文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
高考重点考点解读与针对性训练
第九章 机械振动和机械波
考点63 简谐运动的规律
【考点解读】
1.简谐运动的概念
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t 图像）是一条
正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2.平衡位置
振动物体 原来静止 时的位置。
3.回复力
（1）定义：使振动物体在平衡位置附近做 往复运动 的力。
（2）方向：总是指向 平衡位置 。
（3）来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
4.描述简谐运动的物理量
物理
量
定义
意义
位移
X
由平衡位置指向物体所在位置的有向线
段
描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位
置的位移
振幅
A
振动物体离开平衡位置的最大距离
描述振动的强弱和能量的大小.
周期
T
做简谐运动的物体完成一次全振动 所
需要的时间
描述振动的快慢，两者关系：T＝1
f
频率
f
物体完成全振动的次数与所用时间之比
相位
ωt＋φ0
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
5. 简谐运动的五个特征
位移特
征
x＝Asin（ωt＋φ）
受力特
征
回复力：F＝－kx；F（或a）的大小与x 的大小成正比，方向相反
能量特
征
系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
对称性
特征
质点经过关于平衡位置O 对称的两点时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平
衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等
周期性
特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动
的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T
2
6. 简谐运动的对称性的应用
(1).相隔T
2 或（2n+1）T
2
（n 为正整数）的时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、
速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。
如图甲所示，O 为平衡位置，A、B 为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t 时刻在C 点，t
＋（2n+1）T
2
时刻运动到D 点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。
(2).如图乙所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P、P'（OP＝OP'）时，相对于平衡
位置的位移大小、速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。
(3).如图乙所示，振子由P 到O 所用时间等于由O 到P'所用时间，即tPO＝tOP'。振子往复运
动过程中通过同一段路程（如OP 段）所用时间相等，即tOP＝tPO。
【高考真题】
【典例1】. （2025 高考甘肃卷）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为
的小球
A，质量为m 的小球B 与A 用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力
加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（ ）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A. 小球A 运动到弹簧原长处的速度最大
B. 剪断细线的瞬间，小球A 的加速度大小为
C. 小球A 运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D. 小球A 运动到最低点时，弹簧的伸长量为
【答案】BC
【解析】剪断细线后，弹簧弹力大于小球A 的重力，则A 先向上做加速运动，随着弹力的
减小，则小球向上的加速度减小。当加速度减小到零时速度最大，此时弹力等于小球A 的
重力，弹簧处于拉伸状态，A 错误；剪断细线前，对A、B 两小球整体，受力分析，由平衡
条件，弹簧弹力F=3mg。
剪断细线的瞬间弹簧弹力不变，对小球A，由牛顿第二定律，F-2mg=2ma，解得小球A 的
加速度大小为a=
，B 正确；剪断细线前弹簧伸长量x1=F/k=3mg/k；剪断细线后A 做简谐
运动，在平衡位置时弹簧伸长量x2=2mg/k；竖直弹簧振子的振幅A= x1- x2=mg/k，C 正确；
小球A 运动到最低点时，弹簧的伸长量为x3= x2+A=
+mg/k=3mg/k，D 错误。
【典例2】（2023 学业水平等级考试上海卷）真空中有一点P，微粒Q 在运动过程中受到
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
方向指向P 且大小与Q 离开P 的位移成正比的回复力，给在P 点的微粒Q 一微小速度后，
则在接下来的短时间内，Q 的
A. 速度增大，加速度增大
B. 速度减小，加速度增大
C. 速度增大， 加速度不变
D. 速度减小，加速度不变
【参考答案】B
【名师解析】微粒受到方向指向P 且大小与Q 离开P 的位移成正比的回复力，做简谐运动，
给在P 点的微粒Q 一微小速度后，微粒从平衡位置开始运动，在接下来的短时间内，Q 的
速度减小，加速度增大，B 正确。
【典例3】. （2023 高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，沿水平方向做简谐振动
的质点，依次通过相距L 的A、B 两点。已知质点在A 点的位移大小为振幅的一半，B 点位
移大小是A 点的
