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高考重点考点解读与针对性训练
第九章 机械振动和机械波
考点69 波的多解问题
【考点解读】
1.波的特点
（1）当Δt＝nT（n＝1，2，3，…）时，两个时刻波的波形相同，波传播的距离x＝nλ。
（2）在波的传播方向上：①当两质点平衡位置间的距离为nλ（n＝1，2，3，…）时，它
们的振动步调相同；②当两质点平衡位置间的距离为（2n＋1）λ
2（n＝0，1，2，3，…）
时，它们的振动步调相反。
2.造成波的多解问题的主要因素
周期性
时间周期性：时间间隔Δt 与周期T
的关系不明确
波经Δt 由质点0 传到相距Δx 的质点
1，两质点振动情况始终相同，则有Δt
＝nT，Δx＝nλ
空间周期性：波传播距离Δx 与波长
λ 的关系不明确
双向性
传播方向双向性：波的传播方向不
确定
振动方向双向性：质点振动方向不
确定
隐含性
在波动问题中，往往只给出完整波
形的一部分，或给出几个特殊点，
而其余信息均处于隐含状态.这样，
波形就有多种情况，造成了波动问
题的多解性
例如，波上两恰好处于平衡位置的质
点P、Q 间只有一个波峰，可能有如下
几种情况：
2.解决波的多解问题的一般思路
（1）首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别
1
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进行考虑。
（2）对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情
况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt 或Δx 满足条件的关系，
若为时间关系，则t＝nT＋Δt（n＝0，1，2，…）；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx（n＝0，
1，2，…）。
（3）注意题目是否有其他限制条件，如果波的周期、波长、波速有限定，则求出符合限定
条件的解。
【高考真题】
【典例1】.[2023 海南]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6m 的两个质点P、Q
的振动图像，下列说法正确的是（ C ）
A.该波的周期是5s
B.该波的波速是3m/s
C.4s 时P 质点向上振动
D.4s 时Q 质点向上振动
答案 C
解析 由题图可知，该波的周期T＝4s，A 错；由P、Q 两个质点的振动图像可知，P、Q
两个质点振动方向相反，则P、Q 间距离为（n＋1
2）λ＝6m（n＝0，1，2，…），则波速v
＝λ
T ＝
3
2n+1m/s（n＝0，1，2，…），B 错；由质点P 的振动图像可知，4s 时P 质点向上
振动，C 对；由质点Q 的振动图像可知，4s 时Q 质点向下振动，D 错.
【典例2】.[2021 辽宁]一列沿x 轴负方向传播的简谐横波，t＝2s 时的波形如图（a）所示，
x＝2m 处质点的振动图像如图（b）所示，则波速可能是（ A ）
图（a）
图（b）
2
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A.1
5m/s
B.2
5m/s
C.3
5m/s
D.4
5 m/s
答案 A
解析 由振动图像可知周期T＝4s，由波形图和x＝2m 处质点的振动图像结合同侧法可知，
（n＋1
2）λ＝2m（n＝0，1，2，…），则波长λ＝
4
2n+1m（n＝0，1，2，…），波速v＝
λ
T ＝
1
2n+1m/s（n＝0，1，2，…），当n 取2 时，v＝1
5m/s，故A 正确，B、C、D 均无对
应的n 值.
【典例3】.[2022 山东/多选]一列简谐横波沿x 轴传播，平衡位置位于坐
标原点O 的质点振动图像如图所示.当t＝7s 时，简谐波的波动图像可能正
确的是（ AC ）
A B
C D
答案 AC
解析 由振动图像可知波的振幅A＝20cm，波的周期T＝12s，从振动图像上可以看出t＝7s
时平衡位置位于原点O 的质点相对平衡位置的位移为y7＝－√3
2 A，且沿y 轴负方向运动，
B、D 错误.A 图中该质点位移符合条件，且当波沿x 轴负方向传播时质点沿y 轴负方向运动，
符合题意，A 正确；C 图中该质点位移符合条件，且当波沿x 轴正方向传播时质点沿y 轴负
方向运动，符合题意，C 正确.
