北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§10.2 二项式定理
基础篇
【基础集训】
考点 二项式定理
1.(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
答案 D
2.(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为 ( )
A.21 B.35 C.45 D.28
答案 B
3.将多项式ax6+ax5+…+ax+a 分解因式得(x-2)(x+2)5,则a= ( )
6 5 1 0 5
A.8 B.10 C.12 D.1
答案 A
4.在( √x- 1 ) 18 的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有( )
√3 x
A.13项 B.14项 C.15项 D.16项
答案 C
5.已知( 2x2- 1) n 的二项式系数之和等于128,那么其展开式中含1项的系数是( )
x x
A.-84 B.-14 C.14 D.84
答案 A
6.若(1-x)5=a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5,则|a|-|a|+|a|-|a|+|a|-|a|= ( )
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
A.0 B.1 C.32 D.-1
答案 A
7.( 5 ) m 的展开式中各项系数的和为256,则该展开式的二项式系数的最大值为 .
-x
√x
答案 6
8.在( 1 ) 4 的展开式中,常数项为 .
x- -1
x
答案 -5
[教师专用题组]
【基础集训】
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考点 二项式定理
1.(2020河南部分重点高中联考,9)已知(3x-1)n展开式的第5项的二项式系数最大,且n为偶数,则(3x-1)n展开式
中x2的系数为 ( )
A.-252 B.252 C.-28 D.28
答案 B 由题意可得n=8,则(3x-1)8的展开式的通项是T = (3x)8-r·(-1)r,令8-r=2,解得r=6,则展开式中x2的
r+1 Cr
8
系数为 C6 32=252.
8
2.(2019内蒙古包头二模,10)若( ax2- 1) 9 的展开式中的各项系数的和为1,则该展开式中的常数项为 (
x
)
A.672 B.-672 C.5 376 D.-5 376
答案 A ∵( ax2- 1) 9 的展开式中的各项系数的和为(a-1)9=1,∴a=2.故展开式的通项公式为T r+1 = Cr
x 9
·(-1)r·29-r·x18-3r,令18-3r=0,求得r=6,可得该展开式中的常数项为 ·23=672,故选A.
C6
9
3.(2018辽宁沈阳育才学校五模,6)已知(
x3+
2) n 的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为(
x
)
A.5 B.40 C.20 D.10
答案 B 由( x3+ 2) n 的展开式的各项系数和为243,
x
得3n=243,即n=5,∴( x3+ 2) n =( x3+ 2) 5 ,
x x
T
r+1
=
Cr
·(x3)5-r·(2) r =2r·
Cr
·x15-4r,
5 x 5
令15-4r=7,得r=2,
∴展开式中x7的系数为22×
C2
=40.故选B.
5
思路分析 由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为7求得r,进而求得含x7的项的系数.
解后反思 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,体现了转化的数学思想.
4.(2016宁夏银川第一次联考,9)已知( 1) n 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,则展开式中系
x-
x
数最大的项为第 项.
答案 5
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解析 ( x- 1) n 展开式的通项T r+1 =(-1)r Cr xn-2r,
x n
第3项与第6项的二项式系数分别为 C2, C5,
n n
∴ = ,∴n=7,
C2 C5
n n
∴系数最大的项为第5项,T=(-1)4 x-1.
5 C4
7
思路分析 先由二项式系数性质求n,再利用二项展开式的通项公式求第r+1项的系数,可得结论.
易错警示 二项式(b+a)n的展开式中的第r+1项为 Cr arbn-r,而非 Cr+1 ar+1bn-r-1,其中r∈N.
