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11.2 二项式定理
考点清单
学生用书P99 知识结构化 考点清单化
考点 二项式定理 Ｃ
ｍ
ｎ ＝Ｃ
ｎ
ｎ－
ｍ.
增减性与最大值 对于二项式系数 ｋ ｋ ｎ 当ｋ
１.二项式定理 (２) : Ｃｎ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬꎬ )ꎬ <
ｎ ｎ
( ａ ＋ ｂ ) ｎ ＝Ｃ ０ｎ ａｎ ＋Ｃ １ｎ ａｎ －１ｂ１ ＋＋Ｃ ｒ ｎ ａｎ － ｒｂｒ ＋＋Ｃ ｎ ｎ ｂｎ ( ｎ ∈ Ｎ ) . ＋１时 ꎬ 二项式系数是递增的 ꎻ 当ｋ > ＋１时 ꎬ 二项式系数是递减的.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理 等号右边的多项式叫 ２ ２
ꎬ ( ｎ )
做 ａ ｂ ｎ 的二项展开式 ｋ ｋ ｎ 叫做二项式系 当ｎ是偶数时 二项展开式的中间一项 第 项 的二项式
( ＋ ) ꎬＣｎ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬꎬ ) ꎬ ＋１
数 示 . ꎬ 二 即 项 通 展 项 开 为 式 展 中 开 的 式的 Ｃ ｋ ｎ 第 ａｎ － ｋ ｋ ｂ ＋ ｋ １ 叫 项 做 : Ｔ 二 ｋ ＋ 项 １＝ 展 Ｃ ｋ ｎ 开 ａｎ 式 － ｋｂ 的 ｋ. 通项 ꎬ 用Ｔ ｋ ＋１ 表 系数最大 ꎬ 即最大 ( 的二 ｎ 项式系数 ｎ 为 Ｃｎ ｎ ２ ) .当ｎ ２ 是奇数时 ꎬ 二项展
２. ａ ｂ ｎ 的展开式的特点 开式的中间两项 第 ＋１项和第 ＋３项 的二项式系数最大 即
( ＋ ) ꎬ
２ ２
(１) 项 各 数 项 为 的次 ｎ ＋ 数 １ . 都等于二项式的幂指数ｎ 即ａ与ｂ的指数之 最大的二项式系数为 Ｃｎ ｎ－ ２ １ 和 Ｃｎ ｎ＋ ２ １.
(２) ꎬ 二项式系数的和
和为ｎ. (３)
字母ａ按降幂排列 从第一项开始 次数由ｎ逐项减 直到 (
ａ
＋
ｂ
)
ｎ 的展开式的各个二项式系数的和等于
２
ｎ
ꎬ
即
Ｃ
０ｎ＋Ｃ １ｎ＋Ｃ ２ｎ
(３) ꎬ ꎬ １ ０ꎻ ｒ ｎ ｎ.
字母ｂ按升幂排列 从第一项开始 次数由 逐项增 直到ｎ. ＋＋Ｃｎ＋＋Ｃｎ＝２
ꎬ ꎬ ０ １ 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式
３
(
.
４
二
) 二
项
项
式
式
系
系
数
数
的
从
性质
Ｃ ０ｎꎬＣ １ｎ 一直到 Ｃ ｎ ｎ－１ ꎬＣ ｎ ｎ . 系数的和
ꎬ
即
Ｃ
ꎬ １ｎ＋Ｃ ３ｎ＋Ｃ ５ｎ＋＝Ｃ ０ｎ＋Ｃ ２ｎ＋Ｃ ４ｎ＋＝２ ｎ －１.