光速解法 通过振动图像可以看出，t＝7s 时，平衡位置在坐标原点的质点位于y 轴负半轴
且相对平衡位置的位移大于半个振幅小于一个振幅，只有A、C 项符合，又本题为多选题，
故A、C 正确.
【针对性训练】
1. （2025·福建泉州月考）一列简谐横波沿x 轴传播，a、b 为x 轴上平衡位置相距6 m 的
两质点，振动图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）
3
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A.在t＝0 至t＝0.5 s 时间内，质点a 的路程比质点b 的小
B.a、b 两质点可能同时经过平衡位置
C.这列波的波长可能是24 m
D.这列波的波速可能是6
7 m/s
答案 CD
解析： 根据振动图像可知，在t＝0 至t＝0.5 s 时间内，质点a 的平均速率大于质点b 的
平均速率，则质点a 的路程大于质点b 的路程，故A 错误；根据振动图像可知，两者间距
为1
4 λ＋nλ 或3
4 λ＋nλ（n＝0，1，2，…），所以a、b 两质点不可能同时经过平衡位置，故
B 错误；当两者间距为1
4 λ＋nλ 时，1
4 λ＋nλ＝6 m，波长为λ＝
24
4 n+1m（n＝0，1，
2，…），波速v＝λ
T ＝
6
4 n+1 m/s（n＝0，1，2，…），当n＝0 时，波长为24 m，当两
者间距为3
4 λ＋nλ 时，3
4 λ＋nλ＝6 m，波长为λ＝
24
4 n+3 m（n＝0，1，2，…），波速v＝
λ
T ＝
6
4 n+3 m/s（n＝0，1，2，…），当n＝1 时，波速为6
7 m/s，故C、D 正确。
2 (2024·浙江金华高三月考)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在xA＝0 和xB＝
1.2 m 处的两个质点A、B 的振动图像如图6 所示，则( )
图6
A.质点A 的振动方程y＝5sin (πt) cm
B.波由质点A 传播到B 的时间可能是0.7 s
C.这列波的波长可能是4.8 m
D.这列波的波速可能是0.8 m/s
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答案 BD
解析 由振动图像可知T＝0.4 s，因ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，则质点A 的振动方
程为y＝5sin(5πt) cm，选项A 错误；由振动图像可知t＝0 时刻，当质点A 在平
衡位置向y 轴正方向振动时，质点B 在波峰位置，可知AB 间距离为x＝nλ＋，
所以从A 到B 的时间为t＝＝nT＋＝0.3 s＋0.4n s(n＝0，1，2，3，…)，即波由
质点A 传到质点B 可能是0.7 s(n＝1)，故B 正确；根据x＝nλ＋可得λ＝＝ m(n
＝0，1，2，3，…)，这列波的波长不可能是4.8 m，选项C 错误；波速为v＝＝
＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝3 时v＝0.8 m/s，选项D 正确。
3 .(2024·湖南长沙模拟)如图6 甲所示，一列简谐横波沿x 轴正方向传播，A、B
两点的平衡位置间的距离x＝6 m，A、B 两点的振动情况分别如图乙中的图线
a、b 所示。该波的最大波长为( )
图6
A.8 m
B.6 m
C.4 m
D.2 m
答案 A
解析 根据振动图像平移可知，该波从A 点传播至B 点的时间Δt＝T(n＝0，1，
2，3，…)，又由于v＝＝，由题图乙可知，该波的周期T＝4 s，解得该波的波
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长λ＝ m(n＝0，1，2，3，…)，可知，当n＝0 时，波长最大，且λmax＝8 m，故
A 正确。
4 . 一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t 时刻的波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P
点，t＋0.6s 时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q 是介质中的质点.下列说法正确
的是（ ACD ）
A.这列波的波速可能为50m/s
B.质点a 在这段时间内通过的路程一定小于30cm
C.质点c 在这段时间内通过的路程可能为60cm
D.若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s 时刻，质点b、P 的位移相同
答案 ACD
解析 由波形图可知波长λ＝40m，且0.6s＝nT＋3
4 T（n＝0，1，2，…），解得周期T＝
2.4
4 n+3s（n＝0，1，2，…）.当n＝0 时，T＝0.8s，波速v＝λ
T ＝50m/s，A 正确.由波沿x 轴
正方向传播可知质点a 在t 时刻沿y 轴正方向运动，当n＝0 时，T＝0.8s，则质点a 在这段
时间内通过的路程小于30cm；当n＝1 时，T＝24
70 s，质点a 在这段时间内通过的路程大于
30cm，B 错误.若n＝1，则T＝24
70 s，波传播到c 点所用时间为1
4 T，0.6s＝7
4 T，质点c 振动
的时间为7
4 T－1
4 T＝3
2T，故在这段时间内质点c 通过的路程为6A＝60cm，C 正确.若T＝
0.8s，在t＋0.5s 时刻，质点b、P 的位移均为负值，大小相等，D 正确.
