数，在二项式1
2
2
n
x
的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则n 的值为
，
展开式中第
项的系数最大.
【答案】
12
11
【详解】（1）根据题意得，
0
1
2
79
n
n
n
C
C
C
，
即
1
1
79
2
n n
n
，
整理得
2
156
0
n
n
，
解得
12
n
或
13
n
（舍去），
∴
12
n
.
（2）二项式
12
12
12
1
1
2
1
4
2
2
x
x
展开式的通项为
12
1
12
1
4
2
r
r
rT
C
x
12
12
1
4
2
r
r
r
C
x
.
设二项式的展开式中第
1
r 的系数最大，
由题意得
1
1
12
12
1
1
12
12
4
4
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
，
解得9.4
10.4
r
，
又r
N
，
∴
10
r
，
∴展开式中第11 项的系数最大.
2.已知二项式
2
3
n
x
x
．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若
3,
2020
x
n
，求二项式的值被7 除的余数．
【答案】（1）
16
78732x ；（2）2.
【详解】（1）二项式
2
(
3
) n
x
x
的二项式系数之和为512，
2
512
n
，
9
n
．
由
1
9
9
9
1
1
9
1
3
3
,
1,2,
,9
3
3
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
r
C
C
.
.
，解得：
7
r
，
展开式中系数最大的项为第8 项，为
6
7
7
7
7
8
9
9
2
2
16
1
(3
)
78732
3
T
C x
x
C
x
x
．
（2）若
3
x
，
2020
n
，
2
2020
2020
(
3
)
30
(28
2)
n
x
x
2020
1
2019
2019
2019
2020
202
2020
2020
28
28
2
28 2
2
28
2
C
C
K
问题转化为
2020
2
被7 除的余数，
2020
673
673
0
673
1
672
2
671
672
673
673
673
673
6723
673
2
2 8
2 (7 1)
2 [
7
7
7
7
1]
C
C
C
C
C
2 7
2
k
，即余数为2．
3.（多选）在
9
1
2
x
x
的展开式中（
）
A．常数项为21
2
B．
3x 项的系数为
9
2
C．系数最大项为第3 项
D．有理项共有5 项
【答案】BCD
【详解】
9
1
2
x
x
的展开式的通项公式
9 3
9
2
1
9
9
1
1
C
C
,
0,1,2,
,9
2
2
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
r
x
，
对于A：令9
3
0
2
r
，解得
3
r
，可得
3
3
4
9
1
21
C
2
2
T
，
即常数项为
21
2
，故A 错误；
对于B：令9
3
3
2
r
，解得
1
r ，可得
1
3
3
2
9
1
9
C
2
2
T
x
x
，
即
3x 项的系数为
9
2
，故B 正确；
对于C：由通项公式可得：第
1
r 项的系数为
9
1
C
2
r
r
ra
，
当r 为偶数时，
0
ra
；当r 为奇数时，
0
ra
；
取r 为偶数，令
2
2
r
r
r
r
a
a
a
a
，则
2
2
1
9!
1
9!
2
! 9
!
2
2 ! 7
!
1
9!
1
9!
2
! 9
!
2
2 ! 11
!
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，
整理得
2
2
3
29
64
0
3
17
110
0
r
r
r
r
，解得
2
r
，
所以系数最大项为第3 项，故C 正确；
对于D：令9
3
2
r
Z ，则
1,3,5,7,9
r
，
所以有理项共有5 项，故D 正确；
故选：BCD.
4.若
2
0
n
ax
a
的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6 项的系数最大，则a 的取值范围为（
）
A．
,0
2,3
B．
1 1
,0
,
3 2
C．
2,3
D．1 1
,
3 2
【答案】C
【详解】2
512
n
，
9
n
，
5
5
4
6
9
C 2
T
ax
，
4
4
5
5
9
C 2
T
ax
，
6
6
3
7
9
C 2
T
ax
，
第6 项的系数最大，
5
4
5
4
5
4
9
9
5
4
5
6
3
6
9
9
C 2
C 2
,
C 2
C 2
,
a
a
a
a
，则2
3
a
.
故选：C .
5.已知
6
(1 2 )x
展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b
a
.
【答案】12
【详解】由题意可知
6
(1 2 )x
展开式的二项式系数为
6 (
0,1,
,6)
r
C
r
，
当
3
r 时，取得最大值
3
6
20
a
C
6
(1 2 )x
展开式的系数为
6 2 (
0,1,
,6)
r
r
C
r
，
当满足
1
1
6
6
1
1
6
6
2
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
时，系数最大.
即
1
1
6!
6!
2
2
! (6
)!
(
1)! [6
(
1)]!
6!
6!
2
2
! (6
)!
(
1)! [6
(
1)]!
