1
3.排列、组合与二项式定理
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 河北衡水模拟)(2x-1
x
)6的展开式中第5 项的系数为( )
A.60
B.64
C.72
D.84
2.(2025 山东菏泽二模)某班班会从甲、乙等6 名学生中选3 名学生发言,要求甲、乙2 名
同学至少有1 人参加,那么不同的选法有( )
A.32 种
B.20 种
C.16 种
D.10 种
3.(2025 河南洛阳模拟)已知(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,则a2=( )
A.1 080
B.80
C.-10
D.-80
4.(2025 湖北荆州模拟)函数f(x)=x4-C4
1x3+C4
2x2-C4
3x+1 的图象的对称轴方程为( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
5.(2025 山东聊城二模)若(1+ax2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为12,则其展开式中
所有项的系数的和为( )
A.16
B.32
C.48
D.64
6.(2025 山东枣庄模拟)由数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000
的偶数共有( )
A.120 个
B.480 个
C.288 个
D.240 个
7.(2025 重庆高三检测)在(
3√x -
1
2
3√x
)n的展开式中,只有第4 项的二项式系数最大,把展开
式中所有的项重新排成一列,则有理项互不相邻的概率为( )
A. 5
12
B. 1
35
2
C.2
7
D. 8
25
8.(2025 山东潍坊二模)现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名志愿者到三个社区做志愿服务工
作,每个社区至少安排1 人,每名志愿者只到一个社区,其中甲、乙被安排在同一个社区
的概率为( )
A. 3
25
B.1
5
C. 6
25
D. 3
10
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 浙江温州二模)已知(1-x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则下列选项正确的有(
)
A.a0=1
B.a1+a2+…+a2 025=0
C.a1+a2 024=0
D.a0+a2+a4+…+a2 024=22 024
10.(2025 江西景德镇模拟)现有3 名女生、4 名男生共7 名同学排成一纵队做游戏,下列
说法正确的有( )
A.若游戏纵队变为环形首尾相接,不同的排法有720 种
B.男女相间的不同排法有144 种
C.男生排在一起、女生也排在一起的概率为1
35
D.男生甲排在正中间的概率为1
7
11.(2025 广东肇庆模拟)已知(mx2+ 1
√x
)n(常数m>0)的展开式中第5 项与第7 项的二项式
系数相等,则下列选项正确的有( )
A.n=10
B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C.展开式中含x15的项的系数为90m8
D.若展开式中各项系数的和为1 024,则第6 项的系数最大
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2024 江苏淮安模拟)(2x2-x+2)4的展开式中含x3的项的系数是 .(用数字填写)
3
13.(2025 湖北“新八校”三模)如图,一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置,每次向数轴
的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度,记an为第n 次跳跃后对应数轴上的数字
(n=1,2,…,18),则满足a10
2 =36,a18=2 的跳跃方法有 种.
14.(2025 湖南郴州三模)如图,这是一个平面图形,现提供四种颜色给图中的区域1、区域
2、区域3、区域4、区域5、区域6 共六个区域涂色,每个区域只涂一种颜色,相邻的区
域不能涂相同的颜色,则共有 种不同的涂色方案.
4
答案：
1.A 解析 (2x-1
x
)6的展开式中第5 项为C6
4(2x)2(-1
x
)4=60x-2,所以所求的系数为60.故选A.
2.C 解析 从6 名同学中任选3 名同学共有C6
3=20 种方法,这3 名同学中没有甲、乙同
学的有C4
3=4 种方法,所以甲、乙至少有1 人参加的不同选法有20-4=16 种.故选C.
3.B 解析 设t=x-1,则x=t+1,所以(x+1)5=(t+2)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5.(t+2)5的展开式的
通项Tr+1=C5
rt5-r×2r=C5
r2rt5-r,r=0,1,…,5,取r=3,得a2=C5
3×23=80.故选B.
4.A 解析 由题意f(x)=C4
0x4·(-1)0+C4
1x3·(-1)1+C4
2x2·(-1)2+C4
3x·(-1)3+C4
4x0·(-1)4=(x-1)4,函数
f(x)的图象可由偶函数y=x4的图象向右平移1 个单位长度后得到,所以函数f(x)的图象的
对称轴为直线x=1.故选A.
5.C 解析 (1+ax2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为C4
3+aC4
1=12,所以a=2,所以令
x=1,(1+2)×(1+1)4=(1+2)×16=48,所以展开式中所有项的系数的和为48.故选C.
6.D 解析 根据题意可分为两类:个位数字为0 和个位数字为2 或4,当个位数字为0 时,
小于50 000 的偶数有C4
1 A4
3=4×24=96 个;当个位数字为2 或4 时,小于50 000 的偶数有
C2
1C3
1 A4
3=144 个,所以小于50 000 的偶数共有96+144=240 个.故选D.