5 .[2023 福建福州调研/多选]如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，实线为t＝0 时刻的波
形图，虚线为t＝0.6s 时刻的波形图，已知波的周期T＞0.6s，下列说法正确的是（ BC
）
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A.该波的波速大小一定是10m/s
B.该波的波速大小可能是10
3 m/s
C.t＝2.7s 时，Q 点的位移一定是0
D.t＝5.1s 时，Q 点的位移大小可能是0.2m
答案 BC
解析 据题图可知，波长λ＝8m，如果波向左传播，则有（n＋3
4 ）T＝0.6s（n＝0，1，
2，…），只有当n＝0 时，T1＝0.8s＞0.6s，此时波速为v1＝λ
T 1
＝10m/s；如果波向右传播，
则有（n＋1
4 ）T＝0.6s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0 时，T2＝2.4s＞0.6s，此时波速为
v2＝λ
T 2
＝10
3 m/s，故A 错误，B 正确.如果波向左传播，则2.7s＝33
8T1，t＝2.7s 时，Q 点正
好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，则2.7s＝11
8T2，t＝2.7s 时，Q 点也正好到
达平衡位置，位移为零，C 正确.同理，t＝5.1s 时，如果波向左传播，Q 点正好到达平衡位
置，位移为零；如果波向右传播，Q 点也正好到达平衡位置，位移为零，故D 错误.
6 . (湖北省黄冈中学2025 届高三5 月第三次模拟考试)一列简谐横波沿x 轴传播，波速为
2m/s，振幅为10cm。图甲为该横波传播一个周期时的波形图，从此时开始计时，P 点的振
动图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A. 该横波波源的平衡位置在x=0 处
B 0.75s 时刻P 点速度达到最大
C. 从波源开始振动到P 点开始振动，波源处质点通过的路程为35cm
D. 从图甲时刻开始，波向前传播5m 的时间内，P 点通过的路程为50cm
【答案】C
【解析】．由振动图像，0 时刻P 点向上运动，所以波沿x 轴负向传播，该横波波源的平衡
位置在
4m 处，故A 错误；
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图乙可知该横波周期
，P 点到达平衡位置时速度最大，需要时间
，故B 错误；
由简谐运动规律可知，从平衡位置到一半振幅处用时
，则图甲可得从振源开始振动到
P 点开始振动，波源处质点振动了
，通过路程为35cm，故C 正确；
5m 为
，用时
，P 点通过路程为
，D 错误。
7.(多选)(2024·湖北八市高三联考)一列沿x 轴负方向传播的简谐横波在t＝2 s 时
的波形如图(a)所示，介质中某质点的振动图像如图(b)所示，下列说法正确的是(
)
A.图(b)可能是质点A 的振动图像
B.图(b)可能是质点B 的振动图像
C.若图(b)是x＝2 m 处质点的振动图像，则波速可能是1 m/s
D.若图(b)是x＝3 m 处质点的振动图像，则波速可能是0.5 m/s
答案 ACD
解析 由波的图像和振动图像可知，t＝2 s 时质点向y 轴负方向振动，波形图中
的A 点此时正向下振动，B 质点向y 轴正方向振动，题图(b)可能是质点A 的振
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动图像，B 错误，A 正确；由振动图像可知，质点振动的周期为T＝4 s，若题
图(b)是x＝2 m 处质点的振动图像，则有(n＋)λ＝2 m(n＝0，1，2，3，…)，根
据v＝，解得v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0 时，波速为1 m/s，C 正确；