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1
2
6
1
2
1
7
r
r
r
r
，即
1
2(6
)
2(7
)
r
r
r
r
解得11
14
3
3
r
又
0,1,
,6
r
4
r
时，系数的最大值为
4
4
6 2
240
b
C
则
240
12
20
b
a
故答案为：12
6.已知二项式
2
0
1
2
1
2
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
，（
3
n
且
N
n
）．若
2
na
、
1
na 、
na 成等差数列．
（1）求1
2
n
x
展开式的中间项；
（2）求
ia
0,1,2,
,
i
n
的最大值．
【答案】（1）
4
35
8 x ；（2）7．
【详解】（1）
1
1
1
1
2
2
n r
n r
r
r
r
r
r
r
n
n
T
C
x
C
x
，
0,1,2,
,
r
n
则
1
1
n
n
n
n
n
a
C
，
1
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
C
，
，由题意知
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
8
n
n
n
n
n
n n
a
C
则
1
2
1
2
8
n n
n
，即
2
9
8
0
n
n
，因为
3
n
，所以
8
n .
8
1
2
x
展开式的中间项是
4
4
4
4
4
5
8
1
35
1
2
8
T
C
x
x
（2）设
ra 最大，则有
8
8
1
1
8
8
8
8
1
1
8
8
1
1
2
2
1
1
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
，
即
1
2 8
2 9
r
r
r
r
，解得5
6
r
,又
N
r
，∴
= 5
r
或6
所以
0,1,2,
,
ia
i
n
的最大值为
3
5
5
5
6
8
1
1
7
2
a
a
C
.
7.已知
1
(2
) n
x
x
展开式中第3 项和第7 项的二项式系数相等
（1）求展开式中含
2x 的项的系数；
（2）系数最大的项是第几项？
【答案】(1)1120；(2)第3 项或第4 项.
【详解】（1）依题意，
2
6
n
n
C
C
，由组合数的性质得
8
n ，
于是得
8
1
(2
)
x
x
展开式的通项
8
8
2
1
3
8
8
8
1
(2 )
(
)
2
,
,
8
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C x
r
N r
x
，
由
3
8
2
2 r
得
4
r
，则
8
8
4
4
16 70
1
2
120
C
，
所以展开式中含
2x 的项的系数为1120；
（2）令Tr＋1 项的系数最大，由(1)得
8
9
1
8
8
8
7
1
8
8
2
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
，即
8!
8!
2
(8
)! !
(9
)!(
1)!
8!
8!
2 (8
)! !
(7
)!(
1)!
r
r
r
r
r
r
r
r
，
整理得
1
2
9
2
1
8
1
r
r
r
r
，解得2
3
r
，而
,
8
r
N r
，从而得
2
r
或
3
r ，
所以展开式中系数最大项是第3 项或第4 项.
8.（1）已知
3
4
2
2
2
14
0
1
2
14
1
1
2
x
x
x
a
a x
a x
a x
，求
1
3
5
13
a
a
a
a
的值.
（2）已知
3
2
2
3
n
f x
x
x
的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大
的项.
【答案】（1）-13；（2）
26
3
405x
【详解】解：（1）
2 3
2
4
2
14
0
1
2
14
(1
) (1
2
)
x
x
x
a
a x
a x
a x
，
令
1
x 可得
0
1
2
14
1
a
a
a
a
，
可令= 1
x 可得
0
1
2
14
27
a
a
a
a
，
两式相减可得，
1
3
5
13
1
(1
27)
13
2
a
a
a
a
；
（2）令
1
x 可得各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，
由题意可得4
2
992
n
n
，即(2
32)(2
31)
0
n
n
，
解得2
32
n
2
31
n
（舍去），解得
5
n
．
设第
1
r 项的系数最大，则有
1
1
5
5
1
1
5
5
·3
·3
·3
·3
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
C
C
.
.