对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 即
(１) : “ ” ꎬ
年
高
考
年 模 拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ３０
题型方法
学生用书P100 题型经典 方法实用
一、求展开式中的特定项或特定项的系数 ｇ ｘ ａ ｂｘ ｎ 则 ａ ｂｘ ｎ 的展开式中各项的系数的和为
( )＝( ＋ ) ꎬ ( ＋ )
求二项展开式中的指定项 一般是利用通项公式进行 化
ꎬ ꎬ ｇ 奇数项的系数和为 １ ｇ ｇ 偶数项的系数和
简通项公式后 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为 (１)ꎬ [ (１)＋ (－１)]ꎬ
ꎬ ( ꎬ ２
零 求有理项时 指数为整数等 解出项数ｋ 代回通项公式
ꎻ ꎬ )ꎬ ＋１ꎬ 为 １ ｇ ｇ .
即可. [ (１)－ (－１)]
２
例1 (２０２２广东调研ꎬ５) ( ｘ １ ) ６ 的展开式中的常数项为 例2 (多选)(２０２２ 山东济宁一中开学考ꎬ９)在 æ ç ｘ １ ö ÷ ７ 的
(１) ３ ＋ ｘ è２ － ｘ ø
展开式中 下列说法正确的有
( ) ꎬ ( )
所有项的二项式系数和为
Ａ.９０ Ｂ.２０ Ｃ.５４０ Ｄ.６００ Ａ. １２８
( ｙ２ ) 所有项的系数和为
(２０２０课标 理ꎬ８ꎬ５分) ｘ ｘ ｙ ５ 的展开式中ｘ３ｙ３ Ｂ. １
(２) Ⅰ ＋ ｘ ( ＋ ) 二项式系数最大的项为第 项
Ｃ. ４
的系数为 有理项共 项
( ) Ｄ. ３
æ ö７
Ａ.５ 解析 (１) ( ３ Ｂ ｘ ＋ .１０ １ ｘ ) ６ 的展开式 Ｃ. 的 １５ 通项为Ｔ ｋ ＋１＝ Ｄ Ｃ .２ ６ ｋ ３ ０ ６－ ｋｘ６－ ｋｘ－ ｋ ７ 解析 故 在 è ç ２ 中 ｘ － 说 １ ｘ 法 ø ÷ 正确 的 . 展开式中 ꎬ 所有项的二项式系数和为
＝Ｃ６ ｋ ３ ６－ ｋｘ６－２ ｋ ꎬ 令 ６－２ ｋ ＝０ꎬ 得ｋ ＝３ꎬ 则常数项为Ｔ ４＝５４０ . ２ 令 ＝ ｘ １ ＝ ２ １ ８ ꎬ ꎬ 可得 Ａ 所有项的系数和为 １ꎬ 故 Ｂ 中说法正确.
由二项式定理可得 ｘ ｙ ５ 的展开式中ｘ２ｙ３ 的系数为 ３ 由于展开式共有 项 故二项式系数最大的项为第 项和第
(２) ( ＋ ) Ｃ５＝ ８ ꎬ ４ ５
( ｙ２ ) 项 故 中说法错误.
ｘ４ｙ的系数为 １ 故 ｘ ｘ ｙ ５ 的展开式中ｘ３ｙ３ 的 ꎬ Ｃ
系
１０
数
ꎬ
为 １０＋５＝１５ .
Ｃ
故
５＝
选
５ꎬ
Ｃ .