倍，质点经过A 点时开始计时，t 时刻第二次经过B 点，该振动的振幅
和周期可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】BC
【名师解析】
当A、B 两点在平衡位置的同侧时有
可得
；
或者
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因此可知第二次经过B 点时
，
解得
此时位移关系为
解得
故A 错误，B 正确；
当A、B 两点在平衡位置两侧时有
解得
或者
（由图中运动方向舍去），
或者
当第二次经过B 点时
，则
解得
此时位移关系为
解得
，C 正确D 错误。
【典例4】(2022·浙江6 月选考)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定
着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v 向右运动，小球
将做周期为T 的往复运动，则( )
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
【审题指导】 (1)小球与弹簧接触前做匀速运动，接触弹簧后做简谐运动。
(2)小球的第一个运动周期＝向右匀速运动＋半个周期的弹簧振子的运动＋向左匀速运动＋
半个周期的弹簧振子的运动＋向右匀速运动至中点。
答案：B
解析：物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平
衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故
小球不是做简谐运动，A 错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位
置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T 的往复运动
过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O 与O→B→O，这两个过程的动
能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两
根弹簧的总弹性势能的变化周期为，B 正确，C 错误；小球的初速度为时，可知小球在匀
速阶段的时间变为原来的2 倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期与速度无关，即接触弹
簧过程时间保持不变，可知小球的初速度为时，其运动周期应小于2T，D 错误。故选B。
【针对性训练】
1. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是（ ）
A.若t 时刻和（t＋Δt）时刻振子相对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则Δt 一定等于
T 的整数倍
B.若t 时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于T
2 的整数倍
C.若Δt＝T
4 ，则t 和（t＋Δt）两时刻，振子的位移大小之和一定等于振幅
D.若Δt＝T
2 ，则在t 时刻和（t＋Δt）时刻振子速度的大小一定相等
答案：D
解析：若t 时刻和（t＋Δt）时刻振子相对平衡位置的位移大小相等，方向相同，说明振子
经过同一位置，但时间差Δt 不一定等于T 的整数倍，A 错误；t 时刻和（t＋Δt）时刻振子
运动速度大小相等、方向相反，说明振子经过同一位置或关于平衡位置对称的位置，故Δt
不一定等于T
2 的整数倍，B 错误；距离平衡位置越近速度越大，可知Δt＝T
4 时，t 与t＋Δt
两时刻振子的位移大小之和不一定等于振幅，只有从平衡位置开始运动，或从最大位移处
开始运动，两时刻振子的位移大小之和才等于振幅，C 错误；若Δt＝T
2 ，t 与t＋Δt 两个时
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
刻振子一定关于平衡位置对称，速度大小一定相等，方向一定相反，D 正确。
2 （2025·河北唐山统考）如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动，从某一时刻开
始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F 与运动时间t 的关系图像如图
乙所示，若重力加速度为g，图像的坐标值为已知量，则下列说法正确的是（ ）
A.对乙图的F-t 关系图像分析，小球是从处在最高点开始计时的
B.小球的质量为F1－F2
2g
C.弹簧振子的频率为3
4 t0
D.若弹簧振子的振幅为A，则从计时开始到13t0时，小球的路程为36A
答案：BC
解析：由题图乙可知，t＝0 时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，
故A 错误；根据对称性可知，小球在最高点和最低点的加速度大小相等、方向相反，根据
牛顿第二定律，对小球在最高点分析，有F2＋mg＝ma，对小球在最低点分析，有F1－mg
＝ma，联立解得小球的质量m＝F1－F2
2g
，故B 正确；由题图乙可知3
4 T＝t0，T＝1
f ，解得
弹簧振子的频率f＝3
4 t0
，故C 正确；由于13t0＝9T＋3
4 T，所以小球的路程为s＝9·4A＋3A
＝39A，故D 错误。
3 已知物体A 做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t ＋π
2) cm，物体B 做简谐运动的振动
位移xB＝5sin(100t ＋π
6)cm，下列说法正确的是（ ）
A.振幅是矢量，A 的振幅是6 cm，B 的振幅是10 cm
B.周期是标量，A、B 振动的周期都是100 s
C.A 振动的相位始终超前B 振动的相位π
3
D.A 振动的频率fA等于B 振动的频率fB，均为50 Hz
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
答案 C
解析： 振幅和周期只有大小没有方向，是标量，根据两物体的振动位移表达式可知，A
振动的振幅是3 cm，B 振动的振幅是5 cm，A、B 振动的周期为TA＝TB＝2π
ω ＝π
50 s，故