，解得7
9
2
2
r
- -
．
再由r
N
，可得
4
r
．
故系数最大的项为
2
26
4
2
4
3
3
5
5
(3
)
405
T
C
x
x
x
．
题型四：二项式定理的综合应用
1.从1,2,3,
,100
这100 个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为M ,随机抽取四
个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为N ,则
M
N
的后两位数字为（
）
A．89
B．51
C．49
D．13
【答案】C
【详解】解:由题知,当抽取三个不同的数,成等差数列时,记公差为d ,
当
1
d 时,数列可为:
1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 ,
, 98,99,100
共计98 个,
当
2
d
时,数列可为:
1,3,5 , 2,4,6 , 3,5,7 , 4,6,8 ,
, 96,98,100
共计96 个,
当
3
d 时,数列可为:
1,4,7 , 2,5,8 , 3,6,9 ,
, 94,97,100
共计94 个,
L,
当
48
d
时,数列可为:
1,49,97 , 2,50,98 , 3,51,99 , 4,52,100 共计4 个,
当
49
d
时,数列可为:
1,50,99 , 2,51,100 共计2 个,
故
98
96
94
4
2
M
49 98
2
2450
2
,
当抽取四个不同的数,成等差数列时,记公差为
1d ,
当
1
1
d 时,数列可为:
1,2,3,4 , 2,3,4,5 , 3,4,5,6 ,
, 97,98,99,100
共计97 个,
当
1
2
d 时,数列可为:
1,3,5,7 , 2,4,6,8 , 3,5,7,9 , 4,6,8,10 ,
, 94,96,98,100
共计94 个,
当
1
3
d
时,数列可为:
1,4,7,10 , 2,5,8,11 , 3,6,9,12 ,
, 91,94,97,100
共计91 个,
L,
当
1
32
d
时,数列可为:
1,33,65,97 , 2,34,66,98 , 3,35,67,99 , 4,36,68,100 共计4 个,
当
1
33
d
时,数列可为:
1,34,67,100 共计1 个,
故
97
94
91
4 1
N
33 1 97
1617
2
,
所以
2450
2450
1617
17
1600
M
N
0
2450
0
1
2449
1
2450
0
2450
2450
2450
2450
C
17
1600
C
17
1600
C
17
1600
,
所以
2450
1617
的后两位与
2450
17
的后两位一致,
1225
122
4
5
2 50
289
1
290
17
,
因为
1225
1225
1224
1223
2
2
1225
1225
12
0
0
1
2
1
5
C
290
C
290
C
290
1
290
1
1
1
1225
0
1225
1225
1
C
290
,
因为
0
12
1223
2
2
1225
1225
5
5
2
122
C
290
C
290
1
1
的后两位一定是00,
故
2450
17
的后两位数与
1225
1224
1225
1225
0
0
1
1
C
290
0
1
C
29
1
的后两位一致,
因为
1225
1224
1225
0
1
2
0
1
1 25
C
290
C
290
1
1
1 1225 290
355249
,
故
2450
17
的后两位数为49,即
M
N
的后两位数为49.
故选:C
2.对于n
N ，将n 表示为
1
1
0
1
2
2
2
2
k
k
k
n
a
a
a
L
1
0
1
2
2
k
k
a
a
，当
0
i
时，
1
ia .当1
i
k
时，
ia 为0 或1.记
I n 为上述表示中
ia 为0 的个数，（例如
0
1 1 2
，
2
1
0
4
1 2
0
2
0
2
，故
1
0
I
，
4
2
I
）.若
1
2
1
i
n
i
n
a
a
a
a
L
，则
127
1
2
I n
n
.
【答案】1093
【详解】
6
5
4
3
2
1
0
127
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
，
设64
126
n
，且n 为整数，
则
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
1 2
2
2
2
2
2
2
n
a
a
a
a
a
a
，
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
a a a a a a 中6 个数都为0 或1，
其中没有一个为1 时，有
0
6
C 种情况，即有
0
6
C 个
6
I n
；
其中有一个为1 时，有
1
6
C 种情况，即有
1
6
C 个
5
I n
；
其中有2 个为1 时，有
2
6
C 种情况，即有
2
6
C 个
4
I n
；
…
故
127
6
0
6
1
5
2
4
3
3
4
2
5
1
6
6
6
6
6
6
6
64
2
C
2
C
2
C
2
C
2
C
2
C
2
1
2 1
3
I n
n
，同理可得：
63
5
32
2
3
I n
n
，
…
3
1
2
2
3
I n
n
，
1
2
1
I
,
则
7
127
2
6
1
3
1
2
1 3
3
3
1093
3 1
I n
n
.
故答案为:1093．
3.给定数列
,
n
n
a
b
.对于任意的
*
,
m nN ，若
m
n
a
b
恒成立,则称数列
,
n
n
a
b
是互斥数列.
(1)若数列
1
2
,
2
1
n
n
n
a
b
n
，判断
,
n
n
a
b
是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列
na
与
nb
都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若
na
与
nb
不是互斥数列，求证:
存在无穷多组正整教对
,k l ，使
l
ka
b
成立；
(3)若
3
2,
n
n
n
a
n
b
c d
( ,c d 是正整数)，试确定,c d 满足的条件，使
,
n
n
a
b
是互斥数列.