＋ ｘ ( ＋ )
由于 æ è ç ２ ｘ － １ ｘ ö ø ÷ ７ 的通项为Ｔ ｋ ＋１＝Ｃ７ ｋ ２ ７－ ｋ (－１) ｋ ｘ７－３ ２ ｋ ꎬ 当 ７－
答案 Ｃ Ｃ
(１) (２) ｋ
二、求二项式系数和与各项的系数和 ３ 为整数时展开式为有理项
ꎬ
１ 和 .对 ꎬ 常 形 用 如 赋 ( ａ 值 ｘ ＋ 法 ｂ ) ꎬ 只 ｎ ( ａ 需 、 ｂ 令 ∈ ｘ Ｒ ＝ ) １ 的 即 式 可 子 ꎻ 对 求 形 其 如 展 ( 开 ａｘ 式 ＋ ｂ 的 ｙ ) 各 ｎ ( 项 ａ 、 系 ｂ ∈ 数 Ｒ 之 ) 当 中 ２ 说 ｋ ＝ 法 ０ 错 ꎬ２ 误 ꎬ４ . ꎬ 故 ６ 选 时 ꎬ Ａ 展 Ｂ . 开式为有理项 ꎬ 故有理项共有 ４ 项 ꎬ 故 Ｄ
的式子求其展开式的各项系数之和 只需令ｘ ｙ 即可. 答案 ＡＢ
ꎬ ＝ ＝１
２.一般地
ꎬ
对于多项式
(
ａ
＋
ｂｘ
)
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋＋
ａ
ｎ
ｘｎ
ꎬ
令
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 二项式定理 .
学生用书P269 ＝
答案 ꎻ
１.(２０２０北京ꎬ３ꎬ４分ꎬ基础性)在 ｘ ５ 的展开式中 ｘ２ 的 ８ －２
( －２) ꎬ ( )
６
系数为 ６.(２０２０课标 理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性) ｘ２ ２ 的展开式中常
( ) Ⅲ ＋ ｘ
Ａ.－５ Ｂ.５ Ｃ.－１０ Ｄ.１０ 数项是 用数字作答 .
答案 Ｃ ( )
答案
( ｙ２ ) ２４０
２.(２０２０课标 理ꎬ８ꎬ５ 分ꎬ综合性) ｘ ｘ ｙ ５ 的展开式 æ ö５
Ⅰ ＋ ｘ ( ＋ ) ７.(２０２０天津ꎬ１１ꎬ５分ꎬ基础性)在çｘ ２ ÷ 的展开式中 ｘ２ 的
è ＋ｘ２ ø ꎬ
中ｘ３ｙ３ 的系数为
( ) 系数是 .
Ａ.５ Ｂ.１０ Ｃ.１５ Ｄ.２０ 答案
答案 Ｃ １０
３.(２０１９ 课标 理ꎬ４ꎬ５分ꎬ综合性) ｘ２ ｘ ４ 的展开式 ８.(２０２１浙江ꎬ１３ꎬ６分ꎬ综合性)已知 ( ｘ －１) ３ ＋( ｘ ＋１) ４ ＝ ｘ４ ＋ ａ １ ｘ３ ＋
中ｘ３ 的系数为
Ⅲ (１＋２ )(１＋ ) ａ
２
ｘ２
＋
ａ
３
ｘ
＋
ａ
４ꎬ
则ａ
１＝ ꎻ
ａ
２＋
ａ
３＋
ａ
４＝
.
( ) 答案 ꎻ
５ １０
Ａ.１２ Ｂ.１６ Ｃ.２０ Ｄ.２４
答案 Ａ ９.(２０１９浙江ꎬ１３ꎬ６分ꎬ综合性)在 ｘ ９ 的展开式中 常数
( ２＋ ) ꎬ
( ｙ ) 项是 系数为有理数的项的个数是 .
４.(２０２２新高考 ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性) ｘ ｙ ８ 的展开式 ꎬ
Ⅰ １－ ｘ ( ＋ ) 答案 ꎻ
１６ ２ ５
中ｘ２ｙ６ 的系数为 用数字作答 . １０.(２０２０浙江ꎬ１２ꎬ６分ꎬ综合性)二项展开式 ｘ ５ ａ ａ ｘ
( ) (１＋２ ) ＝ ０＋ １
答案
－２８ ＋
ａ
２
ｘ２
＋
ａ
３
ｘ３
＋
ａ
４
ｘ４
＋
ａ
５
ｘ５
ꎬ
则ａ
４＝ ꎬ
ａ
１＋
ａ
３＋
ａ
５＝
.