若题图(b)是x＝3 m 处质点的振动图像，则有λ＝3 m(n＝0，1，2，3，…)，解
得v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝1 时，波速为0.5 m/s，D 正确。
8 (2023·河北沧州高三期中)如图为一列简谐横波沿x 轴方向传播的波形图，其中实线为t
＝0 时刻的波形图，虚线为t＝0.05 s 时刻的波形图，已知简谐横波传播的速度大小v＝1.0
m/s，下列说法正确的是( )
A．该波沿x 轴正方向传播
B．该波的周期为4 s
C．在0～0.05 s 时间内，平衡位置x＝2 cm 处的质点运动的路程为10 cm
D．在t＝0 时刻，平衡位置x＝4 cm 处的质点沿y 轴正方向运动
答案：AC
解析：由题图可知该波的波长为λ＝4 cm＝0.04 m，若该波沿x 轴正方向传播，波速大小为
v＝＝ m/s(n＝0，1，2，3…)；若传播方向沿x 轴负方向，波速大小为v＝ m/s(n＝0，1，
2，3…)；由题意可知，波速大小为1.0 m/s，所以该波一定沿x 轴正方向传播，故A 正确；
由波速公式v＝可知T＝＝0.04 s，故B 错误；由n＝＝＝，所以平衡位置x＝2 cm 处的质点
在0～0.05 s 时间内运动的路程为s＝5A＝10 cm，故C 正确；t＝0 时刻，波形如题图中实线
所示，该波沿x 轴正方向传播，由“同侧”法可知，平衡位置x＝4 cm 的质点正沿y 轴负方
向运动，故D 错误。故选AC。
9 (2023·河北石家庄高三统考)一列简谐横波沿x 轴负方向传播，t＝0 时刻的波形如图中实
线所示，t＝0.7 s 时刻的波形如图中的虚线所示，则下列叙述正确的是( )
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A．该波的波长为8 m
B．波的周期可能为0.4 s
C．波的传播速度可能为30 m/s
D．质点P 在t＝0.7 s 时刻向下运动
答案：ABD
解析：由波形图可知，该波的波长为λ＝8 m，A 正确；由题意可知nT＋T＝0.7 s(n＝0，
1，2，3…)，当n＝1 时，T＝0.4 s，即波的周期可能为0.4 s，B 正确；波的传播速度v＝＝
m/s＝(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，3…)，则当v＝30 m/s 时n 不是整数，C 错误；根据“上下
坡”法可知，质点P 在t＝0.7 s 时刻向下运动，D 正确。故选ABD。
10 如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q 两质点平衡位置相距0.15 m。当P 运动到上
方最大位移处时，Q 刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.30 m
B．0.20 m
C．0.10 m
D．0.06 m
答案：ACD
解析：由题意可知，P、Q 两点之间的间距为＋nλ＝0.15 m(n＝0，1，2…)。故n＝0 时，λ
＝0.3 m；n＝1 时，λ＝0.1 m；n＝2 时，λ＝0.06 m。故选ACD。
11．(多选)一列简谐横波沿x 轴传播，已知x 轴上x1＝1 m 和x2＝7 m 处质点的振动图像分
别如图1、图2 所示，则此列波的传播速率可能是( )
A．7 m/s
B．2 m/s
C．1.2 m/s
D．1 m/s
答案：BC
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解析：由题图可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正
向最大位移处。①该列波若沿x 轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置
可能在A1、A2或A3……
则有x2－x1＝λ (n＝0，1，2…)，可得波速表达式v＝＝ m/s (n＝0，1，2…)。当n＝0 时，