n n
综合篇
【综合集训】
考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数
1.(2019豫南九校第三次模拟改编,7)( 2) 8 的展开式中的常数项为 ( )
x+
x
A.560 B.1 120 C.2 240 D.4 480
答案 B
2.(2020福建毕业班质量检查测试)(2x-1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是 ( )
A.200 B.120 C.80 D.40
答案 B
3.(2019江西红色七校第二次联考,5)(1+x2)·( 1) 6 的展开式中,常数项为 ( )
1-
x
A.-15 B.16 C.15 D.-16
答案 B
4.(2019宁夏银川九中月考)已知( a ) 5 的展开式中含 3的项的系数为30,则a= ( )
√x-
x2
√x
A.√3 B.-√3 C.6 D.-6
答案 D
5.(2019江西上饶二模,7)(a +x3)(
x-
2) 6 的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3的系数是 (
x x
)
A.-184 B.-84 C.-40 D.320
答案 A
6.(2021届百校联盟普通高中教育教学质量监测)(3x-2)2(x-2)6的展开式中,x4的系数为 ( )
A.0 B.4 320 C.480 D.3 840
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答案 B
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和
7.(2021届广东深圳外国语学校第一次月考)(3 ) 8 的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
-4 y+2
x
答案 256
8.(2020山东济宁一中一轮复习质量检测,14)已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为27,则实数a=
,展开式中含x2的项的系数是 .
答案 2;23
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数问题
1.(2020河南百校联盟9月联合检测,6)( 1 -2 )(1+x)5的展开式中x2的系数为 ( )
x2
A.-15 B.-5 C.10 D.15
答案 A (1+x)5展开式的通项公式为T = ×15-r·xr= xr,当r=2时,T= x2=10x2,当r=4时,T= x4=5x4,故
r+1 Cr Cr 3 C2 5 C4
5 5 5 5
( 1
-2
)(1+x)5的展开式中x2的系数为5+(-2)×10=-15.
x2
2.(2020重庆巴蜀中学高考适应月考一,13)二项式(2x+1)6的展开式中,第5项的系数为 .
答案 60
解析 因为二项式(2x+1)6展开式的通项为T = ·(2x)6-r·1r,
r+1 Cr
6
所以T
5
=
C4
·(2x)2=60x2,
6
所以(2x+1)6的展开式中第5项的系数为60.
3.(2017安徽合肥二模,15)在( 1 ) 4 的展开式中,常数项为 .
x- -1
x
答案 -5
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解析 ( x- 1 -1 ) 4 的展开式中的通项为T r+1 = Cr (-1)4-r·( x- 1) r (r=0,1,2,3,4).当r=0时,T 1 =1,当r≠0时,
x 4 x
( x- 1) r 的通项为T k+1 = Ck xr-k( - 1) k =(-1)k· Ck xr-2k(k=0,…,r),令r-2k=0,即r=2k.∴r=2,k=1;r=4,k=2.
x r x r
∴常数项为1-
C1
×
C2
+
C2
×1=-5.
2 4 4
考法二 求二项式系数的和与展开式中各项系数和
1.(2020吉林通化梅河口五中等校联考,8)若(2-3x)6=a+ax+ax2+…+ax6,则a+a+a+…+a 等于 ( )
0 1 2 6 1 2 3 6
A.-4 B.4 C.-64 D.-63
答案 D (2-3x)6=a+ax+ax2+…+ax6,令x=0,可得a=64,
0 1 2 6 0
再令x=1,可得a+a+a+a+…+a=1,∴a+a+a+…+a=-63,故选D.
0 1 2 3 6 1 2 3 6
2.(2020安徽江淮十校第一次联考,14)已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x2项的系
数是 .
答案 -30
解析 本题考查了二项式中指定项的系数,解题时要充分利用展开式的通项求解,考查运算求解能力,属于中
档题.
由题意可知,(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为(1+1)·(2×1+a)5=2(2+a)5=2,解得a=-1,
所以(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x-1)5=x(2x-1)5+(2x-1)5,
{6-k=2,
所以展开式的通项为xCk ·(2x)5-k·(-1)k+Cr ·(2x)5-r·(-1)r=Ck ·25-k·(-1)k·x6-k+Cr ·25-r·(-1)r·x5-r,令 得
5 5 5 5 5-r=2,
{k=4,
因此,展开式中含x2项的系数为C4 ·21·(-1)4+C3
·22·(-1)3=10-40=-30.
r=3, 5 5
第5页共5页