7.C 解析 因为(
3√x -
1
2
3√x
)n的展开式中,只有第4 项的二项式系数最大,所以展开式共有
7 项,n=6,所以展开式的通项为Tr+1=C6
r x
6-r
3 (- 1
2
3√x
)r=C6
r(- 1
2 )
r
x
6-2r
3 (r=0,1,2,3,4,5,6).因为x
的指数幂为整数即r=0,3,6 时为有理项,所以展开式的第1,4,7 项为有理项,所以把展开式
中所有的项重新排成一列,则有理项互不相邻的概率为P= A4
4 A5
3
A7
7
= 2
7 .故选C.
8.C 解析 将甲、乙、丙、丁、戊5 名志愿者安排到三个社区做志愿服务工作,每个社
区的人数分别为3,1,1 或2,2,1,所以不同的分法种数为(C5
3+ C5
2C3
2
A2
2 ) A3
3=(10+10×3
2
)×6=150 种.现在考虑把甲、乙安排在同一个社区,若甲、乙所安排的社区有3 人,则还需
从另外3 人中抽1 人,此时分法种数为C3
1 A3
3=18 种;若甲、乙所安排的社区只有他们两人,
此时只需将剩余3 人分为两组,则分法种数为C3
2 A3
3=18 种.综上所述,甲、乙被安排在同
一个社区的概率为18+18
150
= 6
25 .故选C.
9.ACD 解析 对于A,令x=0,则a0=1,故A 正确;对于B,令x=1,则a0+a1+a2+…+a2 025=0,
①
5
所以a1+a2+…+a2 025=-1,故B 错误;对于C,a1x=C2 025
1
·(-x)1=-2 025x,所以a1=-2 025,a2 024x2
024=C2 025
2 024·(-x)2 024=2 025x2 024,所以a2 024=2 025,所以a1+a2 024=0,故C 正确;对于D,令x=-1,
则22 025=a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025,②
①+②可得22 024=a0+a2+a4+…+a2 024,故D 正确.故选ACD.
10.ABD 解析 对于A,游戏纵队变为环形首尾相接,相当于固定一人,剩下6 人全排列,
共有A6
6=720 种排法,故A 正确;对于B,男女相间时,可先排3 名女生,再将4 名男生插入到
女生排好形成的4 个空中(含两端),共有A3
3 A4
4=144 种排法,故B 正确;对于C,7 名同学排
成一纵队共有A7
7=5 040 种排法,男生排在一起、女生也排在一起的排法有A3
3 A4
4 A2
2=288
种,故男生排在一起、女生也排在一起的概率为288
5 040 = 2
35
,故C 错误;对于D,男生甲排
在正中间,即男生甲先排在中间,其余6 人全排列,排法有A6
6=720 种,故男生甲排在正中间
的概率为720
5 040 = 1
7
,故D 正确.故选ABD.
11.AD 解析 (mx2+ 1
√x
)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cn
r(mx2)n-r·( 1
√x
)r=mn-r
Cn
r x
4 n-5r
2
,对于
A,根据题意可得Cn
4=Cn
6,则n=10,故A 正确;对于B,(mx2+ 1
√x
)10的展开式中奇数项的二项
式系数之和为210-1=512,故B 错误;对于C,由4×10-5r
2
=15,解得r=2,则展开式中含x15的
项的系数为m10-2C10
2 =45m8,故C 错误;对于D,令x=1,则展开式中各项系数之和为
(m+1)10=1 024=210,解得m=1,可得展开式的通项公式为Tr+1=C10
r x
40-5r
2 ,即每项系数均为
该项的二项式系数,易知展开式中第6 项的系数最大,故D 正确.故选AD.
12.-104 解析 (2x2-x+2)4的展开式中,含x3的项为C4
1×(2x2)1×C3
1(-x)1×22+C4
0×(2x2)0×C4
3×
(-x)3×2=-96x3-8x3=-104x3.
13.1 305 解析 由a10
2 =36,得到a10=-6 或a10=6.若a10=-6,a18=2,即前10 次跳跃,8 次向左,2
次向右,后面8 次跳跃全部向右,有C10
2 =45 种;若a10=6,a18=2,即前10 次跳跃,8 次向右,2 次
向左,后面8 次跳跃6 次向左,2 次向右,有C10
2 C8
2=45×28=1 260 种.所以共有45+1 260=1
305 种跳跃方法.
14.96 解析 若仅用三种颜色涂色,则区域1,6 同色,区域2,4 同色,区域3,5 同色,共有A4
3
=24 种涂法;若用四种颜色涂色,则区域1,6,区域2,4,区域3,5 中有一组不同色,则有3 种情
6
况,先从四种颜色中取两种涂同色区,有A4
2=12 种涂法,剩余两种涂在不同区域,有2 种涂
法,共有3×12×2=72 种涂法.故总的涂色方案有24+72=96 种.