５.(２０２２浙江ꎬ１２ꎬ６分ꎬ基础性)已知多项式 ｘ ｘ ４ ａ 答案 ꎻ
( ＋２)( －１) ＝ ０ ８０ １２２
ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ３ ａ ｘ４ ａ ｘ５ 则ａ ａ ａ ａ ａ ａ
＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ꎬ ２＝ ꎬ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５
第
十
一
章
计
数
原
理
２ ３１
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P270
考点 二项式定理 系数为
( )
１ 若 .( ａ ２０２２ ａ 江 则 苏 ｎ 泰州二调ꎬ５)设 (１＋３ ｘ ) ｎ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋＋ ａ ｎ ｘｎ ꎬ Ａ.４ 答 ０ 案 Ｃ Ｂ.－４０ Ｃ.－１２０ Ｄ.－２４０
５＝ ６ꎬ ＝ ( )
４.(２０２０ 河北 邯郸空中课堂备考检测ꎬ６) ｘ ６ 的展开式的
(１－２ )
Ａ.６ Ｂ.７ Ｃ.１０ Ｄ.１１
答案 Ｂ 第三项为
( )
( )ｎ ｘ２ ｘ３
２.(２０２２湖北九师联盟３月质检ꎬ３)若 ｘ ２ 的展开式中 Ａ.６０ Ｂ.－１２０ Ｃ.６０ Ｄ.－１２０
－ ｘ 答案 Ｃ
第 项为常数项 则该展开式中各项系数的和为 ５.(２０２１山东枣庄二模ꎬ６)若 ｘ６ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２
３ ꎬ ( ) ＝ ０＋ １( ＋１)＋ ２( ＋１) ＋
ａ ｘ ３ ａ ｘ ６ 则ａ
Ａ.７２９ Ｂ.６４ Ｃ.１ Ｄ.－１ ３( ＋１) ＋＋ ６( ＋１) ꎬ ３＝ ( )
答案 Ｃ
Ａ.２０ Ｂ.－２０ Ｃ.１５ Ｄ.－１５
３.(２０２２辽宁名校联盟二轮复习联考(一)ꎬ７)已知 ａｘ２ 答案 Ｂ
( ＋１)
( ) ５ ６.(２０２２湖北十一校联考二ꎬ１４) １１除以 的余数是 .
ｘ ２ 的展开式中各项系数的和为 则该展开式中ｘ的 ８ ９
－ ｘ －３ꎬ 答案
８
B组 综合应用题组 学生用书P270
30分钟 45分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分)
Ａ.－２ Ｂ.２ Ｃ.－１ Ｄ.１
１.(２０２２河北九师联盟３月质检联考(一模)ꎬ４)已知 ｘ ５ 答案 Ａ
(２＋ ) ＝
ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ３ ａ ｘ４ ａ ｘ５ 则ａ ３.(２０２２福建漳州一模ꎬ５)已知二项式 ａｘ ｙ ５ ａ Ｒ 的展开
０＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ꎬ ３＝ ( ) ( ＋ ) ( ∈ )
æ ａ ö１０
Ａ.１０ Ｂ.２０ Ｃ.４０ Ｄ.８０ 式的所有项的系数和为 则çｘ２ ÷ 的展开式中的常数
答案 Ｃ ３２ꎬ è － ｘ ø
( )
项为
２.(２０２２湖北八市联考ꎬ７)已知 １ ｍｙ ｘ ｙ ５ 的展开式中 ( )
ｘ ＋ (２ － )
Ａ.４５ Ｂ.－４５ Ｃ.１ Ｄ.－１
ｘ２ｙ４ 的系数为 则ｍ的值为
８０ꎬ ( )
答案 Ａ ２９
ａ ａ ａ ａ １＋３
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) Ｃ. １＋ ３＋ ５＋＋ ２９＝－
２
４.(２０２２重庆巴蜀中学３ 月适应性月考(八)ꎬ１１)若 １２ ２０２２ ＋ ａ Ｄ. ａ １＋２ ａ ２＋３ ａ ３＋＋２９ ａ ２９＝－５８
能被 整除 则整数ａ的值可以是 答案 ＡＣＤ
７ ꎬ ( )
三、填空题(每小题５分ꎬ共１５分)
Ａ.４ Ｂ.６ Ｃ.１１ Ｄ.１３
答案 ＢＤ ( )ｎ
７.(２０２２辽宁鞍山一中４ 月线上模拟ꎬ１４)在 ｘ １ ｘ 的展
５.(２０２２湖南新高考教学教研联盟联考一ꎬ１０)已知 ｘ ｎ ａ －
＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋
ａ
３
ｘ３
＋＋
ａ
ｎ
ｘｎ
(
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ
则下列结论正确的是 (１＋
(
) ＝
)
０ 开
系
式
数
中
为 ꎬ
第
３
项和
.