A、B 错误；根据两物体的位移表达式可知，A 振动的初相位为φA0＝π
2 ，B 振动的初相位为
φB0＝π
6 ，因此两物体振动的相位差为Δφ＝φA0－φB0＝π
2 －π
6 ＝π
3 ，即A 振动的相位始终超
前B 振动的相位π
3 ，故C 正确；由于两物体振动的周期相同，因此A、B 振动的频率相同，
频率大小均为fA＝fB＝1
T ＝50
π Hz，故D 错误。
4 真空中有一点P 与微粒Q，Q 在运动中受到指向P 且大小与离开P 的位移成正比的回复
力作用，则下列关于微粒Q 的情况有可能发生的是（ ）
A.速度增大，加速度增大
B.速度增大，加速度减小
C.速度增大，加速度不变
D.速度减小，加速度不变
答案：B
解析：由题意可知，微粒Q 以P 点为平衡位置做简谐运动，可知越靠近平衡位置，微粒Q
的速度越大，加速度越小，则微粒Q 的速度增大，加速度一定减小，速度减小，加速度一
定增大，A、C、D 错误，B 正确。
5 如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N 两点，历时1 s，质
点通过N 点后再经过1 s 又第2 次通过N 点，在这2 s 内质点通过的总路程为12 cm，则质
点的振动周期和振幅分别为（ ）
A.3 s、6 cm
B.4 s、6 cm
C.4 s、9 cm
D.2 s、8 cm
答案：B
解析：做简谐运动的质点，先后以同样的速度依次通过M、N 两点，则可判定M、N 两点
关于平衡位置O 点对称，所以质点由M 到O 时间与由O 到N 的时间相等，那么质点从平衡
位置O 到N 点的时间t1＝0.5 s，因过过N 点后再经过t＝1 s，质点以方向相反、大小相同
的速度再次通过N 点，则有从N 点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此质点的振动周期是
T＝4（t1＋t2）＝4 s，质点在这2 s 内质点通过的总路程的一半为振幅，所以振幅A＝
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
12cm
2
＝6 cm，故选B。
6 在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法中正确的
是（ ）
A.从某时刻起，在半个周期内，弹力做功一定为0
B.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功可能是0 到1
2mv2之间的某一个值
C.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量一定为0
D.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量可能是0～2mv 之间的某一个值
答案：AD
解析：弹力做功的大小等于弹性势能的变化量，从某时刻起，在半个周期内，由于位移大
小具有对称性，所以弹力做功一定为0，故A 正确，B 错误；对于简谐运动，经过半个周期
后速度与之前的速度大小相等、方向相反，从某时刻起（除最大位移处开始计时外），在
半个周期速度变化量一定不为零，若从平衡位置开始计时，则速度的变化量大小最大为
2v，根据动量定理可知，弹力的冲量I＝Δp＝mΔv，所以弹力的冲量大小可能是0～2mv 间
的某一个值，故C 错误，D 正确。
7 小球做简谐运动，若从平衡位置O 开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过
P 点，又经过0.2 s，小球第二次经过P 点，则再过多长时间该振子第三次经过
P 点( )
A.1.0 s
B.2.4 s
C.0.8 s
D.2.2 s
答案 D
解析 若小球从O 点开始向指向P 点的方向振动，作出示意图如图甲所示
则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－
0.2 s＝2.2 s，第三次经过P 点；若小球从O 点开始向背离P 点的方向振动，作
出示意图如图乙所示
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt′＝
T2－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P 点，A、B、C 错误，D 正确。
8.（2025·湖北武汉期末）如图所示，弹簧下面挂一质量为m 的物体，物体在竖直方向上做
振幅为A 的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧始终在弹性限度
内，则物体在振动过程中（ ）
A.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
B.物体在最低点时的加速度大小应为2g
C.物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
D.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
答案 D
解析： 系统机械能守恒，动能、重力势能、弹性势能总量不变，振动过程中重力势能一
直变化，弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化，故A 错误；受力分析如图，物体在最
高点时所受回复力为mg，根据振动对称性，最低点的回复力也应为mg，则物体在最低点
时的加速度为g，方向向上，故B 错误；平衡位置处有kA＝mg，物体在最低点时弹簧形变
量为2A，弹力2kA＝2mg，故C 错误；振动至最低点时，弹簧的弹性势能最大，系统机械
能守恒，重力势能转化为弹性势能，Ep＝2mgA，故D 正确。
9 .如图甲所示，悬挂在天花板上的轻弹簧下端连着物体M，M 和物体N 又通过轻绳相连，
M、N 两物体的质量相等，并且都处于静止状态。t＝0 时刻轻绳断裂，不计空气阻力，物
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
体M 做简谐运动，M 偏离平衡位置的位移x 随时间t 变化的关系如图乙所示，以下说法正
确的是（ ）
A.t1时刻M 的回复力最大
B.t1时刻弹簧的形变量为0
C.t2时刻弹簧的弹性势能最大
D.t4时刻M 的加速度与重力加速度大小相等、方向相反
答案 D
