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微专题15 机械振动与机械波
简谐运动的两种常见模型
[例1] (2024·北京卷)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加
速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振
动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确
的是( )
A．t＝0 时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2 s 时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0 至t＝0.2 s，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为a＝4sin (2.5πt)m/s2
D [由题图乙可知，t＝0 时，手机加速度为0，则此时手机所受合力为0，可知
此时弹簧弹力大小F＝mg，A 错误；由题图乙可知，t＝0.2 s 时，手机加速度向
上，则此时弹簧弹力向上且大于重力，由胡克定律可知，此时弹簧伸长量大于
平衡位置弹簧的伸长量，故此时手机处于平衡位置下方，B 错误；从t＝0 至t＝
0.2 s，手机由平衡位置向下运动，又合力方向向上，则合力对手机做负功，由
动能定理可知，该过程手机的动能减小，C 错误；由题图乙可知ω＝2π
T ＝2π
0.8
rad/s＝2.5π rad/s，则a 随t 变化的关系式为a＝4sin (2.5πt) m/s2，D 正确。]
规律方法：
1．理解各种图像的含义，会读出相应的物理量
2．图像问题要和运动示意图结合起来分析问题。
[例2] (2025·山东·模拟预测)如图所示，水平地面上有一倾角为θ 的光滑斜
面体，用细绳和小球制成“单摆”，“单摆”摆长为l，小球在斜面上做小角度
的摆动，摆动周期为T。则重力加速度g 为( )
A．4 π
2l
T
2sinθ
B．4 π
2l
T
2cosθ
C．4 π
2lsinθ
T
2
D．4 π
2lcosθ
T
2
A [斜面上的单摆的重力沿斜面向下的分力与竖直悬挂的单摆的重力等效，故
斜面上的单摆的等效重力加速度为g′＝g sin θ，根据单摆的周期公式有T＝2π
√
l
g
' ，解得g＝4 π
2l
T
2sinθ
，故选A。]
【拓展训练】 假设小球带正电，带电荷量为q。若装置所在空间中存在平行
于斜面向下的匀强电场，电场强度大小E＝mgsinθ
q
，小球的质量为m，试求小
球运动的周期 T1。
[解析] 在情境中，等效重力加速度g″＝g sin θ＋q
m＝2g sin θ
可得T1＝2π√
l
2 gsinθ。
[答案] 2π√
l
2 gsinθ
机械波考向一 波的图像与振动图像
[例3] (2025·河北·模拟预测)如图甲所示为一列简谐横波在t＝0 时刻的波形
图，P 是平衡位置为x＝1 m 处的质点，Q 是平衡位置为x＝4 m 处的质点，如图
乙所示为质点Q 的振动图像，下列说法正确的是( )
A．波沿x 轴负方向传播
B．t＝0 时，质点P 位移为2√2 cm
C．波传播的速度为4 m/s
D．在0～5 s 内，质点P 运动的路程为20 cm
B [由题图乙可知，t＝0 时刻Q 经平衡位置向上振动，根据“同侧法”可知波
沿x 轴正方向传播，故A 错误；由题图甲、乙可得振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，
波长λ＝8 m，则波速为v＝λ
T ＝8
4 m/s＝2 m/s，故C 错误；根据以上可得波的
表达式为y＝A sin 2π
λ x＝0.04sin π
4 x(m)，由题图甲可知，t＝0 时刻质点P 位
移y＝2√2 cm，故B 正确；根据“同侧法”可知t＝0 时刻质点P 向下振动，在
0～5 s 内，质点P 运动的路程大于5A＝20 cm，故D 错误。故选B。]
【拓展训练1】 在0～1 s 内，质点P 运动的路程为多少？
[解析] 方法一 振动方程法
根据P 点向下振动，T＝4 s，可得P 点振动方程为y＝4cos (
π
2 t + π
4) cm
把t2＝1 s 代入方程得y2＝－2√2 cm
得路程s＝4√2 cm。
方法二 波形推移法
在Δt 时间内，波形推移距离Δx＝v·Δt＝2 m。即横坐标为－1 m 处的波形推移
至P 点，根据波的表达式y＝0.04sin π
4 x(m)，得y2＝－2√2 cm
得路程s＝4√2 cm。
[答案] 4√2 cm
【拓展训练2】 若图甲为一列简谐横波在t＝2 s 时刻的波形图，如何分析波的
传播方向？
[解析] 由题图乙可知，t＝2 s 时刻Q 经平衡位置向下振动，根据“同侧法”
“上下坡法”或者“微平移法”都可知波沿x 轴负方向传播。
[答案] 见解析
规律方法：波的图像与振动图像综合问题的三关键：“一分、一看、二找”
考向二 波的多解问题
[例4] (2025·陕晋青宁卷)(多选)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长