v＝6 m/s；当n＝1 时，v＝1.2 m/s，C 正确。②若该列波沿x 轴负方向传播，其波形如图乙
所示，
则有x2－x1＝λ (n＝0，1，2…)，可得v＝＝ m/s (n＝0，1，2…)。当n＝0 时，v＝2 m/s，B
正确。
12．(多选)如图所示，图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形曲线，经过0.5 s 后，其
波形如图中的虚线所示，该波的周期T 大于0.5 s，下列说法正确的是( )
A．如果波往左传播，则波的周期为2 s
B．如果波往左传播，则波的传播速度为0.36 m/s
C．如果波往右传播，碰到尺寸为20 cm 的障碍物，能发生明显衍射现象
D．如果波往右传播，碰到频率为 Hz 的简谐横波能够发生干涉现象
答案：AC
解析：由题图知，该波的波长λ＝24 cm，由于该波的周期T 大于0.5 s，则波在0.5 s 内传播
的距离小于一个波长。如果波是向左传播，由题图得到波传播的距离为Δx＝λ＝6 cm＝0.06
m，故波速为v＝＝ m/s＝0.12 m/s，T＝＝ s＝2 s，选项A 正确，B 错误；因该波的波长为
24 cm，如果这列波往右传播，碰到尺寸为20 cm 的障碍物，能发生明显衍射现象，选项C
正确；如果波是向右传播，由题图得到波传播的距离为Δx′＝λ＝18 cm＝0.18 m，故波速为
v′＝＝ m/s＝0.36 m/s，周期T′＝＝ s＝ s，f′＝＝1.5 Hz，只有频率相同的简谐横波能够发
生干涉现象，选项D 错误。故选AC。
13. 一列沿x 轴传播的简谐横波，在t＝0.2 s 时刻的波形如图9 实线所示，在t1
＝0.4 s 时刻的波形如图虚线所示。在t 到t1时间内，x＝2 m 处的P 质点运动的
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路程为s，且0.2 m＜s＜0.4 m。试求：
图9
(1)波的传播的方向和传播速度的大小；
(2)P 质点第二次出现波谷的时刻。
答案 (1)沿x 轴负方向 10 m/s (2)0.525 s
解析 (1)由题图可知，波长λ＝3 m，振幅A＝0.1 m
由t＝0.2 s 时刻到t1＝0.4 s 时刻的时间内，
0.2 m<s<0.4 m 知2A<s<4A
故T<Δt<T
Δt 时间内波传播的距离为Δx
则λ<Δx<λ，即 m<Δx<3 m
根据图像可知，若波沿x 轴正方向传播，则
Δx1＝(nλ＋1) m(n＝0，1，2，3，…)，n 无解
若波沿x 轴负方向传播，则
Δx2＝(nλ＋2) m(n＝0，1，2，3，…)，n＝0 符合
由上述可知，这列波一定沿x 轴负方向传播且
Δx2＝2 m
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又Δt＝t1－t＝0.2 s，由Δx＝v·Δt
得v＝10 m/s。
(2)根据实线图像可知，P 质点第二次出现波谷时，波向负方向传播了Δx＝3.25
m
由Δx＝v·Δt，得Δt＝0.325 s
故P 质点第二次出现波谷的时刻为0.525 s。
14. （辽宁省名校联盟2025 年高三1 月份联合考试）战绳训练俗称“甩大绳”（如图甲所
示），是很多运动员的重要训练项目之一，P 和Q 是某条战绳上相距
的两个质点，图
乙、丙分别表示两个质点的振动图像，经观察波长满足
。
（1）求这列波的传播方向和波速v；
（2）若
时刻开始计时，质点
通过的路程为
时，求质点
的位移大小
。
【答案】（1）P 向Q 传播，
（2）0
【解析】（1）由图乙、丙可知，这列波的周期为
若波由Q 向P 传播，由波的周期性可知
由于
，故无解;
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若波由P 向Q 传播，由波的周期性可知
由于
可知，当
时
，所以波速
故此波由P 向Q 传播，波速为
（2）由图乙、丙可知，振幅
质点
经历时间
所以这段时间内质点
经历
，运动到平衡位置
14