解析： 由题图乙可知，t1时刻M 处于平衡位置，此时回复力为零，故A 错误；t1时刻M
处于平衡位置，即M 能自由静止的位置，则此时弹簧处于伸长状态，故B 错误；因为t2时
刻弹簧处于负向最大位移处，且根据对称性，此时的加速度大小与正向最大位移处的加速
度大小相等，由题意，开始时M 加速度满足F－mg＝ma，而M、N 两个物体等质量，故F
＝2mg，解得a＝g，方向竖直向上，故在负向最大位移处加速度也为g，且方向竖直向下，
故此时满足F'＋mg＝mg，故此时F'＝0，即此时弹簧处于原长，故t2时刻弹簧的弹性势能
为零，而t4时刻M 处于正向最大位移处，故t4时刻M 的加速度与重力加速度大小相等、方
向相反，故C 错误，D 正确。
10 如图所示，弹簧振子在A、B 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得A、B
间距为6 cm，小球完成30 次全振动所用时间为60 s，则( )
A.该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B.该振子振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O 点时开始计时，3 s 内通过的路程为24 cm
答案 C
解析 由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A 错误；频率T＝，解得f＝0.5
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
Hz，B 错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4 倍，即s0＝4A＝12
cm，C 正确；小球在3 s 内通过的路程为s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D 错误。
11 .(2024·浙江杭州联考)如图为某鱼漂示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在O
点。用手将鱼漂往下按，使M 点到达水位处。松手后，鱼漂会上下运动，鱼漂
上的M、N 两点在水位上下来回移动，且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正
确的是( )
A.水位在O 点时，鱼漂的速度最大
B.N 点到达水位处时，鱼漂的位移向下最大
C.M 点到达水位处时，鱼漂具有向下的加速度
D.M、N 之间的距离即鱼漂的振幅
答案 A
解析 O 点是平衡位置，根据简谐运动的特点可知，水位在O 点时，鱼漂的速
度最大，故A 正确；鱼漂的N 点到达水位处时，说明鱼漂向上运动，位移方向
向上且最大，速度为零，故B 错误；M 点到达水位处时，鱼漂向下的位移最大，
具有向上的加速度，故C 错误；鱼漂上下做简谐运动，偏离平衡位置的最大位
移叫振幅，M 点或N 点到达水位处时，位移最大，振幅等于OM 的长度或者
ON 的长度，故D 错误。
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
12.(2024·山西师范学院附中月考)如图所示，弹簧振子在A、B 之间做简谐运动，
平衡位置为O，振子的振动周期为T。从振子处于B 点开始计时，向右为正方
向，能正确反映振子位移x 与时间t、回复力F 与时间t、加速度a 与时间t、弹
簧振子的机械能E 与时间t 变化关系的图像是( )
答案 .C
解析 从振子处于B 点开始计时，向右为正方向，计时起点时，位移为正向最
大，回复力为负向最大，加速度为负向最大，故A、B 错误，C 正确；弹簧振
子的机械能守恒，故D 错误。
13 .(2023·北京房山区模拟)如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O 点，在A、B
两点之间做简谐运动，取向右为正方向，以振子从A 点开始运动的时刻作为计
时起点，振子的位移x 随时间t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A.t＝0.4 s 时，振子的速度方向向左
B.t＝0.8 s 时，振子的加速度方向向右
C.t＝0.8 s 到t＝1.2 s 的时间内，振子的回复力逐渐增大
D.t＝1.2 s 到t＝1.6 s 的时间内，振子的动能逐渐减小
答案 .D
解析 由振动图像可知t＝0.4 s 时，振子由平衡位置向正方向运动，说明振子
的速度方向向右，故A 错误；由振动图像可知，t＝0.8 s 时，振子在正向最大位
移处，所以振子的加速度方向向左，故B 错误；t＝0.8 s 到t＝1.2 s 的时间内，
振子从正向最大位移处往平衡位置运动，所以振子的回复力逐渐减小，故C 错
误；t＝1.2 s 到t＝1.6 s 的时间内，振子从平衡位置往负向最大位移处运动，振
子的速度逐渐减小，振子的动能逐渐减小，故D 正确。
14.（2025·江苏常州模拟）如图所示，质量为m 的物块放置在光滑水平面上，与劲度系数
为k、左端固定在墙上的轻弹簧相连，组成弹簧振子。已知弹簧振子做简谐运动的周期T＝
2π√
m
k
，物块经过平衡位置O 点的速度大小为v。某时刻，质量为m 的小球从O 点正上方
自由下落，恰好当物块运动至O 点时落在物块上，并与物块粘在一起继续做简谐运动。
（1）求小球落在物块上后，整体经过O 点的速度大小；
（2）以小球粘在物块上瞬间为t＝0 时刻，求整体到达最左端的时刻。
答案：（1）1
2v
（
2
）
t1'
＝
(1+ 4 N )π
2
√
2m
k
(N =0，1，2，3…)，
t2'
＝
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(3+ 4 N )π
2
√
2m
k
(N =0，1，2，3…)。
解析：（1）小球与物块碰撞过程中水平方向动量守恒mv＝2mv 共
解得v 共＝1
2v。
（2）小球落在物块上后，弹簧振子周期为T'＝2π√
2m
k
整体第一次到达最左端的时刻有两种情况分别为t1＝π
2 √
2m
k
，t2＝3 π
2 √
2m
k
整体第N 次到达最左侧的时刻有两种情况分别为
t1'
＝
(1+ 4 N )π
2
√
2m
k
(N =0，1，2，3…)，
t2'
＝
(3+ 4 N )π
2
√
2m
k
(N =0，1，2，3…)。
15