大于1 m，a、b 为介质中平衡位置相距2 m 的两质点，其振动图像如图所示。
则t＝0 时的波形图可能为( )
A B
C D
CD [A 选项中波长小于1 m，A 错误；t＝0 时刻，b 应位于负向最大位移处，
B 错误；C、D 选项图满足波长λ＞1 m，以及t＝0 时刻a 在平衡位置、b 在负向
最大位移处，C、D 正确。]
【拓展训练】 如图所示，一列简谐横波在介质中沿直线传播，a、b 线分别为
t＝0 和t＝0.5 s 的波形图，若波向右传播，求波速。
[解析] 由题图可知λ＝2 m，经Δt＝0.5 s 波传播距离Δx＝nλ＋λ
4＝(2n＋
0.5)m(n＝0，1，2，…)
v＝Δ x
Δt ＝(4n＋1)m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案] (4n＋1)m/s(n＝0，1，2，…)
规律方法：波的多解问题
题型特征
求解方法
周期性
(1)时间周期性：时间间隔t 与周
期T 的关系不明确
(2)空间周期性：波传播距离x
与波长λ 的关系不明确
(1)关系式为t＝nT＋Δt，若t 与
T 有一定的约束关系，可使系列
解转化为有限解或唯一解
(2)关系式为x＝nλ＋Δx，若x
与λ 有一定的约束关系，可使
系列解转化为有限解或唯一解
双向性
(1)传播方向双向性：波的传播
方向不确定
(2)振动方向双向性：质点振动
方向不确定
(1)选定或假设传播方向，可使
双解转化为唯一解
(2)选定或假设振动方向，可使
双解转化为唯一解
波的特性
[例5] (2025·黑吉辽蒙卷)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点
波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P 点
位于其最大正位移处，曲线ab 上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满
足以上描述的是( )
A B C D
C [由于P 点位于其最大正位移处，所以P 点位于波峰与波峰的交点，故B、
D 错误；由选项图可知，两列波分别向左、向上传播，沿左上方将减弱点连线，
则连线上的点均为振动减弱点，故A 错误，C 正确。]
规律方法：两个振动情况相同的波源形成的波，振动加强的条件为Δx＝nλ(n＝
0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋1) λ
2(n＝0，1，2，…)。
[针对训练1] (2023·湖南卷)如图(a)，在均匀介质中有A、B、C 和D 四点，
其中A、B、C 三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC 垂直AB。
t＝0 时，位于A、B、C 处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像
均如图(b)所示，振动方向与平面ABD 垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的
是( )
A．这三列波的波速均为2 m/s
B．t＝2 s 时，D 处的质点开始振动
C．t＝4.5 s 时，D 处的质点向y 轴负方向运动
D．t＝6 s 时，D 处的质点与平衡位置的距离是6 cm
C [机械波在同一介质中波速相同，由题意知波长λ＝4 m，由题图(b)知周期T
＝4 s，则v＝λ
T ＝1 m/s，A 错误；C 波源发出的波最先传到质点D，tCD＝DC
v ＝
3 s，B 错误；当t＝3 s 时，质点D 开始振动，然后重复波源的运动，A、B 两列
波经5 s 才能传到质点D，t＝4.5 s 时质点D 的振动情况与C 波源1.5 s 时的相同，
则t＝4.5 s 时，质点D 向y 轴负方向运动，C 正确；t＝6 s 时三列波都已传到质
点D，但A、C 两波源引起的振动完全抵消，相当于只有B 波源引起的振动，t
＝6 s 时质点D 的振动情况与B 波源1 s 时的相同，则t＝6 s 时，质点D 到平衡
位置的距离是2 cm，D 错误。]
[针对训练2] (2025·广东卷)关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是(
)
A．系统的固有频率与驱动力频率有关
B．只要驱动力足够大，共振就能发生
C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
C [系统的固有频率与驱动力频率无关，A 错误；当驱动力的频率等于系统的
固有频率时，系统受迫振动的振幅最大，共振发生，所以共振能否发生取决于
驱动力的频率是否等于系统的固有频率，与驱动力的大小无关，B 错误；多普
勒效应是指波源与观察者相互靠近或者相互远离时，接收到的波的频率发生变
化的现象，在生活中可以用来测量车辆的速度，C 正确；观察者与波源相互远
离时，观察者接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源相互靠近时，
观察者接收到的波的频率比波源的频率大，D 错误。]