第
６
项的二项式系数相等
ꎬ
则展开 ２ 式中ｘ５ 的
ａ ａ
Ａ. ０＝ ｎ
Ｂ. 当ａ ３＝１０ 时 ꎬ ｎ ＝５ 答案 － ３５
Ｃ.
若
ｎ等 (１ 于 ＋
ｘ
)
ｎ
( 或
ｎ
∈
Ｎ
)
的展开式中第
７
项的二项式系数最大
ꎬ
则
８.(２０２２辽宁
８
东北育才学校模考六ꎬ１３)若 ( ｘ ＋ ａ ) ５ (２－ ｘ３ ) 的展
１２ １３ 开式的各项系数和为 则该展开式中ｘ４ 的系数是 .
ａ ａ ａ ａ ３２ꎬ
当ｎ 时 １ ２ ３ ４ ６５ 答案
Ｄ. ＝４ ꎬ ＋ ＋ ＋ ＝ ５
答案 ＡＢＤ ２ ４ ８ １６ １６ ９.(２０２１山东济南十一学校联考ꎬ１４)已知ｍ是常数 ꎬ(１－ ｍｘ ) ５
６.(２０２１ 江苏百 校联考 ４ 月调研ꎬ１１)设 (１－２ ｘ ) ２９ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ＝
ａ
５
ｘ５
＋
ａ
４
ｘ４
. ＋
ａ
３
ｘ３
＋
ａ
２
ｘ２
＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
０ꎬ
且ａ
１＋
ａ
２＋
ａ
３＋
ａ
４＋
ａ
５＝－２ꎬ
则ａ
１
ａ ｘ２ ａ ｘ２９ 则下列结论正确的是 ＝
２ ＋＋ ２９ ꎬ ( ) 答案
ａ ａ －１０
Ａ. １５＋ １６>０
ａ ａ ａ ａ
Ｂ. １＋ ２＋ ３＋＋ ２９＝－１
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ３２
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P271
１.(多选)(２０２２ ５３原创题)对任意ｘ Ｒ 若 ｍｘｎ ａ ａ 答案 ＡＣＤ
∈ ꎬ ２＋ ＝ ０＋ １
( ｘ －１)＋ ａ ２( ｘ －１) ２ ＋＋ ａ ｎ( ｘ －１) ｎ ꎬ 且ａ １＝－５ꎬ ａ ２＝－１０ꎬ 则下列结 ２.(２０２２ ５３原创题)已知ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ ３ ｘ３ ＋ ａ ４ ｘ４ ＝( ｘ －２) ３ ＋
论正确的是 ｘ ４ 则ａ ａ ａ ａ 的值为 .
( ) (２ ＋１) ꎬ ０＋ １－ ３＋ ４
ｍ ｎ 答案
Ａ. ＝－１ Ｂ. ＝９ －４
ａ ａ ａ ａ ａ ａ
Ｃ. ０＝１ Ｄ. １－２ ２＋３ ３－４ ４＋５ ５＝０