【答案】(1)是互斥数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：
na
中只有首项为1，其余均为偶数，
nb
均为大于1 的奇数，
故对任意的
*
,
m nN ，若
m
n
a
b
恒成立，
所以
,
n
n
a
b
是互斥数列；
（2）证明：若
na
与
nb
不是互斥数列，则存在
*
,
m nN ，使得
m
n
a
b
，
设
,
n
n
a
b
的公差分别为
1
2
,
d d ，
因为数列
na
与
nb
都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，
所以
1
2
,
d d 都为正整数，
取
*
2
1,
,
k
nd l
nd n
N ，
所以,
1
1
2
m k
m
m
a
a
kd
a
nd d
，
2
1
2
n l
n
n
b
b
ld
b
nd d
，
所以
m k
n l
a
b
，
因为
*
nN ，
所以，存在无穷多组正整数对
,k l ，使
l
ka
b
成立，证毕.
（3）解：由于
3
2,
n
n
n
a
n
b
c d
，
因为
na 除以3 的余数为2 ，
,
n
n
a
b
是互斥数列，
所以
nb 除以3的余数为0 或1，
（i）若
1
d ，则
3
2
c
n
对
N
n
成立即可，
（ii）若
3
c
k
或
3
d
k
，则
3
n
nb
k d
或
3
n
nb
c
k
都为3 的倍数，此时
,
n
n
a
b
是互斥数列，满足题意，
（iii）若
3
1,
3
1
c
m
d
p
，则
3
1 3
1
n
nb
m
p
，
下面我们证明
nb 除以3 的余数为1，
3
3
1
3
1
n
n
nb
m
p
p
由二项式定理，展开得
1
1
1
0
3
3
1
3
C
3
C
3
C
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b
m
p
p
p
p
，
所以,
nb 除以3 的余数为1
所以
,
n
n
a
b
是互斥数列，满足题意，
综上，,c d 满足的条件是
1
d ，
3
2
c
n
对
N
n
成立；
或
3
c
k
或
3
d
k
，或
3
1,
3
1
c
m
d
p
，其中
*
N ,
,
N
k
m p
.
4.伟大的数学家欧拉28 岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当
*
nN 时，
sin x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
9
x
x
x
x
n
，又根据泰勒展开式可以得到
3
5
sin
3!
5!
x
x
x
x
1
2
1
1
2
1 !
n
n
x
n
，根据以上两式可求得
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
n
（
）
A．
2
6
B．
2
3
C．
2
8
D．
2
4
【答案】A
【详解】由
1
2
1
3
5
1
sin
3!
5!
2
1 !
n
n
x
x
x
x
x
n
，两边同时除以x，
得
1
2
2
2
4
1
sin
1
3!
5!
2
1 !
n
n
x
x
x
x
x
n
，
又
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
1
1
1
4
9
x
x
x
x
x
x
n
展开式中
2x 的系数为
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
n
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3!
n
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
6
n
．
故选：A．
5.已知函数
2
1
f x
x
，记
2
2 2
1
1
4
3
f
x
f
f x
x
x
为函数
f
x 的2 次迭代函数，
3
4 2
1
3
8
7
f
x
f
f
f x
x
x
为函数
f
x 的3 次迭代函数，…，依次类推，
n
n
f
x
f
f
f
f x
个
为函数
f
x 的n 次迭代函数，则
n
f
x
；
100 32
f
除以17 的余数
是
．
【答案】
2
1
1
n x
0
【详解】由题意，
1
2
0
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 2
n
n
n
n
n
n
n
f
x
x
x
x
，
所以
25
100
100
25
32
33 2
1
33 16
1
33
17
1
1
f
25
25
24
24
23
23
22
22
1
25
25
25
25
25
33 C 17
C 17
C 17
C 17
C 17
1
1
25
25
24
24
23
23
22
22
1
25
25
25
25
25
33 C 17
C 17
C 17
C 17
C 17
34
25
24
24
23
23
22
22
21
1
25
25
25
25
25
17 33 C 17
C 17
C 17
C 17
C
2
又
25
24
24
23
23
22
22
21
1
25
25
25
25
25
33 C 17
C 17
C 17
C 17
C
2
为正整数，
所以
100 32
f
除以17 的余数为0，
故答案为：
2
1
1;0
n x
6.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S 满足
1
2
3
1
1
1
1
1
n
n
S
S
S
S
n
，
*
N
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
2
2
n
a
nb
，记
nT 为数列
nb
的前n 项和，
x
表示x 除以3 的余数，求
2
1
n
T
．
【答案】(1)
2
na
n
(2)2
【详解】（1）因为
1
2
3
1
1
1
1
1
n
n
S
S
S
S
n
，
所以
1
2
3
1
1
1
1
1
1 ,(
2)
n
n
n
S
S
S
S
n
，
两式作差得：
1
1
( +1
n
S
n n
），即
(
1),
2
n
S
n n
n
，
又
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,适合上式，故
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，
又
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（2）由题意得
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